Линии их уравнения линии первого порядка

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 1. Уравнение с угловым коэффициентом.

03.9.2. Линии первого порядка

К линиям первого порядка относятся те линии, для кото­рых задающее их уравнение (3.9) содержит переменные X и у только в первой степени. Иными словами, такие линии описы­ваются уравнениями вида

Линии их уравнения линии первого порядка

Где А, В и С — постоянные числа. Из этого уравнения можно выразить переменную У как функцию от аргумента Х При В ≠ 0:

Линии их уравнения линии первого порядка

Уравнение (3.11) называют Уравнением прямой с угловым ко­эффициентом K = tg φ, где φ — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох (рис. 3.9). Если K = 0, то прямая параллельна оси Ох и отстоит от нее на B масштабных единиц.

Линии их уравнения линии первого порядка

Определим самые необходимые элементы знания о прямых на плоскости.

1. Кроме «классического» уравнения прямой (3.11) следует знать еще две его разновидности. Первая из них — это уравне­ние прямой с заданным угловым коэффициентом K, проходящей через заданную точку М0(X0, У0):

Линии их уравнения линии первого порядка

Другой вид — это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости M1(X1, Y1) и М22, у2):

Линии их уравнения линии первого порядка

2. Угол между прямыми. Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями У = K1X + B1 и У = K2X + B2, где K1 = tg φ1 И K2 = tg φ2 (рис. 3.10). Пусть φ угол между этими прямы­ми. Тогда φ = φ2φ1 и мы получаем tg φ = tg (φ2φ1) = Линии их уравнения линии первого порядкаИли, что то же самое,

Линии их уравнения линии первого порядка

Линии их уравнения линии первого порядка

Формула (3.12) определяет один из углов между пересекающи­мися прямыми; второй угол равен πφ.

Из равенства (3.12) вытекают условия параллельности и перпендикулярности прямых. В самом деле, если прямые па­раллельны, то

Линии их уравнения линии первого порядка

Если прямые перпендикулярны, то α2 = π/2 + α1, откуда tg α2 = — ctg α1 = -1 / tg α1, или окончательно

Линии их уравнения линии первого порядка

Пример 1. Найти угол между прямыми, заданными уравне­ниями У = 2X — 5 и У = -3X + 4.

Решение. Подставляя в формулу (3.12) значения K1 = 2 и K2 = -3, имеем

Линии их уравнения линии первого порядка

Откуда получаем, что один из углов равен φ = π / 4.

3. Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая за­дана уравнением общего вида (3.10). Тогда расстояние D От произвольной точки М0(X0, Y0) до прямой (рис. 3.11) дается формулой

Видео:Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.Скачать

Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.

Алгебраические уравнения линий на плоскости

Напомним, что многочленом степени одной переменной называется выражение вида

где — действительные числа (коэффициенты многочлена), — старший коэффициент, — свободный член. Степень многочлена обозначается .

Многочленом двух переменных называется выражение вида

где — действительные числа (коэффициенты многочлена), и — целые неотрицательные числа. Число

называется степенью многочлена двух переменных.

Алгебраической линией на плоскости называется множество точек, которое в какой-либо аффинной системе координат может быть задано уравнением вида

где — многочлен двух переменных и .

Уравнение вида (3.4) называется алгебраическим уравнением с двумя неизвестными. Степенью уравнения (3.4) называется степень многочлена . Одна и та же линия может быть задана уравнением вида (3.4) с многочленами разных степеней. Порядком алгебраической линии называется наименьшая из степеней этих многочленов.

Всякую неалгебраическую линию называют трансцендентной.

В примере 3.1,а,б,в,г,е — линии алгебраические: а — первого порядка, б,в,г,е — второго порядка. Примером трансцендентной линии служит синусоида, т.е. график функции . Эту линию нельзя задать уравнением вида (3.4).

Видео:Аналитическая геометрия, 7 урок, Линии второго порядкаСкачать

Аналитическая геометрия, 7 урок, Линии второго порядка

Теорема (3.1) об инвариантности порядка алгебраической линии

Если в некоторой аффинной системе координат на плоскости линия задана уравнением (3.4), то и в любой другой аффинной системе координат эта линия задается уравнением того же вида (3.4) и той оке степени.

Действительно, пусть в аффинной системе координат уравнение имеет вид (3.4):

Получим уравнение этой линии в другой (новой) аффинной системе координат . Старые координаты точки связаны с новыми ее координатами выражениями (2.8):

где — координаты вектора переноса начала координат , а — элементы матрицы перехода базиса к новому . Подставим эти выражения в одночлен :

Раскрывая скобки, получаем многочлен двух переменных , степень которого не больше, чем . Аналогичные многочлены получим из других одночленов, входящих в левую часть (3.4). Сложив эти многочлены, получим многочлен , степень которого не превосходит степени исходного многочлена . Таким образом, при замене системы координат порядок алгебраической линии не увеличивается. Но он не может и уменьшиться, так как если порядок уменьшится при переходе к новой системе координат, то он должен увеличиться при обратном переходе к старой системе координат. Следовательно, порядок алгебраической линии остается неизменным в любой аффинной системе координат (говорят, что порядок алгебраической линии является инвариантом). Теорема доказана.

В аналитической геометрии на плоскости изучаются:

– алгебраические линии первого порядка, описываемые алгебраическим уравнением первой степени с двумя неизвестными:

– алгебраические линии второго порядка, описываемые алгебраическим уравнением второй степени с двумя неизвестными:

1. Теорема 3.1 фактически выражает свойство многочленов: при линейной невырожденной замене переменных

где , степень многочлена не изменяется.

Действительно, преобразование уравнения при переходе от одной системы координат к другой соответствует линейной невырожденной замене переменных многочлена в левой части уравнения.

2. Алгебраическое уравнение (3.4) может не иметь действительных решений. Например, на плоскости нет точек, координаты которых удовлетворяют уравнению . Однако в области комплексных чисел, согласно основной теоремы алгебры, любое алгебраическое уравнение имеет решения. Поэтому каждое алгебраическое уравнение (3.4) , где и , задает некоторую алгебраическую линию на двумерной комплексной плоскости (см. пункт 2 замечаний 2.9). Если все точки этой линии вещественные (действительные), т.е. , а , то линию называют вещественной (действительной). В противном случае линию называют мнимой.

3. Алгебраическими неравенствами с двумя неизвестными называются неравенства вида

где — многочлен двух переменных и . Степенью алгебраического неравенства называется степень многочлена .

4. Многочлены первой степени и алгебраические уравнения (неравенства) первой степени называются линейными.

5. Многочлен второй степени

называется также квадратичной функцией двух переменных; многочлен называется квадратичной формой (квадратичной частью функции), многочлен — линейной формой (линейной частью функции), коэффициент — свободным членом. По сравнению со стандартной записью многочлена некоторые коэффициенты квадратичной функции удвоены для удобства выполнения алгебраических преобразований.

6. Квадратичную функцию можно записать:

где — матрица квадратичной функции; расширенный (дополненный единицей)
столбец переменных;

б) выделяя квадратичную и линейную части:

7. Многочлены второй степени и алгебраические уравнения (неравенства) второй степени называются квадратичными (квадратными).

8. Линии, задаваемые системой алгебраических уравнений и неравенств, называются полуалгебраическими. Например, уравнение задает на координатной плоскости полуалгебраическую линию:

9. Теорема 3.1, разумеется, справедлива для прямоугольных систем координат на плоскости. Напомним, что преобразования прямоугольных систем координат являются ортогональными (см. пункт замечаний 2.3). Поэтому соответствующие этим преобразованиям линейные замены переменных (см. пункт 1) с ортогональной матрицей называются ортогональными (неоднородными при или однородными при ). Далее, как правило, будут рассматриваться уравнения, записанные в прямоугольной системе координат .

Видео:9 класс, 5 урок, Уравнение линии на плоскостиСкачать

9 класс, 5 урок, Уравнение линии на плоскости

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Содержание:

Общее уравнение прямой:

Пусть на плоскости дана декартова система координат. Движение точки с произвольными координатами х и у по этой плоскости порождает линию.

Определение: Любое соотношение Линии их уравнения линии первого порядка

Определение: Порядок линии определяется по высшему показателю степени переменных х и у или по сумме показателей степени в произведении этих величин.

Пример:

а) 2х + Зу-5 = 0 — линия первого порядка; точка A(l; 1) удовлетворяет этому соотношению, а точка, например, В(1; 0) — ему не удовлетворяет;

б) Линии их уравнения линии первого порядка

в) Линии их уравнения линии первого порядка— линии второго порядка.

Рассмотрим другое определение линии:

Определение: Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x; у)=0, называется линией, а само уравнение F(x; у) = 0 — уравнением линии.

Определение: Общим уравнением прямой называется уравнение первого порядка вида Линии их уравнения линии первого порядка

Рассмотрим частные случаи этого уравнения:

а) С = 0; Линии их уравнения линии первого порядка— прямая проходит начало системы координат (Рис. 20):

Линии их уравнения линии первого порядка

Рис. 20. Прямая, проходящая через начало координат.

б) 5 = 0; Ах+С=0 — прямая проходит параллельно оси ординат Оу (Рис. 21):

Линии их уравнения линии первого порядка

Рис. 21. Прямая, проходящая параллельно оси ординат Оу.

в) А = 0; Ву+С=0 — прямая проходит параллельно оси абсцисс Ох (Рис. 22):

Линии их уравнения линии первого порядка

Рис. 22. Прямая, проходящая параллельно оси абсцисс Ох.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Виды уравнений прямой

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть дано общее уравнение прямой Линии их уравнения линии первого порядкав котором коэффициент Линии их уравнения линии первого порядкаРазрешим общее уравнение прямой относительно переменной Линии их уравнения линии первого порядкаОбозначим через Линии их уравнения линии первого порядкатогда уравнение примет вид Линии их уравнения линии первого порядкакоторое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Выясним геометрический смысл параметров Линии их уравнения линии первого порядкаПри х = 0, у = b, т.е. параметр b показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета. При Линии их уравнения линии первого порядкат.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок к Линии их уравнения линии первого порядка(Рис. 23, для определенности принято, что Линии их уравнения линии первого порядка):

Линии их уравнения линии первого порядка

Рис. 23. Отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

Из рисунка видно, что Линии их уравнения линии первого порядкат.е. угловой коэффициент k определяет тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс Ох.

2. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть в общем уравнении прямой параметр Линии их уравнения линии первого порядкаВыполним следующие преобразования Линии их уравнения линии первого порядка

Обозначим через Линии их уравнения линии первого порядкатогда последнее равенство перепишется в виде Линии их уравнения линии первого порядка. которое называется уравнением прямой в отрезках. Выясним геометрический смысл величин m и n (Рис. 24). При х=0, у=n, т.е. параметр n показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета.

Линии их уравнения линии первого порядка

Рис. 24. Отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

При у=о, х=m, т.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок m. Следовательно, прямая проходит через 2 точки: Линии их уравнения линии первого порядка

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Пусть дано общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0, которая проходит через две известные точки Линии их уравнения линии первого порядкаТак как точки Линии их уравнения линии первого порядкалежат на прямой, то их координаты удовлетворяют общему уравнению прямой, т.е. выполняются равенства Линии их уравнения линии первого порядкаВычтем первое из этих равенств из общего уравнения прямой и из второго равенства:

Линии их уравнения линии первого порядка

Пусть Линии их уравнения линии первого порядкатогда полученные равенства можно преобразовать к виду Линии их уравнения линии первого порядкаОтсюда находим, что Линии их уравнения линии первого порядкаили Линии их уравнения линии первого порядкаПолученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки Линии их уравнения линии первого порядкаи Линии их уравнения линии первого порядка

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку Линии их уравнения линии первого порядкапараллельно заданному вектору Линии их уравнения линии первого порядка(каноническое уравнение прямой). Пусть прямая проходит через заданную точку Линии их уравнения линии первого порядкапараллельно вектору Линии их уравнения линии первого порядка

Определение: Вектор Линии их уравнения линии первого порядканазывается направляющим вектором прямой. Возьмем на прямой произвольную точку Линии их уравнения линии первого порядкаи создадим вектор Линии их уравнения линии первого порядка Линии их уравнения линии первого порядка(Рис. 25):

Линии их уравнения линии первого порядка

Рис. 25. Прямая, проходящая через данную точку параллельно направляющему вектору.

В силу того, что вектора Линии их уравнения линии первого порядкаколлинеарны, то воспользуемся первым условием коллинеарности: отношения соответствующих проекций равны между собой Линии их уравнения линии первого порядка

Определение: Полученное уравнение называется либо уравнением, проходящим через заданную точку параллельно направляющему вектору, либо каноническим уравнением прямой.

5. Параметрическое уравнение прямой. Если каждую дробь в каноническом уравнении прямой приравнять некоторому параметру t, то получим параметрическое уравнение прямой Линии их уравнения линии первого порядка

Основные задачи о прямой на плоскости

1. Координаты точки пересечения двух прямых. Пусть две прямые заданы общими уравнениями Линии их уравнения линии первого порядкаТребуется найти координаты точки пересечения этих прямых. Для того чтобы вычислить координаты точки пересечения М(х; у), необходимо решить вышеприведенную систему линейных алгебраических уравнений, так как координаты точки М(х; у) должны одновременно удовлетворять уравнениям прямых Линии их уравнения линии первого порядка

2. Угол между двумя пересекающимися прямыми. Пусть даны две пересекающиеся прямые, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами

Линии их уравнения линии первого порядка

Требуется найти угол между этими прямыми (Рис. 26):

Линии их уравнения линии первого порядка

Рис. 26. Угол между двумя прямыми.

Из рисунка видно, что Линии их уравнения линии первого порядкаВычислимЛинии их уравнения линии первого порядка

Линии их уравнения линии первого порядка

Наименьший угол между пересекающимися прямыми определим формулой Линии их уравнения линии первого порядкаИз полученной формулы видно:

  • а) если прямые Линии их уравнения линии первого порядкапараллельны или совпадаютЛинии их уравнения линии первого порядкато Линии их уравнения линии первого порядкаОтсюда следует условие параллельности прямых: угловые коэффициенты прямых равны между собой Линии их уравнения линии первого порядка
  • б) если прямые Линии их уравнения линии первого порядкаперпендикулярныЛинии их уравнения линии первого порядкато Линии их уравнения линии первого порядкане существует.

Отсюда следует условие перпендикулярности прямых: угловые коэффициенты прямых связаны между собой соотношением Линии их уравнения линии первого порядка

Пример:

Определить угол между прямыми Линии их уравнения линии первого порядка

Решение:

В силу того, что Линии их уравнения линии первого порядкачто прямые параллельны, следовательно, Линии их уравнения линии первого порядка

Пример:

Выяснить взаимное расположение прямых Линии их уравнения линии первого порядка

Решение:

Так как угловые коэффициенты Линии их уравнения линии первого порядкаи связаны между собой соотношением Линии их уравнения линии первого порядкато прямые взаимно перпендикулярны.

3. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до прямой определятся вдоль перпендикуляра, опущенного из точки Линии их уравнения линии первого порядкана прямую Линии их уравнения линии первого порядкаЕсли прямая Линии их уравнения линии первого порядказадана общим уравнением, то расстояние от точки до прямой определяется формулой: Линии их уравнения линии первого порядка

Если прямая Линии их уравнения линии первого порядказадана уравнением прямой с угловым коэффициентом, то расстояние от точки до прямой определяется формулой: Линии их уравнения линии первого порядка

Видео:13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

Прямая линия на плоскости и в пространстве. Системы координат на плоскости

Рассмотрим произвольную прямую. Выберем на этой прямой начальную точку, обозначаемую буквой О, определим положительное направление, выберем некоторый отрезок в качестве линейной единицы, благодаря чему прямая станет осью. После этого условимся называть координатой любой точки М на этой оси величину отрезка Линии их уравнения линии первого порядка. Точку О будем называть началом координат; ее собственная координата равна нулю. Так вводятся координаты на прямой.

Декартова прямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке, т.е. указано, какая из них считается первой, а какая — второй. Точка пересечения осей называется началом координат и обозначается через О, а сами оси — координатными осями, причем первую из них называют также осью абсцисс и обозначают через Ох, а вторую — осью ординат, обозначаемую Оу.

Пусть М- произвольная точка плоскости. Спроектируем точку M на координатные оси, т.е., проведем через М перпендикуляры к осям Ох и Оу; основания этих перпендикуляров обозначим соответственно Линии их уравнения линии первого порядка.

Координатами точки М в заданной системе называются числа Линии их уравнения линии первого порядка, обозначающие величину отрезка Линии их уравнения линии первого порядкаоси абсцисс и величину отрезка Линии их уравнения линии первого порядкаоси ординат, где х — первая координата, а у- вторая координата точки М (рис.7.1). Символически это записывается в виде М(х, у). Линии их уравнения линии первого порядка

Если задана декартова прямоугольная система координат, то каждая точка М плоскости в этой системе имеет одну вполне определенную пару координат х, у — М(х, у). И обратно, для любых х и у на плоскости найдется одна вполне определенная точка с абсциссой х и ординатой у.

На рис. 7.2 положение точки Р полностью определяется ее координатами (2;3). Линии их уравнения линии первого порядка

Две координатные оси разделяют всю плоскость на четыре части, называемыми координатными плоскостями, определяемыми соответственно:

  • первая координатная четверть: х>0, у>0;
  • вторая координатная четверть: хЛинии их уравнения линии первого порядка0, у>0;
  • третья координатная четверть: хЛинии их уравнения линии первого порядка0, уЛинии их уравнения линии первого порядка0;
  • четвертая координатная четверть: х>0, уЛинии их уравнения линии первого порядка0.

Декартова прямоугольная система координат является наиболее употребительной. Однако, в отдельных случаях могут оказаться более удобными или косоугольная декартова или полярная системы координат.

Косоугольная система координат от прямоугольной декартовой системы координат отличается только произвольным углом между осями координат.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча OA, называемого полярной осью, масштаба для измерения длин и направления- вращения в плоскости, считаемого положительным (рис. 7.3). Линии их уравнения линии первого порядка

Каждая точка М в полярной системе координат задается парой координат Линии их уравнения линии первого порядка.

Декартова прямоугольная система координат связана с полярной системой формулами: Линии их уравнения линии первого порядка

Основным инструментом аналитической геометрии служит формула для вычисления расстояния между двумя точкамиЛинии их уравнения линии первого порядкаи Линии их уравнения линии первого порядка. Числа Линии их уравнения линии первого порядкамогут быть любыми действительными числами, положительными, отрицательными или 0. На рис. 7.4 все числа выбраны положительными. Проведем через точку Линии их уравнения линии первого порядкагоризонтальную прямую, а через точку Линии их уравнения линии первого порядка— вертикальную. Пусть R -точка их пересечения. Тогда по теореме Пифагора

Линии их уравнения линии первого порядкаили Линии их уравнения линии первого порядка(7.1.1)

Это и есть формула для вычисления расстояния между двумя точками. Линии их уравнения линии первого порядка

Важно иметь в виду, что эта формула остается в силе независимо от того, как расположены точки Линии их уравнения линии первого порядка. Например, если точка Линии их уравнения линии первого порядкарасположена ниже точки Линии их уравнения линии первого порядкаи справа от нес, как на рис. 7.5, то отрезок Линии их уравнения линии первого порядкаможно считать равныму Линии их уравнения линии первого порядка.

Расстояние между точками, вычисляемое по формуле (7.1.1), от этого не изменится, так как Линии их уравнения линии первого порядка. Заметим, что, так как величина Линии их уравнения линии первого порядкав этом случае отрицательна, то разность Линии их уравнения линии первого порядкабольше, чемЛинии их уравнения линии первого порядка

Линии их уравнения линии первого порядка

Если обозначить через Линии их уравнения линии первого порядкаугол, образованный положительным направлением оси абсцисс и отрезком Линии их уравнения линии первого порядка, то формулы

Линии их уравнения линии первого порядка

выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Из формул (7.1.2) получаем формулы:

Линии их уравнения линии первого порядка

позволяющие определить полярный угол отрезка по координатам его конца и начала. Кроме того, если u — произвольная ось, а Линии их уравнения линии первого порядка— угол наклона отрезка Линии их уравнения линии первого порядкак этой оси, то проекция отрезка на ось равна его длине, умноженной на косинус угла наклона к этой оси:

Линии их уравнения линии первого порядка.

Пусть на плоскости даны две произвольные точки, из которых одна считается первой, другая — второй. Обозначим их в заданном порядке через Линии их уравнения линии первого порядка. Проведем через данные точки ось u. Пусть М- еще одна точка оси и, расположенная на ней как угодно, но не совпадает с точкой Линии их уравнения линии первого порядка.

Определение 7.1.1. Число Линии их уравнения линии первого порядкаопределяемое равенством Линии их уравнения линии первого порядкагде Линии их уравнения линии первого порядка— величины направленных отрезков Линии их уравнения линии первого порядкаоси u, называется отношением, в котором точка М делит направленный отрезок Линии их уравнения линии первого порядка.

Число Линии их уравнения линии первого порядкане зависит от направления оси и от масштаба, т.к. при изменении этих параметров будут одновременно меняться величины Линии их уравнения линии первого порядка. Кроме того, Линии их уравнения линии первого порядкабудет положительно, если Мнаходится между точками Линии их уравнения линии первого порядкаесли же М вне отрезка Линии их уравнения линии первого порядка, то Линии их уравнения линии первого порядка-отрицательное.

Задача о делении отрезка в данном отношении формулируется следующим образом:

Считая известными координаты двух точек Линии их уравнения линии первого порядкаи Линии их уравнения линии первого порядка Линии их уравнения линии первого порядкаи отношение Линии их уравнения линии первого порядкав котором некоторая неизвестная точка М делит отрезок Линии их уравнения линии первого порядка, найти координаты точки М.

Решение задачи определяется следующей теоремой.

Теорема 7.1.1. Если точка М(х, у) делит направленный отрезок Линии их уравнения линии первого порядкав отношении Линии их уравнения линии первого порядкато координаты этой точки выражаются формулами:

Линии их уравнения линии первого порядка

Доказательство:

Спроектируем точки Линии их уравнения линии первого порядкана ось Ох и обозначим их проекции соответственно через Линии их уравнения линии первого порядка(рис. 7.6). На основании теоремы о пропорциональности отрезков прямых, заключенных между параллельными прямыми (Если две прямые пересечь тремя параллельными прямыми, то отношение двух отрезков, получившихся на одной прямой, равно отношению двух соответствующих отрезков другой прямой), имеем:

Линии их уравнения линии первого порядка

Подставив в (7.1.4) величины отрезков Линии их уравнения линии первого порядкаи

Линии их уравнения линии первого порядка, получимЛинии их уравнения линии первого порядка

Линии их уравнения линии первого порядка

Разрешая это уравнение относительно х, находим: Линии их уравнения линии первого порядка

Вторая формула (7.1.3) получается аналогично. Линии их уравнения линии первого порядка

Если Линии их уравнения линии первого порядка— две произвольные точки и М(х,y) —

середина отрезка Линии их уравнения линии первого порядка, то Линии их уравнения линии первого порядка. Эти формулы

получаются из (7.1.3) при Линии их уравнения линии первого порядка.

Основная теорема о прямой линии на плоскости

Предположим, что в данной плоскости задана прямоугольная система координат и некоторая прямая l.

Всякий ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой, называется её направляющим вектором. Всякие два направляющих вектора Линии их уравнения линии первого порядкаодной и той же прямой коллинеарны между собой, т.е.

Линии их уравнения линии первого порядка, .

Для всех направляющих векторов Линии их уравнения линии первого порядкаданной прямой, не параллельной оси ординат, отношение Линии их уравнения линии первого порядкаординаты вектора к его абсциссе имеет одно и то же постоянное значение k, называемое угловым коэффициентом данной прямой.

Действительно, если Линии их уравнения линии первого порядка— два направляющих вектора данной прямой /, то векторы коллинеарны, т.е.

Линии их уравнения линии первого порядкаих координаты пропорциональны: Линии их уравнения линии первого порядкаа значит Линии их уравнения линии первого порядка

Угловой коэффициент прямой можно определить и по-другому: как тангенс угла, образованного положительным направлением оси абсцисс и заданной прямой.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 7.3,1. Всякая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени с двумя переменными х и у; и обратно, всякое уравнение первой степени с двумя переменными х и у определяет некоторую прямую на плоскости.

Доказательство: Пусть В = (О,b>- точка пересечения прямой L с осью у, а Р = (х,у) — любая другая точка на этой прямой. Проведем через точку В прямую, параллельную оси х, а через точку Р — прямую, параллельную оси у; проведем также прямую х = 1. Пусть k -угловой коэффициент прямой L (см. рис. 7.7). Случай к =0 не исключается.

Линии их уравнения линии первого порядка

Так как треугольники BSQ и BRP подобны, то Линии их уравнения линии первого порядкаили после упрощения

Линии их уравнения линии первого порядка

Следовательно, если точка Р принадлежит прямой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (7.2.1). Обратно, нетрудно показать, что если х и у связаны уравнением (7.2.1), то точка Р принадлежит прямой L, проходящей через точку (0;b) и имеющей угловой коэффициент k.

Таким образом, уравнение любой прямой можно записать в виде:

Линии их уравнения линии первого порядка(не вертикальная прямая) Линии их уравнения линии первого порядка, (7.2.2), х = а (вертикальная прямая) (7.2.3).

В обоих случаях мы получаем уравнение первой степени. Кроме того, каждое уравнение первой степени ио х и у можно привести к виду (7.2.2) либо (7.2.3).

Докажем обратное утверждение. Предположим, что задано произвольное уравнение первой степени:

Если Линии их уравнения линии первого порядка, мы можем записать уравнение (7.2.4) в виде

Линии их уравнения линии первого порядка

т.е. в виде (7.2.2). При В = 0 уравнение (7.2.3) сводится к уравнению

или Линии их уравнения линии первого порядка, т.е. к уравнению вида (7.2.3).

Таким образом, любая прямая описывается уравнением первой степени с неизвестными х и у, и обратно, каждое уравнение первой степени с неизвестными х и v определяет некоторую прямую. Линии их уравнения линии первого порядка

Уравнение (7.2.4) называется общим уравнением прямой. Так

как Линии их уравнения линии первого порядка, то вектор Линии их уравнения линии первого порядкаявляется направляющим вектором прямой (7.2.4). Вектор Линии их уравнения линии первого порядкаперпендикулярен прямой (7.2.4) и называется нормальным вектором. Возможны частные случаи:

1. Линии их уравнения линии первого порядкаили у =b, где Линии их уравнения линии первого порядка, -это уравнсние прямой, параллельной оси Ох.

2. Линии их уравнения линии первого порядкаили х = а, где Линии их уравнения линии первого порядка, — это уравнение прямой, параллельной оси Оу.

3. Линии их уравнения линии первого порядка— это уравнение прямой, проходящей через начало координат.

4. А=0; С=0; Ву-0 или у = 0 — это уравнение оси абсцисс Ох.

5. В=0;С=0; Ах=0 или х = 0 — это уравнение оси ординат Оу.

Различные виды уравнений прямой на плоскости

Положение прямой на плоскости относительно системы координат можно задать различными способами. Например, прямая однозначно определяется: двумя различными точками; точкой и направляющим вектором; отрезками, отсекаемыми прямой на осях координат и др. Однако, обязательно, должна быть точка, лежащая на этой прямой.

Пусть в уравнении (7.2.4) ни один из коэффициентов А, В, С не равен нулю. Перенесем свободные члены вправо и разделим на (-С). Получим уравнение прямой в отрезках:

Линии их уравнения линии первого порядка

где Линии их уравнения линии первого порядка-длины отрезков, отсекаемых прямой l на осях координат, взятые с соответствующими знаками (в зависимости от того, положительные или отрицательные полуоси координат пересекает прямая l).

Рассмотрим прямую l на плоскости и выберем на этой прямой какие-нибудь точки Линии их уравнения линии первого порядка. Тогда вектор Линии их уравнения линии первого порядкаявляется направляющим вектором этой прямой l.

Геометрическое место концов всевозможных векторов вида Линии их уравнения линии первого порядкагде Линии их уравнения линии первого порядкапробегает все вещественные числовые значения, определяет прямую l. Уравнение (7.3.2) называется уравнением прямой в векторной форме (векторным уравнением прямой). Записав векторное уравнение (7.3.2) в координатной форме Линии их уравнения линии первого порядкаи воспользовавшись определением равенства векторов, получим параметрические уравнения прямой:

Линии их уравнения линии первого порядка

где Линии их уравнения линии первого порядка— координаты направляющего вектора.

Система (7.3.3) равносильна уравнению

Линии их уравнения линии первого порядка

называемым каноническим уравнением прямой на плоскости. Из системы (7.3.3) можно получить уравнение

Линии их уравнения линии первого порядкакоторое называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки Линии их уравнения линии первого порядка

Если абсциссы точек Линии их уравнения линии первого порядкаодинаковы, т. е. Линии их уравнения линии первого порядкато прямая Линии их уравнения линии первого порядкапараллельна оси ординат и ее уравнение имеет вид: х=а.

Если ординаты точек Линии их уравнения линии первого порядкаодинаковы, т. е. Линии их уравнения линии первого порядка, то прямая Линии их уравнения линии первого порядкапараллельна оси абсцисс и ее уравнение имеет вид: у=b. Уравнение (7.3.5) можно преобразовать к виду:

Линии их уравнения линии первого порядка

Линии их уравнения линии первого порядка

Линии их уравнения линии первого порядка

угловой коэффициент прямой.

Уравнение (7.3.6) называется уравнением прямой, проходящей через точку Линии их уравнения линии первого порядкаи имеющей угловой коэффициент k.

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через две точки Линии их уравнения линии первого порядка

Решение:

I способ. Воспользуемся уравнением (7.3.5). Подставив известные координаты точек Линии их уравнения линии первого порядка, получим искомое уравнение прямой:

Линии их уравнения линии первого порядка

II способ. Зная координаты точек Линии их уравнения линии первого порядкапо формуле (7.3.7) можно найти угловой коэффициент искомой прямой:

Линии их уравнения линии первого порядка

Тогда, воспользовавшись уравнением (7.3.6), найдём искомое уравнение прямой: Линии их уравнения линии первого порядка.

Заметим, что составленное уравнение можно записать как уравнение прямой в отрезках, разделив все члены уравнения

Линии их уравнения линии первого порядка.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Пусть на плоскости заданы две прямые общими уравнениями Линии их уравнения линии первого порядка. Угол между ними можно вычислить как угол между направляющими векторами

Линии их уравнения линии первого порядкаэтих прямых:

Линии их уравнения линии первого порядка

Если прямые параллельныЛинии их уравнения линии первого порядка, то их нормальные векторы Линии их уравнения линии первого порядкаколлинеарны, а это значит, что их соответствующих координаты пропорциональны:

Линии их уравнения линии первого порядка

И обратно, если координаты при неизвестных х и у пропорциональны, то прямые параллельны. Следовательно, можно сформулировать следующую теорему:

Теорема 7.4.1. Две прямые Линии их уравнения линии первого порядкапараллельны тогда и только тогда, когда в их уравнениях коэффициенты при соответствующих переменных х и у пропорциональны.

Например, прямые Линии их уравнения линии первого порядкапараллельны,

т. к.Линии их уравнения линии первого порядка.

Если прямые перпендикулярны Линии их уравнения линии первого порядка, то их нормальные векторы Линии их уравнения линии первого порядкатоже перпендикулярны, а это значит, что скалярное произведение этих векторов равно нулю: Линии их уравнения линии первого порядка, или в координатной форме

Линии их уравнения линии первого порядка

Справедливо и обратное утверждение: если скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, то прямые /, и /2 перпендикулярны.

Теорема 7.4.2. Две прямые Линии их уравнения линии первого порядкаперпендикулярны тогда и только тогда, когда коэффициенты при переменных х и у удовлетворяют равенству Линии их уравнения линии первого порядка.

Например, прямые Линии их уравнения линии первого порядкаперпендикулярны, так как

Линии их уравнения линии первого порядка.

Если прямые заданы уравнениями вида Линии их уравнения линии первого порядкаи Линии их уравнения линии первого порядка, то угол между ними находится по формуле:

Линии их уравнения линии первого порядка

Для того чтобы прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Линии их уравнения линии первого порядка(7.4.5)

а для их перпендикулярности необходимо и достаточно, чтобы

Линии их уравнения линии первого порядка(7.4.6)

Пример:

Найти проекцию точки Р (2, 3) на прямую, проходящую через точки А (4, 3) и В (6, 5).

Решение:

Проекция точки Р на прямую АВ — это точка пересечения перпендикуляра, проведенного к этой прямой из точки Р.

Вначале составим уравнение прямой АВ. Воспользовавшись уравнением (7.3.5), последовательно получаем:

Линии их уравнения линии первого порядка

Для того, чтобы составить уравнение перпендикуляра, проведенного из точки Р на прямую АВ, воспользуемся уравнением (7.3.6). Угловой коэффициент k определим из условия перпендикулярности двух прямых, т. е. из формулы (7.4.6). Поскольку Линии их уравнения линии первого порядка,то из равенства Линии их уравнения линии первого порядканаходим угловой коэффициент перпендикуляра Линии их уравнения линии первого порядка. Подставляя найденное значение углового коэффициента Линии их уравнения линии первого порядкаи координаты точки Р (2, 3) в уравнение (7.3.6), получаем:

Линии их уравнения линии первого порядка.

Решая систему уравнений, составленную из уравнений прямой АВ и перпендикуляра

Линии их уравнения линии первого порядка

найдём координаты проекции точки Р на прямую АВ: х=3 у=2, т.е.

Линии их уравнения линии первого порядка

Пример:

Издержки на производство шести автомобилей составляют 1000 млн. ден. ед., а на производство двадцати автомобилей- 15000 млн. ден. ед. Определить издержки на производство 22 автомобилей при условии, что функция К(х) издержек производства линейна, т.е. имеет вид у = ах + b .

Решение:

Обозначим через х количество автомобилей, а через y- издержки производства. Тогда из условия задачи следует, что заданы координаты двух точек- А(6; 1000) и В(20; 15000), принадлежащих линейной функции у = ах +b. Воспользовавшись уравнением (7.3.6 ), найдём искомое уравнение:

Линии их уравнения линии первого порядка

Подставив в найденную функцию х = 22, определим издержки на производство 22 автомобилей:

Линии их уравнения линии первого порядка(млн. дсн. ед)

Пример:

Фирма продаёт свои изделия по 10 ден. ед. за единицу. Затраты на изготовление одного изделия составляют 6 ден. ед. Непроизводственные расходы фирмы равны 300 ден. ед. в год. Определить годовой выпуск продукции, необходимой для того, чтобы фирма работала с прибылью.

Решение:

Обозначим через х объём произведенной продукции. Тогда доход фирмы равен D = 10x. Затраты на производство определяются уравнением: Линии их уравнения линии первого порядка. Найдём точку безубыточности. т.е. значение x, при котором доход фирмы равен затратам: D=K, т.е. 10x = 6x + 300. Решив это уравнение, получим значение объёма производства, при котором фирма работает без убытка: х=75. Следовательно, если объём производства Линии их уравнения линии первого порядкато фирма будет работать с прибылью.

Прямая линия в пространстве

Системы координат в пространстве

В трехмерном пространстве система координат определяется тремя взаимно перпендикулярными осями, проходящими через начало координат О. Снабдив каждую ось единицей измерения длин, можно задать тремя упорядоченными числами (называемыми координатами) положение точки в пространстве. Например, точка Р задается упорядоченной тройкой чисел Р( 1,2,3).

Линии их уравнения линии первого порядка

Пусть задано пространствоЛинии их уравнения линии первого порядка. Важнейшим понятием пространственной аналитической геометрии является понятие уравнения поверхности. Всякая же линия рассматривается как пересечение двух поверхностей. Мы остановимся на изучении поверхности первого порядка — плоскости и прямой линии.

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо сё фиксированной точки Линии их уравнения линии первого порядкаи вектора Линии их уравнения линии первого порядкапараллельного этой прямой.

Вектор Линии их уравнения линии первого порядка, параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая L проходит через точку Линии их уравнения линии первого порядка, лежащую на прямой, параллельно вектору Линии их уравнения линии первого порядкаЛинии их уравнения линии первого порядка(см. рис. 7.9).

Рассмотрим произвольную точку M(x,y,z) на этой прямой. Из рисунка видно, что вектор Линии их уравнения линии первого порядкапараллельный (коллинеарный) вектору Линии их уравнения линии первого порядка. Поскольку векторы Линии их уравнения линии первого порядкаколлинеарны, то найдётся такое число t, что Линии их уравнения линии первого порядка, где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки М на прямой.

Линии их уравнения линии первого порядка

Уравнение Линии их уравнения линии первого порядка(7.5.1) называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки M, лежащей на прямой. Это уравнение можно записать в виде: Линии их уравнения линии первого порядка(см. рис. 7.9). Запишем это уравнение в координатной форме. Подставив координаты векторов Линии их уравнения линии первого порядкав уравнение (7.5.1) и воспользовавшись определением алгебраических операций над векторами и равенством векторов, получим уравнения:

Линии их уравнения линии первого порядка

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты х, у и z и точка М перемещается по прямой.

Разрешив уравнения (7.5.2) относительно t

Линии их уравнения линии первого порядка

и приравняв найденные значенияt получим канонические уравнения прямой:

Линии их уравнения линии первого порядка

Если прямая L в пространстве задается двумя своими точками Линии их уравнения линии первого порядка,то вектор

Линии их уравнения линии первого порядка

можно взять в качестве направляющего вектора и тогда уравнения (7.5.3) преобразуются в уравнения

Линии их уравнения линии первого порядка

где Линии их уравнения линии первого порядка. (7.5.4)- это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Линии их уравнения линии первого порядка

Пример:

Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точкуЛинии их уравнения линии первого порядка, перпендикулярно плоскости Oxz.

Решение:

В качестве направляющего вектора Линии их уравнения линии первого порядкаискомой прямой можно взять единичный вектор оси Оу: Линии их уравнения линии первого порядка• Подставив значения координат точки Линии их уравнения линии первого порядкаи значения координат направляющего вектора в уравнения (7.5.2), получаем: Линии их уравнения линии первого порядка.

Пример:

Записать уравнения прямой Линии их уравнения линии первого порядкав параметрическом виде.

ОбозначимЛинии их уравнения линии первого порядка. Тогда Линии их уравнения линии первого порядка,

Линии их уравнения линии первого порядка, откуда следует, что Линии их уравнения линии первого порядка.

Замечание. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например, оси Ох. Тогда направляющий вектор Линии их уравнения линии первого порядка

прямой перпендикулярный оси Ох, имеет координаты (о; n; р) и параметрические уравнения прямой примут вид Линии их уравнения линии первого порядка

Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде

Линии их уравнения линии первого порядка

Однако и в этом случае формально можно записывать канонические уравнения прямой в виде Линии их уравнения линии первого порядка. Таким образом, если в знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, канонические уравнения

Линии их уравнения линии первого порядкаопределяют прямую перпендикулярную осям О х и О у или параллельную оси О z.

Пример:

Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку Линии их уравнения линии первого порядкапараллельно вектору Линии их уравнения линии первого порядка

Решение:

Подставив координаты точки Линии их уравнения линии первого порядка, и вектора Линии их уравнения линии первого порядкав (7.5.2) и (7.5.3), находим искомые канонические уравнения:

.Линии их уравнения линии первого порядкаи параметрические уравнения:

Линии их уравнения линии первого порядка

Пример:

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(2, -1,4) параллельно

а) прямой Линии их уравнения линии первого порядка;

Решение:

а) Поскольку направляющий вектор заданной прямой

Линии их уравнения линии первого порядкаявляется направляющим вектором искомой прямой, то

подставив координаты точки М(2; -1; 4) и вектора Линии их уравнения линии первого порядкав (7.5.3) получим уравнение искомой прямой: Линии их уравнения линии первого порядка

б) Поскольку единичный вектор оси О х: Линии их уравнения линии первого порядкабудет направляющим вектором искомой прямой, то подставив в уравнение

(7.5.3) координаты точки М(2; -1; 4 ) и вектора Линии их уравнения линии первого порядка, получаем:

Линии их уравнения линии первого порядка

в) В качестве направляющего вектора Линии их уравнения линии первого порядкаискомой прямой можно взять единичный вектор оси Оу: Линии их уравнения линии первого порядка. В соответствии с уравнением (7.5.3), получаем Линии их уравнения линии первого порядкаили Линии их уравнения линии первого порядка.

г) Единичный вектор оси Oz : Линии их уравнения линии первого порядкабудет направляющим вектором искомой прямой. В соответствии с уравнением (7.5.3), получаем

Линии их уравнения линии первого порядка

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Линии их уравнения линии первого порядка

Решение:

Подставив координаты точек Линии их уравнения линии первого порядкав уравнение

(7.5.4), получим:Линии их уравнения линии первого порядка

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку параллельно данным. Пусть в пространстве заданы две прямые:

Линии их уравнения линии первого порядка

Очевидно, что за угол Линии их уравнения линии первого порядкамежду прямыми можно принять угол между их направляющими векторами Линии их уравнения линии первого порядкаи

Линии их уравнения линии первого порядка, косинус которого находится по формуле:

Линии их уравнения линии первого порядка

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторовЛинии их уравнения линии первого порядка:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда пропорциональны соответствующие координаты направляющих векторов:

Линии их уравнения линии первого порядка

т.е. Линии их уравнения линии первого порядкапараллельна Линии их уравнения линии первого порядкатогда и только тогда, когда Линии их уравнения линии первого порядкапараллелен

Линии их уравнения линии первого порядка.

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих координат направляющих векторов равна нулю: Линии их уравнения линии первого порядка

Пример:

Найти угол между прямыми Линии их уравнения линии первого порядкаи

Линии их уравнения линии первого порядка

Решение:

Воспользуемся формулой (7.6.1), в которую подставим координаты направляющих векторов Линии их уравнения линии первого порядкаи

Линии их уравнения линии первого порядка. Тогда Линии их уравнения линии первого порядка, откуда Линии их уравнения линии первого порядкаилиЛинии их уравнения линии первого порядка.

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому виду

Вычисление уравнения прямой

Пусть PQ — некоторая прямая на плоскости Оху (рис. 22). Через произвольную точку М0 (х0, у0) этой прямой (условно называемую «начальной точкой») проведем прямую М0х параллельную оси Ох и имеющую с ней одинаковое направление. Тогда наименьший неотрицательный угол Линии их уравнения линии первого порядка, образованный полупрямой M0Q, лежащей выше оси М0х’ или совпадающей с ней, называется углом между данной прямой и осью Ох.

Линии их уравнения линии первого порядка

Очевидно, этот угол не зависит от выбора точки М0. Если прямая PQ пересекает ось Ох в некоторой точке А (а, 0), то ф есть обычный угол между направленными прямыми. Если PQ || Ох, то, очевидно, Ф = 0. Начальная точка М0 прямой и угол ф («направление прямой») однозначно определяют положение этой прямой на плоскости.

1) Пусть сначала Линии их уравнения линии первого порядка. Тогда прямая PQ пересекает ось Оу в некоторой точке В (0, b), которую можно принять за начальную.

Ордината у = NM текущей точки М (х, у) прямой (рис. 23) состоит из двух частей:

Линии их уравнения линии первого порядка

из них первая постоянна, а вторая переменна. Введя угловой коэффициент tg ф = k9 из рис. 23 будем иметь

Линии их уравнения линии первого порядка

Линии их уравнения линии первого порядка

Линии их уравнения линии первого порядка

Нетрудно проверить, что формула (3) остается справедливой также и при х

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔥 Видео

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямой

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Поле направлений дифференциального уравнения первого порядкаСкачать

Поле направлений дифференциального уравнения первого порядка

Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядкаСкачать

Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядка

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математика

Видеоурок "Общее уравнение кривой 2 порядка"Скачать

Видеоурок "Общее уравнение кривой 2 порядка"

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка (1-x^2)*y'-xy=1Скачать

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка (1-x^2)*y'-xy=1

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. ПримерСкачать

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. Пример

Видеоурок "Приведение к каноническому виду"Скачать

Видеоурок "Приведение к каноническому виду"

11. Прямая в пространстве и ее уравненияСкачать

11. Прямая в пространстве и ее уравнения

Кривые второго порядкаСкачать

Кривые второго порядка
Поделиться или сохранить к себе: