Сложные поверхности и их уравнения

Поверхности второго порядка: их виды, уравнения, примеры
Содержание
  1. Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат
  2. Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому
  3. Эллипсоид
  4. Мнимый эллипсоид
  5. Мнимый конус
  6. Однополостный гиперболоид
  7. Двуполостный гиперболоид
  8. Конус
  9. Эллиптический параболоид
  10. Гиперболический параболоид
  11. Эллиптический цилиндр
  12. Мнимый эллиптический цилиндр
  13. Мнимые пересекающиеся плоскости
  14. Гиперболический цилиндр
  15. Пересекающиеся плоскости
  16. Параболический цилиндр
  17. Параллельные плоскости
  18. Мнимые параллельные плоскости
  19. Совпадающие плоскости
  20. Решение примеров на определение вида поверхности второго порядка
  21. Определить вид поверхности второго порядка самостоятельно, а затем посмотреть решение
  22. Уравнения поверхности и линии в пространстве с примерами решения
  23. Уравнения поверхности и линии в пространстве
  24. Кривые и поверхности второго порядка в математике с примерами решения и образцами выполнения
  25. Кривые и поверхности второго порядка
  26. Преобразование координат на плоскости
  27. Параллельный перенос
  28. Поворот
  29. Зеркальное отражение
  30. Кривые второго порядка
  31. Эллипс
  32. Свойства эллипса
  33. Гипербола
  34. Свойства гиперболы
  35. Парабола
  36. Свойства параболы
  37. Оптическое свойство кривых второго порядка
  38. Касательные к эллипсу и гиперболе
  39. Касательные к параболе
  40. Оптическое свойство эллипса
  41. Оптическое свойство гиперболы
  42. Оптическое свойство параболы
  43. Классификация кривых второго порядка
  44. Многочлены второй степени на плоскости
  45. Канонические уравнения кривых второго порядка
  46. Поверхности второго порядка
  47. Некоторые классы поверхностей
  48. Поверхности вращения
  49. Цилиндрические поверхности
  50. Конические поверхности
  51. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндры и конус второго порядка
  52. Эллипсоид
  53. Гиперболоиды
  54. Эллиптический параболоид
  55. Дополнение к поверхностям второго порядка
  56. 💥 Видео

Видео:Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать

Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математика

Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат

Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид

Для определения вида поверхности второго порядка по общему уравнению и приведения общего уравнения к каноническому, нам понадобятся выражения, которые называются инвариантами. Инварианты — это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и повороте системы координат. Эти инварианты следующие:

Сложные поверхности и их уравнения

Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота декартовой прямоугольной системы координат:

Сложные поверхности и их уравнения

В случае, если I 3 = 0 , K 4 = 0 , семиинвариант K 3 будет также и инвариантом переноса; в случае же I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 семиинвариант K 2 = 0 будет также и инвариантом переноса.

Видео:Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядкаСкачать

Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядка

Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому

I. Если I 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

Сложные поверхности и их уравнения,

где λ 1 , λ 2 , λ 3 — корни характеристического уравнения

Сложные поверхности и их уравнения.

В зависимости от того, какие знаки у чисел λ 1 , λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 , определяется вид поверхности второго порядка.

Эллипсоид

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 одного знака, а K 4 /I 3 имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно переписать в следующем виде:

Сложные поверхности и их уравнения.

Тогда полуоси эллипсоида будут

Сложные поверхности и их уравнения, Сложные поверхности и их уравнения, Сложные поверхности и их уравнения.

Поэтому каноническое уравнение эллипсоида имеет вид

Сложные поверхности и их уравнения.

Сложные поверхности и их уравнения

Мнимый эллипсоид

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого эллипсоида:

Сложные поверхности и их уравнения,

Сложные поверхности и их уравнения, Сложные поверхности и их уравнения, Сложные поверхности и их уравнения.

Мнимый конус

Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 , а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого конуса:

Сложные поверхности и их уравнения,

Сложные поверхности и их уравнения, Сложные поверхности и их уравнения, Сложные поверхности и их уравнения.

Однополостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень и K 4 /I 3 имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет однополостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни характеристического уравнения, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

Сложные поверхности и их уравнения.

Сложные поверхности и их уравнения, Сложные поверхности и их уравнения, Сложные поверхности и их уравнения,

то каноническое уравнение однополостного гиперболоида будет иметь вид

Сложные поверхности и их уравнения.

Сложные поверхности и их уравнения

Двуполостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения и K 4 /I 3 имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет двуполостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения.

Последняя запись и есть каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.

Сложные поверхности и их уравнения

Конус

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.

Считая, что одинаковый знак имеют корни λ 1 и λ 2 , общее уравнение можно переписать в виде:

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения,

известном как каноническое уравнение конуса.

Сложные поверхности и их уравнения

II. Если I 3 = 0 , а K 4 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

Сложные поверхности и их уравнения,

где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический параболоид

Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический параболоид.

Общее уравнение можно переписать в виде:

Сложные поверхности и их уравнения.

Выбирая перед корнем знак, противоположный знаку λ 1 и λ 2 , и полагая

Сложные поверхности и их уравнения,

Сложные поверхности и их уравнения,

получим каноническое уравнение эллиптического параболоида:

Сложные поверхности и их уравнения.

Сложные поверхности и их уравнения

Гиперболический параболоид

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический параболоид.

Обозначая через λ 1 положительный корень, а через λ 2 — отрицательный и беря перед корнем Сложные поверхности и их уравнениязнак минус, переписываем уравнение в виде:

Сложные поверхности и их уравнения.

Сложные поверхности и их уравнения, Сложные поверхности и их уравнения,

получим каноническое уравнение гиперболического параболоида:

Сложные поверхности и их уравнения.

Сложные поверхности и их уравнения

III. Если I 3 = 0 , а K 4 = 0 , I 2 ≠ 0 то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

Сложные поверхности и их уравнения,

где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический цилиндр

Если λ 1 и λ 2 одного знака, а K 3 /I 2 имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

Сложные поверхности и их уравнения.

Сложные поверхности и их уравнения, Сложные поверхности и их уравнения,

получим каноническое уравнение эллиптического цилиндра:

Сложные поверхности и их уравнения.

Сложные поверхности и их уравнения

Мнимый эллиптический цилиндр

Если λ 1 , λ 2 и K 3 /I 2 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения.

Последняя запись — каноническое уравнение мнимого эллиптического цилиндра.

Мнимые пересекающиеся плоскости

Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

Сложные поверхности и их уравнения.

Сложные поверхности и их уравнения, Сложные поверхности и их уравнения,

получим каноническое уравнение мнимых пересекающихся плоскостей:

Сложные поверхности и их уравнения.

Гиперболический цилиндр

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

Сложные поверхности и их уравнения,

Сложные поверхности и их уравнения, Сложные поверхности и их уравнения.

Таким образом, каноническое уравнение гиперболического цилиндра:

Сложные поверхности и их уравнения.

Сложные поверхности и их уравнения

Пересекающиеся плоскости

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

Сложные поверхности и их уравнения,

Сложные поверхности и их уравнения, Сложные поверхности и их уравнения.

Таким образом, пересекающихся плоскостей:

Сложные поверхности и их уравнения.

IV. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

Сложные поверхности и их уравнения,

где λ 1 = I 1 — отличный от нуля корень характеристического уравнения.

Параболический цилиндр

Уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, можно переписать в виде:

Сложные поверхности и их уравнения,

Сложные поверхности и их уравнения.

Это уравнение параболического цилиндра, в каноническом виде оно записывается так:

Сложные поверхности и их уравнения.

Сложные поверхности и их уравнения

V. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения,

Сложные поверхности и их уравнения.

Параллельные плоскости

Если K 2 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две параллельные плоскости.

Сложные поверхности и их уравнения,

перепишем его в виде

Сложные поверхности и их уравнения.

Мнимые параллельные плоскости

Если K 2 > 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые параллельные плоскости.

Сложные поверхности и их уравнения,

перепишем его в виде

Сложные поверхности и их уравнения.

Совпадающие плоскости

Если K 2 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две совпадающие плоскости:

Сложные поверхности и их уравнения.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Решение примеров на определение вида поверхности второго порядка

Пример 1. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

Решение. Найдём I 3 :

Сложные поверхности и их уравнения(как вычислить определитель).

I 1 = 1 + 5 + 1 = 7 ,

Следовательно, данная поверхность — однополостный гиперболоид.

Сложные поверхности и их уравнения.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

Сложные поверхности и их уравнения;

Сложные поверхности и их уравнения.

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения,

Сложные поверхности и их уравнения, Сложные поверхности и их уравнения, Сложные поверхности и их уравнения.

Пример 2. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

Решение. Найдём I 3 :

Сложные поверхности и их уравнения.

Сложные поверхности и их уравнения.

Следовательно, общее уравнение определяет эллиптический параболоид.

Сложные поверхности и их уравнения.

I 1 = 2 + 2 + 3 = 7 .

Решаем характеристическое уравнение:

Сложные поверхности и их уравнения.

Сложные поверхности и их уравнения.

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения,

Сложные поверхности и их уравнения, Сложные поверхности и их уравнения.

Пример 3. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

Сложные поверхности и их уравнения,

Сложные поверхности и их уравнения,

Сложные поверхности и их уравнения,

Сложные поверхности и их уравнения

I 1 = 5 + 2 + 5 = 12 .

Так как I 3 = К 4 = 0 , I 2 > 0 , I 1 K 3 , то данное общее уравнение определяет эллиптический цилиндр.

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения.

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения.

Определить вид поверхности второго порядка самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением

Видео:Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Скачать

Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Уравнения поверхности и линии в пространстве с примерами решения

Содержание:

Видео:Самая сложная задача из самой сложной олимпиады [3Blue1Brown]Скачать

Самая сложная задача из самой сложной олимпиады [3Blue1Brown]

Уравнения поверхности и линии в пространстве

Определение: Уравнение м поверхности в пространстве Oxyz называется такое уравнение между переменными х, у у z, которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. То есть если

Сложные поверхности и их уравнения

— уравнение поверхности Р (рис. 189), то при М(х, у, z) Сложные поверхности и их уравнения

Таким образом, уравнение (1) выполнено тогда и только тогда, когда точка М(х, у, z) принадлежит данной поверхности. Координаты произвольной точки поверхности называются текущими координатами точки. Поэтому составить уравнение поверхности — это значит найти связь между текущими координатами ее точек.

Пример (уравнения координатных плоскостей):

Каждая точка М(х, у, z), лежащая на координатной плоскости Oyz, имеет абсциссу х = 0; обратно, если для какой-нибудь точки М(х, у, z) абсцисса ее х = 0, то эта точка расположена на плоскости Oyz. Следовательно,

— уравнение координатной плоскости Oyz. Аналогично,

Сложные поверхности и их уравнения

— соответственно уравнения координатных плоскостей Oxz и Оху.

Формула Сложные поверхности и их уравненияобозначает, что точка М принадлежит Р. Формула Сложные поверхности и их уравненияобозначает, что точка N не принадлежит Р.

В более общем случае

Сложные поверхности и их уравнения

— уравнения трех плоскостей, перпендикулярных соответствующим координатным осям Ох, Оу, Ог и отсекающих на них отрезки, численно равные Сложные поверхности и их уравнения

Теорема: Уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны координатной оси, не содержит текущей координаты, одноименной с этой координатной осью, и обратно.

Доказательство: Пусть, например, цилиндрическая поверхность Р образована перемещением прямой Сложные поверхности и их уравнения(образующая) вдоль заданной линии L, лежащей в плоскости Оху (направляющая) (рис. 190).

Сложные поверхности и их уравнения

Обозначим через М(х, у, z) точку поверхности Р с текущими координатами х, у и z. Образующая MN, проходящая через точку М, пересекает направляющую, очевидно, в точке N(x, у, 0).

Сложные поверхности и их уравнения

— уравнение направляющей L в координатной плоскости Оху. Этому уравнению удовлетворяют координаты точки N. Так как точка М поверхности Р имеет ту же самую абсциссу хиту же самую ординату у, что и точка N, а переменная г в уравнение (3) не входит, то координаты точки М также удовлетворяют уравнению (3). Таким образом, координаты любой точки М(х, у, z) поверхности Р удовлетворяют уравнению (3). Обратно, если координаты какой-нибудь точки М(х, у, z) удовлетворяют уравнению (3), то эта точка расположена на прямой MN || Оz такой, что ее след на плоскости Оху, точка N(x, у, 0), лежит на линии L, а значит, точка М принадлежит цилиндрической поверхности Р. Следовательно,

Сложные поверхности и их уравнения

является уравнением цилиндрической поверхности в пространстве Oxyz, причем в этом уравнении отсутствует координата z.

Пример (уравнение эллиптического цилиндра):

Эллиптический цилиндр, в основании которого лежит эллипс с полуосями а и b, а осью служит ось Оz (рис. 191), на основании предыдущей теоремы имеет уравнение

Сложные поверхности и их уравнения

В частности, при а = b получаем уравнение кругового цилиндра

Сложные поверхности и их уравнения

Линию L в пространстве можно задать как пересечение двух данных поверхностей Сложные поверхности и их уравнения(рис. 192). Точка Сложные поверхности и их уравнения, лежащая на линии L, принадлежит как поверхности Сложные поверхности и их уравнениятак и поверхности Сложные поверхности и их уравнения, и, следовательно, координаты этой точки удовлетворяют уравнениям обеих поверхностей.

Поэтому под уравнениями линии в пространстве понимается совокупность двух уравнений:

Сложные поверхности и их уравнения

являющихся уравнениями поверхностей, определяющих данную линию.

Не нужно думать, что для нахождения уравнений линий систему (4) следует «решить». Этого, вообще говоря, нельзя сделать, так как число уравнений системы (4) меньше числа неизвестных. Точный смысл, который придается равенствам (4), следующий: линии L принадлежат те и только те точки Сложные поверхности и их уравнения, координаты которых удовлетворяют обоим уравнениям системы (4).

Заметим, что данную линию можно по-разному задавать как пересечение поверхностей. Поэтому линии в пространстве соответствует бесчисленное множество равносильных между собой систем уравнений.

Определение: Уравнениями линии в пространстве Сложные поверхности и их уравненияназывается такая пара уравнений между переменными Сложные поверхности и их уравнения, которой удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на данной линии, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Сложные поверхности и их уравнения

Пример (уравнения координатных осей):

Ось Ох можно, рассматривать как пересечение координатных плоскостей Оху и Oxz. Поэтому

Сложные поверхности и их уравнения

— уравнения оси Ох. Аналогично,

Сложные поверхности и их уравнения

— уравнения осей Оу и Oz соответственно.

Пример:

Написать уравнения окружности Г радиуса R = 1, центр которой находится в точке С(0, 0, 2) и плоскость которой параллельна координатной плоскости Оху (рис. 193).

Решение:

Окружность Г можно рассматривать как пересечение кругового цилиндра радиуса 1 с осью Oz и горизонтальной плоскости, расположенной выше координатной плоскости Оху на две единицы. Поэтому уравнения данной окружности есть

Сложные поверхности и их уравнения

В механике линию L часто рассматривают как след движущейся точки (рис. 194). Пусть х, у, z — текущие координаты точки М линии L. Так как с течением времени точка М перемещается и ее координаты меняются, то они являются функциями времени t. Следовательно, имеем

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

где Сложные поверхности и их уравнения— некоторые определенные функции. Обобщая уравнения (5), под t понимают вспомогательную переменную (параметр)> не обязательно время; поэтому уравнения (5) носят название параметрических уравнений линии в пространстве.

Исключая из уравнений (5) параметр t, мы получим два соотношения между текущими координатами х, у и z, которые представляют собой уравнения некоторых поверхностей, проходящих через данную линию.

Пример:

Написать уравнения винтовой линии радиуса а и шага Сложные поверхности и их уравнения(рис. 195).

Решение:

Пусть М (х, у, z) — текущая точка винтовой линии, М’ (х, у, 0) — ее проекция на плоскость Оху.

Сложные поверхности и их уравнения

Приняв за параметр Сложные поверхности и их уравненияи учитывая, что аппликата г винтовой линии растет пропорционально углу поворота t, будем иметь

Сложные поверхности и их уравнения

Для определения коэффициента пропорциональности b положим Сложные поверхности и их уравнения; тогда Сложные поверхности и их уравнения. Следовательно,

Сложные поверхности и их уравнения

Исключая параметр t из первого и второго, а также из первого и третьего уравнений (6), получаем

Сложные поверхности и их уравнения

Следовательно, винтовая линия представляет собой пересечение кругового цилиндра с образующими, параллельными оси Oz, и цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Оу, и имеющей своей направляющей косинусоиду, лежащую в плоскости Сложные поверхности и их уравнения. Из уравнений (6′) также вытекает, что проекция винтовой линии (6′) на координатную плоскость Оху есть окружность, а на координатную плоскость Сложные поверхности и их уравнения— косинусоида.

Текущую точку Сложные поверхности и их уравнениякривой L можно характеризовать ее радиусом-вектором («следящий радиус-вектор») (рис. 196)

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

( Сложные поверхности и их уравнения— орты). Тогда из (5) получаем векторное уравнение линии

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

— так называемая вектор-функция скалярного аргумента t.

В механике в качестве параметра t обычно берут время. В таком случае линию (7) называют траекторией точки М(х, у, z).

Множество всех точек М(х, у, г) пространства, координаты которых удовлетворяют данному уравнению (или системе уравнений), называется геометрическим образом (графиком) данного уравнения (или системы уравнений).

Пример:

Какой геометрический образ соответствует уравнению

Сложные поверхности и их уравнения

Решение:

Из уравнения (8) получаем Сложные поверхности и их уравненияили Сложные поверхности и их уравнения. Следовательно, графиком уравнения (8) является пара плоскостей, параллельных координатной плоскости Оху и отстоящих от нее на расстояниях, равных единице (рис. 197).

Сложные поверхности и их уравнения

Пример:

Какой геометрический образ соответствует паре уравнений

Сложные поверхности и их уравнения

Решение:

Искомый график представляет собой пересечение плоскостей х = 2 и у = 3 и, следовательно, является прямой линией, параллельной оси Oz и имеющей след N (2, 3, 0) на координатной плоскости Оху (рис. 198).

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Общее уравнение плоскости
  • Угол между плоскостями
  • Понятие о производной вектор-функции
  • Криволинейные интегралы
  • Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение
  • Линии второго порядка
  • Полярные координаты
  • Непрерывность функции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"

Кривые и поверхности второго порядка в математике с примерами решения и образцами выполнения

Кривая второго порядка — геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида.

Кривые второго порядка используются при решении задач по аналитической геометрии, кривые других порядков используются при решении задач математического анализа в разделе вычисления кратных, криволинейных и поверхностных интегралов.

Сложные поверхности и их уравнения

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Кривые и поверхности второго порядка

Преобразование координат на плоскости

Пусть на плоскости заданы две прямоугольные декартовы системы координат, Оху и О’х’у’ (рис. 1). Произвольная точка М относительно одной из этих координатных систем определяется парой чисел х и у, а относительно другой — парой чисел x’ и у’. Ясно, что между парами (х,у) и (x’, у’) имеется связь. Найдем ее.

Сложные поверхности и их уравнения

Параллельный перенос

Предположим, что соответствующие координатные оси параллельны и сонаправлены, а точки начала отсчета различны. Это означает, что орты координатных осей соответственно равны (рис. 2).

Сложные поверхности и их уравнения

Пусть г и г’ — радиусы-векторы точки М, т.е.

Сложные поверхности и их уравнения

и а, β — координаты точки О’ относительно системы координат Оху, т. е.

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Поворот

Предположим, что координатные оси одной системы координат получаются из координатных осей другой системы поворотом на угол φ, а начальные точки совпадают (рис.4). Координатами единичного вектора i’ являются косинусы углов φ и Сложные поверхности и их уравнения, образованных этим вектором с осями Ох и Оу:

Сложные поверхности и их уравнения

а координатами единичного вектора j’ служат косинусы углов Сложные поверхности и их уравненияи φ:

Сложные поверхности и их уравнения

(рис. 5). Так как радиус-векторы

Сложные поверхности и их уравнения

произвольной точки М в рассматриваемом случае равны,

Сложные поверхности и их уравнения

то, заменяя векторы i’ и j’ их выражениями, получаем, что

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Зеркальное отражение

В случае, когда оси абсцисс Ох и Ох’ координатных систем совпадают, а оси ординат Оу и Оу’ направлены противоположно, координаты (х, у) и (х’,у’) произвольной точки М связаны равенствами

Сложные поверхности и их уравнения

Справедливо следующее утверждение.

Любое преобразование прямоугольных декартовых координат (с сохранением масштаба) можно представить в виде последовательного выполнения переноса, поворота и <если необходимо) зеркального отражения.

Кривые второго порядка

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Оху. Множество точек плоскости, координаты х и у которых удовлетворяют равенству

F(x, у) = 0,

где F(x, у) — некоторая функция двух переменных, называется плоской кривой, или плоской линией само равенство называется уравнением данной линии (кривой).

Например, равенство х — у = 0 есть уравнение прямой — биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 7). Равенство x 2 + y 2 — 1 = 0 — уравнение окружности единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 8).

Сложные поверхности и их уравнения

Рассмотрим многочлен второй степени от двух переменных х и у:

Сложные поверхности и их уравнения

F(x,y) = 0

будем называть уравнением линии (кривой) второго порядка.

Если линиями первого порядка являются именно прямые и только они, то множество кривых второго порядка заметно разнообразней. Поэтому исследованию общего уравнения кривой второго порядка естественно предпослать изучение некоторых частных, но важных случаев.

Эллипс

Эллипсом называется кривая, уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Оху имеет вид (1)

Сложные поверхности и их уравнения

Система координат Оху, в которой уравнение эллипса имеет вид (1), называется канонической (для данного эллипса); само уравнение (!) называется каноническим уравнением эллипса. Окружность

Сложные поверхности и их уравнения

является частным случаем эллипса (при а = b). Это позволяет несложным способом определить форму эллипса: эллипс (1) получается из окружности (2) путем ее равномерного сжатия» к оси Ох (с коэффициентомСложные поверхности и их уравнения), т.е. заменой в уравнении x 2 + y 2 = a 2 координаты у на Сложные поверхности и их уравнения(рис.9).

Сложные поверхности и их уравнения

Свойства эллипса

  1. Эллипс (I) содержится в прямоугольнике

Сложные поверхности и их уравнения

В этом легко убедиться, заметив, что, если точка М(х, у) принадлежит эллипсу (1), то (рис. 10)

Сложные поверхности и их уравнения

Точки (±а, 0), (0, ±b) называются вершинами эллипса.

Сложные поверхности и их уравнения

2. Координатные оси Ох и Оу канонической системы являются осями симметрии эллипса, а начало координат О — его центром симметрии. Это означает, что если точка Мо(хo, yо) принадлежит эллипсу, то точки (-хо, yо), (-xо, -yо) и (хо, -yо) также ему принадлежат (рис. 11).

3. Если эллипс не является окружностью, то координатные оси канонической системы — единственные оси симметрии.

Положим с = Сложные поверхности и их уравнения. Ясно, что с 0 называется преобразование, переводящее произвольную точку М(х, у) окружности в точку М’ (Сложные поверхности и их уравнения).

Сложные поверхности и их уравнения

Пусть сначала М(х, у) — произвольная точка эллипса

Сложные поверхности и их уравнения

Вычислим ее расстояния от фокусов эллипса (рис. 12). Имеем

Сложные поверхности и их уравнения

Заменяя y 2 его выражением

Сложные поверхности и их уравнения

после несложных преобразований получаем, что

Сложные поверхности и их уравнения

Последнее равенство вытекает из того, что Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Легко убедиться в том, что

Сложные поверхности и их уравнения

Доказательство того, что точки, обладающие указанным свойством, принадлежат эллипсу, было проведено ранее (см. раздел «Простейшие задачи аналитической геометрии» Введения, задача 2).

Сложные поверхности и их уравнения

называется эксцентриситетом эллипса (I). Ясно, что 0 Сложные поверхности и их уравнения

называются директрисами эллипса. У каждого эллипса две директрисы — левая и правая (рис. 13).

Сложные поверхности и их уравнения

5. Эллипс есть множество точек плоскости, отношение расстояний от которых до данной точки (фокуса эллипса) и доданной прямой (одноименной с фокусом директрисы эллипса) постоянно (равно эксцентриситету эллипса).

Пусть сначала М(х,у) — произвольная точка эллипса (1). Вычислим расстояния от нее до правого фокуса и до правой директрисы (рис. 14). Имеем соответственно

Сложные поверхности и их уравнения

Откуда легко получаем требуемое

Сложные поверхности и их уравнения

Аналогично проверяется, что

Сложные поверхности и их уравнения

Рассмотрим теперь на плоскости точку (с, 0) и прямую х =Сложные поверхности и их уравнения(с = ае). Возьмем произвольную точку М(х, у) и вычислим расстояния от нее до выбранной точки (с, 0) —

Сложные поверхности и их уравнения

— и до выбранной прямой —

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Возведем обе части последнего соотношения в квадрат и, положив Сложные поверхности и их уравненияи учтя равенство с = ае, после простых преобразований получим

Сложные поверхности и их уравнения

Тем самым, точка М(х,у) лежит на эллипсе (1).

Гипербола

Гиперболой называется кривая, уравнение которой в некоторой прямоугольной системе координат Оху имеет вид (1)

Сложные поверхности и их уравнения

Система координат Оху, в которой уравнение гиперболы имеет вид (1), называется канонической (для данной гиперболы); само уравнение (1) называется каноническим уравнением гиперболы.

Свойства гиперболы

  1. Гипербола (1) лежит вне полосы |x| Сложные поверхности и их уравнения

и, значит, |x| ≥ а (рис. 15).

Сложные поверхности и их уравнения

Точки (±а, 0) называются вершинами гиперболы.

2. Гипербола (1) лежит в вертикальных углах, образованных прямыми у = ±Сложные поверхности и их уравнениях и содержащих точки оси Ох (рис. 16).

Сложные поверхности и их уравнения

вытекает, что если точка М(х, у) лежит на гиперболе (1), то

Сложные поверхности и их уравнения

Таким образом, гипербола состоит из двух частей — ветвей гиперболы, левой и правой. Прямые

Сложные поверхности и их уравнения

называются асимптотами гиперболы.

3, На гиперболе лежат точки, сколь угодно далекие от начала координат O(0, 0).

Сложные поверхности и их уравнения

Пусть, например, точка М(х, у) лежит на гиперболе (1) и у = n, где n — произвольное положительное число (рис. 17).

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Возьмем в первой четверти две точки: точку гиперболы (1) и точку ее асимптоты Сложные поверхности и их уравнения= 0 с одинаковой абсциссой х > а —

Сложные поверхности и их уравнения

соответственно — и вычислим расстояние между ними. Имеем

Сложные поверхности и их уравнения

Умножив и разделив полученное выражение на сумму х +Сложные поверхности и их уравненияи перейдя затем к пределу при Сложные поверхности и их уравненияполучим

Сложные поверхности и их уравнения

Тем самым, установлен следующий факт.

4. Если текущая точка асимптоты неограниченно удаляется от начала координат, т.е. х —» + ∞, то на гиперболе можно указать соответствующую ей точку так, чтобы расстояние между ними стремилось к нулю (рис. 18).

Сложные поверхности и их уравнения

Верно и обратное.

Сложные поверхности и их уравнения

стремится к нулю.

6. Оси канонической координатной системы являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — ее центром симметрии (рис. 19).

Сложные поверхности и их уравнения

Координатные оси канонической системы — единственные оси симметрии гиперболы.

Положим с = Сложные поверхности и их уравнения. Ясно, что с > 0. .Точки (-с, 0) и (с, 0) называются фокусами гиперболы, 2с — фокусное расстояние.

Гипербола есть множество точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух данных точек (фокусов гиперболы) постоянна (равна заданному числу).

Доказательство этого свойства проводится так же, как и доказательство свойства 4 эллипса. Покажем, например, что каждая точка гиперболы обладает указанным свойством. Если М(х, у) — точка гиперболы (1), то расстояния от нее до фокусов соответственно равны

Сложные поверхности и их уравнения

(рис. 20). Так как Сложные поверхности и их уравнения> 1, то

Сложные поверхности и их уравнения

Отсюда нетрудно вычислить, что

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

называется эксцентриситетом гиперболы (1). Ясно, что е > 1. Прямые

Сложные поверхности и их уравнения

называются директрисами гиперболы (рис. 21). У каждой гиперболы две директрисы — левая и правая.

Сложные поверхности и их уравнения

Практически также, как и для эллипса, доказывается следующий факт.

8. Гипербола есть множество точек, отношение расстояний от которых до данной точки (фокуса гиперболы) и доданной прямой (одноименной с фокусом директрисы) постоянно (равно эксцентриситету гиперболы) (рис. 22).
Гипербола (2)

Сложные поверхности и их уравнения

называется сопряженной гиперболе (1). Взаимное расположение гипербол (1) и (2) указано на рис. 23.

Сложные поверхности и их уравнения

Парабола

Параболой называется кривая, уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Оху имеет вид (1)

Сложные поверхности и их уравнения

Система координат Оху, в которой уравнение параболы имеет вид (1), называется канонической (для данной параболы); уравнение (]) называется каноническим уравнением параболы.

Сложные поверхности и их уравнения

Свойства параболы

  1. Все точки параболы лежат в правой полуплоскости: х ≥ 0 (рис. 25). Точка 0(0, 0) лежит на параболе и называется ее вершиной.
  2. На параболе лежат точки, сколь угодно далеко расположенные от начала координат О(0, 0).
  3. Ось абсцисс канонической координатной системы является (единственной) осью симметрии параболы (рис. 26).

Ось симметрии параболы называется осью параболы. Число р называется фокальным параметром параболы; точка (Сложные поверхности и их уравнения; 0) — фокус параболы; прямая х = — Сложные поверхности и их уравнениядиректриса параболы.

Сложные поверхности и их уравнения

4. Парабола есть множество точек, равноудаленных отданной точки (фокуса параболы) и от данной прямой (директрисы параболы) (рис. 27).

Пусть точка М(х, у) лежит на параболе (1). Вычислим расстояния от нее до фокуса (Сложные поверхности и их уравнения;0)

Сложные поверхности и их уравнения

и до директрисы х = —Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Заменяя у 2 его выражением 2рх, легко убеждаемся в том, что

Сложные поверхности и их уравнения

Верно и обратное. Если для некоторой точки М(х, у) расстояния от нее до точки (Сложные поверхности и их уравнения; 0) и до прямой х = — Сложные поверхности и их уравненияравны —

Сложные поверхности и их уравнения

то, возводя в квадрат, после простых преобразований получаем, что эта точка лежит на параболе:

Сложные поверхности и их уравнения

Видео:Поверхности второго порядкаСкачать

Поверхности второго порядка

Оптическое свойство кривых второго порядка

Касательные к эллипсу и гиперболе

Если кривая задана уравнением

y = f(x)

то уравнение касательной к ней, проходящей через точку (хо,у0)> где Уо = f(xо), можно записать в следующем виде

Сложные поверхности и их уравнения

Пусть Мо(хо, yо) — точка эллипса

Предположим для определенности, что точка М0 лежит в первой четверти, т. е. хо > 0, yо > 0. Тогда часть эллипса, лежащую в первой четверти, можно описать уравнением

Сложные поверхности и их уравнения

Пользуясь формулой (1), получаем уравнение касательной к эллипсу в точке Мо

Сложные поверхности и их уравнения

а так как точка (х0, у о) лежит на эллипсе, то

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Полученное соотношение после несложных преобразований можно записать так:

Сложные поверхности и их уравнения

Отсюда с учетом тождества

Сложные поверхности и их уравнения

приходим к уравнению

Сложные поверхности и их уравнения

(рис. 28). Полученное соотношение является уравнением касательной к эллипсу, проходящей через его точку (х0, yо), и в общем случае ее произвольного расположения, т. е. при любых знаках хо и уо.

Сложные поверхности и их уравнения

Уравнение касательной к гиперболе выводится аналогично и имеет следующий вид

Сложные поверхности и их уравнения

Подчеркнем, что точка (хо, yо) лежит на гиперболе.

Касательные к параболе

Если кривая задана уравнением

х = g(у),

то уравнение касательной к ней, проходящей через точку (хo,уo), где х0 = g (уо), можно записать в следующем виде

Сложные поверхности и их уравнения

Пусть М0(х0, у0) — точка параболы. Пользуясь формулой (I), получаем уравнение касательной к параболе

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Отсюда в силу равенства Сложные поверхности и их уравненияприходим к уравнению касательной вида

Сложные поверхности и их уравнения

Замечание:

Сопоставляя канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы с уравнениями касательных к этим кривым, нетрудно заметить, что для получения последних не требуется специальных вычислений. В самом деле, заменяя у 2 на уу 0 , а х 2 на хх 0 (в случае параболы 2х нужно заменить на x + х 0 ). приходим к уравнению соответствующей касательной. Еще раз отметим, что сказанное справедливо лишь в том случае, когда точка (x 0 . y 0 ) лежит на кривой.

Оптическое свойство эллипса

Пусть М 0 — произвольная точка эллипса

Сложные поверхности и их уравнения

Как уже отмечалось, расстояния от нее до фокусов Fл и F n — фокальные радиусы — равны соответственно

Сложные поверхности и их уравнения

Проведем через точку М 0 касательную к эллипсу,

Сложные поверхности и их уравнения

и вычислим, на каком расстоянии от этой касательной лежат фокусы Fл (-c, 0) и Fn (c; 0) (напомним, что для этого следует воспользоваться формулой (10).

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

— нормирующий множитель (рис. 29). Нетрудно проверить, что

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Обратившись к рис.29, заметим, что вычисленные отношения равны синусам углов, образованных касательной и фокальными радиусами точки касания. Из того, что синусы этих углов равны, вытекает равенство и самих углов. Тем самым доказано оптическое свойство эллипса: касательная к эллипсу образует равные углы с фокальными радиусами точки касания.

Сложные поверхности и их уравнения

Это свойство называется оптическим по следующей причине: если поместить в один из фокусов эллипса с зеркальной «поверхностью» точечный источник света, то все лучи после отражения от «поверхности» эллипса сойдутся в другом его фокусе (рис. 30).

Сложные поверхности и их уравнения

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.

Оптическое свойство гиперболы

Устанавливается аналогичными выкладками и заключается в следующем.

Если поместить в один из фокусов гиперболы точечный источник света, то каждый луч после отражения от зеркальной «поверхности» гиперболы видится исходящим из другого фокуса (рис. 31).

Оптическое свойство параболы

Если в фокус параболы помещен точечный источник света, то все лучи, отраженные от зеркальной «поверхности» параболы, будут направлены параллельно оси параболы (рис. 32).

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Классификация кривых второго порядка

Многочлены второй степени на плоскости

Теорема:

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Оху и пусть

Сложные поверхности и их уравнения

— многочлен второй степени от переменных х и у.

Тогда на плоскости можно построить прямоугольную дека ртов у систему координат O’XY так, что после замены переменных х и у на переменные X и Y исходный многочлен f(x, у) приведется к многочлену F(X, Y) одного из следующих трех видов:

Сложные поверхности и их уравнения

1-й шаг. Поворотом координатных осей на подходящим образом выбранный угол всегда можно добиться того, чтобы коэффициент при произведении разноименных координат обратился в нуль.

Пусть b ≠ 0 (при 6 = 0 этот шаг не нужен). Повернем оси координат вокруг точки О. Эта операция описывается следующими формулами

Сложные поверхности и их уравнения

При этом координатные оси исходной системы Оху поворачиваются на угол φ (рис.33).

Сложные поверхности и их уравнения

Заменим переменные х и у в формуле (1) их выражениями (2) через x’ и у’ и вычислим коэффициент 2b’ при произведении х’у’. Он равен

Сложные поверхности и их уравнения

и обращается в нуль, если

Сложные поверхности и их уравнения

Так как полученное уравнение разрешимо относительно φ, то указанным преобразованием всегда можно добиться обращения в нуль нужного коэффициента.

Приступая ко второму этапу преобразования, будем считать, что исходный многочлен f(x,у) уже имеет вид

Сложные поверхности и их уравнения

где а 2 + с 2 >0. Для определенности положим с ≠ 0 (это не ограничивает общности наших рассуждений, так как заменой х, у в случае необходимости этого всегда можно добиться).

2-й шаг. Переносом начала координат можно достичь дальнейшего упрощения вида многочлена f(x,y). Эта операция описывается следующими формулами:

Сложные поверхности и их уравнения

координатные оси новой системы O’XY получаются из координатных осей исходной системы Оху параллельным переносом в точку (-а, — β) (рис. 34).

Сложные поверхности и их уравнения

Укажем конкретные значения а и β. Возможны три случая

I. а ≠ 0, с ≠ 0. Тогда, полагая

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

где А = а, В = с, С = g —Сложные поверхности и их уравнения

II. а = 0, d ≠ 0. Тогда, полагая

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

III. а = d = 0. Тогда, полагая

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

где В = с, Е = g — Сложные поверхности и их уравнения

Канонические уравнения кривых второго порядка

Если многочлен второй степени F(X, У) приравнять к нулю, то получим уравнение линии второго порядка

F(X, У) = 0.

Рассмотрим каждый из трех полученных выше случаев I, II, III отдельно.

I. Сложные поверхности и их уравнения

Э. А • В > 0. Домножением обеих частей уравнения на — 1 и заменой X на У, а У на X (в случае необходимости) всегда можно добиться того, чтобы В ≥ А > 0.

    С Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

(мнимый эллипс)2). На действительной плоскости нет ни одной точки (X, Y), координаты которой обращали бы это уравнение в тождество.

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Точка (0, 0) является единственной точкой плоскости, координаты которой удовлетворяют этому уравнению; точку (0,0) можно мыслить как действительную точку пересечения двух мнимых пересекающихся прямых 3).

Г. А • В 0, В Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

— пару пересекающихся прямых:

Сложные поверхности и их уравнения

2) Название можно объяснить некоторым сходством этого уравнения с уравнением эллипса.
3) Название можно объяснить некоторым сходством этого уравнения с уравнением пары пересекающихся
прямых.

II. BY 2 + 2DX = О, В • D ≠ 0.

Всегда можно добиться того, чтобы В • D Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

III. BY 2 + Е = 0, В ≠ 0. Можно считать, что В > 0.

1. Е Сложные поверхности и их уравнения

Y 2 — с 2 = 0, с > 0

— пару параллельных прямых.

Сложные поверхности и их уравнения

Y 2 — с 2 = 0, с 2 = 0

— пара совпадающих прямых.

Чтобы определить тип кривой второго порядка, не обязательно проводить все указанные выше преобразования. Достаточно вычислить знаки некоторых выражений, составленных из коэффициентов уравнения.

Сложные поверхности и их уравнения

— уравнение линии второго порядка. Введем следующие обозначения

Сложные поверхности и их уравнения

Числа D и ∆ не зависят от выбора системы координат на плоскости и называются инвариантами. Из приводимой таблицы видно, какому сочетанию знаков определителей D и ∆ соответствует та или иная линия второго порядка.

Задача:

Убедитесь в том, что D и ∆ при рассмотренных преобразованиях системы координат действительно остаются неизменными.
4) Название можно объяснить некоторым сходством этого уравнения с уравнением пары параллельных прямых.

Сложные поверхности и их уравнения

Поверхности второго порядка

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz. Множество точек пространства, координаты х, у и z которых удовлетворяют равенству

F(x, у, z) = О,

называется поверхностью; равенство (*) называется уравнением этой поверхности.

Сложные поверхности и их уравнения

Пример:

Сложные поверхности и их уравнения

— уравнение сферы радиуса о с центром в точке (0,0,0) (рис. 35).

Рассмотрим многочлен второй степени от трех переменных х, у и z

Сложные поверхности и их уравнения

Уравнение

F(x, y, z) = 0

будем называть уравнением поверхности второго порядка.

Исследование общего уравнения поверхностей второго порядка оказывается зна-чительноболее сложным, чем исследование общего уравнения кривых второго порядка, требует разработки соответствующего математического аппарата и будет проведено в конце главы VI.

В оставшихся параграфах этой главы мы сначала остановимся на изучении геометрических свойств некоторых важных классов общих поверхностей; затем используем их для рассмотрения канонических уравнений основных поверхностей второго порядка и исследования структуры этих поверхностей.

Видео:553. Уравнение цилиндрической поверхности.Скачать

553. Уравнение цилиндрической поверхности.

Некоторые классы поверхностей

Поверхности вращения

Рассмотрим на плоскости Oxz кривую γ, заданную уравнением

г = f(x), х ≥ 0

(рис. 36). При вращении кривой γ вокруг оси Oz она будет заметать некоторую поверхность, называемую поверхностью вращения (рис. 37). Найдем уравнение этой поверхности, т. е. равенство, которому должны удовлетворять координаты точек построенной поверхности и только они.

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Тем самым, координаты х, у и z0 любой точки М этой окружности связаны следующим равенством

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

В силу произвольности выбора точки М0 на кривой γ искомое уравнение полученной поверхности вращения имеет вид

Сложные поверхности и их уравнения

Цилиндрические поверхности

Через каждую точку некоторой заданной кривой γ проведем прямую l параллельно заданной прямой l0. Множество точек, лежащих на так построенных прямых, назовем цилиндрической поверхностью (рис. 39); кривая γ называется направляющей цилиндрической поверхности, а прямая l — ее образующей.

Сложные поверхности и их уравнения

Найдем уравнение, описывающее цилиндрическую поверхность.

Возьмем произвольную точку О и проведем через нее плоскость П, перпендикулярную образующей I. Построим в пространстве прямоугольную координатную систему Oxyz, взяв за ось Oz прямую, перпендикулярную плоскости П. Тогда плоскость П будет координатной плоскостью Оху (рис.40). Плоскость П пересекает цилиндрическую поверхность по направляющей γ0.

F(x,y) = 0

— уравнение этой направляющей. Убедимся в том, что последнее соотношение можно считать уравнением искомой цилиндрической поверхности.

самом деле, пусть (х, у, z) — точка цилиндрической поверхности (рис. 41). Тогда точка (х, у, 0) лежит на γ0 и, значит, удовлетворяет уравнению

F(x,y)=0.

Но координаты точки (х, у, z) также обращают это уравнение в тождество. Последнее обстоятельство и позволяет считать соотношение F(x,y) = 0 искомым уравнением.

Сложные поверхности и их уравнения

Пример:

Введем в пространстве прямоугольные декартовы координаты Охуz. Соотношение

Сложные поверхности и их уравнения

является уравнением цилиндрической поверхности (эллиптического цилиндра) (рис. 42).

Сложные поверхности и их уравнения

Замечание:

F(y, z) = 0

описывает цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной координатной оси Оx, а уравнение

F(x,z) = 0

— цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oy.

Конические поверхности

Пусть γ — произвольная кривая и О — точка вне eе. Через каждую точку кривой γ и точку О проведем прямую l. Множество точек, лежащих на построенных таким образом прямых, называется конической поверхностью (рис.43); кривая γ — направляющая конической поверхности, l — ее образующая, точка О — вершина. Рассмотрим функцию

F (x, у, z)

переменных х, у и z. Функция F(x, у, z) называется однородной функцией степени q, если для любого t > 0 выполняется равенство

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Покажем, что если F(x, у, z) однородная функция, то F<x,y,z) = 0
является уравнением конической поверхности.

В самом деле, пусть

Сложные поверхности и их уравнения

т.е. точка М0(xo, уо, zо) лежит на этой поверхности. Будем считать, что Сложные поверхности и их уравнения. Проведем через эту точку и точку 0(0,0, 0) (считая, что F(0,0, 0) = 0) прямую I (рис. 44). Ее параметрические уравнения имеют вид

Сложные поверхности и их уравнения

Подставляя полученные выражения для х, у и z в функцию F(x, у, z), видим, что

Сложные поверхности и их уравнения

Это означает, что вся прямая l лежит на поверхности, определяемой уравнением F(x,y,z) = 0, которое, следовательно, и описывает коническую поверхность.

Пример:

Сложные поверхности и их уравнения

является однородной функцией второй степени:

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

— уравнение конической поверхности (конуса второго порядка) (рис.45).

Воспользуемся теперь полученными выше результатами для исследования геометрической формы поверхностей второго порядка.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндры и конус второго порядка

Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz имеет вид

Сложные поверхности и их уравнения

где а ≥ b ≥ с > 0. Для того, чтобы выяснить, как выглядит эллипсоид, поступим следующим образом. Возьмем на плоскости Oxz эллипс

Сложные поверхности и их уравнения

и будем вращать его вокруг оси Oz (рис. 46).

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

эллипсоид вращения — уже дает представление о том, как устроен эллипсоид общего вида. Чтобы получить его уравнение, достаточно равномерно сжать эллипсоид вращения . вдоль оси Оу с коэффициентом — Сложные поверхности и их уравнения≤ 1, т. с. заменить в его уравнении у на Сложные поверхности и их уравненияy 5).

Гиперболоиды

Сложные поверхности и их уравнения

вокруг оси Oz (рис. 47), получим поверхность, называемую однополостным гиперболоидом вращения. Его уравнение имеет вид

Сложные поверхности и их уравнения

получается тем же способом, что и в случае эллипсоида вращения.

5) Эллипсоид вращения («) можно получить равномерным сжатием сферы х 2 + у 2 + z 2 = а 2 вдоль оси Оz с коэффициентом — Сложные поверхности и их уравнения≤ 1.

Сложные поверхности и их уравнения

Путем равномерного сжатия этой поверхности вдоль оси Оу с коэффициентом Сложные поверхности и их уравнения≤ 1 получим однополостный гиперболоид общего вида. Его уравнение

Сложные поверхности и их уравнения

получается тем же способом, что и в разобранном выше случае эллипсоида. Путем вращения вокруг оси Oz сопряженной гиперболы

Сложные поверхности и их уравнения

получим двуполостный гиперболоид вращения (рис.48). Его уравнение

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Путем равномерного сжатия этой поверхности вдоль оси Оу с коэффициентом Сложные поверхности и их уравнения≤ 1 приходим к двуполостному гиперболоиду общего вида. Заменой у на Сложные поверхности и их уравненияу получаем его уравнение

Сложные поверхности и их уравнения

Эллиптический параболоид

Сложные поверхности и их уравнения

вокруг оси Oz (рис.49), получаем параболоид вращения. Его уравнение имеет вид

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения

Путем сжатия параболоида вращения вдоль оси Оу с коэффициентом Сложные поверхности и их уравненияполучаем эллиптический параболоид. Его уравнение

Сложные поверхности и их уравнения

получается из уравнения параболоида вращения

Сложные поверхности и их уравнения

путем замены у на Сложные поверхности и их уравнения. Если р Гиперболический параболоид

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxyz имеет вид

Сложные поверхности и их уравнения

где р > 0, q > 0. Вид этой поверхности определим, применив так называемый метод сечений, который заключается в следующем: параллельно координатным плоскостям проводятся плоскости, пересекающие исследуемую поверхность, и по изменению конфигурации возникающих в результате плоских кривых делается вывод о структуре самой поверхности.

Начнем с сечений плоскостями z = h = const, параллельными координатной плоскости Оху. При h > 0 получаем гиперболы

Сложные поверхности и их уравнения

при h Сложные поверхности и их уравнения

при h = 0 — пару пересекающихся прямых

Сложные поверхности и их уравнения

Заметим, что эти прямые являются асимптотами для всех гипербол (т. е. при любом h ≠ 0). Спроектируем получаемые кривые на плоскость Ох у. Получим следующую картину (рис. 51). Уже это рассмотрение позволяет сделать заключение о седлообразном строении рассматриваемой поверхности (рис. 52).

Сложные поверхности и их уравнения

Рассмотрим теперь сечения плоскостями

у = h.

Заменяя в уравнении поверхности у на h, получаем уравнения парабол (рис.53).

Сложные поверхности и их уравнения

Аналогичная картина возникает при рассечении заданной поверхности плоскостями

х = h.

В этом случае также получаются параболы

Сложные поверхности и их уравнения

ветви которых направлены вниз (а не вверх, как для сечения плоскостями у = h) (рис. 54).

Используя последние два типа сечений, приходим к заключению, что гиперболический параболоид можно получить путем параллельного переноса параболы х2 = 2pz вдоль параболы у2 = -2qz, или наоборот (рис. 55).

Сложные поверхности и их уравнения

Замечание:

Методом сeчeний можно разобраться в строении и всех ранее рассмотренных поверхностей второго порядка. Однако путем вращения кривых второго порядка и последующего равномерного сжатия к пониманию их структуры можно прийти проще и значительно быстрее.

Сложные поверхности и их уравнения

Оставшиеся поверхности второго порядка по существу уже рассмотрены ранее. Это цилиндры:

Сложные поверхности и их уравнения

представление о котором можно получить либо путем вращения пары пересекающихся прямых

Сложные поверхности и их уравнения

вокруг оси Oz и последующего сжатия, либо методом сечений. Конечно, в обоих случаях получим, что исследуемая поверхность имеет вид, указанный на рис. 59.

Сложные поверхности и их уравнения

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому виду

Дополнение к поверхностям второго порядка

Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Сложные поверхности и их уравнения

Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения Сложные поверхности и их уравнения

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

💥 Видео

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | Математика

560. Уравнение поверхности вращенияСкачать

560. Уравнение поверхности вращения

Цилиндрические поверхностиСкачать

Цилиндрические поверхности

Математический анализ, 33 урок, Касательная плоскость и нормаль к поверхностиСкачать

Математический анализ, 33 урок, Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Олегу Тинькову запрещён вход на Мехмат МГУСкачать

Олегу Тинькову запрещён вход на Мехмат МГУ

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Задача, которую боятсяСкачать

Задача, которую боятся
Поделиться или сохранить к себе: