Точка с запятой в системе уравнений

15.1. Расположение формул

15.1.1. Формулы, выключенные отдельными строками

Наиболее важные формулы, а также длинные и громоздкие формулы, содержащие крупнокегельные знаки суммирования, произведения, дифференцирования, интегрирования и т.п., выключают в отдельные строки. Таким же образом располагают и все нумерованные формулы. При этом возможна выключка как на середину, так и в левый (иногда в правый) край строки или с небольшой втяжкой.

15.1.2. Формулы, помещенные в подбор одна к другой

Для экономии места несколько коротких однотипных формул, выделенных из текста, можно помещать в одной строке, а не одну под другой (см. 15.8.5).

15.1.3. Формулы, помещенные внутри строк текста

Внутри строк текста размещают прежде всего небольшие и несложные формулы, не имеющие самостоятельного значения. Но и во многих других случаях расположение формул отдельными строками не вызывается необходимостью, и при размещении их в подбор с текстом можно добиться значительной экономии бумаги и сократить

* Математические обозначения, применяемые в формулах, стандартизованы СЭВ (PC 2625—70 “Основные математические обозначения” — см. 16)

объем ручной доработки набранного на машине текста или объем монтажа при фотонаборе (см. 15.8.4).

15.2. Нумерация формул

15.2.1. Использование нумерации

Нумеровать следует наиболее важные формулы, на которые имеются ссылки в последующем тексте. Не рекомендуется, как правило, нумеровать формулы, на которые нет ссылок в тексте.

15.2.2. Форма номера

Порядковые номера формул обозначают арабскими цифрами в круглых скобках у правого края полосы без отточия от формулы к ее номеру. Применяются арабские цифры со строчными буквами (см. 15.2.10) и буквы или звездочки (см. 15.2.11).

15.2.3. Место номера, не умещающегося в строке формулы

Его располагают в следующей строке ниже формулы.

15.2.4. Место номера при переносе формулы

На уровне последней строки. Например:

15.2.5. Место номера формулы в рамке

Вне рамки в правый край против основной строки формулы.

15.2.6. Место номера формулы-дроби

Номер выключают по середине основной горизонтальной черты формулы.

15.2.7. Нумерация небольших формул, помещенных в одной строке

Несколько небольших формул, составляющих единую группу, помещают в одну строку и объединяют одним номером.

15.2.8. Нумерация группы формул, расположенных отдельными строками

Ставят справа от этой группы фигурные скобки, охватывающие по высоте все формулы, — парантез. Острие парантеза находится в середине группы формул по высоте и обращено в сторону номера, помещаемого в скобке против острия в правом крае полосы. Например:

15.2.9. Нумерация группы формул — системы уравнений

В мат. литературе парантез допускается ставить слева от группы формул — системы уравнений, а номер помещать против середины группы формул. Например:

При отсутствии парантеза номер также помещают против середины группы формул

15.2.10. Нумерация формул — разновидностей основной формулы

Формулы — разновидности приведенной ранее основной формулы допускается нумеровать арабской цифрой и прямой строчной буквой русского алфавита, набираемой слитно с цифрой. Например: (14а), (146).

15.2.11. Нумерация промежуточных формул, не имеющих самостоятельного значения

Такие формулы, приводимые для вывода осн. формул, нумеруют иногда либо строчными буквами русского алфавита, набираемыми прямым шрифтом в круглых скобках, либо звездочками в круглых скобках Например: (а), (б), (в), (*), (**), (***). .

15.2.12. Сквозная нумерация формул

Применяется в небольших работах, где нумеруется ограниченное число наиболее важных формул. Такую же нумерацию можно использовать и в более объемных работах, если пронумерованных формул не слишком много и в одних главах содержится мало ссылок на формулы из других глав.

15.2.13. Двойная индексационная нумерация формул

Применяется, как правило, при делении текста на главы и параграфы, когда такая нумерация используется и для других рядов: рубрик, иллюстраций, таблиц. Сначала указывают номер главы (или параграфа), затем ставят точку и приводят номер формулы в данной главе (параграфе). Например: (3.7) — 7-я формула в гл. III; (9.5) — 5-я формула в § 9. Римские цифры для нумерации формул обычно не применяют (хотя в книге номер главы может быть обозначен римскими цифрами).

15.2.14. Тройная индексационная нумерация формул

Применяется при сложной рубрикации, большом числе формул и множестве перекрестных ссылок на формулы из других глав. Например; (7.9. 6) — 6-я формула в § 9 гл. VII.

15.3. Ссылки на номера формул в тексте

15.3.1. Основная форма ссылки

1. При ссылках на какую-либо формулу ее номер ставят точно в той же графической форме, что и после формулы, т.е. арабскими цифрами в круглых скобках. Например: в формуле (3.7); из уравнения (5.1) вытекает и т.п.

15.3.2. Вариант ссылки без определяющего слова перед номером

Употреблять номера без определяющих слов в тексте изданий для массового читателя, учебных изданий для средних учебных заведений не рекомендуется. Например:

Рекомендуется:

Не рекомендуется:

Из формулы (2 1) следует.

Из (2.1) следует.

Однако в изданиях для хорошо подготовленного читателя (научные работники, студенты вузов, специалисты с высшим образованием) с целью экономии бумаги можно опускать определяющее слово перед номером, т.е. применять вариант, который не рекомендуется для массовых изданий (см. пример выше в правой колонке).

15.3.3. Ссылка на формулу в тексте, заключенном в скобки

Если ссылка на номер формулы находится внутри выражения, заключенного в круглые скобки, то их рекомендуется заменять квадратными скобками. Например. Используя выражение для дивергенции [см. формулу (14.3)], получаем.

15.4. Пунктуация в тексте с формулами

15.4.1. Общее правило

Формула включается в предложение как его равноправный элемент. Поэтому в конце формул и в тексте перед ними знаки препинания ставят в соответствии с правилами пунктуации.

15.4.2. Двоеточие перед формулой

Ставят лишь в тех случаях, когда оно необходимо по правилам пунктуации: а) в тексте перед формулой содержится обобщающее слово; б) этого требует построение текста, предшествующего формуле. Например:

а) В результате получаемследующее соотношение:

б) Таким образом, производную “-го порядка можно выразить через Производные первого, второго, . (/* — 1)-го порядков:

15.4.3. Знаки препинания между формулами

Формулы, следующие одна за другой и не разделенные текстом, отделяют запятой или точкой с запятой. Указанные знаки препинания помещают непосредственно за формулами до их номера.

15.4.4. Знаки препинания между формулами при парантезе

Знаки препинания ставят внутри парантеза.

15.4.5. Знаки препинания после определителей и матриц

После таких громоздких математических выражений, как определители и матрицы, допускается знаки препинания не ставить.

15.5. Экспликация к формуле

15.5.1. Применение и состав экспликации

Экспликацию (расшифровку приведенных в левой и правой частях формулы буквенных обозначений величин) принято помещать после всех формул.

В экспликациях может быть опущена расшифровка общепринятых обозначений.

Повторяющиеся обозначения могут не расшифровываться, если формулы расположены близко друг к другу.

При большом числе формул с повторяющимися обозначениями целесообразно поместить в начале или в конце издания список обозначений с их расшифровкой и в экспликации повторяющиеся обозначения не включать.

15.5.2. Последовательность составных элементов

Последовательность расшифровки буквенных обозначений должна соответствовать последовательности расположения этих обозначений в формуле. Если правая часть формулы является дробью, то сначала поясняют обозначения величин, помещенных в числителе, в том же порядке, что и в формуле, а затем — в знаменателе.

15.5.3. Пунктуационное оформление текста с формулой и экспликацией

После формулы перед экспликацией ставят запятую, затем с новой строки от левого края — слово где (без двоеточия после него), за ним — обозначение первой величины и после тире его расшифровку и далее — каждое следующее обозначение и его расшифровку. В конце каждой расшифровки ставят точку с запятой, а в конце последней — точку. Обозначения физ. величин в каждой расшифровке отделяют запятой от текста расшифровки. Например;

Итак, получаем соотношение/

где Q — аккумулирующаяспособность нагревательного устройства, ГДж; W — количество воды в прямом подающем трубопроводе, т; с в и с м — удельные теплоемкости воды и металла, кДж/(кг • К); G M — масса металла отопительных систем и трубопровода прямой сетевой воды, т; Л/—изменение температуры сетевой воды на выходе из ТЭЦ, °С.

15.5.4. Графическое оформление экспликации

С целью экономии бумаги элементы экспликации рекомендуется располагать, как правило, в подбор. Начинать каждую расшифровку в экспликации с новой строки не рекомендуется, т.к. это ведет к снижению емкости печатного листа. Такой способ оформления экспликации допустим в изданиях с очень небольшим числом формул, когда он практически не ведет к потере бумаги.

15.6. Оформление записи формулы

В формулах следует в первую очередь использовать круглые скобки ( ), во вторую — квадратные [ ], в третью — фигурные . Например;

Если же круглых, квадратных и фигурных скобок недостаточно, то применяют круглые, прямые и фигурные скобки повышенного кегля. Например:

Иногда в одной и той же формуле многократно используют только круглые скобки. Например:

Коэффициенты в формулах следует ставить впереди буквенных обозначений слитно с ними. Например:

15.6.3. Употребление точки на средней линии как знака умножения

Этот знак служит основным знаком умножения.

1. Точку как знак умножения ставят:

а) перед числовым сомножителем: 35 -0,18-5,2; а- 5;

б) для выделения какого-либо множителя;

в) для записи скалярного произведения векторов: а∙b

г) между аргументом тригонометрической функции и буквенным обозначением: a sin x • Ь cos у;

д) между знаком радикала (интеграла, логарифма) и сомножителем:

2. Точку как знак умножения не ставят;

а) перед буквенными символами:

б) перед скобками и после них:

в) перед дробными выражениями и после них:

г) перед знаком радикала (интеграла, логарифма):

д) перед аргументом тригонометрической функции: oq tg wf.

Если вслед за тригонометрической функцией, радикалом, логарифмом и т.п. стоит множитель, представляющий собой буквенное выражение, то следует поменять местами сомножители и тем самым освободитьсяот знака умножения. Например , рекомендуется писать не

15.6.4. Употребление косого креста как знака умножения

а) при указании размеров: площадь комнаты 4,5 X 3 м;

б) для записи векторного произведения векторов; а Х b;

в) при переносе формулы с одной строки на другую на знаке умножения.

15.6.5. Многоточие в ряду перечисляемых, складываемых, приравниваемых символов

Применяется в виде трех точек на нижней линии строки. Запятые, знаки сложения, вычитания и равенства ставят перед отточием: и после него. Например:

15.6.6. Многоточие между перемножаемыми символами

В этом случае многоточие не отделяют запятыми и набирают на среднюю линию. Например:

15.6.7. Многоточие и отточие в системах уравнений, матрицах, определителях

Символы, расположенные в виде столбцов, выключают по знаку многоточия. Перед последней строкой ставят отточие на полную строку. Например:

15.7. Переносы в формулах

15.7.1. Место переноса

1. Если формула при наборе не умещается в одной строке, то ее частично переносят на другую строку. В первую очередь перенос следует производить на знаках отношения между левой и правой частями формулы (“=, ”, , > и т.д.), во вторую — на отточии (. ), знаках сложения и вычитания (-<-, —, ±) и в третью — на знаке умножения в виде косого креста (X). На знаке деления перенос делать не рекомендуется.

При переносе формул нельзя отделять индексы и показатели степени от символов, к которым они относятся. Нельзя также отделять выражения, содержащиеся под знаком интеграла, логарифма, суммы ( £, S), произведения ( П ), от самих знаков.

15.7.2. Обозначение переноса

Знак, на котором производится перенос, оставляют в конце строки и повторяют в начале той строки, на которую перенесена часть формулы. В том случае, когда формула прерывается на отточии, его также повторяют на следующей строке.

15.7.3. Перенос дроби с длинным числителем и коротким знаменателем

Для удобства переноса рекомендуется преобразовать дробь: числитель записать в виде многочлена в скобках, а величину, обратную знаменателю, вынести за скобки. Например, дробь

можно привести к виду

или, если использовать косую черту, к виду

В обоих случаях формулу разбивают переносом на знаке плюс многочлена.

15.7.4. Перенос дроби с коротким числителем и длинным знаменателем

Для удобства переноса рекомендуется записать дробь, используя косую черту в качестве знака деления, как отношение числителя и знаменателя в виде многочленов, взятых в скобки. Можно также заменить отдельные сложные элементы знаменателя условными обозначениями, расшифрованными вслед за формулой. Например, дробь

можно привести к виду Выражение

можно записать так:

15.7.5. Перенос формулы с длинным подкоренным выражением, не умещающимся в формат набора

Такое выражение можно преобразовать, возведя в соответствующую степень подкоренное выражение. Например, формулу

можно записать в виде

Здесь перенос также производят на знаке плюс многочлена.

15.8. Приемы обработки формул и текста с ними, позволяющие экономить площадь бумаги

15.8.1. Перевод выражений с горизонтальной дробной чертой в однострочные

Дробные выражения можно упростить частичной или полной заменой дробной черты на косую, а также введением десятичных дробей и отрицательных степеней. Например, формулы

можно преобразовать и записать соответственно так:

Указанные способы рекомендуется применять и при обозначении степеней, пределов интегрирования, подстрочных и надстрочных индексов. Например, выражения

следует преобразовать так:

15.8.2. Запись с помощью обозначения ехр

Если показательная функция содержит длинный или громоздкий показатель, то такую функцию рекомендуется записать с помощью обозначения ехр и расположения ее показателя на строке с введением скобок. Например, выражения

следует преобразовать так:

15.8.3. Свернутые формы записи математических выражений

1. Свернутые формы записи обозначений. Например, сумму а 4- ач 4-. + а п можно записать в виде Sa,; произведение ап2 а п

в виде Пя ; ; последовательность а, ai, . а щ . —в виде ™ =1 .

2. Сокращенные формы записи матриц, определителей и систем линейных уравнений. Например, вместо матрицы

можно употребить краткую запись A=*[a kl ], К £ п, 1 п. Используя такую запись, систему уравнений

можно записать кратко в виде АХ=*В, где А =[%], К *: X2, . Хп # = (&1, Ь2, . Ьп).

3. Замена однотипных формул, в которых величины изменяются по одному и тому же правилу, одним выражением.

Для этого используют индексацию так, как это принято в математике. Например, текст

Формулы для первых четырех моментов имеют вид

можно более компактно записать так:

Формулы для первых четырех моментов имеют вид

15.8.4. Расположение формул в подбор с текстом

Ряд несложных и непронумерованных формул размещают в подбор с текстом. Например, текст:

Согласно условию, имеем

рекомендуется расположить в подбор:

15.8.5. Расположение формул в подбор одна к другой

Часто возникает такое положение, когда формулу необходимо выключить в отдельную строку, но в результате мат. действий из этой формулы получается другая, представляющая собой некоторый итог рассуждений. В подобных случаях, если позволяет формат набора, обе формулы можно поставить рядом в строке, соединив их либо союзом или, либо мат. знаками (“равносильно”), => (“следует”). Например, текст

Решая полученную систему, имеем

Запись формул, входящих в систему уравнений, в виде столбца не является строго обязательной, если эти формулы умещаются в одну строку. При расположении в одну строку в предшествующем тексте следует указать, что приведенные ниже уравнения образуют систему.

Иногда некоторую совокупность уравнений ошибочно считают системой уравнений и записывают формулы в столбец, объединяя их парантезом. В подобных случаях уравнения этой совокупности следует записать в строку (без парантеза). Например, в тексте

правильнее записать все формулы в строку.

Прямоугольные и сферические координаты точки связаны соотношениями

Аналогичное положение возникает и в том случае, когда неоправданно помещают одну под другой несколько однотипных пронумерованных формул. В таком случае все формулы следует поместить в одной строке и дать под одним номером Напр., текст

Координаты центра тяжести дуги находят по формулам

необходимо расположить следующим образом:

Координаты центра тяжести дуги находят по формулам

Изменить ссылки на первоначальные номера формул легко. Например, если нужно сослаться на формулу для выражения координаты /, следует написать: по второй из формул (1).

15.8.6. Отказ от элементарных числовых выкладок

В научно-технической литературе не следует приводить все промежуточные преобразования в формулах, в особенности элементарные по характеру. Следует давать наиболее важные и характерные из таких преобразований. Например, вместо такого ряда формул:

15.8.7. Замена громоздких выражений символами

Часто над одним и тем же громоздким выражением производятся различные преобразования. Такое выражение следует заменить каким-нибудь символом и использовать это обозначение в последующих преобразованиях. Например, текст

15.8.8. Преобразование текста с целью компактного размещения формул

Нередко обязывается полезным такое изменение структуры текста, при котором ряд однотипных формул помещается в одной строке. Этот прием особенно эффективен, если приходится иметь дело с системами уравнений, матрицами и определителями, которые занимают большую площадь. Например, текст

на 3 и вычитая ее из 2-й строки, получаем

Переставив теперь 2-й и 3-й столбцы, имеем

Умножив 1-ю строку матрицы

можно более компактно записать так:

Выполним над матрицей следующие преобразования:

Мы умножили 1-ю строку на 3 и вычли ее из 2-й, а затем переставили 2-й и 3-й столбцы.

15.8.9. Перевод текста с формулами в таблицу

В тех случаях, когда мат. текст носит вспомогательный, справочный характер (например, теоретический материал в задачнике), нередко оказывается полезным перевести группу формул в таблицу, более наглядную и компактную по структуре. Например, текст

1. Если С ==■ 0, то уравнение принимает вид Л х +■ Ву = 0. Это —уравнение прямой, проходящей через начало координат.

Если /4=0, то уравнение имеет вид у = —С/В или у=- b и выражает уравнение прямой, параллельной оси Ох.

2. Если В = 0, то уравнение имеет вид к = -С/А или х=* а и выражает уравнение прямой, параллельной оси Оу.

4. Если А = С = 0, то уравнение примет вид у = 0. Это — уравнение оси Ох.

5. Если В = С = 0, то уравнение примет вид х = 0. Это — уравнениеоси Оу

можно перевести в следующую таблицу:

Значения коэффициентов

Уравнение прямой

Положение прямой

С-0 А =0 5 = 0 А -=С=0 В = С=0

Ал + By = 0 y = -C/B

b .v- -С /А — а у-0 =0

Проходит через начало координат Параллельна оси Ох ”………….”…… Оу Совпадает с осью Ох ”…….”……”…… Оу

15.8.10. Перенос ссылок на формулы из текста в формулы

Иногда ссылки на формулы можно расположить над соответствующими знаками равенств в произведенной цепочке преобразований. Например;

15.8.11. Использование современной символики

Большие возможности для компактной записи текста и формул дает современная мат. символика. Наиболее употребительны следующие мат. символы; =*•, •**” — знаки следования и равносильности; с, се — знаки принадлежности; U, П — знаки объединения и пересечения множеств; V-знак квантора общности (означает “для любого х”); 3 — знак квантора существования (означает “существует такое х”). Например, текст

Если р принадлежит а, то а и р параллельны. Пусть р не принадлежит а. Проведем плоскость р, которая содержит линию пересечения прямых о и q. Так как q принадлежит а (по условию) и q принадлежит р (по построению), то q есть прямая пересечения плоскостей аи р. Допустим, что теорема неверна, т.е. р не параллельна а. Тогда существует точка С пересечения прямой р с плоскостью а с помощью использования математической символики примет такой вид:

15.9. Разметка формул

15.9.1. Общие правила

Чтобы гарантировать правильный набор формул, их следует тщательно разметить:

1) обозначить черточками под и над буквами прописные и строчные буквы, не различающиеся по начертанию;

2) обозначить под символами, индексами и мат. обозначениями, шрифтом какого начертания они должны быть набраны (прямой, курсив, полужирный);

3) обвести красным карандашом буквы греческого алфавита, синим — готического;

4) во всех сомнительных случаях пояснить на поле, какую букву или знак следует набрать (в т.ч. спец. мат. знаки);

5) пояснить или прорисовать все смешиваемые при наборе знаки, цифры, буквы; например: О ( ноль) и О (буква), X (знак умножения) и х (икс), единица арабская и римская, штрих ‘ и показатель степени, равный единице 1

6) разметить корректурными знаками положение верхних и нижних, одинарных и двойных индексов.

15.9.2. Указания о переносах и отбивках

Целесообразно при разметке;

1. Указать место вероятного переноса в длинных формулах, чтобы избежать правки в наборе.

2. Обозначить в необходимых случаях отбивки (места отбивки указаны двойной чертой). Например: а) между символическим обозначением функции и аргументом: sin II х; In й х;

б) между подынтегральной функцией и дифференциалом:

Видео:Математика | Система уравнений на желтую звездочку (feat Золотой Медалист по бегу)Скачать

Как решать систему уравнений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Видео:Способы решения систем нелинейных уравнений. 9 класс.Скачать

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Видео:9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Видео:Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Видео:Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Видео:После этого видео, ТЫ РЕШИШЬ ЛЮБУЮ Систему Нелинейных УравненийСкачать

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:

1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:

1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:

1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

Видео:Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Система уравнений

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

1. Метод подстановки.
2. Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
2. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
3. Решить уравнение с одной неизвестной.
4. Найти оставшуюся неизвестную.

Решить систему уравнений методом подстановки

Решение:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

1. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

1. Решить уравнение с одной неизвестной.

3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

1. Найти оставшуюся неизвестную.

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Решить систему уравнений методом сложения

Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .

Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )

− 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

Ответ можно записать одним из трех способов:

Видео:ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать

Задания для самостоятельного решения

№1. Решите систему уравнений < 4 x + y = 10 x + 3 y = − 3

В ответе запишите сумму решений.

Решение:

1 способ: (метод подстановки)

x + 3 ( 10 − 4 x ) = − 3

x + 30 − 12 x = − 3

Теперь осталось найти переменную y .

y = 10 − 4 x = 10 − 4 ⋅ 3 = − 2

В ответе надо указать сумму решений:

x + y = 3 + ( − 2 ) = 1

2 способ: (метод сложения)

( − 12 x − 3 y + ( x + 3 y ) = ( − 30 ) + ( − 3 )

− 12 x − 3 y + x + 3 y = − 30 − 3

Теперь осталось найти переменную y .

В ответе надо указать сумму решений:

x + y = 3 + ( − 2 ) = 1

№2. Две прямые пересекаются в точке C (см. рис.). Найдите абсциссу точки C .

Решение:

Абсцисса – x , ордината – y . Если две прямые пересекаются, то для нахождения точки их пересечения надо составить систему уравнений. Будем решать эту систему методом подстановки.

− 5 y = − 8 − 12 = − 20

y = − 20 − 5 = 20 5 = 4

x = 6 − 2 y = 6 − 2 ⋅ 4 = 6 − 8 = − 2

№3. На рисунке изображены графики функций y = 3 − x 2 и y = − 2 x . Вычислите координаты точки B .

Запишите координаты в ответе через точку с запятой.

Решение:

Для того, чтобы найти точки пересечения графиков, необходимо составить систему уравнений. Будем решать эту систему методом подстановки:

a = 1, b = − 2, c = − 3

D = b 2 − 4 a c = ( − 2 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 3 ) = 4 + 12 = 16

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 2 ) ± 16 2 ⋅ 1 = [ 2 + 4 2 = 6 2 = 3 2 − 4 2 = − 2 2 = − 1

Поскольку нас интересует точка B , которая лежит правее точки A , выбираем x = 3 .

Ищем координату y (ординату), соответствующую координате x = 3 (абсциссе).

🔍 Видео

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Алгебра 9 класс. Графическое решение систем уравненийСкачать

Как решать систему уравнений графическим методом? | Математика | TutorOnlineСкачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать

Задание №20. Экзамен ОГЭ. Система уравнений #shortsСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Удалили с экзамена ОГЭ Устное Собеседование shorts #shortsСкачать