Уравнение бернулли для вязкой жидкости его интерпретация (7 видео)

Содержание

Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли
Лекция 4
4.2. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли
4.3. Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли
4.4. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости
Основы гидравлики
Уравнение Бернулли — фундамент гидродинамики
Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли
Пример решения задачи на определение расхода жидкости
📸 Видео

Видео:Уравнение Бернулли гидравликаСкачать

Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли

Выше было получено уравнение Бернулли с использованием энергетических характеристик жидкости. Суммарной энергетической характеристикой жидкости является её гидродинамический напор.

С физической точки зрения это отношение величины механической энергии к величине веса жидкости, которая этой энергией обладает. Таким образом, гидродинамический напор нужно понимать как энергию единицы веса жидкости. И для идеальной жидкости эта величина постоянна по длине. Таким образом, физический смысл уравнения Бернулли это закон сохранения энергии для движущейся жидкости

Физический смысл слагаемых, входящих в уравнение следующий:

ü z –удельная потенциальная энергия положения – энергия, обусловленная положением (высотой) единицы веса жидкости относительно плоскости сравнения (нулевого уровня), принимаемой за начало отсчета;

ü – потенциальная энергия единицы веса жидкости — энергия, обусловленная степенью сжатия единицы веса жидкости, находящейся под давлением р;

ü — полная потенциальная энергия единицы веса жидкости;

ü – кинетическая энергия единицы веса жидкости — энергия, обусловленная движением единицы веса жидкости со скоростью υ;

ü — полная энергия единицы веса жидкости (полная удельная энергия).

3.7Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости

Поток идеальной жидкости, как указывалось ранее, можно представить совокупностью элементарных струек жидкости. Скорости по сечению потока неодинаковы, причём в середине потока скорости наибольшие, а к периферии они уменьшаются (струйная модель потока) (рисунок 3.4). Это означает, что различные струйки в одном сечении имеют различные значения кинетической энергии. Отсюда следует, что кинетическая энергия, посчитанная с использованием скоростей элементарных струек υ_S, и кинетическая энергия, посчитанная с использованием значения средней скорости потока υ, будет иметь разные значения.

Вводят коэффициент кинетической энергии или коэффициента Кориолисаα.Смысл этого коэффициента заключается в отношении действительной кинетической энергии потока в определённом сечении к кинетической энергии в том же сечении потока, но при равномерном распределении скоростей. При равномерном распределении скоростей его значение равно единице, а при неравномерном – всегда больше единицы и для любого потока его значение находится в пределах от 1 до 2 и более.

Учитывая коэффициент кинетической энергии, приведём уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости, которое примет вид:

Надо учесть, что в общем случае в разных сечениях потока коэффициент α будет иметь различные значения. При ламинарном режиме движения a=2; при развитом турбулентном режиме a=1,05 ¸ 1,1. Для большинства технических задач обычно принимается a=1.

3.8 Уравнение Бернулли для потока реальной (вязкой) жидкости

В реальных потоках жидкости присутствуют силы вязкого трения. В результате слои жидкости трутся друг об друга в процессе движения. На это трение затрачивается часть энергии потока. По этой причине в процессе движения неизбежны потери энергии. Эта энергия, как и при любом трении, преобразуется в тепловую энергию. Из-за этих потерь энергия потока жидкости по длине потока, и в его направлении постоянно уменьшается. Т.е. напор потока H_потока в направлении движения потока становится меньше. Если рассмотреть два соседних сечения 1-1 и 2-2, то потери гидродинамического напора Δh составят

где — напор в первом сечении потока жидкости,

— напор во втором сечении потока.

В этом случае уравнение Бернулли будет иметь вид

3.9Разность напоров и потери напора

Различие в применении терминов «разность напоров» и «потери напора»с одним и тем же обозначением Δh поясним на примерах.

Движение жидкости происходит только при наличии разности напоров(Δh = H₁— H₂), от точки с большим напором H₁к точке с меньшим H₂. Например, если два бака, заполненных водой до разных высотных отметок, соединить трубопроводом, то по нему начнётся перетекание в бак с меньшей отметкой уровня воды под влиянием разности напоров Δh, равной в этом случае разности отметок уровней воды в баках. При выравнивании уровней напоры в обоих баках становятся одинаковыми H₁= H₂, разность напоровΔh=0 и перетекание прекращается.

Потери напора Δh отражают потерю полной энергии потока при движении жидкости. Если в предыдущем примере на трубе установить задвижку и закрыть её, то движение воды прекратится и потерь напора не будет (Δh = 0), однако разность уровней воды будет создавать некоторую разность напоровΔh. После открывания задвижки вода вновь начнёт перетекать по трубе и общие потери напора в трубопроводе при движении из одного бака в другой будут равны разности напоров в баках Δh = H₁— H₂, то есть мы опять пришли к уравнению Бернулли.

Таким образом, «разность напоров»является причиной движения воды, а «потеря напора» — следствием. При установившемся движении жидкости они равны. Измеряются они в одних и тех же единицах СИ: метрах по высоте.

Обычно в гидравлических задачах при известных скорости или расходе Q определяемая величина Δh называется потерейнапора и, наоборот, при определении скорости или расхода Q известная Δh – разностью напоров.

3.10Кавитация

В некоторых случаях при движении жидкости в закрытых руслах происходят явления, связанные с изменением агрегатного состояния жидкости, т. с. с превращением ее в пар, а также с выделением из жидкости растворенных в ней газов. Например, при течении жидкости через местное сужение трубы (сечение 2-2) (рисунок 3.8) увеличивается скорость и падает давление согласно уравнению Бернулли

Рисунок 3.8 – Возникновение кавитации

Если абсолютное давление при этом достигает значения, равного давлению насыщенных паров этой жидкости при данной температуре, или давлению, при котором начинается выделение из нее растворенных газов, то в данном месте потока начинается интенсивное парообразование (кипение) и выделение газов. В расширяющейся части (сечение 3-3) скорость потока уменьшается, а давление возрастает, и выделение паров и газов прекращается; выделившиеся пары конденсируются, а газы постепенно вновь растворяются. Эта труба переменного сечения называется трубой Вентури, которая сначала плавно сужает поток, затем еще более плавно расширяет.

Это местное нарушение сплошности течения с образованием паровых и газовых пузырей (каверн), обусловленное местным падением давления в потоке, называется кавитацией.

Размеры зоны кавитации возрастают по мере увеличения скорости потока жидкости т. е. при увеличении давления в сечении 1-1, а следовательно, и расхода. Но давление в узком сечении 2-2 постоянно, потому, что постоянно давление насыщенных паров.

Кавитация сопровождается характерным шумом и вибрациями, а при длительном ее воздействии также эрозионным разрушением металлических стенок. Последнее объясняется тем. что конденсация пузырьков пара (и сжатие пузырьков газа) происходит со значительной скоростью, частицы жидкости, заполняющие полость конденсирующегося пузырька, устремляются к его центру и в момент схлопывания пузырька вызывают местные удары, т. е. значительное повышение давления в отдельных точках. Материал при кавитации разрушается не там, где выделяются пузырьки, а там, где они конденсируются. Это явление называется кавитационным износом.

При возникновении кавитации значительно увеличивается сопротивление трубопроводов и, следовательно, уменьшается их пропускная способность, потому что каверны уменьшают живые сечения потоков, скорость в которых резко возрастает.

Кавитация в обычных случаях является нежелательным явлением, и ее не следует допускать в трубопроводах и других элементах гидросистем. Она может возникать во всех местных гидравлических сопротивлениях, где поток претерпевает местное сужение с последующим расширением, например в кранах, вентилях, задвижках, диафрагмах, жиклерах и др. В отдельных случаях возникновение кавитации возможно также и без расширения потока вслед за его сужением, а также в трубах постоянного сечения при увеличении геометрической высоты и гидравлических потерь.

Кавитация возникает не только при движении жидкости в трубопроводе, но и при внешнем обтекании тел, в частности, на лопастях гребных винтов, рабочих колес насосов и гидравлических турбин.

Для оценки режима течения жидкости в каком-либо сечении потока вводят специальный критерий – число кавитации

где p,υ — давление и средняя скорость течения жидкости в данном сечении потока.

3.11Моделирование гидродинамических явлений

Существует два различных метода моделирования:

— физическое моделирование, т.е. на модели воспроизводится изучаемое явление с сохранением его физических свойств;

— математическое моделирование, т.е. исследование натурных состояний или процессов выполняется путем изучения явлений, имеющих иное физическое содержание, но описываемое теми же математическими зависимостями.

Кроме того следует различать две разных категории моделей:

— воображаемые или мысленные, которые не полностью отражают действительность и могут быть также названы идеальными телами или процессами. Эти модели исследуются теоретически и результаты их исследования могут быть применены к реальности с помощью поправочных коэффициентов. Эти модели могут быть описаны чертежами, словами или математическими знаками.

— материальные, которые воспроизводят в определенном масштабе конструкции или процессы, имеющие место в действительности. Эти модели могут быть воспроизведены в лаборатории или в полевых условиях.

Оба видов моделей могут относиться и к математическому и физическому моделированию.

В дальнейшем понятие моделирование будет относиться к «материальному физическому» моделированию.

В процессе проектирования различных гидросистем, трубопроводов, гидротехнических сооружений, гидравлических и газовых систем нередко возникает необходимость не только математического, но и натурного моделирования. В таком случае необходимо, чтобы работа гидросистемы действующей модели соответствовала функционированию реального объекта. Это означает, что различные характеристики потоков жидкости, которые имеют место в модели и в реальной системе, должны описываться одинаковыми закономерностями, хотя их численные значения могут существенно различаться. В натурной модели они меньше (как правило) или больше (встречается реже), чем в действительности. Для этого необходимо иметь критерии, которые позволяли ли бы «масштабировать» реальную систему. Эти критерии устанавливаются в теории подобия потоков жидкости.

Представим себе две геометрически подобные фигуры (рисунок 3.9). Сходственными точками этих фигур называются точки, одинаково расположенные по отношению к границам этих фигур. Причем в сходственных точках фигур на частицы жидкости (сплошной среды) действуют силы одной физической природы.

Рисунок 3.9 – Подобные потоки жидкости

Гидродинамическое подобие— это подобие потоков несжимаемой жидкости, включающее в себя подобие геометрическое, кинематическое и динамическое.

Геометрическое подобие означает пропорциональность сходственных размеров и равенство соответствующих углов. В гидравлике под геометрическим подобием понимают подобие тех поверхностей, которые ограничивают потоки жидкости, т.е. подобие русел или трубопроводов, по которым течёт жидкость.

Например, для двух трубопроводов: .

где δ – линейный масштаб подобия.

Кинематическоеподобие это подобие линий тока и пропорциональность сходственных скоростей. Это значит, что для кинематического подобия потоков требуется соблюдение геометрического подобия.

Например, для вращающегося движущегося тела

Т.о. кинематически подобные системы всегда будут геометрически подобными.

Динамическое подобие заключается в пропорциональности сил, действующих на сходственные элементы кинематически и геометрически подобных потоков, и равенство углов, характеризующих направление действия этих сил.

Т.е. можно сказать, что динамически подобными системами будут такие, для которых векторные поля сил, действующих на жидкость, образованы одноименными силами, причем эти поля будут геометрически подобными и одинаково ориентированы относительно границ систем.

В потоках жидкостей (в нашем случае в трубопроводах, в гидромашинах и т.д.) обычно действуют разные силы – силы давления, силы вязкого трения, силы тяжести, инерционные силы. Соблюдение пропорциональности всех сил, действующих в потоке, означает полное гидродинамическое подобие.

На практике полное гидродинамическое подобие достигается редко, поэтому обычно ограничиваются частичным (неполным) гидродинамическим подобием, при котором имеется пропорциональность лишь основных сил.

Записывается подобие следующим образом. Например, пропорциональность сил давления Р и сил трения Т, действующих в потоках I и II, можно записать в виде

3.12Теория ламинарного и турбулентного движения жидкости

3.12.1Режимы течения жидкости в трубах

Еще в середине XIX века в результате опытов Гагена (1838 г.), Пуазейля (1841 г.) было установлено, что существуют два принципиально различных режима течения жидкости. Наиболее полно этот вопрос исследовал О.Рейнольдс (1883 г.). Различные режимы течения жидкости можно наблюдать вводя в поток подкрашивающую струйку красителя (рисунок 3.10).

Рисунок 3.10 – Схема установки О. Рейнольдса.

Замечено, что при небольшой скорости воды струйка красителя вытягивается в тонкую нить, которая, не размываясь, достигает конца трубы. Это свидетельствует о том, что пути частиц прямолинейны и параллельны друг другу.

Режим движения, при котором поток жидкости движется параллельно, скользящими друг относительно друга слоями или струйками, называется ламинарным. При этом режиме слои потока жидкости между собой не перемешиваются и движение происходит без пульсаций скорости. Ламинарный режим можно наблюдать в капиллярных трубках при движении вязких жидкостей типа нефти, мазута, сахарного сиропа и т. д.

Рисунок 3.11 – Схема развития турбулентности.

Если скорость воды в трубе увеличивать сверх определенного предела, то окрашенная струйка сначала приобретает волнообразное движение (рисунок 3.11), а затем начинает размываться, смешиваясь с водой. Такое неоднородное движение, при котором отдельные частицы жидкости движутся по беспорядочным, хаотическим траекториям, налагающимся на осредненное движение, называется турбулентным. В турбулентном потоке происходят пульсации скоростей, под действием которых частицы жидкости, движущиеся в главном (осевом) направлении, получают поперечные перемещения, приводящие к интенсивному перемешиванию потока по сечению.

Переход ламинарного режима в турбулентный происходит при определённой средней скорости течения υ_ср, которая зависит от диаметра трубы и вязкости жидкости. Эту скорость называют критической и определяют по формуле

где — безразмерный коэффициент равный для всех жидкостей и газов, а также для любых диаметров труб.

Т.е. изменение режима течения происходит при определённом соотношении между скоростью, диаметром и вязкостью ν

Полученное безразмерное число называется критическим числом Рейнольдса. С физической точки зрения число Рейнольдса есть отношение сил инерции потока к силам трения.

Опытным путём установлено, что критическое число Рейнольдса для круглых труб — 2320для круглых труб, а для других сечений 580.

Для определения режима движения в потоке надо найти фактическое число Рейнольдса Re , которое можно установить для любого потока по формуле

и сравнить его с критическим числом Re_кр.

При движении жидкости в прямых круглых трубах на участках, достаточно удаленных от входа, и при отсутствии различных возмущающих условий установлено, что

¾ при Re 2320 – режим движения жидкости – турбулентный.

где k_т и k_л – коэффициенты пропорциональности (сопротивления трубопровода).

Различие между ламинарным и турбулентным режимами имеется также и в распределении скоростей в живом сечении потока.

При ламинарном режиме распределение скорости по сечению имеет параболический закон (рисунок 3.12, а); при турбулентном режиме закон распределения более сложный (рисунок 3.12, б).

Рисунок 3.12 – Распределение скорости в поперечном сечении трубы при ламинарном и турбулентном режиме движения жидкости.

Видео:Урок 133. Закон Бернулли. Уравнение БернуллиСкачать

Лекция 4

4.1. Уравнение Бернулли для жидкости

Рассмотрим поток жидкости, проходящий по трубопроводу переменного сечения (рис. 10). В первом сечении гидродинамический напор пусть равен H1. По ходу движения потока часть напора H1 необратимо потеряется из-за проявления сил внутреннего трения жидкости и во втором сечении напор уменьшится до H2 на величину потерь напора H.

Уравнение Бeрнýлли для жидкости в самом простейшем виде записывается так:

то есть это уравнение для двух сечений потока в направлении его течения, выраженное через гидродинамические напоры и отражающее закон сохранения энергии (часть энергии переходит в потери) при движении жидкости.

Уравнение Бeрнýлли в традиционной записи получим, если в последнем равенстве раскроем значения гидродинамических напоров H1 и H2 (м) :

Энергетический смысл уравнения Бeрнулли заключается в том, что оно отражает закон сохранения энергии: сумма потенциальной z+hp, кинетической v2/2g энергии и энергии потерь H остаётся неизменной во всех точках потока.

4.2. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

Положение любой частицы жидкости относительно некоторой произвольной линии нулевого уровня 0-0 определяется вертикальной координатой Z. Для реальных гидравлических систем это может быть уровень, ниже которого жидкость из данной гидросистемы вытечь не может. Например, уровень пола цеха для станка или уровень подвала дома для домашнего водопровода.

· Как и в гидростатике, величину Z называют нивелирной высотой.

· Второе слагаемое — носит название пьезометрическая высота. Эта величина соответствует высоте, на которую поднимется жидкость в пьезометре, если его установить в рассматриваемом сечении, под действием давления P.

· Сумма первых двух членов уравнения ¾ гидростатический напор.

· Третье слагаемое в уравнения Бернулли называется скоростной высотой или скоростным напором. Данную величину можно представить как высоту, на которую поднимется жидкость, начавшая двигаться вертикально со скорость u при отсутствии сопротивления движению.

· Сумму всех трёх членов (высот) называют гидродинамическим или полным напором и, как уже было сказано, обозначают буквой Н.

Уравнение бернулли для вязкой жидкости его интерпретация

Все слагаемые уравнения Бернулли имеют размерность длины и их можно изобразить графически.

4.3. Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли

С физической точки зрения это отношение величины механической энергии к величине веса жидкости, которая этой энергией обладает. Таким образом, гидродинамический напор нужно понимать как энергию единицы веса жидкости. И для идеальной жидкости эта величина постоянна по длине. Таким образом, физический смысл уравнения Бернулли это закон сохранения энергии для движущейся жидкости.

Физический смысл слагаемых, входящих в уравнение следующий:

· Z — потенциальная энергия единицы веса жидкости (удельная энергия) – энергия, обусловленная положением (высотой) единицы веса жидкости относительно плоскости сравнения (нулевого уровня), принимаемой за начало отсчета;

· — потенциальная энергия единицы веса жидкости — энергия, обусловленная степенью сжатия единицы веса жидкости, находящейся под давлением ;

· — полная потенциальная энергия единицы веса жидкости;

· — кинетическая энергия единицы веса жидкости — энергия, обусловленная движением единицы веса жидкости со скоростью u;

· H — полная энергия единицы веса жидкости (полная удельная энергия).

4.4. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

В реальных потоках жидкости присутствуют силы вязкого трения. В результате слои жидкости трутся друг об друга в процессе движения. На это трение затрачивается часть энергии потока. По этой причине в процессе движения неизбежны потери энергии. Эта энергия, как и при любом трении, преобразуется в тепловую энергию. Из-за этих потерь энергия потока жидкости по длине потока, и в его направлении постоянно уменьшается. Т. е. напор потока Hпотока в направлении движения потока становится меньше. Если рассмотреть два соседних сечения 1-1 и 2-2, то потери гидродинамического напора Δh составят:

где H1-1— напор в первом сечении потока жидкости,

H2-2 — напор во втором сечении потока,

∆h — потерянный напор — энергия, потерянная каждой единицей веса движущейся жидкости на преодоление сопротивлений на пути потока от сечения 1-1 до сечения 2-2.

С учётом потерь энергии уравнение Бернулли для потока реальной жидкости будет выглядеть

Индексами 1 и 2 обозначены характеристики потока в сечениях 1-1 и 2-2.

Если учесть, что характеристики потока V и α зависят от геометрии потока, которая для напорных потоков определяется геометрией трубопровода, понятно, что потери энергии (напора) в разных трубопроводах будут изменяться неодинаково. Показателем изменения напора потока является гидравлический уклон I, который характеризует потери напора на единице длины потока. Физический смысл гидравлического уклона – интенсивность рассеяния энергии по длине потока. Другими словами, величина I показывает, как быстро трубопровод поглощает энергию потока, протекающего в нём

Изменение энергии по длине потока удобно проследить на графиках. Из уравнения Бернулли для потока реальной жидкости (закона сохранения энергии) видно, что гидродинамическая линия для потока реальной жидкости (с одним источником энергии) всегда ниспадающая. То же справедливо и для пьезометрической линии, но только в случае равномерного движения, когда скоростной напор а уменьшение напора происходит только за счёт изменения потенциальной энергии потока, главным образом за счёт уменьшения давления P.

4.5. Разность напоров и потери напора

Различие в применении терминов «разность напоров» и «потери напора» с одним и тем же обозначениемH поясним на примерах.

Движение жидкости происходит только при наличии разности напоров (H = H1 — H2), от точки с бóльшим напором H1 к точке с меньшим H2. Например, если два бака, заполненных водой до разных высотных отметок, соединить трубопроводом, то по нему начнётся перетекание в бак с меньшей отметкой уровня воды под влиянием разности напоров H, равной в этом случае разности отметок уровней воды в баках. При выравнивании уровней напоры в обоих баках становятся одинаковыми H1 = H2 , разность напоров H=0 и перетекание прекращается.

Потери напора H отражают потерю полной энергии потока при движении жидкости. Если в предыдущем примере на трубе установить задвижку и закрыть её, то движение воды прекратится и потерь напора не будет (H = = 0), однако разность уровней воды будет создавать некоторую разность напоров H. После открывания задвижки вода вновь начнёт перетекать по трубе и общие потери напора в трубопроводе при движении из одного бака в другой будут равны разности напоров в баках H = H1 — H2 , то есть мы опять пришли к уравнению Бернулли.

Таким образом, «разность напоров» является причиной движения воды, а «потеря напора» — следствием. При установившемся движении жидкости они равны. Измеряются они в одних и тех же единицах СИ: метрах по высоте.

Обычно в гидравлических задачах при известных v или q определяемая величина H назывется потерей напора и, наоборот, при определении v или q известная H — разностью напоров.

4.6. Связь давления и скорости в потоке

Связь давления и скорости в потоке жидкости — обратная: если в каком-то месте потока скорость увеличивается, то давление здесь малó, и, наоборот, там, где скорости невелики, давление повышенное. Эту закономерность объясним на основе уравнения Бернýлли.

Рассмотрим работу водоструйного насоса (см. рис. 11). На подходе по нагнетательному трубопроводу 1 поток рабочей жидкости имеет относительно небольшую скорость v1 и высокое избыточное давление pизб1. Проходя через соплó 2, поток сужается, скорость его резко возрастает до v2. Для дальнейших рассуждений запишем уравнение Бернýлли так:

Здесь нет z1 и z2, так как труба горизонтальная, а величиной потерь напора DH» 0 пренебрегаем. Так как в правой части уравнения кинетическая составляющая энергии потока резко возросла из-за увеличения v2, то потенциальная составляющая, связанная с избыточным давлением после соплá pизб2, наоборот, уменьшится. Величину pизб2 можно выразить из этого уравнения и найти численное значение. Если pизб2 получается отрицательным, то, значит, возник вакуум (полное давление в струе стало меньше атмосферного). В последнем случае пьезометрическая линия опустится ниже отметки самой струи (см. рис 11).

Таким образом в струе рабочей жидкости после соплá образуется область пониженного давления или даже вакуум, что вызывает подсос транспортируемой жидкости по всасывающему трубопроводу 3 (см. рис. 11). Далее обе жидкости смешиваются в горловине 4 и транспортируются по отводящему трубопроводу 5.

Водоструйные насосы не имеют трущихся частей, в этом их преимущество перед механическими. По их принципу работают также эжекторы, гидроэлеваторы, насосы для создания вакуума.

Видео:Уравнение Бернулли для потока жидкостиСкачать

Основы гидравлики

Видео:Уравнение Бернулли и его приложения | Гидродинамика, ГидравликаСкачать

Уравнение Бернулли — фундамент гидродинамики

Бернулли — вне всякого сомнения — имя, знакомое и специалистам, и обывателям, которые хоть немного интересуются науками. Этот человек оставил ослепительный след в истории познавания человечеством окружающего мира, как физик, механик, гидравлик и просто общепризнанный гений, Даниил Бернулли навсегда останется в памяти благодарных потомков за свои идеи и выводы, которые долгое время существования человечества были покрыты мраком неизведанного.
Открытия и законы, которыми Бернулли осветил путь к познанию истины, являются фундаментальными, и придали ощутимый импульс развитию многих естественных наук. К таковым относится и уравнение Бернулли в Гидравлике, которое он вывел почти три века назад. Данное уравнение является основополагающим законом этой сложной науки, объясняющим многие явления, описанные даже древними учеными, например, великим Архимедом.

Попробуем уяснить несложную суть закона Бернулли (чаще его называют уравнением Бернулли), описывающего поведение жидкости в той или иной ситуации.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока, которая ограничена сечениями S₁ и S₂ , (рис. 1) .
(Понятие идеальной жидкости абстрактно, как и понятие всего идеального. Идеальной считается жидкость, в которой нет сил внутреннего трения, т. е. трения между отдельными слоями и частицами подвижной жидкости).
Пусть в месте сечения S₁ скорость течения ν₁ , давление p₁ и высота, на которой это сечение расположено, h₁ . Аналогично, в месте сечения S₂ скорость течения ν₂ , давление p₂ и высота сечения h₂ .

За бесконечно малый отрезок времени Δt жидкость переместится от сечения S₁ к сечению S₁‘ , от S₂ к S₂‘ .

По закону сохранения энергии, изменение полной энергии E₂ — E₁ идеальной несжимаемой жидкости равно работе А внешних сил по перемещению массы m жидкости:

где E₁ и E₂ — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S₁ и S₂ соответственно.

С другой стороны, А — это работа, которая совершается при перемещении всей жидкости, расположенной между сечениями S₁ и S₂ , за рассматриваемый малый отрезок времени Δt .
Чтобы перенести массу m от S₁ до S₁‘ жидкость должна переместиться на расстояние L₁ = ν₁Δt и от S₂ до S₂‘ — на расстояние L₂ = ν₂Δt . Отметим, что L₁ и L₂ настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 1 , приписывают постоянные значения скорости ν , давления р и высоты h .
Следовательно,

где F₁ = p₁S₁ и F₂ = — p₂S₂ (сила отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; см. рис. 1).

Полные энергии E₁ и E₂ будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:

Подставляя (3) и (4) в (1) и приравнивая (1) и (2) , получим

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости, объем, занимаемый жидкостью, всегда остается постоянным, т. е.

Разделив выражение (5) на ΔV , получим

где ρ — плотность жидкости.

После некоторых преобразований эту формулу можно представить в другом виде:

Поскольку сечения выбирались произвольно, то в общем случае можно записать:

ρv 2 /2 +ρgh +p = const (6) .

Выражение (6) получено швейцарским физиком Д. Бернулли (опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли.

Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli, 1700 — 1782), швейцарский физик, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики. Академик и иностранный почётный член (1733) Петербургской академии наук, член Академий: Болонской (1724), Берлинской (1747), Парижской (1748), Лондонского королевского общества (1750).

Уравнение Бернулли по своей сути является интерпретацией закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Уравнение хорошо выполняется и для реальных жидкостей, для которых внутреннее трение не очень велико.

Величина р в формуле (6) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела) , величина ρν 2 /2 — динамическим давлением, величина ρgh — гидростатическим давлением.

Статическое давление обусловлено взаимодействием поверхности жидкости с внешней средой и является составляющей внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема жидкости (т. е. характеризуется взаимодействием внутренних частиц жидкости, вызванных внешним возмущением — давлением) , а гидростатическое – положением этого объема жидкости в пространстве (зависит от высоты над поверхностью Земли) .
Динамическое давление характеризует кинематическую составляющую энергии этого объема, поскольку зависит от скорости потока, в котором движется рассматриваемый элементарный объем жидкости.

Для горизонтальной трубки тока изменение потенциальной составляющей ρgh будет равно нулю (поскольку h2 – h1 = 0) , и выражение (6) примет упрощенный вид:

ρv 2 /2 + p = const (7) .

Выражение p + ρν 2 /2 называется полным давлением.

Таким образом, содержание уравнения Бернулли для элементарной струйки при установившемся движении можно сформулировать так: удельная механическая энергия при установившемся движении элементарной струйки идеальной жидкости, представляющая собой сумму удельной потенциальной энергии положения и давления и удельной кинетической энергии, есть величина постоянная.

Все члены уравнения Бернулли измеряются в линейных единицах.

В гидравлике широко применяют термин напор, под которым подразумевают механическую энергию жидкости, отнесенную к единице ее веса (удельную энергию потока или неподвижной жидкости) .
Величину v 2 /2g называют скоростным (кинетическим) напором, показывающим, на какую высоту может подняться движущаяся жидкость за счет ее кинетической энергии.
Величину h_п = p/ρg называют пьезометрическим напором, показывающим на какую высоту поднимается жидкость в пьезометре под действием оказываемого на нее давления.
Величину z называют геометрическим напором, характеризующим положение центра тяжести соответствующего сечения движущейся струйки над условно выбранной плоскостью сравнения.

Сумму геометрического и пьезометрического напоров называют потенциальным напором, а сумму потенциального и скоростного напора — полным напором.

На основании анализа уравнения Бернулли можно сделать вывод, что при прочих неизменных параметрах потока (жидкости или газа) величина давления в его сечениях обратно пропорциональна скорости, т. е. чем выше давление, тем меньше скорость, и наоборот.
Это явление используется во многих технических конструкциях и устройствах, например, в карбюраторе автомобильного двигателя (диффузор), в форме крыла самолета. Увеличение скорости воздушного потока в диффузоре карбюратора приводит к созданию разрежения, всасывающего бензин из поплавковой камеры, а специальная форма сечения самолетного крыла позволяет создавать на его нижней стороне зону повышенного давления, способствующего появлению подъемной силы.

Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли

Поскольку напор измеряется в линейных величинах, можно дать графическую (геометрическую) интерпретацию уравнению Бернулли и его составляющим.

На графике (рис. 2) представлена горизонтальная плоскость сравнения 0-0 , относительно которой геометрический напор будет в каждом сечении равен вертикальной координате z центра тяжести сечения (линия геометрического напора проходит по оси струйки) .
Линия К-К , характеризующая потенциальный напор струйки, получена сложением геометрического и пьезометрического напора в соответствующих сечениях (т. е. разница координат точек линии К-К и соответствующих точек оси струйки характеризует пьезометрический напор в данном сечении) .
Полный напор характеризуется линией MN , которая параллельна плоскости сравнения О-О , свидетельствуя о постоянстве полного напора H’_e (удельной механической энергии) идеальной струйки в любом ее сечении.

При движении реальной жидкости, обладающей вязкостью, возникают силы трения между ограничивающими поток поверхностями и между слоями внутри самой жидкости. Для преодоления этих сил трения расходуется энергия, которая превращается в теплоту и рассеивается в дальнейшем движущейся жидкостью. По этой причине графическое изображение уравнения Бернулли для идеальной жидкости будет отличаться от аналогичного графика для реальной жидкости.
Если обозначить h_f потери напора (удельной энергии) струйки на участке длиной L , то уравнение Бернулли для реальной жидкости примет вид:

Для реальной жидкости полный напор вдоль струйки не постоянен, а убывает по направлению течения жидкости, т. е. его графическая интерпретация имеет вид не прямой линии, а некоторой кривой МЕ (рис. 3) . Заштрихованная область характеризует потери напора.

Падение напора на единице длины элементарной струйки, измеренной вдоль оси струйки, называют гидравлическим уклоном:

Гидравлический уклон положителен, если напорная линия снижается по течению жидкости, что всегда бывает при установившемся движении.

Для практического применения уравнения Бернулли необходимо распространить его на поток реальной жидкости:

где α₁ , α₂ — коэффициенты Кориолиса, учитывающие различие скоростей в разных точках сечения потока реальной жидкости.
На практике обычно принимают α₁ = α₂ = α : для ламинарного режима течения жидкости в круглых трубах α = 2, для турбулентного режима α = 1,04. 1,1.

Из уравнения Бернулли для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности ( S₁v₁Δt = S₂v₂Δt ) видно, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, которая имеет различные сечения, скорость жидкости больше в более узких местах (где площадь сечения S меньше) , а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно увидеть, установив вдоль трубы ряд манометров.

Данный опыт показывает, что в манометрической трубке В , которая прикреплена к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С , которые прикреплены к широкой части трубы, что соответствует уравнению Бернулли.

Так как динамическое давление зависит от скорости движения жидкости (газа) , то уравнение Бернулли можно использовать для измерения скорости потока жидкости. Принципиально это свойство жидкости для определения скорости потока реализовано в так называемой трубке Пито – Прандтля (обычно ее называют трубкой Пито ) .

Трубка Пито – Прандтля ( см. рис. 2 ) состоит из двух тонких стеклянных трубок, одна из которых изогнута под прямым углом (Г-образно) , а вторая — прямая.
Одним из свободных концов каждая трубка присоединена к манометру.
Изогнутая трубка имеет открытый свободный конец, направленный против тока и принимающий напор потока жидкости, а вторая погружена в поток перпендикулярно току, и скорость потока на давление внутри трубки не влияет, т. е. внутри этой трубки действует лишь статическая составляющая давления жидкости.
Разница между давлением в первой трубке (полное давление) и второй трубке (статическое давление) , которую показывает манометр, является динамическим давлением, определяемым по формуле:

Определив с помощью трубки Пито — Прандтля динамическое давление в потоке жидкости, можно легко вычислить скорость этого потока:

Уравнение Бернулли также используют для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, с маленьким отверстием в боковой стенке на некоторой глубине ниже уровня жидкости.

Рассмотрим два сечения (на уровне h₁ свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h₁ выхода ее из отверстия) и применим уравнение Бернулли:

Так как давления р₁ и р₂ в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. р₁ = р₂ , то уравнение будет иметь вид

Из уравнения неразрывности мы знаем, что ν₁/ν₂ = S₂/S₁ , где S₁ и S₂ — площади поперечных сечений сосуда и отверстия.
Если S₁ значительно превышает S₂ , то слагаемым ν₁ 2 /2 можно пренебречь и тогда:

Это выражение получило название формулы Торричелли.
Формулу Торричелли можно использовать для подсчета объемного (или массового) расхода жидкости, истекающего из отверстия в сосуде с поддерживаемым постоянно уровнем под действием атмосферного давления.
При этом используется формула Q = vS (для определения массового расхода – m = ρvS ) , по которой определяется расход жидкости за единицу времени.

Если требуется узнать расход жидкости за определенный промежуток времени t , то его определяют, умножив расход за единицу времени на время t .

Следует отметить, что такая методика расчета расхода реальной жидкости через отверстие в стенке сосуда дает некоторые погрешности, обусловленные физическими свойствами реальных жидкостей, поэтому требует применения поправочных коэффициентов (коэффициентов расхода) .

Пример решения задачи на определение расхода жидкости

Определить примерный объемный расход воды, истекающей из отверстия диаметром 10 мм, проделанном в вертикальной стенке широкого сосуда на высоте h = 1 м от верхнего, постоянно поддерживаемого, уровня воды за 10 секунд.
Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с 2 .
Коэффициент расхода воды через отверстие — µ_s = 0,62.

По формуле Торричелли определим скорость истечения воды из отверстия:

v = √2gh = √2×10×1 ≈ 4,5 м/с.

Определим расход воды Q за время t = 10 секунд:

Q = µ_svSt = 0,62×4,5×3,14×0,012/4 × 10 ≈ 0,0022 м 3 ≈ 2,2 литра.

На практике расход жидкости в трубопроводах измеряют расходомерами, например, расходомером Вентури. Расходомер Вентури (см рис. 2) представляет собой конструкцию из двух конических патрубков, соединенных цилиндрическим патрубком. В сечениях основной трубы и цилиндрического патрубка устанавливают трубки-пьезометры, которые фиксируют уровень жидкости, обусловленный полным давлением в потоке.

При прохождении жидкости через сужающийся конический патрубок часть потенциальной энергии потока преобразуется в кинетическую, и, наоборот, – при прохождении потока по расширяющемуся коническому патрубку, кинетическая энергия уменьшается, а потенциальная растет. Это сказывается на скорости движения жидкости по рассматриваемым участкам. Перепад высоты уровня жидкости в пьезометрах позволяет рассчитать среднюю скорость потока жидкости на рассматриваемых участках и вычислить объемный расход по внутреннему сечению трубы.
В расходомерах учитываются потери напора в самом приборе при помощи коэффициента расхода прибора φ .