Уравнение лагранжа движения материальной точки (3 видео)

1. Функция Лагранжа свободной галилеевой материальной точки

Такая форма лагранжиана может быть получена из соображения неизменности лагранжиана относительно произвольных галилеевых (всех) преобразований координат. Эта форма Лагранжиана инвариантна, следовательно, однородна, изотропна относительно смещений в пространстве и времени, поворотов в пространстве и галиеевых преобразований системы координат.

Но эта форма Лагранжиана не может привести к какой-либо интересной механике, потому что уравнение Лагранжа-Эйлера для нее выполняется тривиально. Для получения не тривиальной механики необходим механизм изменения дифференциала действия путем изменения массы m и/или тривиального интервала действия ds = dt .

Зная, что 3-мерное подпространство классической механики обладает симметриями относительно смещений начала пространственных и временной координат, вращения относительно произвольной точки, можно определить возможную зависимость функции Лагранжа м.т. Для конкретного подпространства только для этих преобразований координат и векторов инвариантом является квадрат пространственных элементов векторов. Это значит, что функция Лагранжа может зависеть только от квадрата скорости v 2 м.т., но не может зависеть от ее координат:

Если бы Лагранжиан зависел и от координат и времени, то нарушился бы принцип относительности. Вывод конкретного вида лагранжиана для этого случая приведен в следующем параграфе. В результате получается лагранжиан вида

где a — некоторый множитель. Этот множитель принимается равным половине массы м.т. Знак этого множителя принимается положительным, с тем, чтобы экстремум действия принимал минимальное значение.

Мы знаем, что закон движения м.т. не должен измениться и при переходе в другую ИСО. Для этого разность функций Лагранжа в различных ИСО может отличаться не более чем на полную производную от некоторой функции координат и времени. Рассмотрим, как изменится лагранжиан вида (2.2) при переходе в движущуюся со скоростью V с.к.:

Этот лагранжиан не остается инвариантным при галилеевых преобразованиях координат:

Действительно, лагранжианы отличаются, но только на полную производную некоторой функции f ( r , t ):

Этот вывод изменения лагранжиана при ГПТК говорит о том, что лагранжиан свободной м.т. не изменит законов физики, если выбрать ее в виде

Такая запись лагранжиана при V = const есть просто ее запись в другой ИСО, движущейся со скоростью V , но с точки зрения текущей. Следовательно, независимо от текущей с.о., в качестве лагранжиана свободной м.т. можно использовать ее запись в любой другой ИСО.

Но такое использование лагранжиана может также предполагать существование некоторой выделенной с.о. и применение лагранжиана из той с.о., в которой V = 0. Несмотря на это, эта с.о. не является АСО, т.к. никаких других отличий от других ИСО она не имеет. Тем более, что параметр V можно принять абсолютно произвольно, т.е. любая ИСО может оказаться на месте этого «АСО». Для случая галилеевой механики это позволяет всегда пользоваться одной условно выделенной («условно покоящейся») с.о. Это же условие делает галилееву механику практически эквивалентной ньютоновой.

Содержание

2. Функция Лагранжа свободной ньютоновой материальной точки
3. Функция Лагранжа системы материальных точек
4. Функция Лагранжа с.м.о.
5. Функция Лагранжа незамкнутой системы
6. Функция Лагранжа для м.т. в плоском покоящемся римановом пространстве
7. Функция Лагранжа м.т. в плоском римановом пространстве
8. Функция Лагранжа заряженной классической м.т.
9. Функция Лагранжа релятивистской м.т.
Теоретическая механика. Уравнения Лагранжа
Функция Лагранжа системы материальных точек
Функция Лагранжа системы материальных точек
Примеры решения, формулы и задачи
🌟 Видео

Видео:Функция Лагранжа. Уравнения Лагранжа. Интегралы движения.Скачать

2. Функция Лагранжа свободной ньютоновой материальной точки

Переходя к определению вида функции Лагранжа, рассмотрим сначала простейший случай — свободное движение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета. Функция Лагранжа в этом случае может зависеть лишь от квадрата вектора скорости. Для выяснения вида этой зависимости воспользуемся принципом относительности Галилея. Если инерциальная система отсчета К движется относительно инерциальной системы отсчета К‘ с бесконечно малой скоростью ε, то v‘ = v + ε. Так как уравнения движения во всех системах отсчета должны иметь один и тот же вид, то функция Лагранжа L(v 2 ) должна при таком преобразовании перейти в функцию L ‘, которая если и отличается от L(v 2 ), то лишь на полную производную от функции координат и времени. Имеем:

Разлагая это выражение в ряд по степеням v и пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, получим:

Второй член правой части этого равенства будет полной производной по времени только в том случае, если он зависит от скорости v линейно. Поэтому от скорости не зависит, т.е. функция Лагранжа в рассматриваемом случае прямо пропорциональна квадрату скорости:

где k — постоянная. В классической механике коэффициент k приравнивается половине массы m м.т.:

Из того, что функция Лагранжа такого вида удовлетворяет принципу относительности Галилея в случае бесконечно малого преобразования скорости, непосредственно следует, что она удовлетворяет этому принципу и в случае конечной скорости V системы отсчета К относительно К‘. Действительно,

Второй член является полной производной и может быть опущен. В силу свойства аддитивности функции Лагранжа, для системы невзаимодействующих точек имеем

Следует подчеркнуть, что лишь при учете этого свойства данное определение массы приобретает реальный смысл. Как уже было отмечено ранее, всегда можно умножить функцию Лагранжа на любую постоянную; это не отражается на уравнениях движения. Для функции (2.6) такое умножение сводится к изменению единицы измерения массы; отношения же масс различных частиц, которые только и имеют реальный физический смысл, остаются при этом преобразовании неизменными.

Легко видеть, что масса не может быть отрицательной. В самом деле, согласно принципу наименьшего действия для действительного движения материальной точки из точки 1 пространства в точку 2 интеграл

имеет минимум. Если бы масса была отрицательной, то для траекторий, по которым частица сначала быстро удаляется от 1, а затем быстро приближается к 2, интеграл действия принимал бы сколь угодно большие по абсолютной величине отрицательные значения, т. е. не имел бы минимума.

Видео:Уравнения Лагранжа второго родаСкачать

3. Функция Лагранжа системы материальных точек

Рассмотрим теперь систему материальных точек, взаимодействующих друг с другом, но ни с какими посторонними телами; такую систему называют замкнутой. Оказывается, что взаимодействие между материальными точками может быть описано прибавлением к функции Лагранжа невзаимодействующих точек (2.3) определенной (зависящей от характера взаимодействия) скалярной функции координат. Обозначив эту функцию через —U, напишем:

где ( r_a — радиус-вектор a -й точки). Это есть общий вид функции Лагранжа замкнутой системы. Сумму

называют кинетической энергией, а функцию U — потенциальной энергией системы.

Тот факт, что потенциальная энергия зависит только от расположения всех материальных точек в один и тот же момент времени, означает, что изменение положения одной из них мгновенно отражается на всех остальных; можно сказать, что взаимодействия «распространяются» мгновенно. Неизбежность такого характера взаимодействий в классической механике тесно связана с основными предпосылками последней — абсолютностью времени и принципом относительности Галилея. Если бы взаимодействие распространялось не мгновенно, т. е. с конечной скоростью, то эта скорость была бы различна в разных (движущихся друг относительно друга) системах отсчета, так как абсолютность времени автоматически означает применимость обычного правила сложения скоростей ко всем явлениям. Но тогда законы движения взаимодействующих тел были бы различны в разных (инерциальных) системах отсчета, что противоречило бы принципу относительности.

Вид функции Лагранжа (2.11) показывает, что время не только однородно, но и изотропно, т. е. его свойства одинаковы в обоих направлениях. В самом деле, замена t на —t оставляет функцию Лагранжа, а следовательно, и уравнения движения неизменными. Другими словами, если в системе возможно некоторое движение, то всегда возможно и обратное движение, т. е. такое, при котором система проходит те же состояния в обратном порядке. В этом смысле все движения, происходящие по законам классической механики, обратимы.

Зная функцию Лагранжа, мы можем составить уравнения движения

Подставив сюда (2.11) , получим:

Уравнения движения в этой форме называются уравнениями Ньютона и представляют собой основу механики системы взаимодействующих частиц. Вектор

стоящий на правой стороне уравнения (2.13) , называется силой, действующей на a -ю точку. Вместе с U она зависит лишь от координат всех частиц, но не от их скоростей. Уравнения (2.13) показывают поэтому, что и векторы ускорения частиц являются функциями только от координат.

Потенциальная энергия есть величина, определяемая лишь с точностью до прибавления к ней произвольной постоянной: такое прибавление не изменило бы уравнений движения. Наиболее естественный и обычно принятый способ выбора этой постоянной заключается в том, чтобы потенциальная энергия стремилась к нулю при увеличении расстояний между частицами.

Если для описания движения используются не декартовы координаты точек, а произвольные обобщенные координаты q i , то для получения лагранжевой функции надо произвести соответствующее преобразование

и т. д.

Подставляя эти выражения в функцию

получим искомую функцию Лагранжа, которая будет иметь вид

где a_ik — функции только от координат. Кинетическая энергия в обобщенных координатах по-прежнему является квадратичной функцией скоростей, но может зависеть также и от координат.

Видео:Форш П. А. - Теоретическая механика - Формализм Лагранжа. Уравнения Лагранжа для материальной точкиСкачать

4. Функция Лагранжа с.м.о.

С другой стороны, лагранжиан взаимодействующей системы определяется выражением

где g определяет энергию связи,

K_i – энергия движения м.о.,

r – расстояние между м.о.

Например, лагранжиан гравитационного взаимодействия двух м.т.

Если , то приближенно имеем

Если имеется три или более взаимодействующих м.о., то в лагранжиане должны быть учтены вклады от взаимодействия каждого с каждым м.о. Предположим, что у нас имеется n м.о. Тогда общий лагранжиан можно представить в виде

Но если имеется более двух взаимодействующих м.о., то в лагранжиане должен быть учтен и вклад потенциальной энергии в полную энергию каждого м.о. Предположим, что у нас имеется три м.о. Тогда общий лагранжиан можно представить в виде

Здесь в определении L ‘ энергия полная E ₀ _i уже определяется с учетом потенциальной энергии каждого м.о.:

Точный расчет конечного лагранжиана практически невозможен, но приблизительно можно определить ее как

где U_i – потенциальная энергия i -го элемента системы,

M – характерная масса системы,

R – характерный размер системы.

Относительная доля этой потенциальной доли части лагранжиана в общем лагранжиане

Но эта доля быстро повышается с увеличением общей массы и уменьшением характерного радиуса.

Видео:Уравнение ЛагранжаСкачать

5. Функция Лагранжа незамкнутой системы

До сих пор мы говорили только о замкнутых системах. Рассмотрим теперь незамкнутую систему А, взаимодействующую с другой системой В, совершающей заданное движение. В таком случае говорят, что система А движется в заданном внешнем поле (создаваемом системой В). Поскольку уравнения движения получаются из принципа наименьшего действия путем независимого варьирования каждой из координат (т. е. как бы считая остальные известными), мы можем для нахождения функции Лагранжа L_A системы А воспользоваться лагранжевой функцией L всей системы А + В, заменив в ней координаты q_B заданными функциями времени.

Предполагая систему А + В замкнутой, будем иметь:

где первые два члена представляют собой кинетические энергии систем А и В, а третий член — их совместную потенциальную энергию. Подставив вместо q_B заданные функции времени и опустив член , зависящий только от времени (и поэтому являющийся полной производной от некоторой другой функции времени), получим:

Таким образом, движение системы во внешнем поле описывается функцией Лагранжа обычного типа с тем лишь отличием, что теперь потенциальная энергия может зависеть от времени явно. Так, для движения одной частицы во внешнем поле общий вид функции Лагранжа

и уравнение движения

Однородным называют поле, во всех точках которого на частницу действует одна и та же сила F. Потенциальная энергия в таком поле равна, очевидно:

В заключение этого параграфа сделаем еще следующее замечание по поводу применения уравнений Лагранжа к различным конкретным задачам. Часто приходится иметь дело с такими механическими системами, в которых взаимодействие между телами (материальными точками) имеет, как говорят, характер связей, т. е. ограничений, налагаемых на взаимное расположение тел. Фактически такие связи осуществляются путем скрепления тел различными стержнями, нитями, шарнирами и т. п. Это обстоятельство вносит в движение новый фактор — движение тел сопровождается трением в местах их соприкосновения, в результате чего задача выходит, вообще говоря, за рамки чистой механики. Однако во многих случаях трение в системе оказывается настолько слабым, что его влиянием на движение можно полностью пренебречь. Если к тому же можно пренебречь массами «скрепляющих элементов» системы, то роль последних сведется просто к уменьшению числа степеней свободы системы s (по сравнению с числом 3N). Для определения ее движения можно при этом снова пользоваться функцией Лагранжа вида (2.15) с числом независимых обобщенных координат, отвечающих фактическому числу степеней свободы.

Видео:Уравнения Лагранжа второго рода. Задача 1Скачать

6. Функция Лагранжа для м.т. в плоском покоящемся римановом пространстве

Если плоское риманово пространство в каждый момент времени покоится относительно некоторой выбранной ИСО, то скорость м.т. можно определить, воспользовавшись формулой

Поэтому для составления функции Лагранжа достаточно найти квадрат длины элемента дуги dl в соответствующей системе координат:

В декартовых координатах, например, , поэтому

В цилиндрических , откуда

В сферических , и поэтому

Видео:Теоретическая механика. Лекция №1: Уравнения ЛагранжаСкачать

7. Функция Лагранжа м.т. в плоском римановом пространстве

Для составления функции Лагранжа м.т. в произвольном (в т.ч. движущемся) плоском евклидовом пространстве достаточно определить скорость м.т. в некоторой выбранной ИСО. В силу того, что пространство плоское, следует, что в ней можно определить некоторое связанное с ней ИСО. Классическая ньютоновская нерелятивистская частица в плоском неинерциальном евклидовом пространстве-времени с точки зрения ИСО описывается действием:

где — скорость м.т. в НСО,

w _i j — тензор поворота с.к. трёхмерного пространства ИСО в НСО в произвольный момент времени,

V i — поле скоростей точек выбранной НСО в этот же момент времени (отвечает за гравитационный потенциал j и за «кориолисовы» эффекты),

j — потенциал, в частности, гравитационный.

Раскроем скобки в выражении для действия:

Здесь . Если поле скоростей V безвихревое (в частности, V i = 0 или const ), то «кориолисовы» эффекты отсутствуют и член взаимодействия равен , где есть потенциал в пространстве.

Поле V i ( q ) по аналогии с действием для электромагнитного поля можно назвать векторным гравитационным потенциалом. Это поле задает поле скоростей точек текущей плоской евклидовой НСО относительно некоторой фоновой инерциальной с.о.

Видео:Дифференциальное уравнение движения материальной точки.Скачать

8. Функция Лагранжа заряженной классической м.т.

Функция Лагранжа классической заряженной массы в электромагнитном поле определяется через потенциальное скалярное и векторное поля:

где u – потенциальное гравитационное поле, создается гравитационной массой м.т. В принципе она может быть произвольной природы – скалярной, векторной, тензорной.

e – электрический заряд,

j — псевдоскалярный электрический потенциал, создается электрическим зарядом м.т. При преобразованиях координат галилеева пространства изменяется: j ‘ = j + v i A_i (в первом приближении), где v i – скорость новой ИСО.

A_i – электромагнитный векторный потенциал, создается движущимся электрическим зарядом м.т. При преобразованиях координат галилеева пространства КМГ не изменяется. При преобразованиях координат галилеева пространства КМН изменяется: A ‘ _i = A_i + v_i j (в первом приближении).

Данный лагранжиан имеет ограниченную область применения, сравнимую с областью применения классической механики, и даже меньшую, потому что релятивистские эффекты начинают проявляться для электромагнитный явлений даже при обычных скоростях.

Видео:Кулешов А. С. - Теоретическая механика. Семинары. Часть 3 -Уравнения Лагранжа для материальной точкиСкачать

9. Функция Лагранжа релятивистской м.т.

Действие для заряженной релятивистской м.т.

Видео:Уравнения Лагранжа #1Скачать

Теоретическая механика. Уравнения Лагранжа

В этой статье мы попробуем разобраться с такой темой, как «Уравнения Лагранжа». Вообще, уравнения Лагранжа довольно полезная штука, например, на их основе решаются задачи на малые колебания. В МГТУ им. Баумана в третьем семестре предлагается самостоятельное домашнее задание, в котором нужно записать уравнения Лагранжа для системы с двумя степенями свободы.

Итак, типовое задание выглядит так.

Прежде чем броситься решать эту задачу, посмотрим на задание и проанализируем его. Есть призма 3, которая движется поступательно по горизонтальной плоскости без трения. В призме сделан паз 2, по которому движется шарик 1. Если вы помните темы прошлого семестра, то легко увидите, что шарик совершает сложное движение — переносное поступательное вместе с призмой 3 и относительное поступательное по пазу 2. Далее есть стержень 4, который соединяет призму и каток 5. Очевидно, что скорость центра катка С равна скорость призмы. Каток движется без скольжения, это важный момент. Движение системы описывается двумя обобщенными координатами, которые любезно выбрал для нас составитель задания.

Итак, приступим к решению.

Поскольку обобщенных координат две (две степени свободы), система уравнений Лагранжа будет выглядеть так:

Расчет начинаем с записи уравнений связи — выражаем скорости всех ключевых точек и тел, имеющих массу, через обобщенные координаты. Из сказанного ранее понятно, что нам понадобится линейная скорость призмы 3, линейная скорость катка 5, угловая скорость катка 5 и скорость шарика 1. С поступательным движением все просто

С угловой скоростью катка тоже все понятно. Так как проскальзывание отсутствует

Самое трудное — выразить скорость шарика 1. Как мы уже говорили, он совершает сложное движение, значит, его скорость складывается из относительной и переносной. Переносная — это скорость поступательного движения призмы 3. Относительное — скольжение вдоль паза 2, которое описано координатой S. Значит

Векторно складываем эти две скорости

Второе выражение здесь — это теорема косинусов. Если нанести все векторы на рисунок, станет понятно, почему так.

Определившись со скоростями, записываем выражение для кинетической энергии системы Т. Полная кинетическая энергия складывается из кинетических энергий всех тел, обладающих массой. То есть в нашем случае, тел 1, 3, 5.

Шарик 1 обладает энергией

Призма 3 движется поступательно

Каток 5 совершает плоское движение, так что его кинетическая энергия складывается из энергии поступательного и вращательного движений

Полная кинетическая энергия системы

Для записи уравнений Лагранжа это выражение нужно несколько раз продифференцировать.

Сначала по координате x. Частные производные

Производную по x с точкой дифференцируем по времени

Теперь то же самое по координате S. Частные производные

Производная по времени

Левая часть уравнений Лагранжа готова. Займемся правой частью. Для нее нужно посчитать обобщенные силы по каждой координате. Есть несколько способов это сделать, мы предпочитаем делать это через элементарную работу на малом приращении координаты. В общем случае формула выглядит так

На практике это применяется следующим образом. Сначала нанесем на рисунок все действующие силы. В нашем случае это сила упругости пружины и силы тяжести.

Сначала считаем обобщенную силу по координате x. Для этого мысленно «замораживаем» координату S, и позволяем системе свободно двигаться по координате x. То есть шарик «приклеивается» к пазу 2, и внутри него никуда не движется. Все перемещение происходит по координате x. Очевидно, что сила упругости работу не совершает, так как ее длина не меняется. Очевидно, что силы тяжести работу не совершают, так как движение происходит горизонтально. Официальным языком это записывается так

Теперь обобщенная сила по координате S. Мысленно «замораживаем» координату x. Получается, что призма 3 вместе с пазом 2 и катком 5 стоит на месте, а внутри неподвижного паза движется шарик. Сила упругости совершает работу, также как и сила тяжести шарика 1. Пружина была растянута на величину статической деформации δ и дополнительно растянута на S в произвольный момент времени, то есть сила упругости равна с·(δ+S). Работа силы упругости отрицательна, так как пружина растягивается. Работа силы тяжести шарика 1 положительна, так как шарик движется вниз. Силы тяжести призмы 3 и катка 5 работу не совершают, так как эти тела покоятся. Получаем

Собственно, все. Собираем все посчитанные величины в уравнения Лагранжа и получаем систему дифференциальных уравнений, описывающих движение системы.

Для проверки можно посмотреть размерности, в обеих частях выражения размерности должны совпадать (обычно это ньютоны).

Конечно, разные задачи немного отличаются в ходе решения, но алгоритм всех задач примерно такой.

1) Определить число степеней свободы и выбрать обобщенные координаты

2) Записать уравнения связей

3) Записать выражение для кинетической энергии

4) Взять необходимые производные

5) Записать обобщенные силы по каждой координате

6) Записать уравнения Лагранжа

Если что-то не получается, не отчаивайтесь, мы всегда рады помочь.

Видео:Несвободное движение точки. Уравнение ЛагранжаСкачать

Функция Лагранжа системы материальных точек

Видео:Решение уравнения ЛагранжаСкачать

Функция Лагранжа системы материальных точек

Здесь важным моментом для рассмотрения системы взаимодействия Только друг с другом, т.е. с незнакомыми людьми Тело, которое не взаимодействует, такая система называется замкнутой.

Можно видеть, что взаимодействие между точками материи можно описать, добавив конкретную координатную функцию x) (в зависимости от характера взаимодействия) к невзаимодействующей точке (4.2) к функции Лагранжа.

Называется кинетическая энергия Людмила Фирмаль

Выражая эту функцию с помощью -C / = t5? -ir (ri, r2, …) (5.1) (Ha — радиус-вектор i-й точки). Это общий вид функции. Лагранжева замкнутая система. Сумма 2 J1 _ y ^ но , функция U называется потенциальной Энергия всего тела, значение этих имен разъясняется в §6. Тот факт, что потенциальная энергия зависит только от расы Положение всех материальных точек одновременно означает, что изменение их положения немедленно влияет на все остальные точки.

Можно сказать, что взаимодействие «распространяется» мгновенно. Неизбежность этого свойства взаимодействия в классической механике тесно связана с последней основной предпосылкой — абсолютностью времени и принципом относительности Галилея.

Видео:Принцип наименьшего действия #2 - Уравнение Эйлера-ЛагранжаСкачать

Примеры решения, формулы и задачи

Решение задач	Лекции
Расчёт найти определения	Учебник методические указания

Если взаимодействие не распространялось сразу, то есть абсолютность времени автоматически означает применимость нормального правила добавления скорости ко всем явлениям, эта скорость отличается при конечной скорости ( Зависит от системы отсчета (движутся друг с другом).

Но в этом случае законы движения взаимодействующих объектов различны в разных (инерциальных) системах отсчёта, которые противоречат друг другу Это становится принципом относительности. В §3 мы только упомянули равномерность времени. Для отображения Функция Лагранжа (5.1) показывает, что время не только равномерно, но и изотропно.

поэтому уравнение движения не изменится Людмила Фирмаль

Его характеристики одинаковы в обоих направлениях. Фактически, если вы замените t на -t, функция Лагранжа останется, . Другими словами, если в системе возможно любое движение, обратное движение всегда возможно. Система, которая проходит через то же состояние в обратном порядке.

В этом смысле все движения, которые происходят по законам классической механики, являются обратимыми. Если вы знаете функцию Лагранжа, вы можете создавать уравнения Движение d5L = 5L, dtdwa dva ‘^ ’ Подставляя здесь (5.1), два ди / со о T’IG = ST (5’3) Эта форма уравнения движения называется уравнением Ньютона и представляет собой основу динамики системы взаимодействующих частиц. вектор F „= -g, (5.4) Стоя на правой стороне уравнения (5.3) называется силой в i-й точке.

Наряду с U, это зависит от координат всех частиц, но не от скорости. Следовательно, уравнение (5.3) показывает, что вектор ускорения частицы является функцией только координат. Потенциальная энергия Точность, с которой можно добавлять произвольные константы.

Там Некоторые дополнения не изменяют уравнение движения (частный случай неоднозначности функции Лагранжа показан в конце § 2). Наиболее естественным и общепринятым способом выбора этой константы является то, что потенциальная энергия стремится к нулю при увеличении расстояния между частицами.

В случае неортогональная Ордината точки и любые обобщенные координаты Чтобы получить функцию Лагранжа, нужно выполнить соответствующее преобразование Xa = / a (9 1, 9 2, Qs), = I.T. к Присвойте эти выражения функциям B = 5yPa (Xa + b1 +%)

U, но Получить желаемую функцию Лагранжа. L = ^ 2 aik (q) mk -u (q), (5.5) Где dik — только координатная функция.

Кинетическая энергия Обобщенные координаты все еще вторичны Это функция скорости, но также зависит от координат. Пока что мы обсуждали только закрытые системы. Теперь рассмотрим открытую систему A, которая взаимодействует с другой системой 5, которая выполняет определенное движение.

В этом случае говорят, что система A перемещается в заданное внешнее поле (созданное системой B). Уравнение движения может быть найдено из принципа минимального действия, изменяя каждую координату независимо (то есть, предполагая, что другие координаты известны), так что функция может быть найдена.

LaGrange La System A использует функции Лагранжа. Система А + В в целом Л. Замените координату qs заданной временной функцией. Предполагая, что система A + B закрыта, L = Ta (taAa) + Tv (yavLv) -U (qA, qB), Где первые два члена — это кинетические энергии систем A и 5, а третий член — их совокупная потенциальная энергия.

Замените данную функцию времени вместо qs и опустите время T (qy (Ј), ## (Ј)). La = Ta (caLa) -U (qA, qB (t)). Следовательно, движение системы во внешнем поле Лагранжева функция нормального типа с единственной разницей Потенциальная энергия теперь может явно зависеть от времени.

Поэтому для движения одной частицы во внешнем поле Вид функции Лагранжа 2 L = ^ -U (r, t), (5.6) И уравнение движения — = Vm9U / k—. (5.7) Поле называется однородным и во всех отношениях Та же сила Ф. действует на потенциал. Такие поля явно равны U = -F r. (5.8) В конце этого раздела мы сделаем следующие замечания о применении уравнения Лагранжа к различным конкретным задачам.

Во многих случаях, как говорит взаимодействие тел (материальных точек), характер связи, то есть ограничения, накладываемые на относительное положение тела. На самом деле такое объединение выполняется соединением О кузове с различными стержнями, нитками, петлями и т. Д.

Стоя представляет новый фактор движения тела-движения С трением в месте их контакта, результат состоит в том, что, вообще говоря, задача выходит за рамки чисто механики (см. § 25). Тем не менее, часто трение в системе Влияние на движение настолько слабо, что оно полностью игнорируется.

Кроме того, если массой «неподвижного элемента» системы можно пренебречь, последняя роль просто сводится к уменьшению числа степеней свободы системы s (по сравнению с числом 3N). Функция Лагранжа формы (5.5) может быть снова использована для определения ее движения.

Количество независимых обобщенных координат, соответствующее фактическому количеству степеней свободы. Задание Найти функцию Лагранжа следующей системы в однородном гравитационном поле (ускорение g-гравитации). 1. Двойной плоский маятник (рис. 1). Решения. Взять в качестве координаты Угол (pi и (p2, нити 1 и I2 образуют вертикальную линию.

Для точки mi, Ti = ^ m i / ^ φ? , U = -m ig / icoscp i. Чтобы найти кинетическую энергию второй точки, Представляет собой декартовы координаты X2, г / 2 (Начало точки подвеса, ось Y-вертикальная Через угол) (пи, — (ZΦ + 21 φφCOS (p) — — 17l2gl cos (p. 3. Плоский маятник с точкой подвешивания: а) движется равномерно вдоль вертикального круга с постоянной частотой у (рисунок 3).

б) Выполнить горизонтальную вибрацию в соответствии с удобными правилами] в) выполнять вертикальную вибрацию в соответствии с законом Уютное. Решения. а) координаты точки mp: x = cosyt + / sin (p, y = -asinyt + I cos (p. Функция Лагранжа ml2 L = -ф2 + mlay2 sin (cp-yt) + mgl cos (p; Термины, которые зависят только от времени, здесь опущены Кроме того, общая производная по времени Марикос ((р-йт).

б) координаты точки m: х = уют + я грешу (р, у = лкос (с. Функция Лагранжа (после полного исключения Производные финансовые инструменты) ml2. 2 2 L = -ф + mlay cosy sin (p + mgl cos (p. в) Точно так же ml2. 2, 2, L = -ф + mlay cos cos (p + mgl cos (p. 4. Система 4 показана на рисунке; Точка Ш2 Перемещается вдоль вертикальной оси, и вся система вращается с постоянной угловой скоростью Q4 Это ось. Решения.

Введите угол 0 между сегментом a и вертикалью и углом поворота (широкий угол системы p вокруг оси вращения). φ = Q. Для каждой точки mi, элемент смещения dti = a2 dQ2 + a2 sin2 0 dip2. В случае точки 777-2 расстояние от точки подвеса A составляет 2a cos 0, dh = -2asinQdQ. Функция Лагранжа L = mi a2 (02 + Q2 sin2 0) + 2m2a2 sin2 0 02 + 2ga (mi + m2) cos 0.