Уравнение электромагнитной волны в диэлектрике (3 видео)

Электромагнитная волна в диэлектрике.

Решение волнового уравнения для плоских волн.

Для этого случая считаем, что источники бесконечно удалены и поэтому правые части волновых уравнений равны нулю.

Решение этих уравнений производится в прямоугольной системе координат, так как только в этой системе координатные поверхности являются плоскими.

Решением этой системы уравнений являются

= = (5)

= =

— волновое сопротивление среды.

Векторы и плоской волны взаимно перпендикулярны.

Вектор Пойтинга направлен параллельно оси OZ и равен

= =

Электромагнитная волна в диэлектрике.

В некоторый момент времени t1напряженность электрического поля волны распределена по оси Z косинусоидально

По прошествии времени Δt волна переместится вправо по оси OZ на расстояние ΔZ. Величина напряженности … имевшее место в точке Z1, теперь будет в точке Z2=Z1+ .

Для этих точек будет справедливо равенство.

Откуда получаем равенство фаз

или

Отсюда находим . . Так как величина υ найдена из условия перемещения точек постоянной фазы то она представляет собой фазовую скорость.

Длина волны в диэлектрике определяется как расстояние на которое переместится волна при котором в момент времени t₁ фаза изменится на 2π. Отсюда можно записать указанные изменения фазы

…. или

….. отсюда

…

Структура электромагнитной волны в пространстве для диэлектрической среды имеет вид

В случае диэлектрика …. – действительное число, поэтому … и … совпадают по фазе.

Мгновенное значение вектора Пойнтинга имеет вид

Электромагнитная волна в полупроводящей среде

В случае среды с конечной проводимостью … — величина комплексная.

где ……………….. –коэффициент фазы или волновое число:

…………….. – коэффициент затухания (поглощения)

Отметим, что для случая диэлектрика … (проводимость)…. (затухания нет), а ….. .

где ….. – модуль волнового сопротивления среды

…. – аргумент волнового сопротивления среды.

Из приведенных формул следует, что при распространении в среде с конечной проводимостью электромагнитная волна ослабляется (затухает при увеличении расстояния). Затухание амплитуд напряженности определяется множителем … , то есть коэффициентом затухания. Фазовая скорость

Структура поля волны предустновлена двумя взаимно перпендикулярными гармоническими колебаниями, не совпадающими по фазе (волна H сдвинута в пространстве относительно волны Е на расстояние …, где … — аргумент волнового сопротивления).

Мгновенное значение вектора Пойнтинга

Структура волны в диэлектрике имеет вид

где под Z можно подразумевать любую из величин , , , ϕ_СК, a I_z— источник.

Полученное уравнение относится к классу неоднородных линейных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа.

(8)

Является однородным волновым уравнением ( например, описывающим колебания бесконечной струны, натянутой вдоль У) Решением (8) являются плоские волны Z , бегущие со скоростью…. В направлении

( )- =0 Z- это не ось координат, а аналог ϕ_ск

Имеет своим решением бесконечный набор пар плоских волн типа ϕ( (ϑ), ϕ(t (ϑ))) бегущих в любых направлениях в плоскости XOY( цилиндрическая волна)

Решением трехмерного уравнения

( )- =0

ΔZ- =0

Является трехмерная ( сферическая) волна ϕ(t- ) складывающаяся из бесконечного набора пар плоских волн, разбегающихся из начала трехмерной системы координат XYZ во всех направлениях.

Если источники поля распределены в конечном объеме V, то

Z(z,t)= dv — набег фазы.

(z,t)= dv

ϕ_ск(z,t)= dv

Таким образом , любое возмущение состояния электромагнитного поля приводит к появлению сферических волн ϕ, которые разбегаются со скоростью ϑ во всех направлениях от источника.

Скоростью распространения электромагнитной волны определяется параметрами той среды, в которой она распространяется.

ϑ=

Видео:Физика. Лекция 8. Уравнения Максвелла и электромагнитные волны.Скачать

4.1. Плоская электромагнитная волна в диэлектрике. Скорость распространения электромагнитной волны

При исследовании процессов в переменном электромагнитном поле пользуются полной системой уравнений Максвелла.

Здесь — плотность тока переноса

где r₊ и r_— – объемная плотность положительно заряженных частиц и отрицательно заряженных частиц, перемещающихся в пространстве со скоростью соответственно.

Для плоской, поляризованной электромагнитной волны, излучаемой источниками, не содержащими постоянных токов и зарядов (антенна), и распространяющейся в идеальном диэлектрике (g=0), уравнения электромагнитного поля можно преобразовать к следующему виду:

Отметим, что электромагнитная волна называется плоской, когда векторы зависят только от одной координаты, например z.

Поляризованной называется такая волна, в которой вектор напряженности электрического поля все время остается параллельным некоторому направлению (например, как в нашем случае, оси ох), а вектор напряженности магнитного поля – другому (оси оy).

Такие условия обеспечиваются при излучении электромагнитных волн неподвижной антенной на достаточно большом расстоянии от нее.

Таким образом, в электромагнитной волне, свободно распространяющейся в однородном и изотропном диэлектрике, векторы взаимно перпендикулярны ().

Уравнения (4.1) и (4.2) можно преобразовать к следующему виду:

имеет размерность скорости.

Уравнение (4.3) является уравнением колебаний или волновым уравнением и относится к гиперболическому типу.

Как известно, решение такого уравнения всегда можно представить в виде:

При этом составляющая Е_х1 называется прямо бегущей или прямой волной (перемещается в положительную сторону оси oz со скоростью u), а составляющая Е_х2 – обратно бегущей или обратной волной (перемещается в отрицательную сторону оси oz со скоростью u).

Используя выражения (4.1), (4.2) и (4.4) получаем формулу для напряженности магнитного поля

Составляющие Н_х1 и Н_х2 также называют прямой и обратной волной.

Таким образом, электромагнитная волна распространяется в пространстве со скоростью u (в прямом или в обратном направлении).

В частности, в пустоте (m=m₀, e=e₀) эта скорость равна скорости света (u=2.998*10 8 м/с»3*10 8 м/с).

Если существует только прямая или только обратная волна, то энергии электрического и магнитного полей равны между собой, так как при этом равны их объемные плотности

Отношение Е_х1/Н_у1=?`m¤e=Z_в имеет размерность электрического сопротивления и называется волновым сопротивлением среды.

В частности, для пустоты Z_в=377Ом (Z_в =120p).

Таким образом, для любой среды

В случае, если прямая электромагнитная волна распространяется в среде, абсолютное значение магнитной проницаемости которой m=m₁, а абсолютное значение диэлектрической проницаемости e=e₁, и подходит нормально (перпендикулярно) к плоской границе, разделяющей данную среду и среду с m=m₂ и e=e₂, то прямая волна (Е_х1=Е_j₁, Н_х1=Н_j₁) частично будет проходить сквозь поверхность раздела, образуя во второй среде преломленную (прямую) волну (Е_j₂, Н_j₂), а частично будет отражаться от поверхности раздела, образуя в первой среде отраженную (обратную) волну (Е_х2=Е_y₁, Н_х2=Н_y₁).

Соотношение между напряженностями поля для этих волн на поверхности раздела можно представить следующим образом:

-соответствующие волновые сопротивления первой и второй среды.

Если волновые сопротивления сред равны между собой (Z_в1= Z_в2), то отраженные волны отсутствуют.

В случае, когда источник (антенна) излучает электромагнитную волну, в которой напряженность электрического и магнитного поля изменяется по гармоническому закону, то для прямой волны

Здесь y_н— начальная фаза; w – угловая частота колебаний (w=2pf).

Расстояние, на которое распространяется электромагнитная волна в течение одного периода колебаний Т (Т=1/f), называется длиной волны

Из данного выражения видно, что длина волны в диэлектрике обратно пропорциональна частоте f. Так, при частоте f=1 МГц длина волны в пустоте равна 300 м, а при f=50Гц l=6000 км.

Видео:4.3 Плоские электромагнитные волны в идеальных диэлектрических средахСкачать

Курс I. Уравнения Максвелла в диэлектрической среде

Уравнения Максвелла в диэлектрической среде

Уравнения Максвелла в произвольной среде таковы

(1a)

система (1a) замыкается материальными соотношениями . Здесь — векторы электрической и магнитной индукции; — плотность токов проводимости; — плотность электрических зарядов; — величины, характеризующие свойства среды и считающиеся при этом заданными функциями точки, но не времени; — сторонние электродвижущие силы – заданные функции точки и времени.

Заметим, что в приведенном, общепринятом виде (1a) формулировка уравнений принадлежит Герцу (Максвелл уравнения приводил в интегральной форме).

Заметим также, что система (1a) – это постулат, обобщающий все известные до Максвелла явления электричества и магнетизма (Кулон 1785 г. – закон взаимодействия электрических зарядов; Эрстед 1820 г. – магнитное действие тока, существование связи между магнитными и электрическими явлениями; Ампер – все магнитные явления в природе вызваны электрическими токами (теория молекулярных токов Ампера); Фарадей 1831 г. – электромагнитная индукция; и т. д.)

Волновое уравнение. Электромагнитная природа света.

Для интересующих нас в дальнейшем диэлектриков с , система Максвелла принимает вид

(1.1)

откуда, если диэлектрическая проницаемость не зависит от времени, получаем

(1.2)

Из векторного анализа известно

тогда (1.2) принимает вид

(1.3)

Далее, из условия находим

, (1.4)

В результате, вместо (1.3) имеем

(1.5)

Аналогично, для найдем

(1.6)

В случае однородных диэлектриков , и (1.5),(1.6) принимают вид

(1.7)

Уравнения (1.7) называются волновыми. Их справедливость ограничена лишь требованием однородности среды и отсутствия в ней токов проводимости и свободных зарядов.

К ним относятся как граничные условия на поверхностях разделов сред, так и условия на границах рассматриваемой области пространства. Последние полностью определяются конкретными условиями задачи (например, условия на бесконечности).

Условия на границах разделов для диэлектриков (отсутствие поверхностных зарядов и токов проводимости) эквивалентны уравнениям

, , (1.8)

где индексы 1 и 2 относятся к двум граничащим средам, а t означает любое направление, касательное к поверхности раздела.

Плоские электромагнитные волны

Одним из простейших решений волнового уравнения является плоская волна.

Волна называется плоской, если в любой момент времени во всех точках произвольной плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, векторы поля постоянны. Если этим направлением считать ось z, то компоненты поля плоской, монохроматической волны имеют вид

, , (1.9)

где — частота; векторы , вообще говоря, комплексные и зависят только от координаты z.

Подстановка (1.9) в волновые уравнения (1.7) дает

, , (1.10)

где — волновое число в диэлектрике.

Элементарно решив (1.10), найдем решения волновых уравнений в случае плоских волн в виде

, , (1.11)

каждое из которых представляет собой суперпозицию двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях оси z. Здесь — произвольные постоянные интегрирования.

Обычно, в качестве решения рассматривается одна из волн, например,

, . (1.12)

С помощью найденного простейшего решения (1.12) можно продемонстрировать ряд важнейших общих свойств электромагнитных волн.

В частности, если ось z координатной системы не совпадает с направлением распространения волны, дифференцирование векторов поля по координатам сведется к их умножению на величину , где — единичный вектор в направлении распространения. Для однородных диэлектриков из уравнений Максвелла имеем

, , (1.13)

откуда следует, что векторы и перпендикулярны к , т. е. плоские электромагнитные волны – суть поперечные волны.

По аналогии, дифференцирование векторов поля по t сводится к их умножению на . В частности, из второго уравнения Максвелла (1.1) получаем

или, с учетом ,

. (1.14)

Последнее означает, что векторы и взаимно перпендикулярны, а три взаимно перпендикулярных вектора , и образуют правовинтовую систему.

Из (1.14) следует также, что , т. е. отношение числовых значений векторов и от времени не зависит, т. е. эти векторы обладают одинаковыми фазами и изменяются синхронно.

Всегда следует помнить, что физический смысл компонент поля, записанных в комплексной форме (см., например, запись (1.12)), несут лишь действительные части этих выражений. При этом каждая из декартовых компонент электрического и магнитного векторов поля плоской, монохроматической волны имеет вид

a>0. (1.15)

Здесь обозначает переменную часть фазового множителя, т. е.

, (1.16)

— направление распространения волны; — постоянная часть этого множителя.

Совместим ось z c . Тогда, в силу поперечности волны отличными от нуля будут только x — и y-компоненты векторов. Исследуем характер кривой, которую конец электрического (или магнитного) вектора описывает в произвольной точке пространства. Эта кривая – геометрическое место точек с координатами

(1.17)

a) Эллиптическая поляризация

После несложных математических операций исключим из (1.17) и получим

, (1.18)

где .

В аналитической геометрии показывается, что (1.18) представляет собой уравнение конического сечения, а более конкретно – уравнение эллипса. Этот эллипс вписан в прямоугольник, стороны которого параллельны координатным осям и имеют длины и . Таким образом, конец электрического вектора описывает эллипс в любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения.

Аналогично показывается, что конец магнитного вектора поля также описывает эллипс, вписанный в прямоугольник со сторонами в раз большими. Последнее следует, в частности, из соотношения (1.14).

Из общих физических соображений следует также различать две возможные эллиптические поляризации в соответствии с направлением, в котором конец электрического вектора описывает эллипс. В литературе сформировалось определение, согласно которому правой поляризация называется, когда наблюдателю, смотрящему навстречу световому лучу, кажется, что конец электрического вектора движется по часовой стрелке. Для левой эллиптической поляризации справедливо обратное.

Поскольку параметры в предыдущем рассмотрении были произвольными, то эллиптическую поляризацию электромагнитных волн следует считать наиболее общим из состояний поляризации. Более частные типы поляризации соответствуют определенным соотношениям между этими параметрами.

b) Линейная и круговая поляризации

Перейдем к рассмотрению частных случаев.

то эллипс (1.18) превратится в прямую линию. В самом деле, уравнение (1.18) переходит при этом в

, (1.19)

а конец электрического вектора в прямоугольнике колеблется вдоль одной из его диагоналей.

Иногда эта линейная поляризация называется еще плоской поляризацией. Понятно, что в этой ситуации магнитный вектор также линейно поляризован.

Другим частным случаем эллиптической поляризации является круговая. Переход от эллиптической к круговой поляризации происходит тогда, когда, во-первых, и, во-вторых,

, .

Уравнение (1.18) переходит при этом в уравнение окружности

, (1.20)

где также различают правую и левую поляризации.

Круговая поляризация иногда называется циркулярной.

Итак, во всех случаях поляризованного света концы векторов поля в каждой точке движутся периодически. В случае же неполяризованного света они движутся совершенно нерегулярно, и такие световые колебания не имеют никаких преимущественных направлений в плоскости, перпендикулярной направлению распространения.

Основные законы оптики – преломление света, отражение, полное внутреннее

Применим теперь найденные выше для плоских волн соотношения к исследованию распространения этих волн при наличии плоской границы, разделяющей два однородных, изотропных диэлектрика, занимающих два полупространства.

В задаче о преломлении волн на границе полубесконечной среды физический смысл имеет решение, основанное на предположении о наличии трех волн: падающей, отраженной и преломленной.

Падающая на границу волна порождает новый волновой процесс.

По определению плоская волна полностью определена, если известно ее поведение во времени в некоторой точке пространства. Вторичные поля, возникающие на границе, будут так же изменяться во времени, как и первичное поле падающей волны. Поэтому переменные части фазовых множителей трех волн в произвольной точке должны быть одинаковыми:

, (1.21)

где — единичные векторы в направлениях падающей, отраженной и преломленной волн; — скорости распростра

нения волн в обеих средах.

Выбрав в качестве границы раздела плоскость z=0, (1.21) запишем в виде

. (1.22)

Равенства должны выполняться для любых значений x и y на границе. Это дает

(1.23)

откуда следует, что все три вектора лежат в одной плоскости с нормалью к границе (в плоскости падения).

Выберем в качестве плоскости падения плоскость xz. Тогда y-компоненты векторов равны нулю, а прочие таковы:

(1.24)

где — углы, которые образуют с осью z (рис. 1).

Из (1.24) и (1.23) имеем

(1.25)

откуда , и из рис. 1 видно, что , т. е. угол падения равен углу отражения. В этом состоит закон отражения.

Из (1.25) следует также

(1.26)

Последнее соотношение вместе с утверждением, что нормаль к преломленной волне лежит в плоскости падения составляет закон преломления (или закон Снеллиуса).

Если > (луч падает из более плотной в менее оптически плотную среду), то из (1.26) видно, что для любого угла падения существует вещественный угол преломления ( воспользуемся им и положим

Тогда (1.27) примет вид

(1.28)

Ясно также, что физический смысл имеет лишь нижний знак перед корнем во втором сомножителе в (1.28).

Из (1.28) следует, и это подтверждается опытным путем, что электромагнитное поле в среде 2 все же не равно нулю. Волна (1.28) представляет собой неоднородную волну, распространяющуюся в плоскости падения вдоль x по поверхности раздела сред и с экспоненциально падающей с ростом z амплитудой. Эта волна не является поперечной, поскольку ее компонента электрического вектора . Эффективная глубина ее проникновения в обе стороны от поверхности раздела сред оказывается порядка длины волны.