Уравнение неразрывности потока и уравнения Бернулли являются основными уравнениями гидродинамики. При изучении потоков жидкости вводится ряд понятий, характеризующий потоки с гидравлической и геометрической точек зрения.
Такими понятиями являются: площадь живого сечения потока(или живое сечение потока), расход и средняя скорость.
Площадью живого сечения потока, называют площадь сечения потока, приведенную нормально к направлению линии тока, т.е. перпендикулярно движению струйки жидкости. Живое сечение может быть ограничено твердыми стенками полностью или частично. Если стенки ограничивают поток полностью, то движение жидкости называют напорным; Если же ограничение частичное, то движение называется безнапорным.
Напорное движение характеризуется тем, что гидродинамическое давление в любой точке потока отлично от атмосферного и может быть как больше, так и меньше него. Безнапорное движение характеризуется постоянным давлением на свободной поверхности, обычно равным атмосферному.
Содержание статьи
Расходом потока называется количество жидкости, протекающей через поперечное сечение в единицу времени. Если рассматривать поток жидкости, представляющий собой совокупность большого числа элементарных струек, то очевидно, общий расход жидкости для всего потока в целом представляет собой сумму расходов всех отдельных струек.
Для нахождения этой суммы необходимо знать закон распределения скоростей в сечении потока. Так как во многих случаях движения такой закон неизвестен, в общем случае суммирование становится невозможным. Поэтому в гидродинамике вводится предположение, что все частицы жидкости по всему поперечному сечению потока движутся с одинаковой скоростью. Эту воображаемую фиктивную скорость называют средней скоростью потока υср .
Таким образом уравнение расхода для потока будет
υср – средняя скорость потока
F – площадь сечения потока.
Уравнение неразрывности потока жидкости
Теперь вооружившись основными понятиями перейдем к определению уравнения неразрывности потока.
Отделим сечениями 1-1 и 2-2 некоторый отрезок элементарной струйки. В этот отрезок в единицу времени через сечение 1-1 втекает объем жидкости равный
а через сечение 2-2 из него же вытекает объем, равный
Примем, что жидкость несжимаема и что в ней невозможно образование незаполненных жидкостью пространств – т.е. будем считать, что соблюдается условие сплошности или неразрывности движения.
Учитывая, что форма элементарной струйки с течением времени не изменяется и поперечный приток в струйку или отток из ней отсутствуют, приходим к выводу, что элементарные расходы жидкости, проходящие через сечение 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы.
Такие соотношения можно составить для любых двух сечений струйки. Поэтому в более общем виде получаем, что всюду вдоль струйки
Это уравнение называется уравнением неразрывности жидкости – оно является первым основным уравнением гидродинамики. Переходя далее к потоку жидкости в целом получаем, что
т.е. средние скорости в поперечных сечениях потока при неразрывности движения обратно пропорциональны площади этих сечений.
Уравнение неразрывности струи жидкости. Уравнение Бернулли.
Вторым основным уравнением гидродинамики является уравнение Бернулли, устанавливающее взаимосвязь между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же струйки.
При рассмотрении уравнения Бернулли также как и в предыдущем случае ограничимся установившемся медленно изменяющимся движением. Выделим в объеме некоторой жидкости одну элементарную струйку и ограничим её в какой-то определенный момент времени Т сечениями 1-1 и 2-2.
Допустим, что через какой-то промежуток времени ΔТ указанный объем переместится в положение 1’ – 1’ и 2’ – 2’. Тогда применяя к движению этого сечению теорему кинетической энергии, определяем, что приращение кинетической энергии движущейся системы материальных частиц равняется сумме работ всех сил, действующих на систему.
Если всё это записать в виде формулы, то
где W – приращение кинетической энергии = m * υ 2 / 2
ΣA – сумма работ действующих сил = P *ΔS
В этих выражениях
m – масса
υ – скорость материальной точки
P – равнодействующая всех сил, приложенных к точке,
ΔS – проекция перемещения точки на направление силы.
Теперь рассмотрим обе части этого выражения по порядку.
Приращение кинетической энергии ΔW
В нашем случае приращение кинетической энергии определяется как разность значений кинетической энергии в двух положениях перемещающегося объема, т.е. как разность кинетической энергии объема образованного сечениями 1-1’ и объема, образованного сечениями 2 – 2’.
Эти объемы являются результатом перемещения за время ΔТ сечений выделенного участка элементарной струйки.
Вспоминая, что по условию неразрывности расход во всех сечениях элементарной струйки одинаков, а следовательно будет равен
масса в этом случае получается равной
Подставляя все это в выражение для кинетической энергии получаем цепочку
ΔW = m * υ 2 2 / 2 — m * υ 2 1 / 2 = ρ * q * ΔТ * υ 2 2 / 2 — ρ * q * ΔТ * υ 2 1 / 2
Работа сил действующих на систему ΣA
Теперь перейдем к рассмотрению работы сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости. Работа сил тяжести AТ равна произведению этой силы на путь, пройденный центром массы движущегося объема жидкости по вертикали.
Для рассматриваемой в нашем примере струйки работа сил тяжести будет равна произведению сил тяжести объема занимаемого сечениями 1-1’ и 2 – 2’ на расстояние Z1 –Z2.
Где Z1 и Z2 – расстояния по вертикали от горизонтальной плоскости, называемой плоскостью сравнения до центров масс объемов 1-1’ и 2 – 2’.
Силы давления АД , действующие на объем жидкости складываются из сил давления на его боковую поверхность и на концевые поперечные сечения. Работа сил давления на боковую поверхность равна нулю, так как эти силы за все время движения нормальны к перемещению их точек приложения.
Суммарно работа сил давления будет
Подставляя в начальное уравнение
Полученные выражения для ΔW и ΣA получаем
Разделим обе части этого уравнения на m = ρ*q*ΔТ и перегруппируем слагаемые
Учитывая, что сечения 1-1 и 2-2 взяты нами совершенно произвольным образом, это уравнение возможно распространить на всю струйку. Применив его для любых поперечных сечений, взятых по её длине, и представить в общем виде:
Записанные выше два уравнения представляют собой уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости. Сумма трех слагаемых, входящих в это уравнение, называется удельной энергией жидкости в данном сечении струйки. Различают такие энергии как:
Удельная энергия положения = qz
Удельная энергия давления = p/ ρ
Кинетическая удельная энергия = υ 2 / 2
В соответствии с этим уравнение Бернулли для струйки жидкости можно сформулировать следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, т.е. сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и кинетической удельной энергии – есть величина постоянная во всех сечениях струйки.
Видео по теме уравнение неразрывности
Полученные в результате многочисленных экспериментов данные из уравнения Бернулли и уравнения неразрывности потока жидкости нашли широкое применение в повседневной жизни.
Уравнение Бернулли широко используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстия.
Уравнение неразрывности обладает широкой универсальностью и справедливо для любой сплошной среды. Принцип уравнения неразрывности используется для формирования сильной и дальнобойной струи воды при тушении пожаров.
Гидродинамика. Уравнение неразрывности движения жидкости.
Уравнение неразрывности потока демонстрирует закон сохранения массы: количество втекающей и вытекающей жидкости неизменно.
Проанализируем сечение 1 с площадью и скоростью движения частиц жидкости обозначим и1. Элементарный расход для него представлен соотношением:
Далее проанализируем сечение 2 в этой же струйке с площадью сечения и скоростью обозначим и2. Элементарный расход для него представлен соотношением:
Но согласно характерной особенности элементарной струйки притока и оттока жидкости через ее боковую поверхность не существует; на промежутке 1 — 2, которому свойственны постоянные размеры, отсутствуют пустоты и отсутствуют переуплотнения количества жидкости, протекающей в единицу времени сквозь сечения 1 и 2,будут одинаковыми, тогда:
Уравнение неразрывности для элементарной струйки — элементарный расход жидкости при установившемся движении величина одинаковая для всей элементарной струйки.
Проанализируем трубу с переменным живым сечением. Расход жидкости через трубу для всякого ее сечении постоянен, т.е. Q1=Q2= const, делаем вывод:
Значит, когда течение в трубе сплошное и неразрывное, то уравнение неразрывности станет:
Найдем отсюда скорость для выходного сечения:
Обратим внимание, что скорость возрастает обратно пропорционально площади живого сечения потока. Указанная обратная зависимость между скоростью и площадью выступает важным следствием уравнения неразрывности и нашла широкое применение. Так, к примеру, эта особенность используется пожарными при тушении пожара для формирования сильной и дальнобойной струи.
Что произойдет со скорость потока при сужении, когда диаметр напорной трубы d сузиться в два раза?
Площадь живого сечения трубы вычисляем на основе формулы w = πd 2 / 4. В этом случае соотношение площадей в формуле u2 = u1 w1 / w2 равняться 4.
Следовательно, в ситуации, когда диаметр трубы сужается в два раза — скорость потока возрастет в четыре раза. По аналогии, когда диаметр сузится в три раза — скорость увеличиться в девять раз.
Уравнение неразрывности
Уравнение неразрывности движения жидкости представляет собой закон сохранения массы изолированной системы. В общем виде: 
где 
— дивергенция вектора скорости, т. е. относительное изменение объема с течением времени, р — плотность.
В случае, когда жидкость является несжимаемой (dpi dt = 0), уравнение (1.32) упрощается:
Элементарный расход жидкости при установившемся движении есть величина постоянная для всей элементарной струйки.
Уравнение неразрывности для потока жидкости: расход жидкости через любое сечение потока при установившемся движении есть величина постоянная.
Уравнения Бернулли
Уравнение Даниила Бернулли, полученное в 1738 г., является фундаментальным уравнением гидродинамики и выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. Уравнение Бернулли определяет применение этого закона к установившемуся одномерному потоку несжимаемой жидкости. Индексами (1) и (2) обозначены величины, соответственно относящиеся к сечению потока 1—1, взятому выше по течению, и к сечению 2-2, взятому ниже по течению (рис. 1.11-1.13).
Уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной (невязкой) жидкости называется следующее выражение:
где и — скорость движения жидкости в поперечном сечении элементарной струйки, Н — гидродинамический напор, равный полной энергии потока Е (рис. 1.12).
Для реальной (вязкой) жидкости напор в любом вышележащем сечении всегда будет больше напора в нижележащем по течению сечении, т. к. часть энергии затрачивается на преодоление сил сопротивления (рис. 1.13), т. е. можно записать уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной (вязкой) жидкости в следующем виде:
где 
— удельные потери напора на преодоление всех сопротивлений (преодоление сил вязкости и сил трения между жидкостью и стенкой).
Рис. 1.12. К уравнению Бернулли для струйки невязкой жидкости [38]
Для решения задач практической гидравлики выбирают два сечения по длине потока так, чтобы для одного из них были известны величины z,p и v, а для другого одна или две подлежали определению.
Рис. 1.13. К уравнению Бернулли для струйки вязкой жидкости (штриховкой показаны потери напора по пути движения) [38]
При переходе от элементарной струйки к потоку вязкой жидкости, имеющему конечные размеры, необходимо учесть неравномерность распределения скоростей в живых сечениях и иметь представление о случаях возможного и невозможного применения уравнения Бернулли.
Решение этих вопросов сводится к установлению поправочных коэффициентов и выделению потоков с плавно изменяющимся движением, т. е. таким движением, при котором угол расхождения между соседними элементарными струйками настолько мал, что составляющими скорости в поперечном сечении можно пренебречь.
При движении вязкой жидкости вдоль твердой стенки ее скорость достигает максимального значения в центральной части потока и уменьшается до нуля возле стенки. Неравномерное распределение скоростей означает неодинаковое скольжение одних элементарных струек по другим, движение вязкой жидкости сопровождается вращением частиц, вих- реобразованием и перемешиванием. Поэтому, приходится вводить среднюю по сечению скорость v. Для приведения результатов расчетов по средней скорости в соответствие с действительными скоростями вводится коэффициент Кориолиса а, характеризующий неравномерное распределение скоростей в живом сечении потока, представляющий собой отношение кинетической энергии, подсчитанной по истинным скоростям сечения, к той же энергии, вычисленной по средней скорости в этом же сечении потока. Обычно в трубопроводах и каналах а = 1,05. 1,1, иногда приближенно принимают а = 1.
Рис. 1.14. К уравнению Бернулли для потока вязкой жидкости [32]
Поэтому уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости (рис. 1.14) с учетом неравномерности распределения скоростей по живому сечению запишется следующим образом:
где zi, z2 — геометрический напор или геометрическая высота положения центра тяжести живого сечения потока над произвольно взятой горизонтальной плоскостью сравнения 
— высота давления,
пьезометрическая высота, т. е. высота такого столба жидкости, который соответствует гидродинамическому давлению в центре тяжести
живого сечения потока; 
— скоростной напор или скоростная
высота; hw — потерянный напор; а — коэффициент Кориолиса, характеризующий неравномерное распределение скоростей в живом сечении потока; vi, V2 — средняя скорость в 1 и 2 живом сечении соответственно.
Уравнение Бернулли устанавливает связь между высотными положениями частиц жидкости, давлением и скоростями в разных сечениях потока жидкости. Причем каждая из входящих в уравнение величин может изменяться, но сумма остается постоянной.