Требования к факторам включаемым в уравнение множественной регрессии

Уравнение множественной регрессии

Назначение сервиса . С помощью онлайн-калькулятора можно найти следующие показатели:

• уравнение множественной регрессии, матрица парных коэффициентов корреляции, средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии;
• множественный коэффициент детерминации, доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения результативного признака;

Кроме этого проводится проверка на автокорреляцию остатков и гетероскедастичность.

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Отбор факторов обычно осуществляется в два этапа:

1. теоретический анализ взаимосвязи результата и круга факторов, которые оказывают на него существенное влияние;
2. количественная оценка взаимосвязи факторов с результатом. При линейной форме связи между признаками данный этап сводится к анализу корреляционной матрицы (матрицы парных линейных коэффициентов корреляции). Научно обоснованное решение задач подобного вида также осуществляется с помощью дисперсионного анализа — однофакторного, если проверяется существенность влияния того или иного фактора на рассматриваемый признак, или многофакторного в случае изучения влияния на него комбинации факторов.

Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям:

1. Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность.
2. Каждый фактор должен быть достаточно тесно связан с результатом (т.е. коэффициент парной линейной корреляции между фактором и результатом должен быть существенным).
3. Факторы не должны быть сильно коррелированы друг с другом, тем более находиться в строгой функциональной связи (т.е. они не должны быть интеркоррелированы). Разновидностью интеркоррелированности факторов является мультиколлинеарность — тесная линейная связь между факторами.

Пример . Постройте регрессионную модель с 2-мя объясняющими переменными (множественная регрессия). Определите теоретическое уравнение множественной регрессии. Оцените адекватность построенной модели.
Решение.
К исходной матрице X добавим единичный столбец, получив новую матрицу X

1	5	14.5
1	12	18
1	6	12
1	7	13
1	8	14

Матрица Y

9

13

16

14

21

Транспонируем матрицу X, получаем X T :

1	1	1	1	1
5	12	6	7	8
14.5	18	12	13	14

Умножаем матрицы, X T X =

5 38 71,5 38 318 563,5 71,5 563,5 1043,25

В матрице, (X T X) число 5, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы X T и 1-го столбца матрицы X

Умножаем матрицы, X T Y =

73 563 1032,5

Находим обратную матрицу (X T X) -1

13.99	0.64	-1.3
0.64	0.1	-0.0988
-1.3	-0.0988	0.14

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен

(X T X) -1 X T Y = y(x) =

13,99 0,64 -1,3 0,64 0,1 -0,0988 -1,3 -0,0988 0,14

*

73 563 1032,5

=

34,66 1,97 -2,45

Получили оценку уравнения регрессии: Y = 34.66 + 1.97X₁-2.45X₂
Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности. Для ее проверки используют F-критерий Фишера.
R 2 = 1 — s 2 _e/∑(y_i — y_ср) 2 = 1 — 33.18/77.2 = 0.57
F = R 2 /(1 — R 2 )*(n — m -1)/m = 0.57/(1 — 0.57)*(5-2-1)/2 = 1.33
Табличное значение при степенях свободы k₁ = 2 и k₂ = n-m-1 = 5 — 2 -1 = 2, Fkp(2;2) = 19
Поскольку фактическое значение F = 1.33 Пример №2 . Приведены данные за 15 лет по темпам прироста заработной платы Y (%), производительности труда X₁ (%), а также по уровню инфляции X₂ (%).

Год	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
X1	3,5	2,8	6,3	4,5	3,1	1,5	7,6	6,7	4,2	2,7	4,5	3,5	5,0	2,3	2,8
X2	4,5	3,0	3,1	3,8	3,8	1,1	2,3	3,6	7,5	8,0	3,9	4,7	6,1	6,9	3,5
Y	9,0	6,0	8,9	9,0	7,1	3,2	6,5	9,1	14,6	11,9	9,2	8,8	12,0	12,5	5,7

Решение. Подготовим данные для вставки из MS Excel (как транспонировать таблицу для сервиса см. Задание №2) .

Включаем в отчет: Проверка общего качества уравнения множественной регрессии (F-статистика. Критерий Фишера, Проверка на наличие автокорреляции),

После нажатия на кнопку Дале получаем готовое решение.
Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии):
Y = 0.2706 + 0.5257X₁ + 1.4798X₂
Скачать.

Качество построенного уравнения регрессии проверяется с помощью критерия Фишера (п. 6 отчета).

Пример №3 .
В таблице представлены данные о ВВП, объемах потребления и инвестициях некоторых стран.

ВВП	16331,97	16763,35	17492,22	18473,83	19187,64	20066,25	21281,78	22326,86	23125,90
Потребление в текущих ценах	771,92	814,28	735,60	788,54	853,62	900,39	999,55	1076,37	1117,51
Инвестиции в текущих ценах	176,64	173,15	151,96	171,62	192,26	198,71	227,17	259,07	259,85

Решение:
Для проверки полученных расчетов используем инструменты Microsoft Excel «Анализ данных» (см. пример).

Пример №4 . На основе данных, приведенных в Приложении и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:

1. Построить уравнение множественной регрессии. При этом признак-результат и один из факторов остаются теми же, что и в первом задании. Выберите дополнительно еще один фактор из приложения 1 (границы наблюдения должны совпадать с границами наблюдения признака-результата, соответствующего Вашему варианту). При выборе фактора нужно руководствоваться его экономическим содержанием или другими подходами. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности. Сделать вывод.
3. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии (b-коэффициенты). Сделать вывод.
4. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделать выводы.
5. Оценить значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента, а также значимость уравнения регрессии в целом с помощью общего F-критерия Фишера. Предложить окончательную модель (уравнение регрессии). Сделать выводы.

Решение. Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор получается из выражения:
s = (X T X) -1 X T Y
Матрица X

1	3.9	10
1	3.9	14
1	3.7	15
1	4	16
1	3.8	17
1	4.8	19
1	5.4	19
1	4.4	20
1	5.3	20
1	6.8	20
1	6	21
1	6.4	22
1	6.8	22
1	7.2	25
1	8	28
1	8.2	29
1	8.1	30
1	8.5	31
1	9.6	32
1	9	36

Матрица Y

7
7
7
7
7
7
8
8
8
10
9
11
9
11
12
12
12
12
14
14

Матрица X T

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
3.9	3.9	3.7	4	3.8	4.8	5.4	4.4	5.3	6.8	6	6.4	6.8	7.2	8	8.2	8.1	8.5	9.6	9
10	14	15	16	17	19	19	20	20	20	21	22	22	25	28	29	30	31	32	36

Умножаем матрицы, (X T X)

Умножаем матрицы, (X T Y)

Находим определитель det(X T X) T = 139940.08
Находим обратную матрицу (X T X) -1

Уравнение регрессии
Y = 1.8353 + 0.9459X ₁ + 0.0856X ₂
Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:
Несмещенная ошибка e = Y — X*s

0.62
0.28
0.38
0.01
0.11
-1
-0.57
0.29
-0.56
0.02
-0.31
1.23
-1.15
0.21
0.2
-0.07
-0.07
-0.53
0.34
0.57

se 2 = (Y — X*s) T (Y — X*s)
Несмещенная оценка дисперсии равна

Оценка среднеквадратичного отклонения равна

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = σ*(X T X) -1

k(x) = 0.36

0,619 -0,0262 -0,0183 -0,0262 0,126 -0,0338 -0,0183 -0,0338 0,0102

=

0,222 -0,00939 -0,00654 -0,00939 0,0452 -0,0121 -0,00654 -0,0121 0,00366

Дисперсии параметров модели определяются соотношением S 2 _i = K_ii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали
С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции (от 0 до 1)

Связь между признаком Y факторами X сильная
Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на у фактора х_i при неизменном уровне других факторов определяются по стандартной формуле линейного коэффициента корреляции — последовательно берутся пары yx1,yx2. , x1x2, x1x3.. и так далее и для каждой пары находится коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации
R 2 = 0.97 2 = 0.95, т.е. в 95% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами — точность подбора уравнения регрессии — высокая

Значимость коэффициента корреляции

По таблице Стьюдента находим Tтабл: T_табл (n-m-1;a) = (17;0.05) = 1.74
Поскольку Tнабл Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно

Построение парной регрессионной модели

Рекомендации к решению контрольной работы.

Статистические данные по экономике можно получить на странице Россия в цифрах.
После определения зависимой и объясняющих переменных можно воспользоваться сервисом Множественная регрессия. Регрессионную модель с 2-мя объясняющими переменными можно построить используя матричный метод нахождения параметров уравнения регрессии или метод Крамера для нахождения параметров уравнения регрессии.

Пример №3 . Исследуется зависимость размера дивидендов y акций группы компаний от доходности акций x₁, дохода компании x₂ и объема инвестиций в расширение и модернизацию производства x₃. Исходные данные представлены выборкой объема n=50.

Тема I. Парная линейная регрессия
Постройте парные линейные регрессии — зависимости признака y от факторов x₁, x₂, x₃ взятых по отдельности. Для каждой объясняющей переменной:

1. Постройте диаграмму рассеяния (поле корреляции). При построении выберите тип диаграммы «Точечная» (без отрезков, соединяющих точки).
2. Вычислите коэффициенты уравнения выборочной парной линейной регрессии (для вычисления коэффициентов регрессии воспользуйтесь встроенной функцией ЛИНЕЙН (функция находится в категории «Статистические») или надстройкой Пакет Анализа), коэффициент детерминации, коэффициент корреляции (функция КОРЕЛЛ), среднюю ошибку аппроксимации.
3. Запишите полученное уравнение выборочной регрессии. Дайте интерпретацию найденным в предыдущем пункте значениям.
4. Постройте на поле корреляции прямую линию выборочной регрессии по точкам .
5. Постройте диаграмму остатков.
6. Проверьте статистическую значимость коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента (табличное значение определите с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР) и всего уравнения в целом по критерию Фишера (табличное значение F_табл определите с помощью функции FРАСПОБР).
7. Постройте доверительные интервалы для коэффициентов регрессии. Дайте им интерпретацию.
8. Постройте прогноз для значения фактора, на 50% превышающего его среднее значение.
9. Постройте доверительный интервал прогноза. Дайте ему экономическую интерпретацию.
10. Оцените полученные результаты — сделайте выводы о качестве построенной модели, влиянии рассматриваемого фактора на показатель.

Тема II. Множественная линейная регрессия
1. Постройте выборочную множественную линейную регрессию показателя на все указанные факторы. Запишите полученное уравнение, дайте ему экономическую интерпретацию.
2. Определите коэффициент детерминации, дайте ему интерпретацию. Вычислите среднюю абсолютную ошибку аппроксимации и дайте ей интерпретацию.
3. Проверьте статистическую значимость каждого из коэффициентов и всего уравнения в целом.
4. Постройте диаграмму остатков.
5. Постройте доверительные интервалы коэффициентов. Для статистически значимых коэффициентов дайте интерпретации доверительных интервалов.
6. Постройте точечный прогноз значения показателя y при значениях факторов, на 50% превышающих их средние значения.
7. Постройте доверительный интервал прогноза, дайте ему экономическую интерпретацию.
8. Постройте матрицу коэффициентов выборочной корреляции между показателем и факторами. Сделайте вывод о наличии проблемы мультиколлинеарности.
9. Оцените полученные результаты — сделайте выводы о качестве построенной модели, влиянии рассматриваемых факторов на показатель.

Линейная множественная регрессия

Тесты по эконометрике

Введение

1. Эконометрическая модель имеет вид

a.

b.

c.

d.

2. Установите соответствие

а) регрессионная модель	1)
b) система одновременных уравнений	2)
c) модель временного ряда	3)
4)

3. Регрессия – это

a. зависимость значений результативной переменной от значений объясняющих переменных (факторов)

b. правило, согласно которому каждому значению одной переменной ставится в соответствие единственное значение другой переменной

c. правило, согласно которому каждому значению независимой переменной ставится в соответствие значение зависимой переменной

d. зависимость среднего значения результативной переменной от значений объясняющих переменных (факторов)

4. Метод наименьших квадратов …

a. Позволяет получить оценки параметров линейной регрессии, исходя из условия

b. Позволяет получить оценки параметров регрессии, исходя из условия

c. Позволяет проверить статистическую значимость параметров регрессии

d. Позволяет получить оценки параметров нелинейной регрессии, исходя из условия

Линейная множественная регрессия

5. Уравнение линейной множественной регрессии

a.

b.

c.

d.

6. Для линейного уравнения множественной регрессии установите соответствие

а) Факторные переменные	1)
b) Результативная переменная	2)
c) Параметры	3)
d) Случайная компонента	4)
5)
6)

Ответ: a-4, b-1, c-6, d-5

7. Проблема спецификации регрессионной модели включает в себя

a. Отбор факторов, включаемых в уравнение регрессии

b. Оценка параметров уравнения регрессии

c. Оценка надежности результатов регрессионного анализа

d. Выбор вида уравнения регрессии

8. Требования к факторам, включаемым в модель линейной множественной регрессии…

a. Число факторов должно быть в 6 раз меньше объема совокупности

b. Факторы должны представлять временные ряды

c. Факторы должны иметь одинаковую размерность

d. Между факторами не должно быть высокой корреляции

9. Верные утверждения относительно мультиколлинеарности факторов

a. В модель линейной множественной регрессии рекомендуется включать мультиколлинеарные факторы

b. Мультиколлинеарность факторов приводит к снижению надежности оценок параметров уравнения регрессии

c. Мультиколинеарность факторов проявляется в наличии парных коэффициентов межфакторной корреляции со значениями, большими 0,7

d. Мультиколинеарность факторов проявляется в наличии парных коэффициентов межфакторной корреляции со значениями, меньшими 0,3

10. Верные утверждения о включении в уравнение линейной множественной регрессии факторов

a. Включение фактора в модель приводит к заметному возрастанию коэффициента множественной детерминации

b. Коэффициент парной корреляции для фактора и результативной переменной меньше 0,3

c. Значение t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии при факторе меньше табличного значения

d. Фактор должен объяснять поведение изучаемого показателя согласно принятым положениям экономической теории

11. При построении модели множественной регрессии методом пошагового включения переменных на первом этапе рассматривается модель с …

a. Одной объясняющей переменной, которая имеет с зависимой переменной наименьший коэффициент корреляции

b. Одной объясняющей переменной, которая имеет с зависимой переменной наибольший коэффициент корреляции

c. Несколькими объясняющими переменными, которые имеют с зависимой переменной коэффициенты корреляции по модулю больше 0,5

d. Полным перечнем объясняющих переменных

12. Параметры при факторах в линейной множественной регрессии
характеризуют

a. Долю дисперсии результативной переменной, объясненную регрессией в его общей дисперсии

b. Тесноту связи между результативной переменной и соответствующим фактором, при устранении влияния других факторов, включенных в модель

c. Среднее изменение результативной переменной с изменением соответствующего фактора на единицу, при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне

d. На сколько процентов в среднем изменяется результативная переменная с изменением соответствующего фактора на 1%

13. Стандартизация переменных проводится по формуле

a.

b.

c.

d.

14. Уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе имеет вид . На результативный признак оказывает большое влияние:

a.

b. и

c.

d. нельзя сделать вывод

15. Уравнение множественной регрессии в естественной форме имеет вид
. На результативный признак оказывает большое влияние:

a.

b. и

c.

d. нельзя сделать вывод

16. К свойствам уравнения регрессии в стандартизированном виде относятся …

a. Коэффициенты регрессии при объясняющих переменных равны между собой

b. Постоянный параметр (свободный член уравнения) регрессии отсутствует

c. Стандартизированные коэффициенты регрессии несравнимы между собой

d. Входящие в состав уравнения переменные являются безразмерными

17. Тесноту совместного влияния факторов на результат в уравнении линейной множественной регрессии оценивает

a. Коэффициент парной корреляции

b. Коэффициент частной корреляции

c. Коэффициент множественной корреляции

d. Коэффициент множественной детерминации

18. Установите соответствие

а) общая сумма квадратов отклонений TSS	1)
b) регрессионная сумма квадратов отклонений RSS	2)
c) остаточная сумма квадратов отклонений ЕSS	3)
4)

19. Коэффициент множественной корреляции для линейной зависимости можно рассчитать по формуле

a.

b.

c.

d.

20. Верные утверждения относительно коэффициента множественной корреляции

a. Чем ближе значение к единице , тем теснее связь результативного признака со всеми факторами

b. Чем ближе значение к нулю , тем теснее связь результативного признака со всеми факторами

c. принимает значения из промежутка [0, 1]

d. принимает значения из промежутка [– 1, 1]

21. Коэффициент множественной детерминации характеризует

a. Тесноту совместного влияния факторов на результат в уравнении линейной множественной регрессии

b. Тесноту связи между результатом и соответствующим фактором, при устранении влияния других факторов, включенных в модель

c. Долю дисперсии результативного признака, объясненную регрессией в его общей дисперсии

d. Среднее изменение результативной переменной с изменением соответствующего фактора на единицу, при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне

22. Для общей (TSS), регрессионной (RSS) и остаточной (ESS) суммы квадратов отклонений и коэффициента детерминации выполняется равенство …

a.

b.

c.

d.

e.

23. Отношение остаточной дисперсии к общей дисперсии равно 0,05. Это означает …

a. Коэффициент детерминации

b. Коэффициент детерминации

c. Разность , где – коэффициент детерминации

d. Разность , где – коэффициент детерминации

24. Для устранения систематической ошибки остаточной дисперсии для оценки качества модели линейной множественной регрессии используется

a. Коэффициент множественной детерминации

b. Коэффициент множественной корреляции

c. Скорректированный коэффициент множественной детерминации

d. Скорректированный коэффициент частной корреляции

25. Оценка статистической значимости уравнения линейной множественной регрессии в целом осуществляется с помощью

a. Критерия Стьюдента

b. Критерия Фишера

c. Критерия Дарбина-Уотсона

d. Критерия Фостера-Стюарта

26. Оценка статистической значимости коэффициентов линейной множественной регрессии осуществляется с помощью

a. Критерия Стьюдента

b. Критерия Фишера

c. Критерия Дарбина-Уотсона

d. Критерия Фостера-Стюарта

27. Если коэффициент регрессии является существенным, то для него выполняются условия

a. Фактическое значение t-критерия Стьюдента меньше критического

b. Фактическое значение t-критерия Стьюдента больше критического

c. Доверительный интервал проходит через ноль

d. Стандартная ошибка не превышает половины значения параметра

28. Если уравнение регрессии является существенным, то фактическое значение F-критерия …

a. больше критического

b. меньше критического

c. близко к единице

d. близко к нулю

29. Предпосылками МНК являются…

a. Дисперсия случайных отклонений постоянна для всех наблюдений

b. Дисперсия случайных отклонений не постоянна для всех наблюдений

c. Случайные отклонения коррелируют друг с другом

d. Случайные отклонения являются независимыми друг от друга

30. Укажите выводы, которые соответствуют графику зависимости остатков

a. Нарушена предпосылка МНК о независимости остатков друг от друга

b. Имеет место автокорреляция остатков

c. Отсутствует закономерность в поведении остатков

d. Отсутствует автокорреляция остатков

31. При выполнении предпосылок метода наименьших квадратов (МНК) остатки уравнения регрессии, как правило, характеризуются…

a. Нулевой средней величиной

c. Случайным характером

d. Высокой степенью автокорреляции

32. К методам обнаружения гетероскедастичности остатков относятся

a. Критерий Дарбина-Уотсона

b. Тест Голдфелда-Квандта

c. Графический анализ остатков

d. Метод наименьших квадратов

33. Фиктивными переменными в уравнении множественной регрессии являются …

a. Качественные переменные, преобразованные в количественные

b. Переменные, представляющие простейшие функции от уже включенных в модель переменных

c. Дополнительные количественные переменные, улучшающие решение

d. Комбинации из включенных в уравнение регрессии факторов, повышающие адекватность модели

34. Для отражения влияния качественной сопутствующей переменной, имеющей m состояний, обычно включают в модель … фиктивную переменную

a.

b.

c.

d.

Нелинейная регрессия

35. Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным, но линейные по оцениваемым параметрам

a.

b.

c.

d.

e.

f.

36. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам

a.

b.

c.

d.

e.

f.

37. Укажите верные утверждения по поводу модели

a. Относится к типу моделей нелинейных по объясняющим переменным, но линейных по оцениваемым параметрам

b. Относится к типу моделей, нелинейных по оцениваемым параметрам

c. Относится к типу линейных моделей

d. Нельзя привести к линейному виду

e. Можно привести к линейному виду

38. Укажите верные утверждения по поводу модели

a. Линеаризуется линейную модель множественной регрессии

b. Линеаризуется линейную модель парной регрессии

c. Относится к классу нелинейных моделей по объясняющим переменным, но линейных по оцениваемым параметрам

d. Относится к классу линейных моделей

39. Модель относится к классу … эконометрических моделей нелинейной регрессии

40. Модель относится к классу … эконометрических моделей нелинейной регрессии

41. Модель относится к классу … эконометрических моделей нелинейной регрессии

42. Было замечено, что при увеличении количества вносимых удобрений урожайность также возрастает, однако, по достижении определенного значения фактора моделируемый показатель начинает убывать. Для исследования данной зависимости можно использовать спецификацию уравнения регрессии…

a.

b.

c.

d.

43. Для получения оценок параметров степенной регрессионной модели …

a. Метод наименьших квадратов неприменим

b. Требуется подобрать соответствующую подстановку

c. Необходимо выполнить логарифмическое преобразование

d. Необходимо выполнить тригонометрическое преобразование

44. С помощью метода наименьших квадратов нельзя оценить значения параметров уравнения регрессии …

a.

b.

c.

d.

Анализ временных рядов

45. Под изменением, определяющим общее направление развития, основную тенденцию временного ряда, понимается …

b. Сезонная компонента

c. Циклическая компонента

d. Случайная компонента

46. Регулярными компонентами временного ряда являются

b. Сезонная компонента

c. Циклическая компонента

d. Случайная компонента

47. Если период циклических колебаний уровней временного ряда не превышает одного года, то их называют …

48. Пусть – временной ряд, – трендовая компонента, – сезонная компонента, – случайная компонента. Аддитивная модель временного ряда имеет вид …

a.

b.

c.

d.

49. Пусть – временной ряд, – трендовая компонента, – сезонная компонента, – случайная компонента. Мультипликативная модель временного ряда имеет вид …

a.

b.

c.

d.

50. Построена аддитивная модель временного ряда, где – временной ряд, – трендовая компонента, – сезонная компонента, – случайная компонента. Если , то правильно найдены значения компонент ряда …

a.

b.

c.

d.

51. Определить наличие тренда во временном ряду можно …

a. По графику временного ряда

b. По объему временного ряда

c. По отсутствию случайной компоненты

d. С помощью статистической проверки гипотезы о существовании тренда

52. Определить наличие циклических (сезонных) колебаний во временном ряду можно …

a. В результате анализа автокорреляционной функции

b. По графику временного ряда

c. По объему временного ряда

d. С помощью критерия Фостера-Стюарта

53. Пусть – временной ряд с квартальными наблюдениями, – аддитивная сезонная компонента. Оценки сезонной компоненты для первого, второго и четвертого кварталов соответственно равны , , . Оценка сезонной компоненты для третьего квартала равна …

54. В результате сглаживания временного ряда 6, 2, 7, 5, 12 простой трехчленной скользящей средней первое сглаженное значение равно …

55. В результате сглаживания временного ряда 6, 2, 7, 5, 12 простой четырехчленной скользящей средней первое сглаженное значение равно …

56. Для описания тенденции временного ряда используется кривая роста с насыщением …

a.

b.

c.

d.

57. Коэффициент автокорреляции первого порядка

a. Коэффициент частной корреляции между соседними уровнями временного ряда

b. Линейный коэффициент парной корреляции между произвольными уровнями временного ряда

c. Линейный коэффициент парной корреляции между соседними уровнями временного ряда

d. Линейный коэффициент парной корреляции между уровнем временного ряда и его номером

58. Автокорреляционная функция …

a. Зависимость коэффициента автокорреляции от первых разностей уровней временного ряда

b. Зависимость уровня временного ряда от коэффициента корреляции с его номером

c. Последовательность коэффициентов автокорреляции, расположенных по возрастанию их порядка

d. Последовательность коэффициентов автокорреляции, расположенных по возрастанию их значений

59. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции 4 порядка, то временной ряд имеет

a. линейный тренд

b. случайную компоненту

c. тренд в виде полинома 4 порядка

d. циклические колебания с периодом 4

60. Известны значения коэффициентов автокорреляции , , , . Укажите верные утверждения…

a. Временной ряд содержит линейный тренд

b. Временной ряд содержит тренд в виде полинома 4 порядка

c. Временной ряд содержит циклические колебания с периодом 2

d. Временной ряд содержит циклические колебания с периодом 4

61. Известны значения коэффициентов автокорреляции , , , . Можно сделать вывод…

a. Временной ряд содержит линейный тренд

b. Временной ряд является случайным

c. Временной ряд содержит циклические колебания с периодом 2

d. Временной ряд содержит циклические колебания с периодом 4

62. Модель временного ряда считается адекватной, если значения остатков …

a. имеют нулевое математическое ожидание

b. значение фактическое значение F-критерия меньше табличного

c. подчиняются нормальному закону распределения

d. подчиняются равномерному закону распределения

f. являются случайными и независимыми

63. Независимость остатков модели временного ряда может быть проверена с помощью

a. Критерия Дарбина-Уотсона

b. Критерия Пирсона

c. Критерия Фишера

d. Анализа автокорреляционной функции остатков

64. Случайность остатков модели временного ряда может быть проверена с помощью

a. Анализа автокорреляционной функции остатков

b. Критерия Пирсона

c. Проверки гипотезы о наличии тренда

d. Расчета асимметрии и эксцесса

65. Для экспоненциального сглаживания используется формула

a.

b.

c.

d.

66. Постоянная сглаживания в модели экспоненциального сглаживания принимает значения

67. Выбор оптимального значения постоянной сглаживания в модели экспоненциального сглаживания осуществляется

a. Всегда используется значение

b. Всегда используется значение

c. Оптимальным считается такое значение , при котором получена наименьшая дисперсия ошибки

d. Оптимальным считается такое значение , при котором получена наибольшая дисперсия ошибки

68. Параметр адаптации , , , . Значение , полученное в результате экспоненциального сглаживания временного ряда по формуле , равно…

69. Временной ряд содержит тренд и для его сглаживания используется модель Хольта: , . Если , , , . Значение равно …

уравнения множественной регрессии

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели. Он включает в себя два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии.

Включение в уравнение множественной регрессии того или иного набора факторов связано прежде всего с представлением исследователя о природе взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими явлениями. Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям.

1. Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность.

2. Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи.

Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией, может привести к нежелательным последствиям – система нормальных уравнений может оказаться плохо обусловленной и повлечь за собой неустойчивость и ненадежность оценок коэффициентов регрессии.

Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются неинтерпретируемыми.

Включаемые во множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Если строится модель с набором факторов, то для нее рассчитывается показатель детерминации , который фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии факторов. Влияние других, не учтенных в модели факторов, оценивается как с соответствующей остаточной дисперсией .

При дополнительном включении в регрессию фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться:

и .

Если же этого не происходит и данные показатели практически не отличаются друг от друга, то включаемый в анализ фактор не улучшает модель и практически является лишним фактором.

Насыщение модели лишними факторами не только не снижает величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической незначимости параметров регрессии по критерию Стьюдента.

Таким образом, хотя теоретически регрессионная модель позволяет учесть любое число факторов, практически в этом нет необходимости. Отбор факторов производится на основе качественного теоретико-экономического анализа. Однако теоретический анализ часто не позволяет однозначно ответить на вопрос о количественной взаимосвязи рассматриваемых признаков и целесообразности включения фактора в модель. Поэтому отбор факторов обычно осуществляется в две стадии: на первой подбираются факторы исходя из сущности проблемы; на второй – на основе матрицы показателей корреляции определяют статистики для параметров регрессии.

Коэффициенты интеркорреляции (т.е. корреляции между объясняющими переменными) позволяют исключать из модели дублирующие факторы. Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если . Если факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. В этом требовании проявляется специфика множественной регрессии как метода исследования комплексного воздействия факторов в условиях их независимости друг от друга.

Пусть, например, при изучении зависимости матрица парных коэффициентов корреляции оказалась следующей:

Таблица 2.1

	0,8	0,7	0,6
	0,8	0,8	0,5
	0,7	0,8	0,2
	0,6	0,5	0,2

Очевидно, что факторы и дублируют друг друга. В анализ целесообразно включить фактор , а не , хотя корреляция с результатом слабее, чем корреляция фактора с , но зато значительно слабее межфакторная корреляция . Поэтому в данном случае в уравнение множественной регрессии включаются факторы , .

По величине парных коэффициентов корреляции обнаруживается лишь явная коллинеарность факторов. Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью, т.е. имеет место совокупное воздействие факторов друг на друга. Наличие мультиколлинеарности факторов может означать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полностью независимой и нельзя оценить воздействие каждого фактора в отдельности.

Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежелательно в силу следующих последствий:

1. Затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии как характеристик действия факторов в «чистом» виде, ибо факторы коррелированы; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл.

2. Оценки параметров ненадежны, обнаруживают большие стандартные ошибки и меняются с изменением объема наблюдений (не только по величине, но и по знаку), что делает модель непригодной для анализа и прогнозирования.

Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.

Если бы факторы не коррелировали между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной матрицей, поскольку все недиагональные элементы были бы равны нулю. Так, для уравнения, включающего три объясняющих переменных

матрица коэффициентов корреляции между факторами имела бы определитель, равный единице:

.

Если же, наоборот, между факторами существует полная линейная зависимость и все коэффициенты корреляции равны единице, то определитель такой матрицы равен нулю:

.

Чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И, наоборот, чем ближе к единице определитель матрицы межфакторной корреляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов.

Существует ряд подходов преодоления сильной межфакторной корреляции. Самый простой путь устранения мультиколлинеарности состоит в исключении из модели одного или нескольких факторов. Другой подход связан с преобразованием факторов, при котором уменьшается корреляция между ними.

Одним из путей учета внутренней корреляции факторов является переход к совмещенным уравнениям регрессии, т.е. к уравнениям, которые отражают не только влияние факторов, но и их взаимодействие. Так, если , то возможно построение следующего совмещенного уравнения:

.

Рассматриваемое уравнение включает взаимодействие первого порядка (взаимодействие двух факторов). Возможно включение в модель и взаимодействий более высокого порядка, если будет доказана их статистическая значимость по -критерию Фишера, но, как правило, взаимодействия третьего и более высоких порядков оказываются статистически незначимыми.

Отбор факторов, включаемых в регрессию, является одним из важнейших этапов практического использования методов регрессии. Подходы к отбору факторов на основе показателей корреляции могут быть разные. Они приводят построение уравнения множественной регрессии соответственно к разным методикам. В зависимости от того, какая методика построения уравнения регрессии принята, меняется алгоритм ее решения на ЭВМ.

Наиболее широкое применение получили следующие методы построения уравнения множественной регрессии:

1. Метод исключения – отсев факторов из полного его набора.

2. Метод включения – дополнительное введение фактора.

3. Шаговый регрессионный анализ – исключение ранее введенного фактора.

При отборе факторов также рекомендуется пользоваться следующим правилом: число включаемых факторов обычно в 6–7 раз меньше объема совокупности, по которой строится регрессия. Если это соотношение нарушено, то число степеней свободы остаточной дисперсии очень мало. Это приводит к тому, что параметры уравнения регрессии оказываются статистически незначимыми, а -критерий меньше табличного значения.

2.2. Метод наименьших квадратов (МНК).

Свойства оценок на основе МНК

Возможны разные виды уравнений множественной регрессии: линейные и нелинейные.

Ввиду четкой интерпретации параметров наиболее широко используется линейная функция. В линейной множественной регрессии параметры при называются коэффициентами «чистой» регрессии. Они характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизмененном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Рассмотрим линейную модель множественной регрессии

. (2.1)

Классический подход к оцениванию параметров линейной модели множественной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от расчетных минимальна:

. (2.2)

Как известно из курса математического анализа, для того чтобы найти экстремум функции нескольких переменных, надо вычислить частные производные первого порядка по каждому из параметров и приравнять их к нулю.

Итак. Имеем функцию аргумента:

.

Находим частные производные первого порядка:

После элементарных преобразований приходим к системе линейных нормальных уравнений для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии (2.1):

(2.3)

Для двухфакторной модели данная система будет иметь вид:

Метод наименьших квадратов применим и к уравнению множественной регрессии в стандартизированном масштабе:

(2.4)

где – стандартизированные переменные: , , для которых среднее значение равно нулю: , а среднее квадратическое отклонение равно единице: ; – стандартизированные коэффициенты регрессии.

Стандартизованные коэффициенты регрессии показывают, на сколько единиц изменится в среднем результат, если соответствующий фактор изменится на одну единицу при неизменном среднем уровне других факторов. В силу того, что все переменные заданы как центрированные и нормированные, стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой. Сравнивая их друг с другом, можно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат. В этом основное достоинство стандартизованных коэффициентов регрессии в отличие от коэффициентов «чистой» регрессии, которые несравнимы между собой.

Применяя МНК к уравнению множественной регрессии в стандартизированном масштабе, получим систему нормальных уравнений вида

(2.5)

где и – коэффициенты парной и межфакторной корреляции.

Коэффициенты «чистой» регрессии связаны со стандартизованными коэффициентами регрессии следующим образом:

. (2.6)

Поэтому можно переходить от уравнения регрессии в стандартизованном масштабе (2.4) к уравнению регрессии в натуральном масштабе переменных (2.1), при этом параметр определяется как .

Рассмотренный смысл стандартизованных коэффициентов регрессии позволяет их использовать при отсеве факторов – из модели исключаются факторы с наименьшим значением .

На основе линейного уравнения множественной регрессии

(2.7)

могут быть найдены частные уравнения регрессии:

(2.8)

т.е. уравнения регрессии, которые связывают результативный признак с соответствующим фактором при закреплении остальных факторов на среднем уровне. В развернутом виде систему (2.8) можно переписать в виде:

При подстановке в эти уравнения средних значений соответствующих факторов они принимают вид парных уравнений линейной регрессии, т.е. имеем

(2.9)

В отличие от парной регрессии частные уравнения регрессии характеризуют изолированное влияние фактора на результат, ибо другие факторы закреплены на неизменном уровне. Эффекты влияния других факторов присоединены в них к свободному члену уравнения множественной регрессии. Это позволяет на основе частных уравнений регрессии определять частные коэффициенты эластичности:

, (2.10)

где – коэффициент регрессии для фактора в уравнении множественной регрессии, – частное уравнение регрессии.

Наряду с частными коэффициентами эластичности могут быть найдены средние по совокупности показатели эластичности:

, (2.11)

которые показывают на сколько процентов в среднем изменится результат, при изменении соответствующего фактора на 1%. Средние показатели эластичности можно сравнивать друг с другом и соответственно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.

Рассмотрим пример[4] (для сокращения объема вычислений ограничимся только десятью наблюдениями). Пусть имеются следующие данные (условные) о сменной добыче угля на одного рабочего (т), мощности пласта (м) и уровне механизации работ (%), характеризующие процесс добычи угля в 10 шахтах.

Таблица 2.2

№

Предполагая, что между переменными , , существует линейная корреляционная зависимость, найдем уравнение регрессии по и .

Для удобства дальнейших вычислений составляем таблицу ( ):

Таблица 2.3

№
5,13	0,016
8,79	1,464
9,64	0,127
5,98	1,038
5,86	0,741
6,23	0,052
6,35	0,121
5,61	0,377
5,13	0,762
9,28	1,631
Сумма	6,329
Среднее значение	9,4	6,3	6,8	90,8	41,7	49,6	60,3	66,4	44,5	–	–
	2,44	2,01	3,36	–	–	–	–	–	–	–	–
	1,56	1,42	1,83	–	–	–	–	–	–	–	–

Для нахождения параметров уравнения регрессии в данном случае необходимо решить следующую систему нормальных уравнений:

Откуда получаем, что , , . Т.е. получили следующее уравнение множественной регрессии:

.

Оно показывает, что при увеличении только мощности пласта (при неизменном ) на 1 м добыча угля на одного рабочего увеличится в среднем на 0,854 т, а при увеличении только уровня механизации работ (при неизменном ) на 1% – в среднем на 0,367 т.

Найдем уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе:

при этом стандартизованные коэффициенты регрессии будут

,

.

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

.

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что мощность пласта оказывает большее влияние на сменную добычу угля, чем уровень механизации работ.

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности (2.11):

.

, .

Т.е. увеличение только мощности пласта (от своего среднего значения) или только уровня механизации работ на 1% увеличивает в среднем сменную добычу угля на 1,18% или 0,34% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .

2.3. Проверка существенности факторов

🎥 Видео