Уравнение эллипса в параметрическом виде

Что такое эллипс: определение, основные элементы, уравнение

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы и уравнения (каноническое и параметрическое) одной из основных геометрических фигур – эллипса.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Определение эллипса

Эллипс – это замкнутая кривая на плоскости, сумма расстояний от каждой точки которой до ее фокусов (F1 и F2) равна постоянному значению.

Уравнение эллипса в параметрическом виде

Примечание: частным случаем эллипса является окружность.

Видео:Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. Эллипс

Элементы эллипса

Для рисунка выше:

  • F1 и F2 – фокусы эллипса;
  • A1A2 – большая ось эллипса, проходит через его фокусы;
  • B1B2 – малая ось эллипса, перпендикулярна большей оси и проходит через ее центр;

Примечание: свойства эллипса представлены в отдельной публикации.

Видео:§34 Параметрические уравнения кривых второго порядкаСкачать

§34 Параметрические уравнения кривых второго порядка

Уравнение эллипса

Каноническое уравнение эллипса

Если центр эллипса (точка O) находится в начале системы координат (декартовой), а большая ось лежит на оси абсцисс, то фигуру можно описать уравнением ниже:

Уравнение эллипса в параметрическом виде

Если центр эллипса находится в точке с координатами (x0; y0), уравнение принимает следующий вид:

Уравнение эллипса в параметрическом виде

Параметрическое уравнение эллипса

Видео:Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертеж

Координаты точки эллипса по углу

IP76 > Координаты точки эллипса по углу

Уравнение эллипса в параметрическом виде

Для нахождения координат точки эллипса по углу существует простое и элегантное решение. Понимаю, что для маститого математика это решение является очевидным. Однако, для меня в то далекое время, когда инет был диким, связь модемной, а я сильно молодым, это таковым не являлось.

Видео:Разбор задания из теста по ангему | Уравнение эллипса | Уравнение касательной к эллипсуСкачать

Разбор задания из теста по ангему | Уравнение эллипса | Уравнение касательной к эллипсу

Калькулятор точки на эллипсе

Давайте посмотрим, как это выглядит на практике. Потом теория. Оранжевый маркер отвечает за угол, на основании которого считаем координаты. Красный — параметрический угол, о котором ниже.

Get a better browser, bro…

Видео:§18 Каноническое уравнение эллипсаСкачать

§18 Каноническое уравнение эллипса

Параметрическое уравнение эллипса

Обратимся, как обычно, к Википедии. Находим там следующее:

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

Очевидно, что t — это угол, и это не «наш» угол. Это какой-то другой угол, который функционально связан с «нашим». «Нашим» называю угол, от которого требуется посчитать координаты.

Таким образом, задача нахождения координат точки эллипса по углу сводится к задаче нахождения угла t, зависящим от требуемого. Нахождением этой зависимости и займемся.

Видео:Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математика

Подготовка

У нас есть эллипс, описанный двумя полуосями a и b. Представим две окружности, имеющих общий центр. Меньшая окружность (зеленая) имеет радиус b. Большая окружность (синяя) имеет радиус a.

Проведем прямую из общего центра [X0;Y0] в произвольную точку плоскости [X;Y]. В результате пересечения с этими окружностями получаются две точки [X1;Y1] и [X2;Y2].

α – угол между прямой и осью X.

Малая окружностьX1 = b × cos αY1 = b × sin α
Большая окружностьX2 = a × cos αY2 = a × sin α

Таблица 1. Координаты точек пересечения прямой с окружностями

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Нахождение зависимости

Используя уравнение (1) посчитаем координаты точки на эллипсе [X’;Y’] для угла α. Проведем прямую из центра [X0;Y0] в точку [X’;Y’]. Угол β – угол между этой прямой и осью X.

Задача сводится к тому, чтобы найти такой α, при котором β был бы равен интересующему нас углу. Таким образом, угол α будет являться параметром в уравнении (1) для требуемого угла β.

Найдем зависимость между получившимся углом β и углом α. На рисунке видно, что прилегающий к углу катет (синий) равен ранее рассчитанному X2, а противолежащий (зеленый) равен Y1:

X’ = X2 = a × cos α

Y’ = Y1 = b × sin α

Опыт показывает, что тут зачастую возникает легкий ступор. Возможно, рисунок вводит в некое заблуждение. Видим треугольник, и если с синим катетом вопросов нет, то с зеленым — масса. Почему синус от α? Угол «вона где», тут синус вообще не от того угла и т.д.

Смотрим на пересечение прямой и малой (зеленой) окружности. Зеленый катет прилетает именно оттуда. Именно так координату Y’ и рассчитывали, согласно уравнению(1). Рисунок — это иллюстрация, не метод решения.

Тангенс угла β в этом случае равен:

(3) Тангенс угла β

Используя формулу тангенса произведем дальнейшие преобразования:

(4) Зависимость тангенса α от тангенса β

Таким образом, видим прямую зависимость угла α, который нужен нам в качестве параметра в уравнении(1), от угла β, координаты точки от которого хотим получить.

Видео:11 класс, 52 урок, ЭллипсСкачать

11 класс, 52 урок, Эллипс

Нахождение координат

Угол α находим через арктангенс. В Delphi (и не только) для этих целей используется функция ArcTan2 из модуля math. Она корректно возвращает знак ± угла в зависимости от квадранта, а также предусмотрительно нечувствительна к возможным коллизиям, типа деления на 0.

Находим синус и косинус от требуемого угла β и подставляем в параметры функции ArcTan2, согласно последней формуле (4):

Видео:Видеоурок "Эллипс"Скачать

Видеоурок "Эллипс"

Эллипс — определение и вычисление с примерами решения

Эллипс:

Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух выделенных точек Уравнение эллипса в параметрическом виде

Получим каноническое уравнение эллипса. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы Уравнение эллипса в параметрическом виде

Рис. 29. Вывод уравнения эллипса.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Уравнение эллипса в параметрическом видеСогласно определению эллипса имеем Уравнение эллипса в параметрическом видеИз треугольников Уравнение эллипса в параметрическом видеи Уравнение эллипса в параметрическом видепо теореме Пифагора найдем

Уравнение эллипса в параметрическом виде

соответственно. Следовательно, согласно определению имеем

Уравнение эллипса в параметрическом виде

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Уравнение эллипса в параметрическом виде

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Уравнение эллипса в параметрическом видеРаскроем разность квадратов Уравнение эллипса в параметрическом видеПодставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Уравнение эллипса в параметрическом видеВновь возведем обе части равенства в квадрат Уравнение эллипса в параметрическом видеРаскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Уравнение эллипса в параметрическом видеСоберем не- известные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Уравнение эллипса в параметрическом видеВведем обозначение для разности, стоящей в скобках Уравнение эллипса в параметрическом видеУравнение принимает вид Уравнение эллипса в параметрическом видеРазделив все члены уравнения на Уравнение эллипса в параметрическом видеполучаем каноническое уравнение эллипса: Уравнение эллипса в параметрическом видеЕсли Уравнение эллипса в параметрическом видето эллипс вытянут вдоль оси Ох, для противоположного неравенствавдоль оси Оу (при этом фокусы тоже расположены на этой оси). Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х; у) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки Уравнение эллипса в параметрическом видеследовательно, эллипс симметричен относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии эллипса. Найдем координаты точек пересечения эллипса с декартовыми осями:

  • Уравнение эллипса в параметрическом видет.е. точками пересечения эллипса с осью абсцисс будут точки Уравнение эллипса в параметрическом виде
  • Уравнение эллипса в параметрическом видет.е. точками пересечения эллипса с осью ординат будут точки Уравнение эллипса в параметрическом виде(Рис. 30).

Определение: Найденные точки называются вершинами эллипса.

Уравнение эллипса в параметрическом виде

Рис. 30. Вершины, фокусы и параметры эллипса

Уравнение эллипса в параметрическом видеУравнение эллипса в параметрическом виде

Определение: Если Уравнение эллипса в параметрическом видето параметр а называется большой, а параметр b — малой полуосями эллипса.

Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного рас- стояния к большой полуоси эллипса Уравнение эллипса в параметрическом виде

Из определения эксцентриситета эллипса следует, что он удовлетворяет двойному неравенству Уравнение эллипса в параметрическом видеКроме того, эта характеристика описывает форму эллипса. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения малой полуоси эллипса к большой полуоси Уравнение эллипса в параметрическом виде

Если Уравнение эллипса в параметрическом видеи эллипс вырождается в окружность. Если Уравнение эллипса в параметрическом видеи эллипс вырождается в отрезок Уравнение эллипса в параметрическом виде

Пример:

Составить уравнение эллипса, если его большая полуось а = 5, а его эксцентриситет Уравнение эллипса в параметрическом виде

Решение:

Исходя из понятия эксцентриситета, найдем абсциссу фокуса, т.е. параметр Уравнение эллипса в параметрическом видеЗная параметр с, можно вычислить малую полуось эллипса Уравнение эллипса в параметрическом видеСледовательно, каноническое уравнение заданного эллипса имеет вид: Уравнение эллипса в параметрическом виде

Пример:

Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса Уравнение эллипса в параметрическом видеа третья вершина — в центре окружности

Уравнение эллипса в параметрическом виде

Решение:

Для определения координат фокусов эллипса и центра окружности преобразуем их уравнения к каноническому виду. Эллипс: Уравнение эллипса в параметрическом виде

Уравнение эллипса в параметрическом видеСледовательно, большая полуось эллипса Уравнение эллипса в параметрическом видеа малая полуось Уравнение эллипса в параметрическом видеТак как Уравнение эллипса в параметрическом видето эллипс вытянут вдоль оси ординат Оу. Определим расположение фокусов данного эллипса Уравнение эллипса в параметрическом видеИтак, Уравнение эллипса в параметрическом видеОкружность: Уравнение эллипса в параметрическом видеВыделим полные квадраты по переменным Уравнение эллипса в параметрическом виде Уравнение эллипса в параметрическом видеСледовательно, центр окружности находится в точке О(-5; 1).

Уравнение эллипса в параметрическом виде

Построим в декартовой системе координат треугольник Уравнение эллипса в параметрическом видеСогласно школьной формуле площадь треугольника Уравнение эллипса в параметрическом видеравна Уравнение эллипса в параметрическом видеВысота Уравнение эллипса в параметрическом видеа основание Уравнение эллипса в параметрическом видеСледовательно, площадь треугольника Уравнение эллипса в параметрическом видеравна:

Уравнение эллипса в параметрическом виде

Видео:Эллипс (часть 1). Каноническое уравнение. Высшая математика.Скачать

Эллипс (часть 1). Каноническое уравнение. Высшая математика.

Эллипс в высшей математике

Уравнение эллипса в параметрическом виде

где Уравнение эллипса в параметрическом видеи Уравнение эллипса в параметрическом виде—заданные положительные числа. Решая его относительно Уравнение эллипса в параметрическом виде, получим:

Уравнение эллипса в параметрическом виде

Отсюда видно, что уравнение (2) определяет две функции. Пока независимое переменное Уравнение эллипса в параметрическом видепо абсолютной величине меньше Уравнение эллипса в параметрическом виде, подкоренное выражение положительно, корень имеет два значения. Каждому значению Уравнение эллипса в параметрическом виде, удовлетворяющему неравенству Уравнение эллипса в параметрическом видесоответствуют два значения Уравнение эллипса в параметрическом виде, равных по абсолютной величине. Значит, геометрическое место точек, определяемое уравнением (2), симметрично относительно оси Уравнение эллипса в параметрическом виде. Так же можно убедиться в том, что оно симметрично и относительно оси Уравнение эллипса в параметрическом виде. Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти.

При Уравнение эллипса в параметрическом виде, при Уравнение эллипса в параметрическом виде. Кроме того, заметим, что если Уравнение эллипса в параметрическом видеувеличивается, то разность Уравнение эллипса в параметрическом видеуменьшается; стало быть, точка Уравнение эллипса в параметрическом видебудет перемещаться от точки Уравнение эллипса в параметрическом видевправо вниз и попадет в точку Уравнение эллипса в параметрическом виде. Из соображений симметрии изучаемое геометрическое место точек будет иметь вид, изображенный на рис. 34.

Уравнение эллипса в параметрическом виде

Полученная линия называется эллипсом. Число Уравнение эллипса в параметрическом видеявляется длиной отрезка Уравнение эллипса в параметрическом виде, число Уравнение эллипса в параметрическом виде—длиной отрезка Уравнение эллипса в параметрическом виде. Числа Уравнение эллипса в параметрическом видеи Уравнение эллипса в параметрическом виденазываются полуосями эллипса. Число Уравнение эллипса в параметрическом видеэксцентриситетом.

Пример:

Найти проекцию окружности на плоскость, не совпадающую с плоскостью окружности.

Решение:

Возьмем две плоскости, пересекающиеся под углом Уравнение эллипса в параметрическом виде(рис. 35). В каждой из этих плоскостей возьмем систему координат, причем за ось Уравнение эллипса в параметрическом видепримем прямую пересечения плоскостей, стало быть, ось Уравнение эллипса в параметрическом видебудет общей для обеих систем. Оси ординат различны, начало координат общее для обеих систем. В плоскости Уравнение эллипса в параметрическом видевозьмем окружность радиуса Уравнение эллипса в параметрическом видес центром в начале координат, ее уравнение Уравнение эллипса в параметрическом виде.

Пусть точка Уравнение эллипса в параметрическом видележит на этой окружности, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению Уравнение эллипса в параметрическом виде.

Уравнение эллипса в параметрическом виде

Обозначим проекцию точки Уравнение эллипса в параметрическом видена плоскость Уравнение эллипса в параметрическом видебуквой Уравнение эллипса в параметрическом виде, а координаты ее—через Уравнение эллипса в параметрическом видеи Уравнение эллипса в параметрическом виде. Опустим перпендикуляры из Уравнение эллипса в параметрическом видеи Уравнение эллипса в параметрическом видена ось Уравнение эллипса в параметрическом виде, это будут отрезки Уравнение эллипса в параметрическом видеи Уравнение эллипса в параметрическом виде. Треугольник Уравнение эллипса в параметрическом видепрямоугольный, в нем Уравнение эллипса в параметрическом виде, Уравнение эллипса в параметрическом виде,Уравнение эллипса в параметрическом виде, следовательно, Уравнение эллипса в параметрическом виде. Абсциссы точек Уравнение эллипса в параметрическом видеи Уравнение эллипса в параметрическом видеравны, т. е. Уравнение эллипса в параметрическом виде. Подставим в уравнение Уравнение эллипса в параметрическом видезначение Уравнение эллипса в параметрическом виде, тогда cos

Уравнение эллипса в параметрическом виде

Уравнение эллипса в параметрическом виде

а это есть уравнение эллипса с полуосями Уравнение эллипса в параметрическом видеи Уравнение эллипса в параметрическом виде.

Таким образом, эллипс является проекцией окружности на плоскость, расположенную под углом к плоскости окружности.

Замечание. Окружность можно рассматривать как эллипс с равными полуосями.

Видео:Написать каноническое уравнение эллипса, если известны b и cСкачать

Написать каноническое уравнение эллипса, если известны b и c

Уравнение эллипсоида

Определение: Трехосным эллипсоидом называется поверхность, полученная в результате равномерной деформации (растяжения или сжатия) сферы по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат:

Уравнение эллипса в параметрическом виде

где Х, У, Z — текущие координаты точки сферы.

Пусть данная сфера подвергнута равномерной деформации в направлении координатных осей Уравнение эллипса в параметрическом видес коэффициентами деформации, равными Уравнение эллипса в параметрическом виде

В результате сфера превратится в эллипсоид, а точка сферы М (X, У, Z) с текущими координатами Х, У, Z перейдет в точку эллипсоидам Уравнение эллипса в параметрическом виде(х, у, z) с текущими координатами х, у, г, причем

Уравнение эллипса в параметрическом виде

Уравнение эллипса в параметрическом видеИными словами, линейные размеры сферы в направлении оси Ох уменьшаются в Уравнение эллипса в параметрическом видераз, если Уравнение эллипса в параметрическом виде, и увеличиваются в Уравнение эллипса в параметрическом видераз, если Уравнение эллипса в параметрическом видеи т. д.

Подставляя эти формулы в уравнение (1), будем иметь

Уравнение эллипса в параметрическом виде

где Уравнение эллипса в параметрическом видеУравнение (2) связывает текущие координаты точки М’ эллипсоида и, следовательно, является уравнением трехосного эллипсоида.

Величины Уравнение эллипса в параметрическом виденазываются полуосями эллипсоида; удвоенные величины Уравнение эллипса в параметрическом виденазываются осями эллипсоида и, очевидно, представляют линейные размеры его в направлениях деформации (в данном случае в направлениях осей координат).

Если две полуоси эллипсоида равны между собой, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения, так как может быть получен в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Например, в геодезии считают поверхность земного шара эллипсоидом вращения с полуосями

а = b = 6377 км и с = 6356 км.

Если а = b = с, то эллипсоид превращается в сферу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Гипербола
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Шар в геометрии
  • Правильные многогранники в геометрии
  • Многогранники
  • Окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎬 Видео

Видеоурок "Параметрические уравнения прямой"Скачать

Видеоурок "Параметрические уравнения прямой"

Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространствеСкачать

Написать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве

Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.

Эллипс. Определение. Уравнение. График. Фокусы. Главные оси. Эксцентриситет - Новиков АлександрСкачать

Эллипс. Определение. Уравнение. График. Фокусы. Главные оси. Эксцентриситет - Новиков Александр

Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |Скачать

Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |

166. Найти каноническое уравнение эллипса.Скачать

166. Найти каноническое уравнение эллипса.

Эллипс (часть 8). Решение задач. Высшая математика.Скачать

Эллипс (часть 8). Решение задач. Высшая математика.

§28 Эксцентриситет эллипсаСкачать

§28 Эксцентриситет эллипса
Поделиться или сохранить к себе: