Уравнение переходной характеристики дифференциального звена (5 видео)

Переходная функция (переходная характеристика)

Эта динамическая характеристика применяется для описания одноканальных систем

с нулевыми начальными условиями

Переходная характеристика h(t) — это реакция системы на входное единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

— момент возникновения входного воздействия

Рис.2.4. Переходная характеристика системы

Переходные характеристики для различных значений активного сопротивления в электрической цепи:

Уравнение переходной характеристики дифференциального звена

Чтобы определить переходную характеристику аналитически, следует решить дифференциальное уравнение при нулевых начальных условиях и u(t)=1(t).

Для реальной системы переходную характеристику можно получить экспериментальным путем; при этом на вход системы следует подавать ступенчатое воздействие и фиксировать реакцию на выходе. Если ступенчатое воздействие отлично от единицы, то характеристику на выходе следует разделить на величину входного воздействия.

Зная переходную характеристику, можно определить реакцию системы на произвольное входное воздействие с помощью интеграла свертки

(2.8)

где — переменная интегрирования.2.5. Импульсная характеристика
(импульсная функция)

Данная характеристика используется для описания одноканальных систем вида (2.3) с нулевыми начальными условиями.

Импульсная характеристика (функция) — это реакция системы на входное единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях.

Дельта-функция обладает следующими свойствами:

(2.9)

С помощью дельта-функции моделируется реальное входное воздействие типа удара.

Рис.2.5. Импульсная характеристика системы

Импульсные характеристики для различных значений активного сопротивления в электрической цепи:

Импульсная функция позволяет вычислить реакцию системы на произвольное входное воздействие при нулевых начальных условиях по выражению

(2.10)

Переходная функция и импульсная функция однозначно связаны между собой соотношениями

(2.11)

что позволяет по одной известной характеристике определить вторую.

Переходная матрица

Эта характеристика применяется для описания многоканальных систем вида (2.1) — (2.2) при нулевых входных воздействиях, то есть для автономных систем типа:

(2.12)

Переходная матрица — это решение матричного дифференциального уравнения

(2.13)

при нулевых входных воздействиях и единичных начальных условиях

где

Она обладает следующими свойствами:

для любого

(2.14)

Зная переходную матрицу, можно определить реакцию системы

на произвольное входное воздействие при любых начальных условиях x(0) по выражению

(2.15)

Здесь первое слагаемое — свободная составляющая движения, второе — вынужденная. Для выходных переменных имеем

(2.16)

Если система имеет нулевые начальные условия x(0)=0, то

(2.17)

(2.18)

Матрица называется матричной импульсной функцией потому что каждая компонента ее представляет собой импульсную функцию , которая является реакцией i-го выхода на j-ое импульсное входное воздействие при нулевых остальных входных воздействиях и начальных условиях.

Для многоканальных систем может быть определена также матричная переходная характеристика в виде

(2.19)

Для линейных систем с постоянными параметрами переходная матрица Ф(t) представляет собой матричную экспоненту

(2.20)

где

С учетом (2.20) выражения (2.15) и (2.16) принимают вид

(2.21)

(2.22)

Матричная импульсная функция линейной системы с постоянными коэффициентами следующая:

(2.23)

При небольших размерах или простой структуре матрицы A выражение (2.20) может быть использовано для точного представления переходной матрицы с помощью элементарных функций. В случае большой размерности матрицы A следует использовать существующие программы для вычисления матричного экспоненциала.

Передаточная функция

Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями в теории автоматического управления используются различные их преобразования. Для линейных систем эти уравнения удобнее записывать в символической форме с использованием так называемого оператора дифференцирования

что позволяет преобразовывать дифференциальные уравнения как алгебраические и ввести новую динамическую характеристику — передаточную функцию.

Рассмотрим этот переход для многоканальных систем вида (2.6)

Запишем уравнение состояния в символической форме:

что позволяет определить вектор состояния

(2.24)

и выходные переменные системы

(2.25)

Матрица взаимосвязи между выходными переменными и управляющими воздействиями в выражении (2.25) при нулевых начальных условиях называется матричной передаточной функцией и обозначается

(2.26)

Она представляет собой матрицу со следующими компонентами:

(2.27)

где — скалярные передаточные функции, которые представляют собой отношение выходной величины к входной в символической форме при нулевых начальных условиях

Собственными передаточными функциями i-го канала называются компоненты передаточной матрицы , которые находятся на главной диагонали. Составляющие, расположенные выше или ниже главной диагонали, называются передаточными функциями перекрестных связей между каналами.

Обратная матрица находится по выражению

(2.28)

где — присоединенная матрица. Как следует из (2.28), все скалярные передаточные функции, которые являются элементами передаточной матрицы (2.27), содержат одинаковый знаменатель — det(pI-A). Он называется характеристическим полиномом и имеет n-ый порядок.

Если теперь характеристический полином приравнять нулю, то получим характеристическое уравнение системы,

A(p) = det(pI-A) = 0.

(2.29)

Определить передаточную матрицу для объекта

где

Воспользуемся выражением для передаточной матрицы (2.27) и найдем предварительно обратную матрицу (2.29). Здесь

Транспонированная матрица имеет вид

a det(pI-A) = p -2p+1, .

где — транспонированная матрица. В результате получим следующую обратную матрицу:

и передаточную матрицу объекта

Чаще всего передаточные функции применяются для описания одноканальных систем вида

(2.30)

Используя оператор дифференцирования, запишем уравнение (2.30) в символической форме и найдем передаточную функцию как отношение выходной величины к входной:

(2.31)

где — характеристический полином.

Передаточные функции принято записывать в стандартной форме:

(2.32)

где — коэффициент передачи;

Передаточную матрицу (передаточную функцию) можно также определить с помощью изображений Лапласа или Карсона-Хевисайда. Если подвергнуть одному из этих преобразований обе части дифференциального уравнения и найти соотношения между входными и выходными величинами при нулевых начальных условиях, то получим ту же самую передаточную матрицу (2.26) или функцию (2.31).

Для того, чтобы в дальнейшем различать преобразования дифференциальных уравнений, будем использовать следующие обозначения:

— оператор дифференцирования;

— оператор преобразования Лапласа.

Получив одну из динамических характеристик объекта, можно определить все остальные. Переход от дифференциальных уравнений к передаточным функциям и обратно осуществляется с помощью оператора дифференцирования p.

Рассмотрим взаимосвязь между переходными характеристиками и передаточной функцией. Выходная переменная находится через импульсную функцию в соответствии с выражением (2.10),

Подвергнем его преобразованию Лапласа,

и получим y(s) = g(s)u(s). Отсюда определим импульсную функцию:

(2.33)

Таким образом, передаточная функция — есть преобразование по Лапласу от импульсной функции.

Определить передаточную функцию объекта, дифференциальное уравнение которого имеет вид

Используя оператор дифференцирования d/dt = p, запишем уравнение объекта в символической форме

на основании которого определим искомую передаточную функцию объекта

Модальные характеристики

Модальные характеристики соответствуют свободной составляющей движения системы (2.6) или, другими словами, отражают свойства автономной системы типа (2.12)

(2.34)

Будем искать ее решение в виде экспоненты

(2.35)

где — скалярная экспонента, — вектор начальных условий.

Подставляя решение (2.35) в исходное уравнение (2.34), после преобразований получим

(2.36)

Система уравнений (2.36) будет иметь ненулевое решение относительно , если

(2.37)

Уравнение (2.37) называется характеристическим и имеет n-корней , которые называются собственными значениями матрицы A. При подстановке собственных значений в (2.37) получим

где — собственные векторы,

Совокупность собственных значений и собственных векторов представляет собой модальные характеристики системы.

Для (2.34) могут существовать лишь следующие экспоненциальные решения

(2.38)

которые называют модами. В случае, когда собственные значения вещественные и различные по значениям, полное решение системы (2.34) представляет собой линейную комбинацию мод:

(2.39)

Для получения характеристического уравнения системы достаточно общий знаменатель передаточной матрицы (передаточной функции) приравнять нулю (2.29).

Частотные характеристики

Если на вход объекта подавать периодический сигнал заданной амплитуды и частоты, то на выходе будет также периодический сигнал той же частоты, но в общем случае другой амплитуды со сдвигом по фазе. Взаимосвязь между параметрами периодических сигналов на входе и выходе объекта определяют частотные характеристики. Чаще всего их используют для описания одноканальных систем:

, n >= m.

(2.40)

Формально обобщенная частотная характеристика может быть получена из передаточной функции заменой p на

(2.41)

и представлена в виде

(2.42)

Составляющие обобщенной частотной характеристики имеют самостоятельное значение и следующие названия:

вещественная частотная характеристика (ВЧХ),
мнимая частотная характеристика (МЧХ),
амплитудная частотная характеристика (АЧХ),
фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

Частотная характеристика по выражению (2.42) может быть построена на комплексной плоскости. В этом случае конец вектора, соответствующий комплексному числу , при изменении от 0 до прочерчивает на комплексной плоскости кривую, которая называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).

Рис.2.6. Пример амплитудно-фазовой характеристики системы

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) — графическое отображение зависимости сдвига по фазе между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты,

Для определения числитель и знаменатель W(j ) разлагаются на множители не выше второго порядка

тогда , где знак «+» относится к i=1,2. l (числителю передаточной фунции), знак «-» -к i=l+1. L (знаменателя передаточной функции).

Каждое из слагаемых определяется выражением

где .

Наряду с АФХ отдельно строят и все остальные частотные характеристики. Так АЧХ показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты; причем оценкой пропускания является отношение амплитуд выходного и входного сигнала. ФЧХ показывает фазовые сдвиги, вносимые системой на различных частотах.

Помимо рассмотренных частотных характеристик в теории автоматического управления используются логарифмические частотные характеристики. Удобство работы с ними объясняется тем, что операции умножения и деления заменяются на операции сложения и вычитания. Построенная в логарифмическом масштабе АЧХ, называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ)

(2.43)

Эта величина выражается в децибелах (дб). При изображении ЛАЧХ удобнее по оси абсцисс откладывать частоту в логарифмическом масштабе, то есть , выраженную в декадах (дек).

Рис.2.7. Пример логарифмической амплитудной частотной характеристики

В логарифмическом масштабе может быть изображена также и ФЧХ:

Рис.2.8. Пример логарифмической фазовой частотной характеристики

ЛФХ, реальная и асимптотическая ЛАЧХ системы, передаточная функция которой имеет вид:

(2.44)

Рис. 2.9. Реальная и асимптотическая ЛАЧХ системы

Рис. 2.10. ЛФХ системы

СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД

3.2. Пропорциональное звено (усилительное, безынерционное)

3.3. Дифференцирующее звено

3.4. Интегрирующее звено

3.5. Апериодическое звено

3.6. Форсирующее звено (пропорционально — дифференцирующее)

3.7. Звено 2-го порядка

3.8. Структурные преобразования

3.8.1. Последовательное соединение звеньев

3.8.2. Параллельное соединение звеньев

3.8.3. Обратная связь

3.8.4. Правило переноса

3.9. Переход от передаточных функций к уравнениям состояния с пользованием структурных схем

3.10. Область применимости структурного метода

Введение

Для расчета различных систем автоматического управления их обычно разбивают на отдельные элементы, динамическими характеристиками которых являются дифференциальные уравнения не выше второго порядка. Причем различные по своей физической природе элементы могут описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями, поэтому их относят к определенным классам, называемым типовыми звеньями.

Изображение системы в виде совокупности типовых звеньев с указанием связей между ними называется структурной схемой. Она может быть получена как на основе дифференциальных уравнений (раздел 2), так и передаточных функций. Данный способ и составляет суть структурного метода.

Предварительно рассмотрим подробнее типовые звенья, из которых состоят системы автоматического управления.

Пропорциональное звено

(усилительное, безынерционное)

Пропорциональным называется звено, которое описывается уравнением

y = k u.

(3.1)

Передаточная функция звена следующая:

(3.2)

а соответствующая ей структурная схема приведена на рис. 3.1.

Рис.3.1. Структурная схема пропорционального звена

Переходная характеристика (реакция звена на скачкообразное входное воздействие) имеет вид: h(t) = k

1(t) .

Импульсная функция имеет вид:

g(t) = k .

Модальные характеристики (собственные значения и собственные векторы) для пропорционального звена отсутствуют.

Заменив в передаточной функции p на j получим следующие частотные характеристики:

Рис.3.2 ВЧХ пропорционального звена

— амплитудно-фазовую: W (j ) k , — вещественную частотную характеристику: R( )=k , — мнимую частотную характеристику, I( )=0 .

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) определяется соотношением:

(3.3)

и имеет тот же вид, что и ВЧХ. Выражение для ФЧХ:

(3.4)

Это означает, что амплитуда периодического входного сигнала усиливается в k — раз, а фазовый сдвиг отсутствует.

Рис.3.3 АФХ пропорционального звена

АФХ звена имеет вид точки на комплексной плоскости (рис. 3.3). ЛАЧХ звена представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс:

L( )=20lg[A( )]=20lg(k)

(3.5)

Рис.3.4 ЛАЧХ пропорционального звена

Как видим (3.3.), (3.4.), пропорциональное звено пропускает входные сигналы без искажений.

Дифференцирующее звено

Дифференцирующим называется звено, которое описывается дифференциальным уравнением:

y = k .

(3.6)

Его передаточная функция имеет вид:

W(p) = y(p)/u(p) = kp.

(3.7)

Рис.3.5. Переходная характеристика звена

Переходная характеристика дифференцирующего звена: h(t) = k (t- ).

Рис.3.6. Импульсная характеристика

Импульсная функция имеет вид

g(t) = k

(t-

(3.8)

Получим теперь частотные характеристики звена.

АФХ : W(j ) = j k , совпадает с положительной мнимой полуосью на комплексной плоскости;

ВЧХ : R( ) = 0 ,

МЧХ : I( ) = k ,

АЧХ : ,

ФЧХ : ,то есть для всех частот звено вносит постоянный фазовый сдвиг;

Рис.3.7. ЛАЧХ дифференцирующего звена

ЛАЧХ :

L( )=20lg(k )= 20lg(k)+20lg( ).

(3.9)

Как видно из графика рис.3.7, дифференцирующее звено усиливает высокочастотные сигналы.

Интегрирующее звено

Это звено, уравнение которого имеет вид:

(3.10)

От интегрального перейдем к дифференциальному уравнению звена

(3.11)

а затем к его передаточной функции

(3.12)

Переходная характеристика звена имеет вид:

(3.13)

а импульсная функция —

(3.14)

Определим частотные характеристики интегрирующего звена.

АФХ:

; ВЧХ:

; МЧХ:

;

АЧХ:

;

(3.15)

ФЧХ : .

Звено имеет постоянный фазовый сдвиг, который не зависит от частоты.

АФХ интегрирующего звена изображается на комплексной плоскости и имеет вид, представленный на рис.3.8.

Рис.3.9. ЛАЧХ интегрирующего звена

Получим логарифмическую амплитудно-частотную характеристику:

(3.16)

она имеет вид прямой на плоскости (рис.3.9).

имеет единственный корень, , который представляет собой модальную характеристику интегрирующего звена.

Апериодическое звено

Апериодическим называется звено, дифференциальное уравнение которого имеет вид

(3.17)

Перейдем к его стандартному описанию, для чего разделим обе части (3.17) на коэффициент a₀ ,

(3.18)

где , — коэффициент передачи звена.

Заменив в (3.18) d/dt на p, перейдем к символической записи дифференциального уравнения,

(Tp+1)y = ku,

(3.19)

и определим передаточную функцию апериодического звена:

(3.20)

Рис.3.10. Переходная характеристика

Его переходную характеристику можно найти как решение уравнения (3.18) при u=1(t) и y(0)=0,

h(t) = k(1- )·1(t).

(3.21)

Рис.3.11. Импульсная функция

Импульсную функцию вычислим по соотношению:

g(t)= (t)= ·1(t).

(3.22)

Для определения модальных характеристик запишем характеристическое уравнение звена

A(p) = Тр + 1 = 0

(3.23)

и вычислим его корень р = -1/Т .

Выражение, соответствующее АФХ апериодического звена имеет вид:

(3.24)

Рис.3.12. ВЧХ звена

Построим отдельно вещественную частотную характеристику по выражению

(3.25)

Рис.3.13. МЧХ звена

Мнимую частотную характеристику апериодического звена строим по соотношению

(3.26)

Рис.3.14. АЧХ апериодического звена

Построим амплитудную частотную характеристику по выражению:

(3.27)

Рис.3.15. ФЧХ апериодического звена

ФЧХ звена определяется соотношением

(3.28)

Рис.3.16 АФХ апериодического звена.

На комплексной плоскости строим АФХ апериодического звена по выражению (3.24), которая имеет вид полуокружности и приведена на рис.3.16. Определим теперь логарифмическую амплитудную частотную характеристику в виде:

(3.29)

Наиболее просто можно построить асимптотическую ЛАЧХ. В этом случае рассматривают отдельно области высоких (ОВЧ) и низких частот (ОНЧ) и для каждой определяют свою асимптоту:

1) ОНЧ: >1/T, L( )=20lg(k)-20lg(T ).

(3.31)

Частота 1/T называется собственной частотой апериодического звена.

Рис.3.17. ЛАЧХ апериодического звена

На рис.3.17 действительная ЛАЧХ показана пунктирной линией и несколько отличается от асимптотической, причем наибольшая погрешность будет на собственной частоте звена.

3.6. Форсирующее звено
(пропорционально — дифференцирующее)

Форсирующимназывается звено, дифференциальное уравнение которого имеет вид

y = k₁ u + k₂ .

(3.32)

Как видим, его можно представить как сумму пропорционального и дифференцирующего звеньев.

Передаточная функция форсирующего звена,

записывается в стандартной форме

W(p) = k (1+Tp),

(3.33)

где k=k₁ — коэффициент передачи, T=k₂/k₁ — постоянная времени звена.

Определим теперь его переходную характеристику

h(t- )= 1(t- )+ (t- )

(3.34)

и импульсную функцию

g(t)= (t) = (t) + (t).

(3.35)

Рис.3.18. Переходная характеристика форсирующего звена

Запишем выражения для частотных характеристик.

АФХ: W(j

)=k(1+jT

);

(3.36)

ВЧХ: R( )=k

МЧХ: I( )=k ;

АЧХ: A( )= k ;

ФЧХ:

;

(3.37)

ЛАЧХ: L(

)= 20 lg k + 10 lg(1+T)

(3.38)

Рис.3.19. ЛАЧХ форсирующего звена

Асимптотическую ЛАЧХ форсирующего звена можно получить, рассматривая отдельно области низких и высоких частот, как в случае апериодического звена, или суммируя ЛАЧХ пропорционального и дифференцирующего звеньев.

Рис.3.20 АФХ форсирующего звена

Здесь

— собственная частота звена. АФХ форсирующего звена строится по выражению (3.36) и имеет вид, представленный на рис. 3.20.

Звено второго порядка

Дифференциальное уравнение звена второго порядка

(3.39)

где a₂, a₀, b 0, принято записывать в стандартном виде:

(3.40)

где , d — коэффициент демпфирования, который определяет склонность звена к колебаниям, , — коэффициент передачи.

Передаточную функцию получим на основе символической записи дифференциального уравнения,

y + 2d py + y = ku,

(3.41)

Определим модальные характеристики по характеристическому уравнению

Содержание

Дифференцирующее звено
Идеальное дифференцирующее звено
Реальное дифференцирующее звено
Дифференцирующее звено.
📸 Видео

Видео:10) ТАУ для чайников Части 4.1. и 4.2. Типовые динамические звенья. Усилитель. Апериодическое звено.Скачать

Дифференцирующее звено

В теории автоматического регулирования различают реальное дифференцирующее звено и идеальное дифференцирующее звено.

Видео:Теория автоматического управления. Лекция 7. Типовые звенья САУСкачать

Идеальное дифференцирующее звено

Давайте для начала рассмотрим идеальное дифференцирующее звено, типовое дифференциальное уравнение которого имеет вид:

Операторная форма записи имеет следующий вид:

Передаточная функция идеального дифференцирующего звена имеет вид:

Аналитическое выражение вектора амплитудо-фазовой характеристики (АФХ) для идеального дифференцирующего звена имеет вид:

В последнем выражении при изменении частоты от 0 до ∞ легко построить график вектора АФХ идеального дифференцирующего звена (рисунок 1 а)). Конец вектора АФХ перемещается по положительной мнимой полуоси комплексной плоскости от начала координат, уходя при ω = ∞ в бесконечность.

Идеальное дифференцирующее звено имеет своеобразную переходную функцию (рисунок 1 б)). Выходной сигнал данного звена пропорционален тангенсу угла наклона вектора АФХ, то есть первой производной. Угол равен +90 0 в момент подачи входного воздействия, а tg(+90 0 ) = +∞, но далее входное воздействие становится равным единице, при этом угол наклона изменяется на -90 0 , а tg(-90 0 ) = -∞.

Откуда следует, что в момент подачи входного сигнала выходной сигнал идеального дифференцирующего звена примет значение +∞. Тут же из +∞ вычитается -∞ и выходной сигнал снова принимает нулевое значение (рисунок 1б)).

Примером электрической реализации идеального дифференцирующего звена может послужить электрическая цепь, состоящая из резистора R и конденсатора С, при этом резистор R обладает сверхпроводимостью (R = 0). Схема данной RC цепочки показана на рисунке 1 в).

Видео:7) ТАУ для чайников.Части 3.4 и 3.5 : Передаточная функция. Преобразование Лапласа...Скачать

Реальное дифференцирующее звено

Типовое дифференциальное уравнение для реального дифференцирующего звена имеет вид:

Операторная форма данного уравнения:

х_вых (р) можно вынести за скобки:

После чего получить аналитическое выражение передаточной функции реального дифференцирующего звена:

Совершив замену p на jω в передаточной функции, получим аналитическое выражение вектора АФХ для данного звена:

Изменяя частоту после ω проведенных алгебраических преобразований от 0 до ∞ в мнимой in(ω) и действительной m(ω) частях вектора амплитудо- фазовой характеристики (АФХ), построим годограф реального дифференцирующего звена (рисунок 2 а).

В знаменателе m(ω) при ω = ∞ единицу можно отбросить, тогда можно сократить дробь:

Отсюда получим, что m(ω) = k / T₀.

Следовательно, графиком вектора АФХ реального дифференцирующего звена будет полуокружность в первом квадранте комплексной плоскости, диаметр которой будет равен k / T₀.

На рисунке 2 б) показана переходная функция реального дифференцирующего звена. На рисунке видно, что при подаче возмущения в виде единичного скачка выходной сигнал мгновенно увеличится на величину k / T₀, после чего начнет плавно уменьшаться (по нелинейному закону) пока его значение не станет равным нулю. По переходной характеристике не сложно определить коэффициенты k и T₀ передаточной функции. Сначала с помощью касательной находят значение T₀, после чего умножив ординату величины k / T₀ на T₀, определяют значение k.

В качестве примера электрической реализации реального дифференцирующего звена может послужить RC цепочка, в которой сопротивление R ≠ 0, что вполне может быть собрано из существующих элементов.

Видео:[ТАУ]Записать передаточную функцию устройства [Составить диф. ур-е для условия передачи напряжения]Скачать

Дифференцирующее звено.

Различают идеальное и реальное дифференцирующие звенья.

Идеальное дифференцирующее звено характеризуется уравнением

, (2.13)

или в операторной форме

Примерами такого звена могут служить электрическая емкость (рис. 29 а), индуктивность (б), тахогенератор (в).

Рис.2.17. Примеры идеальных дифференцирующих

В самом деле, уравнения для тока в емкости

напряжения на индуктивности

и напряжения на зажимах тахогенератора постоянного тока

совпадают по форме с уравнением идеального дифференцирующего звена.

Из уравнения (8) получается передаточная функция идеального дифференцирующего звена

и, соответственно, частотная передаточная функция

Для нахождения переходной характеристики идеального дифференцирующего звена воспользуемся соотношением

а весовая функция звена может быть получена следующим образом

При известной частотной передаточной функции W(jω) АЧХ и ФЧХ звена легко находятся

На рис. 30 построены эти зависимости. На этом же рисунке, по значениям A(ω) и φ(ω) получена АФХ звена W(jω), которая проходит по положительной полуоси ординат. Это обусловлено тем обстоятельством, что для любой частоты 0 ≤ .

ЛАЧХ идеального дифференцирующего звена приведена на рис. 2.19.

Рис. 2.19. ЛАЧХ идеального дифференцирующего

Однако практически осуществить идеальное дифференцирующее звено, строго удовлетворяющее уравнению (8), не представляется возможным. Поэтому применяются звенья, выполняющие дифференцирующее действие более или менее приближенно. Такие звенья называются реальными дифференцирующими звеньями. Процессы в таких звеньях описываются дифференциальным уравнением вида

или в Лапласовой форме

. (2.14)

Примерами таких звеньев могут служить, например, четырехполюсники (рис. 2.20).

Рис. 2.20. Примеры реальных дифференцирующих звеньев.

Из уравнения (2.14) найдется передаточная функция звена

. (2.15)

Переходную характеристику звена h(t) можно, как уже указывалось, определить по формуле:

. (2.16)

Весовую функцию звена найдем, исходя из выражения

Поскольку h(t) – сложная функция, содержащая два сомножителя, зависящих от t , то

Так как первое слагаемое этого выражения равно нулю при t ≠ 0, ибо δ(t) = 0 при t ≠ 0, то сомножитель имеет смысл рассматривать только при t = 0, а в этом случае , и окончательно выражение для w(t) имеет вид

Таким образом, получается, что весовая функция реального дифференцирующего звена w(t) состоит из двух составляющих. Первая составляющая δ – функция с площадью расположена на оси ординат, а вторая – экспонента, рассматриваемая для t ≥0. Переходная h(t) и весовая w(t) функции приведены на рис. 33 а) и б), соответственно.

Рис. 2.21. Временные характеристики реального дифференциального звена.

Частотная передаточная функция W(j ) найдется из (2.3)

φ φ₁(ω) – φ₂(ω)

Имея в виду, что при очень большой частоте, т.е. при → ∞, в подкоренном выражении для A( ) можно пренебречь первым слагаемым по сравнению со вторым, получается:

построим АЧХ и ФЧХ реального дифференциального звена, а по ним и АФХ (рис. 2.22)

Рис. 2.22. АЧХ (а), ФЧХ (б) и АФХ (в) реального дифференцирующего звена.

Выражение для точной ЛАЧХ звена имеет вид

Как видно из (10) звена имеет одну постоянную времени Т и, значит, одну сопрягающую частоту [c -1 ]. Эта частота _с разобьет ось частот на два участка (рис.34)

или T * вычислим по этой формуле L₁( * ) и через эту точку проведем первую асимптоту с наклоном +20 . Удобнее всего брать * =1 (тогда 20 = 0), независимо от того, на I-м или II-м участках расположена эта частота. Затем через точку L₁( =1) проводят на I участке первую асимптоту с наклоном +20 до пересечения с вертикальной линией, проходящей через .

или T>1.

Тогда выражение для второй асимптоты получится из L( ), если в подкоренном выражении пренебречь первым слагаемым по сравнению со вторым

Это линия, не зависящая от частоты, т.е. проходящая параллельно оси абсцисс через конечную точку первой асимптоты.

Рис. 35. ЛАЧХ реального дифференцирующего звена.

📸 Видео

proТАУ: 1. Передаточная функцияСкачать

Видеометодичка. Практикум по нахождению передаточных функций по дифференциальным уравнениямСкачать

Типовые динамические звенья | Вечер с теорией управления, вебинар 3Скачать

12) ТАУ для чайников. Часть 4.4. Интегрирующее звено.Скачать

23) Построение Л.А.Ч.Х. и Л.Ф.Ч.Х. системы по её передаточной функцииСкачать

17) ТАУ для чайников. Пример определения статических и динамических характеристик элемента АСУ. Ч.1Скачать

c04 3, Динамические звенья 2: типовые звенья и их АФЧХСкачать

ТАУ. Matlab/Simulink - моделирование передаточной функции, снятие характеристикСкачать

✓Дифференцируемая функция. Дифференциал | матан #032 | Борис ТрушинСкачать

Связь переходного процесса с частотными характеристиками.Скачать

Исследование влияния параметров типовых звеньев на качество переходных процессов линейной системыСкачать

Переходные процессы | Классический метод расчета переходных процессов. Теория и задачаСкачать

11)ТАУ для чайников. Часть 4.3. Колебательное звеноСкачать

Теория автоматического регулирования. Лекция 3. Временные характеристики САУСкачать

c03 7, Динамические звенья 1: передаточная функцияСкачать

9) ТАУ для чайников. Части 3.7 и 3.8: Частотные характеристики.Скачать