Уравнение лапласа метод конечных элементов

Лекция 10. Метод конечных элементов. Плоская задача.

10.1. Содержание метода.Метод конечных элементов (МКЭ) представляет

собой эффективный численный метод решения инженерных и физических задач. Он широко применяется при проектировании судов, летательных аппаратов, несущих систем многоэтажных зданий и т.п. Для МКЭ характерна ясная физическая трактовка. Его можно рассматривать, в частности, как обобщение классического метода строительной механики – метода перемещений. С другой стороны, МКЭ является своеобразной формой часто применяемого вариационного метода Ритца. Различие между традиционной формой метода Ритца и МКЭ состоит в выборе системы координатных функций. Если в методе Ритца функции (обычно ряды) задаются для всей области, то в МКЭ они задаются для ее частей и через множество этих функций определяется состояние системы.

Классический подход к задаче об изучении напряженно-деформированного состояния диска предполагает изучение бесконечно малого его элемента. Получающиеся при этом дифференциальные уравнения в частных производных (равновесия и геометрические) совместно с физическими уравнениями и контурными условиями позволяют определить напряжения, деформации и перемещения в каждой точке диска.

МКЭ предполагает иной подход. Рассматривается элемент конечных размеров (КЭ), за счет чего осуществляется переход от сплошной системы с бесконечным числом степеней свободы, к системе с конечным числом степеней свободы.

Разделим воображаемыми линиями диск в условиях плоской задачи на некоторое количество элементов конечных размеров, например, треугольной формы и примем за узловые точки их вершины. Очевидно, что если диск находится в равновесии то и его элемент, определенный узлами i, j, k, под воздействием напряжений (усилий) от смежных элементов, также уравновешен. Приложим затем к этому элементу вместо фактических усилий, действующих вдоль его граней, статически эквивалентные узловые силы, т.е. силы, вызывающие внутри элемента действительное напряженно- деформированное состояние.

Поставив в соответствие каждому узловому усилию узловое перемещение, представим сплошной диск набором конечных элементов (КЭ), взаимодействующих между собой в конечном числе узловых точек.

Такой подход позволяет в дальнейшем использовать один из классических методов строительной механики, например метод перемещений (возможно также применение метода сил, либо смешанного). Для этого необходимо установить матрицы жесткости всех КЭ и, из условия равновесия узлов, получить разрешающие уравнения задачи. Найденные узловые перемещения не дают полной характеристики напряженно-деформированного состояния диска. Необходим переход от этих величин к перемещениям, напряжениям и деформациям внутри конечных элементов, т.е. речь идет о решении плоской задачи для каждого КЭ, находящегося под воздействием узловых перемещений. Такой переход в МКЭ осуществляется приближенно, путем задания интерполяционных (координатных) функций (функций формы), что и делает метод приближенным. Функции эти (обычно полиномы) такие, что обеспечивают неразрывность перемещений при переходе от одного элемента к другому. Функции формы однозначно определяют перемещения внутри элемента через узловые перемещения.

Естественно, что при реализации МКЭ возникает необходимость приведения действующих на конструкцию нагрузок к сосредоточенным узловым силам.

Обычно все зависимости, связанные с КЭ , строятся в местной системе координат, с последующим переходом в общую систему для всей области. Это позволяет заранее получить необходимые соотношения для часто применяемых типов КЭ.

Видео:Основы метода конечных элементов. Часть 3. Основные уравнения теории упругости в МКЭСкачать

Основы метода конечных элементов. Часть 3. Основные уравнения теории упругости в МКЭ

Алгоритм решения задач по МКЭ содержит следующие этапы:

1. Дискретизация — разбиение заданной области на КЭ; нумерация узлов и КЭ.

2. Аппроксимация перемещений узлов в КЭ.

3. Построение матриц жесткости (МЖ) конечных элементов.

4. Построение глобальной матрицы жесткости общей системы уравнений.

5. Сведение нагрузок и воздействий, приложенных к КЭ, к узловым силам, учет условий закрепления.

6. Решение общей системы уравнений.

7. Определение напряжений и (при необходимости) деформаций в КЭ.

Дискретизация области.Разбиение области на подобласти представляет собой первый шаг на пути к решению задачи, и именно этот шаг не имеет теоретического обоснования. Искусство разбиения области зависит от имеющихся инженерных навыков. Плохое или несовершенное разбиение будет приводить к ошибочным результатам, если даже остальные этапы метода осуществляются с достаточной точностью.

Дискретизация области ( тела ) включает задание числа, размеров и формы подобластей, которые используются для построения дискретной модели реального тела. При этом, с одной стороны, элементы должны быть выбраны достаточно малыми, чтобы получить приемлемые результаты, а с другой стороны, применение достаточно крупных элементов сокращает вычислительную работу.

При решении задач по МКЭ используются элементы различных типов, в основном трехузловые треугольные КЭ, как наиболее простые и чаще других применяемые для решения плоской задачи.

Видео:Основы метода конечных элементов. Часть 1. Идея МКЭ в задачах конструкционного анализаСкачать

Основы метода конечных элементов. Часть 1. Идея МКЭ в задачах конструкционного анализа

Разбиение области на элементы.Процесс дискретизации может быть разделен на 2 этапа: разбиение тела на элементы и нумерация элементов и узлов. При разбиении любой двумерной области на элементы сначала тело делится на четырехугольные и треугольные подобласти или зоны, которые затем подразделяются на треугольники. Границы между подобластями должны проходить там, где изменяются геометрия, приложенная нагрузка или свойства элементов.

Наиболее просто можно разбить треугольную подобласть на элементы, если выбрать определенное число узлов вдоль каждой стороны, соединить соответствующие узлы прямыми линиями и точки пересечений этих линий считать узлами.

Четырехугольные зоны обычно разбивают на элементы соединением узлов на противоположных сторонах. Пересечения линий определяют внутренние узловые точки. Внутренние четырехугольники могут расматриваться как элементы или могут быть разбиты на треугольные элементы проведением короткой диагонали в каждом внутреннем четырехугольнике.

Треугольная и четырехугольная зоны могут иметь общую границу. Число узлов на этой границе для обеих зон должно быть одинаковым и относительное положение узлов должно совпадать.

В задачах МДТТ необходимо отметить узлы, которые имеют известные перемещения. Для обозначения неподвижных узлов применяется символ неподвижного шарнира. Если узел может перемещаться только в одном направлении, используется символ подвижного шарнира. Учет узловых условий такого типа осуществляется путем видоизменения общей системы уравнений, решение которой определяет узловые перемещения.

Нумерация узлов. Нумерация узлов влияет на эффективность вычислений, необходимых для получения решения. Использование МКЭ приводит к системе линейных алгебраических уравнений, большее число коэффициентов которой равно нулю. Рассмотрение матрицы коэффициентов системы показывает, что все ненулевые коэффициенты и некоторые нулевые находятся между двумя линиями, параллельными главной диагонали. Расстояние между главной диагональю и этими линиями называется шириной полосы матрицы. Все коэффициенты вне этой полосы равны нулю и они не должны сохраняться в памяти ЭВМ. Правильная вычислительная схема использует только те коэффициенты матрицы, которые находятся внутри указанной полосы. Уменьшение ширины полосы приводит к сокращению времени вычислений.

Ширина полосы B вычисляется по формуле

где R – максимальная по элементам величина наибольшей разности между номерами узлов в отдельном элементе; Q — число неизвестных (число степеней свободы в каждом узле). Минимизация величины В связана с минимизацией R, что может быть осуществлено последовательной нумерацией узлов при движении в направлении наименьшего размера тела против часовой стрелки. Правильная нумерация узлов экономит машинную память более чем на 60%, хотя не влияет на вычислительные аспекты задачи.

Построение градиентной матрицы.Для плоского КЭ «e» в форме треугольника с вершинами i, j, k с узловыми координатами соответственно ( Уравнение лапласа метод конечных элементов, Уравнение лапласа метод конечных элементов), ( Уравнение лапласа метод конечных элементов, Уравнение лапласа метод конечных элементов), ( Уравнение лапласа метод конечных элементов, Уравнение лапласа метод конечных элементов), перемещения каждого узла в направлении осей x и y имеют две компоненты u и v.

Уравнение лапласа метод конечных элементов= Уравнение лапласа метод конечных элементов, (10.2)

а для трех узлов i, j, k шесть компонент образуют вектор перемещений внутри КЭ «e»:

Уравнение лапласа метод конечных элементов= Уравнение лапласа метод конечных элементов= Уравнение лапласа метод конечных элементов(10.3)

Простейшими интерполяционными функциями являются линейные полиномы

u= Уравнение лапласа метод конечных элементов+ Уравнение лапласа метод конечных элементов

v= Уравнение лапласа метод конечных элементов+ Уравнение лапласа метод конечных элементов(10.4)

Значения шести постоянных Уравнение лапласа метод конечных элементов÷ Уравнение лапласа метод конечных элементовможно найти их двух систем, каждая из которых состоит из трех уравнений, полученных в результате подстановки в (10.4) узловых координат и приравнивания перемещений соответствующим узловым перемещениям.

Система уравнений для перемещений u узлов i, j, k:

Уравнение лапласа метод конечных элементов= Уравнение лапласа метод конечных элементов+ Уравнение лапласа метод конечных элементов;

Уравнение лапласа метод конечных элементов= Уравнение лапласа метод конечных элементов+ Уравнение лапласа метод конечных элементов; (10.5)

Уравнение лапласа метод конечных элементов= Уравнение лапласа метод конечных элементов+ Уравнение лапласа метод конечных элементов;

позволяет определить коэффициенты Уравнение лапласа метод конечных элементов, Уравнение лапласа метод конечных элементов, Уравнение лапласа метод конечных элементовпо правилу Крамера через определители:

Уравнение лапласа метод конечных элементов; Уравнение лапласа метод конечных элементов; Уравнение лапласа метод конечных элементов,

Видео:Метод конечных элементов (Часть 1) | Пример реализации для уравнения теплопроводностиСкачать

Метод конечных элементов (Часть 1) | Пример реализации для уравнения теплопроводности

где — площадь треугольника ijk, удвоенное значение которой равно определителю

2∆=det Уравнение лапласа метод конечных элементов= Уравнение лапласа метод конечных элементов. (10.6)

После подстановки Уравнение лапласа метод конечных элементов, Уравнение лапласа метод конечных элементов, Уравнение лапласа метод конечных элементовв первое уравнение (10.4), получим

u= Уравнение лапласа метод конечных элементов, (10.7)

где коэффициенты определяются через координаты узлов КЭ:

Уравнение лапласа метод конечных элементов; Уравнение лапласа метод конечных элементов; Уравнение лапласа метод конечных элементов= Уравнение лапласа метод конечных элементов. (10.8)

Остальные коэффициенты получаются циклической перестановкой индексов i, j, k.

Аналогично можно представить перемещение v, пользуясь вторым уравнением (10.4):

v= Уравнение лапласа метод конечных элементов. (10.9)

Вектор перемещений внутри КЭ «e»принимает вид

Уравнение лапласа метод конечных элементов= Уравнение лапласа метод конечных элементов= Уравнение лапласа метод конечных элементов, (10.10)

где функции формы Уравнение лапласа метод конечных элементов, Уравнение лапласа метод конечных элементов, Уравнение лапласа метод конечных элементов, входящие в матрицу формы Уравнение лапласа метод конечных элементов, определяются зависимостями:

Уравнение лапласа метод конечных элементовУравнение лапласа метод конечных элементов

Выбранная функция перемещений автоматически гарантирует неразрывность (совместность) перемещений между смежными КЭ, т.к. вдоль любой стороны треугольника они изменяются линейно; следовательно, из равенства перемещений в узлах следует их равенство по всей границе.

Вектор полной деформации в любой точке КЭ характеризуется тремя составляющими Уравнение лапласа метод конечных элементов, Уравнение лапласа метод конечных элементов, Уравнение лапласа метод конечных элементов, которые связаны с перемещениями геометрическими соотношениями Коши:

Уравнение лапласа метод конечных элементов= Уравнение лапласа метод конечных элементов= Уравнение лапласа метод конечных элементов. (10.11)

Подставляя (10.10) в (10.11) получим

Уравнение лапласа метод конечных элементов

Уравнение лапласа метод конечных элементов

Матрица Уравнение лапласа метод конечных элементовназывается градиентной. Ее элементы не зависят от координат точки изнутри элемента, следовательно, деформации в нем постоянны.

Матрица напряжений.Для упругого изотропного материала физические соотношения т.е. зависимости между напряжениями и деформациями, в данном случае закон Гука, линейны и определяются уравнениями:

Уравнение лапласа метод конечных элементов

где Уравнение лапласа метод конечных элементов̶ матрица упругости, содержащая упругие постоянные материала. Для изотропного материала в случае обобщенного плоского напряженного состояния ОПНС :

Уравнение лапласа метод конечных элементов

где 𝐸 ‒модуль упругости; 𝜇 ‒ коэффициент Пуассона.

Используя (10.12) и (10.13), напряжения в КЭ 𝑒можно выразить через перемещения его узлов

Уравнение лапласа метод конечных элементов

где матрица Уравнение лапласа метод конечных элементовназывается матрицей напряжений:

Уравнение лапласа метод конечных элементов

10.2. Матрица жесткости треугольного конечного элемента.МКЭ удобно трактовать как обобщение методов строительной механики стержневых систем на расчет систем континуальных. Тогда он легко распространяется и на комбинированные системы, т.е. системы, содержащие элементы различной мерности. В отличие от стержневых систем, для континуальных систем, в частности, плоской задачи, метод является приближенным.

Матрица жесткости Уравнение лапласа метод конечных элементовконечного элемента 𝑒 (𝑖𝑗𝑘)устанавливает соответствие между узловыми силами и перемещениями по направлению этих сил. Матрица Уравнение лапласа метод конечных элементовосредненно характеризует жесткостные свойства среды в объеме -го конечного элемента, а вектор Уравнение лапласа метод конечных элементов‒ приходящееся на этот элемент внешнее воздействие. Известно, что решение плоской задачи эквивалентно отысканию функций Уравнение лапласа метод конечных элементови Уравнение лапласа метод конечных элементов, удовлетворяющих на контуре краевым условиям и минимизирующих функционал

Видео:Метод конечных элементов. Основы 1.1.1 - ВведениеСкачать

Метод конечных элементов. Основы 1.1.1 - Введение

где энергия деформации 𝑈 определяется выражением (в соответствии с формулой Клапейрона):

Уравнение лапласа метод конечных элементов

Энергия деформации 𝑈 для КЭ 𝑒, с учетом матричного представления и полученных ранее соотношений

Уравнение лапласа метод конечных элементов

Уравнение лапласа метод конечных элементов

Напомним, что транспонирование произведения двух матриц выполняется по формуле (лк.1 ЧМ ч.1):

Уравнение лапласа метод конечных элементов

Работа 𝐴, совершаемая приложенными силами, может быть разделена на три части:

‒ работа Уравнение лапласа метод конечных элементовсовершаемая внешними сосредоточенными силами в узлах;

‒работа Уравнение лапласа метод конечных элементов, совершаемая распределенными поверхностными силами Уравнение лапласа метод конечных элементовприложенными на гранях КЭ;

‒работа Уравнение лапласа метод конечных элементов, выполняемая объемными силами 𝑋, 𝑌.

Работу Уравнение лапласа метод конечных элементовлегко определить, если в каждой точке приложения сосредеточенной силы поместить узел.

Поверхностные и объемные силы можно также привести к узловым. Тогда

𝐴 = Уравнение лапласа метод конечных элементов= Уравнение лапласа метод конечных элементов.

При этом выражение для полной потенциальной энергии для КЭ принимает вид:

Уравнение лапласа метод конечных элементов

Уравнение лапласа метод конечных элементов

Чтобы согласно вариационному принципу Лагранжа минимизировать величину Уравнение лапласа метод конечных элементов, необходимо продифференцировать выражение (10.18) по Уравнение лапласа метод конечных элементови результат приравнять нулю:

Уравнение лапласа метод конечных элементов

Здесь использованы известные из векторной алгебры формулы дифференцирования произведения матриц по вектору Уравнение лапласа метод конечных элементов:

Уравнение лапласа метод конечных элементов

Теперь матрица жесткости элемента 𝑖𝑗𝑘 определяется так:

Уравнение лапласа метод конечных элементов

Отметим единообразие выражений для матриц жесткости стержневых и плоских (10.20) КЭ.

Если толщина Уравнение лапласа метод конечных элементовэлемента 𝑒 постоянна, то:

Уравнение лапласа метод конечных элементов= Уравнение лапласа метод конечных элементовh∆ ,(10.21)

где: Δ ‒ площадь КЭ; Уравнение лапласа метод конечных элементов‒ его объем.

Матрица жесткости является симметричной и имеет блочную структуру:

Уравнение лапласа метод конечных элементов= Уравнение лапласа метод конечных элементов

где Уравнение лапласа метод конечных элементов‒ квадратная симметричная подматрица порядка 𝑚 (𝑚 ‒ число компонент перемещений в узле), элементами которой являются реактивные усилия в связях, наложенных на узел 𝑟, вызванные единичными перемещениями Уравнение лапласа метод конечных элементови Уравнение лапласа метод конечных элементовузла 𝑠.

Реактивные усилия в связях, наложенных на узлы 𝑖, 𝑗, 𝑘, вызванные перемещениями Уравнение лапласа метод конечных элементоввсех узлов, равны:

Уравнение лапласа метод конечных элементов

так, например, Уравнение лапласа метод конечных элементов— реактивные усилия в связях, наложенных на узел 𝑖, вызванные перемещениями Уравнение лапласа метод конечных элементоввсех узлов

При ОПНС подматрицы имеют второй порядок и определяются следующим образом:

Уравнение лапласа метод конечных элементов

где Уравнение лапласа метод конечных элементови Уравнение лапласа метод конечных элементов‒ блоки градиентной матрицы Уравнение лапласа метод конечных элементов:

Уравнение лапласа метод конечных элементов; Уравнение лапласа метод конечных элементов

Такая форма записи удобна для компьютерных вычислений.

Видео:Метод конечных элементов. Как получить матрицу жесткости. Начало.Скачать

Метод конечных элементов. Как получить матрицу жесткости. Начало.

Узловые силы, связанные с объемными силами X и Y (проекции их интенсивностей на оси x и y), определяются выражениями:

Уравнение лапласа метод конечных элементовdxdy ,

Уравнение лапласа метод конечных элементов

Уравнение лапласа метод конечных элементов= — Уравнение лапласа метод конечных элементов, и т.д.

Т.к. функции формы матрицы Уравнение лапласа метод конечных элементовзависят от переменных x и y, надо интегрировать выражение Уравнение лапласа метод конечных элементов. Если за начало координат выбрать центр тяжести КЭ, то

Уравнение лапласа метод конечных элементов= — Уравнение лапласа метод конечных элементов∆/3 (10.26)

Узловые силы, вызванные поверхностными нагрузками Уравнение лапласа метод конечных элементови Уравнение лапласа метод конечных элементов,равны:

Уравнение лапласа метод конечных элементов

Отметим, что задача о напряженно-деформированном состоянии плоского КЭ решена путем приближенного задания функций формы. Поэтому и метод является приближенным. Увеличить точность решения можно либо путем увеличения числа КЭ, на которое разбивается область Ω, либо путем увеличения числа узловых точек, т.е. числа степеней свободы для каждого из КЭ (последнее путем повышения степени интерполирующего полинома).

10.3. Построение глобальной матрицы жесткости. Поскольку полная потенциальная энергия (функционал) для рассматриваемой области Уравнение лапласа метод конечных элементовможет быть представлен суммой всех КЭ

Уравнение лапласа метод конечных элементов

то, минимизируя этот функционал, получим следующую общую систему уравнений:

Уравнение лапласа метод конечных элементов, Уравнение лапласа метод конечных элементов

где Уравнение лапласа метод конечных элементов– вектор, содержащий перемещения всех узлов рассматриваемой области Уравнение лапласа метод конечных элементов:

Уравнение лапласа метод конечных элементов

Уравнение лапласа метод конечных элементов

Уравнения (10.28) являются, по сути, уравнениями равновесия. Поскольку координатные функции в методе конечных элементов отличны от нуля только на ограниченной области Уравнение лапласа метод конечных элементов, определяемой звездой конечных элементов, содержащих узел Уравнение лапласа метод конечных элементов, то глобальная матрица жесткости оказывается ленточной.

Уравнение лапласа метод конечных элементов

Пусть Уравнение лапласа метод конечных элементов– типовой узел расчетной схемы области Уравнение лапласа метод конечных элементов.

Перемещение любого узла одного из Уравнение лапласа метод конечных элементовконечных элементов, входящих в этот узел, приведет к возникновению реакции Уравнение лапласа метод конечных элементовв связях, наложенных на узел Уравнение лапласа метод конечных элементов.

Уравнение лапласа метод конечных элементов

Для показанного на рис. 1 конечного элемента Уравнение лапласа метод конечных элементов, Уравнение лапласа метод конечных элементов. Вектор реакций можно записать в виде:

Уравнение лапласа метод конечных элементов

Из условий равновесия узла Уравнение лапласа метод конечных элементовследует:

Уравнение лапласа метод конечных элементов

где Уравнение лапласа метод конечных элементов– вектор внешних сил, приложенных к узлу Уравнение лапласа метод конечных элементов, который может формироватся за счет объемных сил, теплового воздействия , а для контурных КЭ – и поверхностных сил.

Вектор Уравнение лапласа метод конечных элементовможно представить и так:

Уравнение лапласа метод конечных элементов

где Уравнение лапласа метод конечных элементов– число узлов конечных элементов Уравнение лапласа метод конечных элементов;

Уравнение лапласа метод конечных элементов– блок матрицы жесткости Уравнение лапласа метод конечных элементов; первый индекс блока определяется порядковым номером узла Уравнение лапласа метод конечных элементов, а второй – порядковым номером вектора узловых перемещений Уравнение лапласа метод конечных элементов, влияния которого учитывается.

Из подстановки (10.32) в (10.31) следует

Уравнение лапласа метод конечных элементов

где Уравнение лапласа метод конечных элементов– матрица жесткости всего диска.

Уравнение лапласа метод конечных элементов– вектор узловых сил, эквивалентных внешней нагрузке.

Линейные алгебраические уравнения типа (10.33) составляются для всех узлов расчетной схемы области Уравнение лапласа метод конечных элементови образуют систему уравнений для определения узловых перемещений Уравнение лапласа метод конечных элементов.

Из матрицы жесткости исключаются те строки и столбцы (а из грузового вектора – элементы), номера которых отвечают узловым связям, наложенный на диск. Обычно, для упрощения индексации, размерность исходной матрицы сохраняют. В случае, если например Уравнение лапласа метод конечных элементов(т.е. опорная связь жесткая и неподвижная), то Уравнение лапласа метод конечных элементовстолбец и строка, а также Уравнение лапласа метод конечных элементовэлемент грузового вектора заполняется нулями , а диагональный – приравнивается единице.

Реакция Уравнение лапласа метод конечных элементовв наложенной связи, исключавшей перемещение Уравнение лапласа метод конечных элементовможно найти по формуле

Уравнение лапласа метод конечных элементов

После определения вектора Уравнение лапласа метод конечных элементоввычисление напряжений и деформации конечных элементах не вызывает затруднений.


источники:

🎬 Видео

Основы метода конечных элементов. Часть 2. Функции формы конечного элементаСкачать

Основы метода конечных элементов. Часть 2. Функции формы конечного элемента

Метод конечных элементов. КЭ в Лира-СапрСкачать

Метод конечных элементов. КЭ в Лира-Сапр

МКЭ. Метод конечных элементов. Матрица жесткости для ферменного КЭ.Скачать

МКЭ. Метод конечных элементов. Матрица жесткости для ферменного КЭ.

Вычислительная гидродинамика (ВГД). Уравнение Рейнольдса и метод конечных объемовСкачать

Вычислительная гидродинамика (ВГД). Уравнение Рейнольдса и метод конечных объемов

Метод конечных элементов. Основы 1.1.3 - Метод ГалеркинаСкачать

Метод конечных элементов. Основы 1.1.3 - Метод Галеркина

Метод конечных элементов (FEM) vs метод контрольного объёма (FVM). В чём разница?Скачать

Метод конечных элементов (FEM) vs метод контрольного объёма (FVM). В чём разница?

6-2. Метод сетокСкачать

6-2. Метод сеток

Метод конечных элементов. Основы 1.1.2 - Метод коллокацийСкачать

Метод конечных элементов. Основы 1.1.2 - Метод коллокаций

Основы метода конечных элементов. Расчёт элементов фермСкачать

Основы метода конечных элементов. Расчёт элементов ферм

Метод конечных элементов. Основы 1.2.2 - Сборка матриц жесткости. Глобальная матрица жесткостиСкачать

Метод конечных элементов. Основы 1.2.2 - Сборка матриц жесткости. Глобальная матрица жесткости

Олегу Тинькову запрещён вход на Мехмат МГУСкачать

Олегу Тинькову запрещён вход на Мехмат МГУ

МКЭ. Метод конечных элементов. Применение в инженерной практике.Скачать

МКЭ. Метод конечных элементов. Применение в инженерной практике.

Метод Лапласа решения ДУСкачать

Метод Лапласа решения ДУ
Поделиться или сохранить к себе: