Уравнения явного вида и неявного вида

Видео:Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводностиСкачать

Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводности

Явные и неявные функции

Определение.

Функция называется явной, если она задана формулой, правая часть которой не содержит зависимой переменной.

Такая функция имеет вид: Уравнения явного вида и неявного вида, т.е. переменная y выражается через х.

Например, Уравнения явного вида и неявного вида; Уравнения явного вида и неявного вида; Уравнения явного вида и неявного вида.

Определение.

Неявной функцией y независимой переменной х называется функция, значения которой находятся из уравнения, связывающего х и y и, не разрешенного относительно y.

Неявная функция имеет вид: Уравнения явного вида и неявного вида.

Например, Уравнения явного вида и неявного вида; Уравнения явного вида и неявного вида.

Замечание.

Термины «явная функция» и «неявная функция» характеризуют не природу функции, а способ ее задания.

Основные характеристики функции

Изучить функцию – это значит охарактеризовать ход ее изменения (ее поведение) при изменении независимой переменной. Характеризуют функцию по следующим свойствам:

1) четность или нечетность функции;

2) периодичность функции;

4) возрастание или убывание функции (монотонность функции);

5) ограниченность функции.

Рассмотрим эти характеристики.

Четные и нечетные функции

Определение.

Функция Уравнения явного вида и неявного виданазывается четной, если она не изменяет своего значения при изменении знака аргумента, т.е. Уравнения явного вида и неявного вида.

Например, Уравнения явного вида и неявного вида; Уравнения явного вида и неявного вида; Уравнения явного вида и неявного вида– четные функции.

График четной функции расположен симметрично относительно оси Уравнения явного вида и неявного вида(рис.1.4).

Уравнения явного вида и неявного вида

Определение.

Функция Уравнения явного вида и неявного виданазывается нечетной, если при изменении знака аргумента знак функции меняется на противоположный, а числовое значение её сохраняется, т.е. Уравнения явного вида и неявного вида.

Например, Уравнения явного вида и неявного вида; Уравнения явного вида и неявного вида– нечетные функции.

График нечетной функции расположен симметрично относительно начала координат (рис.1.5).

Уравнения явного вида и неявного вида

Функция может быть ни четной. ни нечетной, и в этом случае её называют функцией общего вида.

Например, Уравнения явного вида и неявного вида; Уравнения явного вида и неявного вида; Уравнения явного вида и неявного вида.

Графики таких функций не симметричны ни относительно оси Уравнения явного вида и неявного вида, ни относительно начала координат.

Периодические функции

Определение.

Функция Уравнения явного вида и неявного виданазывается периодической, если существует такое положительное число Уравнения явного вида и неявного вида, что Уравнения явного вида и неявного видав области определения функции.

Наименьшее из положительных чисел Т, удовлетворяющих условию определения, называется периодом функции Уравнения явного вида и неявного вида.

Например, функции Уравнения явного вида и неявного вида, Уравнения явного вида и неявного видаявляются периодическими с периодом Уравнения явного вида и неявного вида.

Нули функции

Определение.

Значение аргумента, при котором функция обращается в нуль, Уравнения явного вида и неявного вида, называется нулем функции.

Например, нулями функции Уравнения явного вида и неявного видаявляются значения Уравнения явного вида и неявного видаи Уравнения явного вида и неявного вида.

Монотонные функции

Определение.

Функция называется возрастающей (убывающей) в некоторой области изменения аргумента, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции (рис.1.6, 1.7).

Уравнения явного вида и неявного вида

Определение.

Если функция в некоторой области изменения аргумента является только возрастающей или только убывающей, то функция называется монотонной.

Ограниченные функции

Определение.

Функция Уравнения явного вида и неявного виданазывается ограниченной на множестве Х, если существует такое число Уравнения явного вида и неявного вида, что для всех Уравнения явного вида и неявного видавыполняется неравенство Уравнения явного вида и неявного вида.

Например, функции Уравнения явного вида и неявного видаи Уравнения явного вида и неявного вида– ограниченные функции, т.к. Уравнения явного вида и неявного видаи Уравнения явного вида и неявного видадля Уравнения явного вида и неявного вида.

График ограниченной функции лежит между прямыми Уравнения явного вида и неявного видаи Уравнения явного вида и неявного вида(рис.1.8).

Уравнения явного вида и неявного вида

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найти область определения следующих функций:

1) Уравнения явного вида и неявного вида; Ответ: Уравнения явного вида и неявного вида;

2) Уравнения явного вида и неявного вида; Ответ: Уравнения явного вида и неявного вида;

3) Уравнения явного вида и неявного вида; Ответ: Уравнения явного вида и неявного вида;

4) Уравнения явного вида и неявного вида; Ответ: Уравнения явного вида и неявного вида.

2. Найти множество значений функции:

1) Уравнения явного вида и неявного вида; Ответ: Уравнения явного вида и неявного вида;

2) Уравнения явного вида и неявного вида; Ответ: Уравнения явного вида и неявного вида;

3) Уравнения явного вида и неявного вида; Ответ: Уравнения явного вида и неявного вида.

3. Найти Уравнения явного вида и неявного вида, Уравнения явного вида и неявного вида, Уравнения явного вида и неявного вида, Уравнения явного вида и неявного вида, если Уравнения явного вида и неявного вида.

Ответ: Уравнения явного вида и неявного вида; Уравнения явного вида и неявного вида; Уравнения явного вида и неявного вида; Уравнения явного вида и неявного вида.

4. Пусть Уравнения явного вида и неявного видаи Уравнения явного вида и неявного вида. Найти Уравнения явного вида и неявного видаи Уравнения явного вида и неявного вида.

Ответ: Уравнения явного вида и неявного вида; Уравнения явного вида и неявного вида.

5. Установить чётность или нечётность функции:

1) Уравнения явного вида и неявного вида; Ответ: чётная;

2) Уравнения явного вида и неявного вида; Ответ: чётная;

3) Уравнения явного вида и неявного вида; Ответ: общего вида;

4) Уравнения явного вида и неявного вида; Ответ: нечётная.

6. Найти основные периоды функций:

1) Уравнения явного вида и неявного вида; Ответ: Уравнения явного вида и неявного вида;

2) Уравнения явного вида и неявного вида; Ответ: Уравнения явного вида и неявного вида;

3) Уравнения явного вида и неявного вида; Ответ: Уравнения явного вида и неявного вида.

7. Введя промежуточные аргументы, представить данную функцию, как суперпозицию других функций:

1) Уравнения явного вида и неявного вида; Ответ: Уравнения явного вида и неявного вида; Уравнения явного вида и неявного вида; Уравнения явного вида и неявного вида;

2) Уравнения явного вида и неявного вида; Ответ: Уравнения явного вида и неявного вида; Уравнения явного вида и неявного вида; Уравнения явного вида и неявного вида; Уравнения явного вида и неявного вида; Уравнения явного вида и неявного вида.

8. Для данных функций найти явные обратные:

1) Уравнения явного вида и неявного вида; Ответ: Уравнения явного вида и неявного вида;

2) Уравнения явного вида и неявного вида; Ответ: Уравнения явного вида и неявного вида;

3) Уравнения явного вида и неявного вида; Ответ: Уравнения явного вида и неявного вида.

Видео:11. Производная неявной функции примерыСкачать

11. Производная неявной функции примеры

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Содержание:

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Производная неявной функции.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Производная неявной функции.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

При решении многих задач математики, техники, экономики и других отраслей науки бывает трудно установить закон, связывающий искомые и известные переменные величины. Но удается установить связь между производными или дифференциалами этих переменных, которая выражается уравнениями или системами уравнений. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Термин «дифференциальное уравнение» введен в 1676 году В. Лейбницом.

Мы рассмотрим только уравнения с функциями одной переменной и обычными производными, которые называют обычными дифференциальными уравнениями.

Основные понятия о дифференциальных уравнениях

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и еепроизводные или дифференциалы разных порядков, то есть уравнение
Уравнения явного вида и неявного вида(7.1)

Важно понять, что искомая функция в дифференциальном уравнении входит под знак дифференциала или под знак производной.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной от неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение.

Так, уравнение y’ – 2 xy 2 + 5 = 0 является дифференциальным уравнением первого порядка, а уравнения y» + 2 y’ – y – sin x = 0 — дифференциальным уравнением второго порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения (7.1) называется такая функция y = φ (x), которая при подстановке в уравнение (7.1) превращает его в тождество.

Например, для дифференциального уравнения
y’- 2 x = 0 (7.2)
решением является функция y = x 2 . Найдем производную y’= 2x и подставим в уравнение, получим: 2x – 2x = 0, 0 ≡ 0.

Следует заметить, что y = x 2 не единственное решение уравнения. Это уравнение имеет бесконечное множество решений, которые можно записать так: y = x 2 + C.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и ее первую производную:
F (x, y, y’) = 0.
(7.3)

Поскольку производную можно записать в виде отношения дифференциалов, то в уравнение производная может не входить, а будут входить дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.

Если уравнение (7.2) решить относительно у’, то оно будет иметь вид:
y’= f (x, y) или Уравнения явного вида и неявного вида. (7.4)

Простые примеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесконечное множество решений. Это мы видим на примере уравнения (7.2). Легко убедиться также, что дифференциальное уравнение Уравнения явного вида и неявного видаимеет решениями функции y = Cx, а дифференциальное уравнение Уравнения явного вида и неявного вида— функции Уравнения явного вида и неявного видагде C — произвольное число.

Как видим, в решение указанных дифференциальных уравнений входит произвольное число C. Предоставляя постоянной C различные значения, будем получать различные решения дифференциального уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (7.3) называется функция
у = φ (х, С), (7.5)
которая зависит от одной произвольной постоянной и удовлетворяет дифференциальное уравнение при произвольном значении C.

Если функция (7.5) выражается неявно, то есть в виде
Ф (х, у, С) = 0, (7.6)
то (7.6) называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения (7.3) называется такое решение, которое получается из общего решения (7.5) при некотором конкретном значении постоянной C.

Ф (х, у, С0) называется частным интегралом дифференциального уравнения.

На практике при решении конкретных задач часто приходится находить не все решения, а решение, которое удовлетворяет определенным начальным условиям. Одной из таких задач является задача Коши, которая для дифференциального уравнения первого порядка формулируется так: среди всех решений дифференциального уравнения (7.3) найти такое решение y, которое при заданном значении независимой переменной x = x0 равна заданному значению y0 , то есть y (x0) = y0 или Уравнения явного вида и неявного вида(7.7)

Условие (7.7) называется начальным условием решения.

Покажем на примере, как найти частное решение дифференциального уравнения, когда известно общее решение и задано начальное условие.

Мы видим, что дифференциальное уравнение Уравнения явного вида и неявного видаимеет общее решение y = Cx. Зададим начальное условие Уравнения явного вида и неявного вида. Подставим эти значения в общее решение, получим 6 = 2С, откуда С = 3. Следовательно, функция y = 3x удовлетворяет и дифференциальное уравнение, и начальное условие.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (7.4) имеет
решение, дает теорема Коши.

ТЕОРЕМА (о существовании и единственности решения). Если функция f (x, y) и ее частная производная Уравнения явного вида и неявного вида определены и непрерывные в области G, которая содержит точку M0 (x0; y0) , то существует единственное решение y = φ (x) уравнения (7.4), которое удовлетворяет начальному условию: y (x0) = y0.

Теорема Коши дает достаточные условия существования единого решения дифференциального уравнения (7.4). Заметим, что в условии теоремы не требуется существования частной производной Уравнения явного вида и неявного вида.

График произвольного частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению отвечает семья кривых. Так мы проверили, что уравнение Уравнения явного вида и неявного видаимеет общее решение y = Cx, то ему соответствует семья прямых,
которые проходят через начало координат (рис. 1).

Уравнение Уравнения явного вида и неявного видаимеет общее решение, ему соответствует семья равносторонних гипербол (рис. 2).
Уравнения явного вида и неявного вида

Если задано начальное условие Уравнения явного вида и неявного видато это означает, что задана точка M0 (x0;y0), через которую должна проходить интегральная кривая, отвечающая искомому частному решению. Таким образом, отыскание частного решения дифференциального уравнения по заданному начальному условию геометрически означает, что из семьи
интегральных кривых мы выбираем проходящую через точку M0 (x0; y0).

Надо заметить, что нахождение решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения. При этом операцию интегрирования функций называют квадратурой.

Общего метода решения дифференциальных уравнений первого порядка не существует. Рассмотрим некоторые методы решения отдельных типов дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Определение. Уравнение вида
f1 (y) dy = f2 (x) dx,
(7.8)
где f1 (y) и f2 (x) — заданные функции, называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

В этом уравнении каждая из переменных находится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал. Уравнение dy = f (x) dx является частным случаем уравнения (7.8). Чтобы решить уравнение (7.8), надо проинтегрировать обе его части:
Уравнения явного вида и неявного вида.

Понятно, что произвольную постоянную С можно записывать в любой части равенства.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:
Уравнения явного вида и неявного вида, удовлетворяющее начальному условию Уравнения явного вида и неявного вида

Решение. Проинтегрируем левую и правую части уравнения, причем для удобства потенцирования, произвольную постоянную запишем в виде ln |C| получим:
Уравнения явного вида и неявного вида
Уравнения явного вида и неявного вида
Уравнения явного вида и неявного вида— это общее решение дифференциального уравнения.
Подставляя в общее решение начальное условие, найдем С: 2 = С.
Итак,
Уравнения явного вида и неявного видаявляется частным решением данного уравнения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Уравнение вида
f1 (x) f2 (y) + g1 (x) g2 (y) = 0
(7.9)
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

В этом уравнении переменные еще не разделены, но, поделив обе части уравнения на произведение f2 (y) g1 (x), получим уравнение с разделенными переменными:
Уравнения явного вида и неявного вида

Интегрируя это уравнение, запишем
Уравнения явного вида и неявного вида.

Получили общий интеграл данного уравнения.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
x (y + 1) dx – (x 2 + 1) ydy = 0.

Решение. Поделим обе части этого уравнения на (y + 1) (x 2 + 1), после чего получим
Уравнения явного вида и неявного вида.

Интегрируя, получим
Уравнения явного вида и неявного вида Уравнения явного вида и неявного видаУравнения явного вида и неявного вида
Уравнения явного вида и неявного вида— общий интеграл дифференциального уравнения.

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения (1 + x 2 ) dy + ydx = 0, удовлетворяющее начальному условию y (0) = 1.

Решение. Отделим переменные, поделив уравнение на y ⋅ (1 + x 2 ), и проинтегрируем данное уравнение:
Уравнения явного вида и неявного вида

Получили общий интеграл дифференциального уравнения.

Используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С:
ln 1 + arctg 0 = C, откуда C = 0.

Найденную постоянную подставим в общий интеграл и отыщем частное решение:
Уравнения явного вида и неявного видаоткуда Уравнения явного вида и неявного вида

Однородные дифференциальные уравнения

Определение. Функция двух переменных f (x, y) называется однородной n- го измерения, если выполняется условие
Уравнения явного вида и неявного вида

Например, f (x, y) = x 2 + y 2 , f (tx, ty) = t 2 f (x 2 + y 2 ) — однородная функция второго измерения.

Определение. Дифференциальное уравнение
y ‘= f (x, y) (7.10)
называется однородным, если функция f (x, y) однородная нулевого измерения.

Покажем, что это уравнение можно свести к уравнению с разделенными переменными.
Рассмотрим функцию f (tx, ty). Сделаем замену Уравнения явного вида и неявного видабудем иметь:
Уравнения явного вида и неявного вида
Тогда уравнение (7.10) запишется в виде Уравнения явного вида и неявного вида(7.11)
В общем случае переменные в однородном уравнение не разделяются сразу. Но, если ввести вспомогательную неизвестную функцию u = u (x) по формуле
Уравнения явного вида и неявного видаили y = xu, (7.12)
то мы сможем превратить однородное уравнение в уравнение с разделенными переменными.

Из формулы (7.12) найдем y’ = u + xu’ и уравнение Уравнения явного вида и неявного видапримет вид: u + xu’ = φ (u),
то есть Уравнения явного вида и неявного вида, откуда Уравнения явного вида и неявного вида.

После интегрирования получим Уравнения явного вида и неявного вида
Отсюда находим выражение для функции u, возвращаемся к переменной y = xu и получим решение однородного уравнения.

Чаще всего не удается найти функцию u явно выраженной, тогда, после интегрирования, в левую часть следует подставить Уравнения явного вида и неявного видавместо u.
В результате получим решение уравнения в неявном виде.

Пример 1. Найти решение однородного уравнения

Уравнения явного вида и неявного вида

Решение. Заменой y = xu сведем заданное уравнение к уравнению
Уравнения явного вида и неявного видаили Уравнения явного вида и неявного вида.

Отделяя переменные, найдем
Уравнения явного вида и неявного видаоткуда Уравнения явного вида и неявного видаили Уравнения явного вида и неявного вида, то есть
Уравнения явного вида и неявного вида.
Возвращаясь к переменной y, получим общее решение: Уравнения явного вида и неявного вида.

Линейные дифференциальные уравнения

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое содержит искомую функцию и ее производную в первой степени без их произведения:
y’ + P (x) y = Q (x). (7.13)

Здесь P (x), Q (x) — известные функции независимой переменной x. Например, y’ + 2 xy = x 2 .

Если Q (x) = 0, то уравнение (7.13) называется линейным однородным и является уравнением с разделяющимися переменными.

Если Q (x) ≠ 0, то уравнение (7.13) называется линейным неоднородным, которое можно решить несколькими способами.

Рассмотрим метод Бернулли, с помощью которого уравнение (7.13) можно свести к интегрированию двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

Решение дифференциального уравнения (7.13) ищем в виде y = u (x) v (x) или y = uv, (7.14)
где u (x), v (x) — неизвестные функции. Одну из этих функций можно взять произвольную, а другая определяется из уравнения (7.13).

Из равенства y = uv найдем производную y’:
y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.

Подставим y и y’ в уравнение (7.13):
u’v + uv’ + P (x) ⋅ u⋅ v = Q (x) или u’v + u (v’ + P (x) ⋅ v) = Q (x).

Выберем функцию v такой, чтобы v’ + P (x) v = 0. (7.15)
Тогда для отыскания функции u получим уравнение:
u’v = Q (x). (7.16)

Сначала найдем v из уравнения (7.15).
Отделяя переменные, имеем Уравнения явного вида и неявного вида, откуда
Уравнения явного вида и неявного вида

Под неопределенным интегралом здесь будем понимать какую-то одну первообразную от функции P (x), то есть v будет определенной функцией от x.

Зная v, находим u из уравнения (7.16):
Уравнения явного вида и неявного вида
откуда Уравнения явного вида и неявного вида

Здесь мы уже берем для u все первообразные.

Найденные функции u и v подставляем в (7.14) и получаем общее решение линейного дифференциального уравнения:
Уравнения явного вида и неявного вида(7.17)

При решении конкретных примеров проще выполнять эти выкладки, чем применять громоздкую формулу (7.17).

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение Уравнения явного вида и неявного вида.
Решение. Решение ищем в виде y = uv, тогда y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.
Подставим y и y’ в уравнение: Уравнения явного вида и неявного видаили
Уравнения явного вида и неявного вида. (7.18)

Выражение, стоящее в скобках, приравниваем к нулю, имеем
Уравнения явного вида и неявного видаили Уравнения явного вида и неявного вида

Отделим переменные, домножив обе части уравнения на Уравнения явного вида и неявного вида, тогда Уравнения явного вида и неявного вида.
После интегрирования, получим ln |v| = ln |x| (здесь ограничимся одной первообразной), откуда v = x.
Подставим v = x в уравнение (7.18):
Уравнения явного вида и неявного вида

Общее решение запишется:
y = x (x + C) = x 2 + Cx.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения Уравнения явного вида и неявного видакоторый удовлетворяет начальному условию y (0) = 0.

Решение. Заданное уравнение — это линейное неоднородное уравнение первого порядка, решение которого ищем в виде y = u⋅v.
Тогда Уравнения явного вида и неявного вида
Уравнения явного вида и неявного вида

Подставим v в уравнение и найдем u:
Уравнения явного вида и неявного вида

Общее решение дифференциального уравнения будет:
Уравнения явного вида и неявного вида

Подставляем начальные условия в найденное решение и находим С:
Уравнения явного вида и неявного вида

Из общего решения получаем частное решение
Уравнения явного вида и неявного вида.

Дифференциальное уравнение Бернулли

Определение. Уравнения вида
Уравнения явного вида и неявного вида(или Уравнения явного вида и неявного вида)
называется дифференциальным уравнением Бернулли.

Данное уравнение отличается от уравнения (7.13) только множителем (или ) в правой части. Для того, чтобы права часть данного уравнения была такой, как в (7.13), разделим его левую и праву часть на :
Уравнения явного вида и неявного вида

Сделаем замену: Уравнения явного вида и неявного видаУравнения явного вида и неявного вида
Домножим левую и правую части полученного уравнения на (n + 1) и, используя замену, получим:
Уравнения явного вида и неявного вида
Уравнения явного вида и неявного вида

Мы получили линейное дифференциальное уравнение относительно новой переменной Уравнения явного вида и неявного вида

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения xy’ + y = y 2 ln x.

Решение. Уравнения явного вида и неявного вида.
Сделаем замену Уравнения явного вида и неявного видаТогда Уравнения явного вида и неявного вида

Уравнения явного вида и неявного вида

Данное уравнение решим, сделав замену z = u (x) ⋅ v (x).
Уравнения явного вида и неявного вида

Выбираем функцию v (x) так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, и эта функция была бы частным решением уравнения
Уравнения явного вида и неявного вида

Тогда Уравнения явного вида и неявного вида.

Проинтегрировав правую часть этого уравнения по частям, получим Уравнения явного вида и неявного вида, а при y -1 = z = uv, имеем
Уравнения явного вида и неявного вида

Видео:Уравнения касательной и нормали к кривой, заданной в неявном видеСкачать

Уравнения касательной и нормали к кривой, заданной в неявном виде

Обыновенное дефференциальное уравнение

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется любое соотношение, связывающее независимую переменную Уравнения явного вида и неявного видаискомую функцию Уравнения явного вида и неявного видаи производные искомой функции Уравнения явного вида и неявного видадо некоторого порядка включительно.

Обыкновенное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду

Уравнения явного вида и неявного вида

Здесь Уравнения явного вида и неявного вида— известная функция, заданная в некоторой области Уравнения явного вида и неявного вида

Число Уравнения явного вида и неявного видат. е. наивысший из порядков производных, входящих в (1), называется порядком уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. уравнения, интегрируемые в квадратурах

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Основные понятия и определения

Понятие об уравнении первого порядка, разрешенном относительно производной. В соответствии со сказанным во введении, уравнение первого порядка имеет вид

Уравнения явного вида и неявного вида

В этой главе мы будем рассматривать уравнение, разрешенное относительно производной:

Уравнения явного вида и неявного вида

Наряду с этим уравнением мы всегда будем рассматривать перевернутое уравнение

Уравнения явного вида и неявного вида

используя последнее в окрестности тех точек, в которых Уравнения явного вида и неявного видаобращается в бесконечность.

Во многих случаях оказывается целесообразным «место уравнении (2) и (2′) рассматривать одно равносильное им дифференциальное уравнение

Уравнения явного вида и неявного вида

Обе переменные Уравнения явного вида и неявного видаи Уравнения явного вида и неявного видавходят в это уравнение уже равноправно, и любую из них мы можем принять за независимую переменную.

Умножая обе части уравнения (3) на некоторую функцию Уравнения явного вида и неявного видаполучаем более симметричное уравнение:

Уравнения явного вида и неявного вида

где Уравнения явного вида и неявного видаОбратно, всякое уравнение вида (4) можно переписать в виде уравнений (2) или (2′), разрешая его относительно Уравнения явного вида и неявного видаили Уравнения явного вида и неявного видатак что уравнение (4) равносильно следующим двум уравнениям:

Уравнения явного вида и неявного вида

Иногда уравнение записывают *з так называемой симметрической форме:

Уравнения явного вида и неявного вида

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Решение уравнения. Предположим, что правая часть уравнения (2), Уравнения явного вида и неявного видаопределена на некотором подмножестве Уравнения явного вида и неявного видавещественной плоскости Уравнения явного вида и неявного видаФункцию Уравнения явного вида и неявного видаопределенную в интервале Уравнения явного вида и неявного видамы будем называть решением уравнения (2) в этом интервале*, если:

  1. Существует производная Уравнения явного вида и неявного видадля всех значений Уравнения явного вида и неявного видаиз интервала Уравнения явного вида и неявного вида(Отсюда следует, что решение Уравнения явного вида и неявного видапредставляет собою функцию, непрерывную ею всей области определения).
  2. Функция Уравнения явного вида и неявного видаобращает уравнение (2) в тождество: Уравнения явного вида и неявного вида

справедливое для всех значений Уравнения явного вида и неявного видаиз интервала Уравнения явного вида и неявного видаЭто означает, что при любом Уравнения явного вида и неявного видаиз интервала Уравнения явного вида и неявного видаточка Уравнения явного вида и неявного видапринадлежит множеству Уравнения явного вида и неявного видаи Уравнения явного вида и неявного вида

Так как наряду с уравнением (2) рассматривается перевернутое уравнение (2′), то и решения Уравнения явного вида и неявного видаэтого перевернутого уравнения естественно присоединять к решениям уравнения (2).

В этом смысле в дальнейшем мы будем для краткости называть решения уравнения (2′) решениями уравнения (2).

Примеры с решением

Пример 1.

Уравнения явного вида и неявного вида

является решением уравнения

Уравнения явного вида и неявного вида

в интервале Уравнения явного вида и неявного видаибо она определена и дифференцируема в эгои интервале, и, подставляя се в уравнение (9), получаем тождество:

Уравнения явного вида и неявного вида

справедливое при всех значениях Уравнения явного вида и неявного вида

Пример 2.

Функция Уравнения явного вида и неявного видаесть решение равнения Уравнения явного вида и неявного видав интервале Уравнения явного вида и неявного вида

Пример 3.

Уравнения явного вида и неявного вида

является решением уравнения Уравнения явного вида и неявного вида

в интервале Уравнения явного вида и неявного вида

Иногда функцию Уравнения явного вида и неявного видаобращающую уравнение (2) в тождество (7), т. е. решение уравнения (2), называют интегралом этого уравнения. Мы будем употреблять термин интеграл только в смысле п. 16.

Видео:[Calculus | глава 6] Неявное дифференцирование — что здесь происходит?Скачать

[Calculus | глава 6] Неявное дифференцирование — что здесь происходит?

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

При решении многих задач нужно найти функции y1 = y1 (x), y2 = y2 (x), . yn = yn (x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих независимую переменную x , искомые y1 , y2 , . yn и их производные.

Пример. Пусть материальная точка массы m имеет криволинейную траекторию движения в пространстве. Определить положение точки в любой момент времени t, когда на нее действует сила Уравнения явного вида и неявного вида.

Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами x, y, z; следовательно, x, y, z являются функциями от t. Проекциями вектора скорости точки на оси координат будут производные x’ , y’ , z’.
Положим, что силаУравнения явного вида и неявного вида, а соответственно и ее проекции Fx, Fy, Fz зависят от времени t, от положения x, y, z точки и от скорости движения точки, то есть от Уравнения явного вида и неявного вида. Искомыми неизвестными функциями в этой задаче будут три функции x = x (t), y = y (t), z = z (t). Эти
функции определяются из уравнений динамики:
Уравнения явного вида и неявного вида

Мы получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае движения, когда траектория является плоской кривой, лежит, например, в плоскости Оxy, получим систему двух уравнений для определения неизвестных функций x (t) и y (t):
Уравнения явного вида и неявного вида

Рассмотрим простейшие системы дифференциальных уравнений.

Системы дифференциальных уравнений первого порядка

Система n уравнений первого порядка с n неизвестными функциями имеет вид:
Уравнения явного вида и неявного вида(7.38)

где x — независимая переменная, y1, y2, . yn — неизвестные функции.

Если в левой части уравнений системы стоят производные первого порядка, а правые части уравнений вовсе не содержат производных, то такая система уравнений называется нормальной.

Решением системы называется совокупность функций y1, y2, . yn, которые превращают каждое уравнение системы в тождество относительно x.

Задача Коши для системы (7.38) состоит в нахождении функций y1, y2, . yn , удовлетворяющих систему (7.38) и заданные начальные условия:
Уравнения явного вида и неявного вида(7.39)

Интегрирование системы (7.38) делают следующим образом. Дифференцируем по x первое уравнение системы (7.38):
Уравнения явного вида и неявного вида
Заменим производные
Уравнения явного вида и неявного видаих выражениями f1, f2, . fn из уравнений системы (7.38), получим уравнение
Уравнения явного вида и неявного вида
Дифференцируем полученное уравнение и, подставив в это равенство значения производных из системы (7.38), найдем
Уравнения явного вида и неявного вида
Продолжая дальше таким образом, получим
Уравнения явного вида и неявного вида
В результате получаем следующую систему уравнений:
Уравнения явного вида и неявного вида(7.40)

Из первых (n-1) уравнений определим y2, y3, . yn:
Уравнения явного вида и неявного вида(7.41)

и подставим их значения в последнее уравнение системы (7.40) для определения y1: Уравнения явного вида и неявного вида

Продифференцируем это выражение (n-1) раз, определим
Уравнения явного вида и неявного видакак функции от x, C1, C2, . Cn. Подставим эти функции в (7.41), найдем
Уравнения явного вида и неявного вида(7.43)

Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям, остается только найти значение произвольных постоянных из уравнений (7.42) и (7.43) так, как мы это делали для одного дифференциального уравнения.

Пример 1. Проинтегрировать систему
Уравнения явного вида и неявного вида
когда заданы начальные условия Уравнения явного вида и неявного вида
Решение. Дифференцируем по x первое уравнение, имеем:
Уравнения явного вида и неявного вида. Подставляем сюда значение Уравнения явного вида и неявного видаи Уравнения явного вида и неявного видаиз системы, получим Уравнения явного вида и неявного вида
Уравнения явного вида и неявного вида

Из первого уравнения системы найдем Уравнения явного вида и неявного видаи подставим в полученное нами уравнение:
Уравнения явного вида и неявного видаили Уравнения явного вида и неявного вида

Общим решением этого уравнения является
Уравнения явного вида и неявного вида (*)
и тогда Уравнения явного вида и неявного вида (**)

Подберем постоянные С1 и С2 так, чтобы выполнялись начальные условия. На основании (*) и (**) имеем:
1 = С1 – 9; 0 = С2 – 2С1 + 14, откуда С1 = 10, С2 = 6.
Таким образом, решением системы, которое удовлетворяет заданным начальным условиям, будет:
Уравнения явного вида и неявного вида

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Система дифференциальных уравнений:
Уравнения явного вида и неявного вида(7.44)
где коэффициенты aij — постоянные числа, t — независимая переменная, x1 (t), . xn (t)
неизвестные функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему можно решать путем сведения к одному уравнению n-го порядка, как это было показано выше. Но эту систему можно решить и другим способом. Покажем, как это делается.

Будем искать решение системы (7.44) в виде:
Уравнения явного вида и неявного вида(7.45)

Надо определить постоянные α1, α2, . αn и k так, чтобы функции (7.45) удовлетворяли систему (7.44). Подставим функции (7.45) в систему (7.44):
Уравнения явного вида и неявного вида

Сократим на e kt и преобразуем систему, сведя ее к такой системе:
Уравнения явного вида и неявного вида(7.46)

Это система линейных алгебраических уравнений относительно α1, α2, . αn. Составим определитель системы:
Уравнения явного вида и неявного вида

Мы получим нетривиальные (ненулевые) решения (7.45) только при таких k, при которых определитель превратится в ноль. Получаем уравнение n-го порядка для определения k:
Уравнения явного вида и неявного вида

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (7.44).

Рассмотрим отдельные случаи на примерах:

1) Корни характеристического уравнения действительны и различны. Решение системы записывается в виде:
Уравнения явного вида и неявного вида

Пример 2. Найти общее решение системы уравнений:
Уравнения явного вида и неявного вида

Решение. Составим характеристическое уравнение:
Уравнения явного вида и неявного видаили k 2 – 5k + 4 = 0, корни которого k1 = 1, k2 = 4.

Решение системы ищем в виде
Уравнения явного вида и неявного вида

Составим систему (7.46) для корня k1 и найдем Уравнения явного вида и неявного видаи Уравнения явного вида и неявного вида:
Уравнения явного вида и неявного видаили Уравнения явного вида и неявного вида

Откуда Уравнения явного вида и неявного видаПоложив Уравнения явного вида и неявного видаполучим Уравнения явного вида и неявного вида
Итак, мы получили решение системы:
Уравнения явного вида и неявного вида

Далее составляем систему (7.46) для k = 4:
Уравнения явного вида и неявного вида

Откуда Уравнения явного вида и неявного вида
Получим второй решение системы: Уравнения явного вида и неявного вида
Общее решение системы будет:
Уравнения явного вида и неявного вида

2) Корни характеристического уравнения различны, но среди них есть комплексные:

k1 = α + iβ, k2 = α – iβ. Этим корням будут отвечать решения:

Уравнения явного вида и неявного вида(7.47)

Уравнения явного вида и неявного вида(7.48)

Можно доказать также, что истинные и мнимые части комплексного решения также будут решениями. Таким образом, получим два частных решения:
Уравнения явного вида и неявного вида(7.49)
где Уравнения явного вида и неявного вида— действительные числа, которые определяются через Уравнения явного вида и неявного вида.

Соответствующие комбинации функций (7.49) войдут в общий решение системы.

Пример 3. Найти общее решение системы
Уравнения явного вида и неявного вида

Решение. Составляем характеристическое уравнение:
Уравнения явного вида и неявного видаили k 2 + 12k + 37 = 0, корни которого k1 = –6 + i, k2 = –6 – i .

Подставляем поочередно k1, k2 в систему (7.46), найдем
Уравнения явного вида и неявного вида

Запишем уравнение (7.47) и (7.48) для наших данных
Уравнения явного вида и неявного вида

Перепишем эти решения в таком виде:

Уравнения явного вида и неявного вида

За частные решения можно взять отдельно действительные и отдельно мнимые части:
Уравнения явного вида и неявного вида

Общим решением системы будет

Уравнения явного вида и неявного вида

Уравнения явного вида и неявного вида

Уравнения явного вида и неявного вида

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Уравнения явного вида и неявного видаУравнения явного вида и неявного вида

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

🎦 Видео

Производная неявной функцииСкачать

Производная неявной функции

14. Что такое параметрически заданная функция, производная параметрически заданной функции.Скачать

14. Что такое параметрически заданная функция, производная параметрически заданной функции.

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Математика Без Ху!ни. Производная функции, заданной параметрически.Скачать

Математика Без Ху!ни. Производная функции, заданной параметрически.

Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 класс

14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядкаСкачать

14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.

Математика Без Ху!ни. Производная сложной функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Производная сложной функции.

Неявные дифференциальные уравнения первого порядкаСкачать

Неявные дифференциальные уравнения первого порядка

Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.Скачать

Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.

Видеоурок "Параметрические уравнения прямой"Скачать

Видеоурок "Параметрические уравнения прямой"

Неявные функции, определяемые системой уравненийСкачать

Неявные функции, определяемые системой уравнений

27. Дифференцирование неявной функции двух переменныхСкачать

27. Дифференцирование неявной функции двух переменных

Первая и вторая производная неявной функцииСкачать

Первая и вторая производная неявной функции

Математический анализ, 31 урок, Дифференцирование сложных и неявных функцийСкачать

Математический анализ, 31 урок, Дифференцирование сложных и неявных функций
Поделиться или сохранить к себе: