Уравнение эллипса проходящего через две точки (7 видео)

Эллипс — определение и вычисление с примерами решения

Эллипс:

Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух выделенных точек

Получим каноническое уравнение эллипса. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы

Рис. 29. Вывод уравнения эллипса.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Согласно определению эллипса имеем Из треугольников и по теореме Пифагора найдем

соответственно. Следовательно, согласно определению имеем

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Раскроем разность квадратов Подставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Вновь возведем обе части равенства в квадрат Раскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Соберем не- известные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Введем обозначение для разности, стоящей в скобках Уравнение принимает вид Разделив все члены уравнения на получаем каноническое уравнение эллипса: Если то эллипс вытянут вдоль оси Ох, для противоположного неравенства — вдоль оси Оу (при этом фокусы тоже расположены на этой оси). Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х; у) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки следовательно, эллипс симметричен относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии эллипса. Найдем координаты точек пересечения эллипса с декартовыми осями:

т.е. точками пересечения эллипса с осью абсцисс будут точки
т.е. точками пересечения эллипса с осью ординат будут точки (Рис. 30).

Определение: Найденные точки называются вершинами эллипса.

Рис. 30. Вершины, фокусы и параметры эллипса

Определение: Если то параметр а называется большой, а параметр b — малой полуосями эллипса.

Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного рас- стояния к большой полуоси эллипса

Из определения эксцентриситета эллипса следует, что он удовлетворяет двойному неравенству Кроме того, эта характеристика описывает форму эллипса. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения малой полуоси эллипса к большой полуоси

Если и эллипс вырождается в окружность. Если и эллипс вырождается в отрезок

Пример:

Составить уравнение эллипса, если его большая полуось а = 5, а его эксцентриситет

Решение:

Исходя из понятия эксцентриситета, найдем абсциссу фокуса, т.е. параметр Зная параметр с, можно вычислить малую полуось эллипса Следовательно, каноническое уравнение заданного эллипса имеет вид:

Пример:

Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса а третья вершина — в центре окружности

Решение:

Для определения координат фокусов эллипса и центра окружности преобразуем их уравнения к каноническому виду. Эллипс:

Следовательно, большая полуось эллипса а малая полуось Так как то эллипс вытянут вдоль оси ординат Оу. Определим расположение фокусов данного эллипса Итак, Окружность: Выделим полные квадраты по переменным Следовательно, центр окружности находится в точке О(-5; 1).

Построим в декартовой системе координат треугольник Согласно школьной формуле площадь треугольника равна Высота а основание Следовательно, площадь треугольника равна:

Содержание

Эллипс в высшей математике
Уравнение эллипсоида
Каноническое уравнение эллипса по двум точкам
Примеры задач
Уравнение эллипса проходящего через две точки
🔍 Видео

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Эллипс в высшей математике

где и —заданные положительные числа. Решая его относительно , получим:

Отсюда видно, что уравнение (2) определяет две функции. Пока независимое переменное по абсолютной величине меньше , подкоренное выражение положительно, корень имеет два значения. Каждому значению , удовлетворяющему неравенству соответствуют два значения , равных по абсолютной величине. Значит, геометрическое место точек, определяемое уравнением (2), симметрично относительно оси . Так же можно убедиться в том, что оно симметрично и относительно оси . Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти.

При , при . Кроме того, заметим, что если увеличивается, то разность уменьшается; стало быть, точка будет перемещаться от точки вправо вниз и попадет в точку . Из соображений симметрии изучаемое геометрическое место точек будет иметь вид, изображенный на рис. 34.

Полученная линия называется эллипсом. Число является длиной отрезка , число —длиной отрезка . Числа и называются полуосями эллипса. Число эксцентриситетом.

Пример:

Найти проекцию окружности на плоскость, не совпадающую с плоскостью окружности.

Решение:

Возьмем две плоскости, пересекающиеся под углом (рис. 35). В каждой из этих плоскостей возьмем систему координат, причем за ось примем прямую пересечения плоскостей, стало быть, ось будет общей для обеих систем. Оси ординат различны, начало координат общее для обеих систем. В плоскости возьмем окружность радиуса с центром в начале координат, ее уравнение .

Пусть точка лежит на этой окружности, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению .

Обозначим проекцию точки на плоскость буквой , а координаты ее—через и . Опустим перпендикуляры из и на ось , это будут отрезки и . Треугольник прямоугольный, в нем , ,, следовательно, . Абсциссы точек и равны, т. е. . Подставим в уравнение значение , тогда cos

а это есть уравнение эллипса с полуосями и .

Таким образом, эллипс является проекцией окружности на плоскость, расположенную под углом к плоскости окружности.

Замечание. Окружность можно рассматривать как эллипс с равными полуосями.

Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Уравнение эллипсоида

Определение: Трехосным эллипсоидом называется поверхность, полученная в результате равномерной деформации (растяжения или сжатия) сферы по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат:

где Х, У, Z — текущие координаты точки сферы.

Пусть данная сфера подвергнута равномерной деформации в направлении координатных осей с коэффициентами деформации, равными

В результате сфера превратится в эллипсоид, а точка сферы М (X, У, Z) с текущими координатами Х, У, Z перейдет в точку эллипсоидам (х, у, z) с текущими координатами х, у, г, причем

Иными словами, линейные размеры сферы в направлении оси Ох уменьшаются в раз, если , и увеличиваются в раз, если и т. д.

Подставляя эти формулы в уравнение (1), будем иметь

где Уравнение (2) связывает текущие координаты точки М’ эллипсоида и, следовательно, является уравнением трехосного эллипсоида.

Величины называются полуосями эллипсоида; удвоенные величины называются осями эллипсоида и, очевидно, представляют линейные размеры его в направлениях деформации (в данном случае в направлениях осей координат).

Если две полуоси эллипсоида равны между собой, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения, так как может быть получен в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Например, в геодезии считают поверхность земного шара эллипсоидом вращения с полуосями

а = b = 6377 км и с = 6356 км.

Если а = b = с, то эллипсоид превращается в сферу.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Гипербола
Парабола
Многогранник
Решение задач на вычисление площадей
Шар в геометрии
Правильные многогранники в геометрии
Многогранники
Окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Каноническое уравнение эллипса по двум точкам

Две точки с координатами

Первая координата

Вторая координата

Каноническое уравнение эллипса

Большая полуось эллипса

Малая полуось эллипса

Эксцентриситет эллипса

Фокусное/фокальное расстояние

Коэффициент сжатия

Координаты первого фокуса F1(x1:y1)

Координаты второго фокуса F2(x2:y2)

Фокальный параметр

Перифокусное расстояние

Апофокусное расстояние

Уравнение эллипса в каноническом виде имеет вот такой вид.

Так как тут всего две переменных, то логично предположить, что по двум заданным точкам мы всегда сможем построить формулу эллипса.

Для расчета поставленной задачи воспользуемся материалом расчет кривой второго порядка на плоскости, который и позволит легко и быстро получить результат.

Кроме этого, на этой странице мы получим следующую информацию.

Фокальный параметр — половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса

Значение полуосей — большая полуось и малая полуось ( Естественно это в том случае, когда эллипс вытянут вдоль оси абсцисс)

Эксцентриситет — коэффициент, показывающий насколько его фигура отличается от окружности

Фокальное расстояние

Коэффициент сжатия — отношение длин малой и большой полуосей

Видео:§11 Уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскостиСкачать

Примеры задач

Cоставить каноническое уравнение эллипса по двум точкам

Ввводим данные в калькулятор, не забывая что квадратный корень у нас обозначается sqrt

и получаем результат

Каноническое уравнение эллипса

Большая полуось эллипса

Малая полуось эллипса

Эксцентриситет эллипса

Фокусное/фокальное расстояние

Коэффициент сжатия

Координаты первого фокуса F1(x1:y1)

Координаты второго фокуса F2(x2:y2)

Фокальный параметр

Перифокусное расстояние

Апофокусное расстояние

И еще один пример

Даны две точки с координатами (3:2) и (4:-9) построить каноническое уравнение эллипса.

Если мы введем данные в калькулятор получим

Большая полуось эллипса

Малая полуось эллипса

Как видно, одна из осей не может быть определена, так как нам придется брать корень квадратный из отрицательного числа, а следовательно одна из осей будет комплексным числом, что быть не может.

Таким образом по этим двум точкам, нельзя построить эллипс.

А что же можно построить? Перейдя по ссылке данной в начале статьи, мы можем увидеть что это каноническое уравнение гиперболы.

Более подробно, про гиперболу есть отдельный калькулятор Каноническое уравнение гиперболы по двум точкам

Видео:Видеоурок "Уравнение прямой, проходящей через две точки"Скачать

Уравнение эллипса проходящего через две точки

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2 a .

Обозначим фокусы через F ₁ и F ₂ , расстояние между ними через 2 c , а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов – через 2 a . По определению 2 a > 2 c , то есть a > c .

Выберем систему координат так, чтобы фокусы F ₁ и F ₂ лежали на оси 0 x , а начало координат совпадало с серединой отрезка F ₁ F ₂ . Тогда фокусы имют координаты: F ₁ (– c ;0) и F ₂ ( c ;0) . Пусть M ( x ; y ) – произвольная точка эллипса (текущая точка). Тогда по определению эллипса можно записать

По сути, мы получили уравнение эллипса. Упростим его с помощью ряда несложных математических преобразований:

Это уравнение равносильно первоначальному. Оно называется каноническим уравнением эллипса – кривой второго порядка .

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.

1. Уравнение (2.17) содержит x и y только в четных степенях, поэтому если точка ( x ; y ) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (– x ; y ), ( x ;– y ), (– x ;– y ) . Отсюда: эллипс симметричен относительно осей 0 x и 0 y , а также относительно точки O (0;0), которую называют центром эллипса.

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив y = 0, найдем точки A ₁ ( a ; 0) и A ₂ (– a ; 0), в которых ось 0 x пересекает эллипс. Положив в уравнении (2.17) x = 0, находим точки пересечения эллипса с осью 0 y : B ₁ (0; b ) и B ₂ (0;– b ). Точки A ₁ , A ₂ , B ₁ , B ₂ называются вершинами эллипса. Отрезки А₁А₂, В₁В₂, а также их длины 2 a и 2 b – соответственно большая и малая оси эллипса (рис. 2.4).

3. Из уравнения (2.17) следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е.:

Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, ограниченного прямыми x = ± a и y = ± b .

4. В уравнении (2.17) левая часть – сумма неотрицательных слагаемых, т.е. при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, если | x | возрастает, | y | уменьшается и наоборот.

Из сказанного следует, что эллипс имеет форму овальной замкнутой кривой. Форма эллипса зависит от отношения . При a = b эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса (2.17) принимает вид : x 2 + y 2 = a 2 . Отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса – эксцентриситет эллипса . Причем 0 ε 1, так как 0 c a .

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем будет менее эллипс сплющенным; при ε = 0 эллипс превращается в окружность.

Прямые – директрисы эллипса.

Если r – расстояние от произвольной точки до какого–нибудь фокуса, d – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы (рис. 2.5), то отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса: .

Из равенства a 2 – c 2 = b 2 следует, что a > b . Если же наоборот, то уравнение (2.17) определяет эллипс, большая ось которого 2 b лежит на оси 0 y , а малая ось 2 a – на оси 0 x . Фокусы такого эллипса находятся в точках F ₁ (0; c ) и F ₂ (0;– c ) , где . Данный эллипс будет растянут вдоль оси 0 y .

Пример 2.5. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний от нее до точки A (3;0) и до прямой x = 12, равно числу ε =0,5 . Полученное уравнение привести к простейшему виду .

Решение . Пусть M ( x ; y ) – текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр MB на прямую . Тогда точка B( 12;y) . По условию задачи .

По формуле расстояния между двумя точками получаем:

Эксцентриситет эллипса

Примечание. Если эллипс (окружность) вращать вокруг одной из его осей, то описываемая им поверхность будет эллипсоидом вращения (сферой)

Пример 2.6. В геодезии используется система географических координат, основанная на понятии геоида. Геоид – поверхность Земли, ограниченная уровенной поверхностью, продолженной под континенты. Поверхность геоида отличается от физической поверхности Земли, на которой резко выражены горы и океанические впадины.

Тело, поверхность которого более всего соответствует поверхности геоида, имеет определенные размеры и ориентирована соответственно в теле Земли, называется референц–эллипсоидом. В нашей стране с 1946 года для всех геодезических работ принят референц–эллипсоид Красовского с параметрами a = 6 378 245 м, b = 6 356 863 м, α = 1: 298,3.

Линия, проходящая вертикально через центр эллипсоида является полярной осью. Линия, проходящая через центр эллипсоида, перпендикулярно к полярной оси, – экваториальной осью. При пересечении поверхности эллипсоида плоскостью, проходящей через его центр, перпендикулярно к полярной оси, образуется окружность, называемая экватором. Окружность, полученная от пересечения поверхности эллипсоида плоскостью, параллельной плоскости экватора, называется параллелью. Линия пересечения поверхности эллипсоида с плоскостью, проходящей через заданную точку и полярную ось, называется меридианом данной точки. Положение точки на земной поверхности определяется пересечением параллели и меридиана, проходящих через нее. Угол φ между плоскостью экватора и отвесной линией называется географической широтой. Для определения долгот точек один из меридианов (Гринвичский) принимают за начальный или нулевой. Угол λ, составленный плоскостью меридиана, проходящего через данную точку, и плоскостью начального меридиана, называется географической долготой

Гипербола – геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости – фокусов, есть величина постоянная, равная 2 a .

Обозначим фокусы через F ₁ и F ₂ , расстояние между ними через 2 c , а модуль разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2 a . По определению 2 a 2 c , то есть a c .

Выберем систему координат x 0 y так, чтобы фокусы F ₁ и F ₂ лежали на оси 0 x , а начало координат совпало с серединой отрезка F ₁ F ₂ . Тогда фокусы будут иметь координаты F 1( c ;0 ) и F ₂ (– c ;0 ). На этой основе выведем уравнение гиперболы. Пусть M ( x ; y ) – ее произвольная точка . Тогда по определению | MF ₁ – MF ₂ |= 2 a , то есть . Проведя преобразования, аналогичные упрощениям уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы:

где b 2 = a 2 – c 2 . Гипербола – линия 2–го порядка.

Установим форму гиперболы, исходя из ее канонического уравнения.

1. Уравнение (2.18) содержит x и y только в четных степенях. Следовательно, гипербола симметрична относительно осей координат 0 x и 0 y , и относительно точки O (0;0) – центра гиперболы.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив в уравнении (2.18) y =0 , находим две точки пересечения гиперболы с осью 0 x : A ₁ ( a ; 0) и A ₂ (– a ; 0).

Положив в (2.18) x = 0, получаем y 2 = – b 2 , чего быть не может. Т.е. гипербола ось 0 y не пересекает.

3. Из уравнения (2.18) следует, что уменьшаемое . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой x = a (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой x =– a (левая ветвь) (рис. 2.6).

4. Из уравнения (2.18) гиперболы видно, что когда | x | возрастает, то | y | также возрастает . Это следует из того, что разность – сохраняет значение, равно e единице. Следовательно, гипербола имеет форму, состоящую из двух неограниченных ветвей.

Прямая L называется асимптотой некоторой неограниченной кривой , если расстояние d от точки M этой кривой до прямой L стремится к нулю при неограниченном удалении т очки M вдоль кривой от начала координат.

Покажем, что гипербола имеет две асимптоты: . Так как данные прямые и гипербола (2.18) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только точки, расположенные в первой четверти.

Возьмем на прямой точку N , имеющую ту же абсциссу, что и точка M ( x ; y ) на гиперболе . Найдем разность | MN | :

Очевидно: так как числитель есть величина постоянная, а знаменатель дроби увеличивается с возравстанием переменной х, то длина отрезка | MN | стремится к нулю. Так как | MN | больше расстояния d от точки M до прямой L, то d стремится к нулю тем более ( и подавно) . Следовательно, прямые – есть асимптоты гиперболы (рис. 2.7).

Построение гиперболы начинают с нанесения ее основного прямоугольника на координатную плоскость. Далее проводят диагонали этого прямоугольника, которые являются асимптотами гиперболы, затем отмечают ее вершины, фокусы и строят ветви гиперболы .

Эксцентриситет гиперболы – отношение расстояния между фокусами к величине её действительной оси, обозначается ε : . Так как у гиперболы c > a , то эксцентриситет ее больше единицы. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Так как . Видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник.

Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен . Действительно, . Фокальные радиусы , для точек правой ветви гиперболы имеют вид: r ₁ = εx + a , r ₂ = εx – a ; для точек левой ветви: r ₁ =–( εx + a ), r ₂ =–( εx – a ) .

Прямые называются директрисами гиперболы. Тот факт, что для гиперболы ε > 1, то означает : правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, левая – между центром и левой вершиной. Директрисы гиперболы имеют тоже свойство , что и директрисы эллипса.

Уравнение определяет гиперболу с действительной осью 2 b , расположенной на оси 0 y , и мнимой осью 2 a, расположенной на оси абсцисс (подобная гипербола изображена на рисунке 2.7 пунктиром).

Значит , гиперболы и имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

Примечание. Если у кривой 2–го порядка смещен центр в некоторую точку O ’ ( x ₀ ; y ₀ ) , то она называется нецентральной кривой. Уравнение такой кривой имеет вид:

Примечание. При вращении гиперболы вокруг ее действительной оси образуется двуполостный гиперболоид, вокруг ее мнимой оси – однополостный гиперболоид

Подробно данные уравнения рассмотрены в теме: «Исследование общего уравнения 2–ой степени» (смотри схему 10), частными случаями которого являются данные формулы.