Уравнение максвелла в комплексной форме для монохроматических полей (6 видео)

Уравнения Максвелла для монохроматических колебаний. Комплексные амплитуды полей

Все реальные электромагнитные процессы можно представить либо в виде суммы дискретных гармонических колебаний, либо в виде непрерывного спектра гармонических колебаний. Поэтому изучение гармонических во времени электромагнитных полей представляет большой практический и теоретический интерес. Такие поля часто называют также монохроматическими.

Анализ гармонических процессов существенно упрощается при использовании метода комплексных амплитуд. В этом случае вместо любой скалярной функции, изменяющейся по закону

где ψm- амплитуда; φ — начальная фаза; ω = 2πf = 2π/T; a f и T-частота и период гармонического колебания, вводится в рассмотрение комплексная функция

В систему уравнений Максвелла входят частные производные по x,y,z,t. Для упрощения исключим одну из переменных, это возможно при монохроматическом процессе, когда изменение полей во времени происходит по гармоническому закону с частотой w.

Ex,Ey,Ez — амплитуды отдельных составляющих поля.
ɸ_x,ɸ_y,ɸ_z — фазовые углы(начальные фазы).
E(t) описывает эллипс и в комплексной форме:

Введем комплексные амплитуды в уравнение Максвелла

Видео:Билеты №32, 33 "Уравнения Максвелла"Скачать

Примеры решения задач

Уравнения Максвелла для монохроматического поля.

Метод комплексных амплитуд.

Любые переменные электромагнитные процессы можно представить в виде дискретного или непрерывного спектра гармонических электромагнитных полей. Поэтому в дальнейшем будем анализировать гармонические электромагнитные процессы (монохроматические), так как сигнал любой сложности можно представить как суперпозицию гармонических процессов. Обычно используют метод комплексных амплитуд.

Пусть имеется некоторый гармонический процесс:

ему в соответствие ставится: (2)

Аналогично и для векторных величин. Пусть, есть вектор изменяющийся по гармоническому закону: Высшие гармоникив трехфазных цепях Теория электрических цепей Курс лекций и задач

Ему соответствует комплексная величина:

Если, мгновенные скалярные и векторные функции удовлетворяют некоторым линейным уравнениям, то этим же уравнениям удовлетворяют и их комплексные аналоги.

Использование метода комплексных амплитуд существенно упрощает решение задач с геометрическими электромагнитными процессами. Причина этого: дифференцирование по времени от комплексных амплитуд эквивалентно просто домножению на j w , а интегрирование по времени эквивалентно делению на j w .

Система уравнений монохроматического (гармонического) поля.

Известно, что уравнения Максвелла относятся к линейным дифференциальным уравнениям. Поэтому в случае гармонических электромагнитных полей в уравнениях Максвелла можно перейти к комплексным амплитудам.

Т.е. если , то , где

Используя понятие комплексных амплитуд, получим:

— комплексная диэлектрическая проницаемость среды.

Входящее в соотношение (5) отношение называется тангенсом угла электрических потерь: (6)

Комплексная диэлектрическая проницаемость в форме (5) справедлива для сред, в которых имеются только джоулевы потери. В общем случае, когда необходимо учесть диэлектрические потери представляется в следующем виде: (7)

(8) – тангенс угла диэлектрических потерь

Этот общий случай позволяет также учесть потери, связанные с эффектом поляризации в переменном электрическом поле. Наличие диэлектрических потерь приводит к появлению фазового сдвига между электрическими векторами D и Е. Величина которого: (9)

Переходя во втором уравнении Максвелла к комплексным амплитудам получим: (10).

(12) — тангенс угла магнитных потерь.

Магнитные потери связаны с эффектом периодического изменения намагниченности вещества во внешнем поле. Наличие магнитных потерь приводит к фазовому запаздыванию вектора В относительно вектора Н (явление Гистерезиса) в электромагнитных средах.

В случае гармонического поля при использовании метода комплексных амплитуд, возникает дополнительная возможность учесть потери, связанные с эффектами поляризации и намагничивания вещества.

В случае гармонических полей при использовании метода комплексных амплитуд 3 и 4 уравнения Максвелла являются следствием первых двух.

В средах с проводимостью неравной нулю объемная плотность убывает и в случае установившегося электромагнитного процесса (к ним относятся гармонические колебания). Можно считать, что объемная плотность электрического заряда равна нулю. В этом случае третье уравнение Максвелла запишется следующим образом:

Это соотношение для среды с конечной проводимостью. Оно является справедливым и для не проводящих сред. Если в непроводящей среде рассмотрим гармонический процесс, то:

Всякое изменение свободных электрических зарядов сопровождается появлением в среде электрического тока, но при в среде невозможно появление тока удовлетворяющего закону Ома. Поэтому (13) является справедливым в случае гармонических процессов и для непроводящих сред.

Переходя в уравнении (13) к комплексным амплитудам, получим:

Покажем, что оно является следствием (4). Возьмем дивергенцию от правой и левой части. Аналогично и для 4 уравнения Максвелла:

В случае гармонических полей они полностью описываются соотношениями(4), (11). Будем предполагать, что в рассмотренной области имеются сторонние источники. В этом случае выражения (4), (11) не применимы. Для получения справедливых соотношений воспользуемся 1 уравнением Максвелла:

Рассмотрим 3 уравнение Максвелла. Возьмем дивергенцию от соотношения (16).

Для сторонних токов:

Окончательно получим: (18)

В случае гармонических электромагнитных полей мы должны воспользоваться соотношением (17) и (18), при этом (4) и (11) останутся без изменений.

Итак, когда имеются сторонние источники:

Уравнения Максвелла без учета сторонних источников:

Подставляя вторую систему в первую, с использованием метода комплексных амплитуд, получим:

В дальнейшем индекс m будем формально опускать.

Уравнения баланса для средней за период мощности.

Теорема Умова-Пойнтинга и соответствующее ей аналитическое соотношение

были сформулированы для мгновенных значений и остаются справедливыми в последний момент времени. Это соотношение — важнейшее в классе электродинамики.

При анализе гармонических электромагнитных процессов особый интерес представляют энергетические параметры, усредненные по периоду. Среднее за период значение: (2)

Получим уравнение баланса для средней за период значения мощности гармонического электромагнитного процесса. Необходимо для каждого из слагаемых уравнения (1) получить величину, определяемую соотношением (2). Т. к. в соотношении (2) осуществляется интегрирование по времени, а анализируется гармонический электромагнитных процесс, то, естественно, надо воспользоваться методом комплексных амплитуд. Непосредственная замена мгновенных функций, соответствующими комплексными аналогами возможна только в линейных уравнениях. В данном случае непосредственная замена мгновенных векторов электромагнитного поля невозможна, так как выполняются следующие неравенства:

В случае нелинейных уравнений, переход к комплексным амплитудам осуществляют с помощью следующего соотношения:

Получим уравнение баланса для средней за период значения мощности гармонического электромагнитного поля. Сначала определим среднее за период значения функций входящие в (1).

Для начала получим среднее за период значение вектора Пойнтинга:

раскроем векторное произведение: (4)

Таким образом, сумму можно записать как удвоенную действительную часть любого из слагаемых:

Величина от времени не зависит. С учетом приведенных рассуждений, получаем:

Подставим (6) в (2). Два последних слагаемых, в соотношении (6), меняются с удвоенной частотой, т.е. половину периода принимают положительную величину, а другую половину — отрицательную. Поэтому и среднее за период значение равно нулю.

Величина, от которой берется действительная часть (8) называется комплексным вектором Пойнтинга.

(8) — комплексный вектор Пойнтинга.

Итак, (7) определяет среднее за период значение плотности потока энергии через поверхность S. Среднее за период значение потока мощности:

Рассмотрим каждое из слагаемых выражения (1).

Таким образом, в результате проделанных нами вычислений, получили:

В среднем за период, мощность сторонних источников расходуется на потери внутри объема и частично уходит во внешнее пространство, через поверхность S.

Видео:О чем говорят уравнения Максвелла? Видео 1/2Скачать

Плоские монохроматические волны

Плоские монохроматические волны

С точки зрения математики уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме представляют собой однородную систему линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Плоские монохроматические электромагнитные волны описываются функциями, для которых эта система превращается в алгебраическую и поэтому становится удобной для анализа. Реально существующее электромагнитное излучение может быть представлено как совокупность плоских монохроматических волн.

1.1. Система уравнений Максвелла.

Система уравнений Максвелла в интегральной форме для электромагнитного поля в веществе.

Оператор пространственного дифференцирования.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме.

Основные операции векторного анализа, записанные при помощи оператора пространственного дифференцирования.

Пример 1.1. Электромагнитное поле линейно поляризованной стоячей волны

Показать, что в вакууме может существовать электромагнитное поле, электрическая составляющая которого имеет вид (1.5). Рассчитать соответствующее ему магнитное поле.

Электрическая составляющая поля линейно поляризованной плоской стоячей волны.

Проверка на соответствие поля (1.5) первому уравнению Максвелла.

Условие соответствия поля (1.5) закону электромагнитной индукции Фарадея.

Магнитная составляющая поля стоячей волны.

1.2. Уравнение Д‘Аламбера для пустого пространства

Уравнения Максвелла для пустого пространства.

Вывод однородного уравнения ‘

Д’Аламбера для электромагнитных волн в пустом пространстве.

Уравнение Д’Аламбера для электрической компоненты электромагнитного поля.

Запись уравнения волны при помощи оператора Д’Аламбера.

Однородное уравнение Д’Аламбера в одномерном случае и его решение.

Одно из возможных решений однородного уравнения Д’Аламбера для пустого пространства — импульс электромагнитного поля, распространяющийся вдоль оси Z со скоростью света.

Пример 1.2. Неоднородное уравнение Д’Аламбера для скалярного и векторного потенциалов

Получить аналогичные (1.12) уравнения для скалярного и векторного потенциалов электромагнитного поля в пустом пространстве, а так же — в случае заданных распределений плотностей зарядов и токов.

Определение векторного потенциала.

Определение скалярного потенциала (использована калибровка Лоренца).

Преобразование уравнения для ротора магнитного поля.

Калибровка Лоренца для векторного потенциала.

Неоднородное уравнение Д’Аламбера для векторного потенциала.

Неоднородное уравнение Д’Аламбера для скалярного потенциала.

Запись уравнений (15.23) и (15.24) в виде одного четырехмерного уравнения.

Система однородных уравнений Д’Аламбера для скалярного и векторного потенциалов в пустом пространстве.

1.3. Плоские монохроматические волны

Определение плоской монохроматической волны (вещественная форма записи).

Определение плоской монохроматической волны (комплексная форма записи).

Обозначения, которые будут часто использоваться.

Еще один вид записи плоской монохроматической волны.

Сокращенные уравнения Максвелла для плоских монохроматических волн

Упрощенная система уравнений Максвелла, справедливая только для плоских монохрматических вол.

Упрощенное уравнение Д’Аламбера для случая плоских монохроматических волн в вакууме.

Дисперсионное соотношение для плоских монохроматических волн в вакууме.

Условие постоянство фазы на волновой поверхности.

Фазовая скорость электромагнитных волн в вакууме

Поверхности постоянной фазы плоской монохроматической волны.

Пример 1.3. Неоднородные плоские монохроматические волны в вакууме

Показать, что уравнения Максвелла допускают существование в вакууме неоднородных волн, описываемых выражением (1.32). Найти фазовую скорость таких волн.

Определение комплексного волнового вектора и запись с его помощью выражения для неоднородной волны.

Условие поперечности для неоднородной волны.

Дисперсионное соотношение для неоднородных волн в вакууме.

Фазовая скорость неоднородной волны.

1.4. Перенос энергии плоской монохроматической волной

Определение вектора Пойтинга в олптике..

Вектор Пойтинга для плоской монохроматической волны.

1.5. Релятивистские свойства плоских монохроматических волн

Векторный и скалярный потенциал плоской монохроматической волны.

Фаза волны как скалярное произведение двух четырехвекторов.

Четырехкомпонентный волновой вектор и его связь с четырехвектором энергии-импульса.

Преобразования Лоренца для четырехкомпонентного волнового вектора

Пример 1.5. Оптический эффект Доплера.

Получить выражение для величины частотного сдвига в продольном и поперечном оптических эффектах доплера в случае движения источника света с заданной скоростью v