Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Содержание
  1. Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами
  2. Алгоритм решения дифференциальных уравнений
  3. Примеры решения дифференциальных уравнений
  4. Методические рекомендации для преподавателей математики и студентов средних специальных учебных заведений по теме «Дифференциальные уравнения»
  5. Методы решения дифференциальных уравнений
  6. Дифференциальные уравнения первого порядка
  7. Дифференциальное уравнение и его интеграл
  8. Уравнения в дифференциалах
  9. Уравнения в полных дифференциалах
  10. Пример
  11. Интегрирующий множитель
  12. Уравнения с разделяющимися переменными
  13. Пример
  14. Уравнения, приводящиеся к разделяющимся переменным
  15. Пример
  16. Однородные уравнения
  17. Пример
  18. Уравнения, приводящиеся к однородным
  19. Пример
  20. Обобщенные однородные уравнения
  21. Пример
  22. Линейные уравнения
  23. Решение с помощью интегрирующего множителя
  24. Решение методом Бернулли
  25. Решение методом Лагранжа
  26. Дифференциальное уравнение Бернулли
  27. Пример
  28. Уравнения, не разрешенные относительно производной
  29. Дифференциальные уравнения второго и высших порядков
  30. Уравнения, допускающие понижение порядка
  31. Уравнения, не содержащие y в явном виде
  32. Уравнения, не содержащие x в явном виде
  33. Уравнения, однородные относительно функции и ее производных
  34. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
  35. Общие свойства линейных уравнений
  36. Решение однородного уравнения
  37. Решение уравнений со специальной неоднородностью
  38. Решение неоднородных уравнений общего вида
  39. Уравнение Эйлера
  40. 📽️ Видео

Видео:Проверить, является ли функция решением дифференциального уравнения #calculus #differentialequationСкачать

Проверить, является ли функция решением дифференциального уравнения #calculus #differentialequation

Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами

Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Видео:Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.

Примеры решения дифференциальных уравнений

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Далее интегрируем полученное уравнение:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

В данном случае интегралы берём из таблицы:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Если – это константа, то

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры0]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» />

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Ответ

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Получаем общее решение:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

можно выразить функцию в явном виде.

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Подставим полученное частное решение

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

и найденную производную в исходное уравнение

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Задание

Найти общий интеграл уравнения

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Ответ

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Задание

Найти частное решение ДУ.

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Подставляем в общее решение

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Ответ

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Левую часть интегрируем по частям:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

В интеграле правой части проведем замену:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Ответ

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных.

Разделяем переменные и интегрируем:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

Видео:13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

Методические рекомендации для преподавателей математики и студентов средних специальных учебных заведений по теме «Дифференциальные уравнения»

Разделы: Математика

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и её производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры, которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры, подставляя y’ в уравнение, получим Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры– тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y» — 5y’ +6y = 0. Функция Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры– решение этого уравнения.

Действительно, Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры.

Подставляя эти выражения в уравнение, получим: Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры, Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры– тождество.

А это и значит, что функция Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры– есть решение этого дифференциального уравнения.

Интегрированием дифференциальных уравнений называется процесс нахождения решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры.

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры— общее решение дифференциального уравнения.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x 2 +y 2 = 5 2 .

Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Решением этого уравнения является всякая функция вида Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры, где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры, получим: Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры, Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры.

Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыопределяет различные решения уравнения Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры.

Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыявляются решениями уравнения Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры.

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(x,y) удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0, называется задачей Коши.

Решение уравнения y’ = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию, y(x0) = y0, называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y’ = f(x,y) при условии y(x0) = y0,, означает найти интегральную кривую уравнения y’ = f(x,y) которая проходит через заданную точку M0(x0,y0).

II. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y’) = 0.

В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.

Уравнение y’ = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры, которая содержит одну произвольную постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры.

Решением этого уравнения является функция Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры.

Действительно, заменив в данном уравнении, Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыего значением, получим

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыто есть 3x=3x

Следовательно, функция Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыявляется общим решением уравнения Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыпри любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1 в общее решение уравнения Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры, получим Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыоткуда C = 0.

Таким образом, частное решение получим из общего Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыподставив в это уравнение, полученное значение C = 0 Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры– частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y’=f(x)g(y) или через дифференциалы Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры, где f(x) и g(y)– заданные функции.

Для тех y, для которых Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры, уравнение y’=f(x)g(y) равносильно уравнению, Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыв котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y’=f(x)g(y разделим переменные».

Уравнение вида Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыназывается уравнением с разделёнными переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыпо x, получим G(y) = F(x) + C– общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыи f(x), C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

  1. Производную функции переписать через её дифференциалы Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры
  2. Разделить переменные.
  3. Проинтегрировать обе части равенства, найти общее решение.
  4. Если заданы начальные условия, найти частное решение.

Решить уравнение y’ = xy

Решение. Производную функции y’ заменим на Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыЯвляется ли функция решением дифференциального уравнения примеры

разделим переменные Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыЯвляется ли функция решением дифференциального уравнения примеры

проинтегрируем обе части равенства:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Ответ: Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Найти частное решение уравнения

Это—уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыОтсюда Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Подставив начальные значения x0 = 1, y0 = 3 найдем С 9=1-1+C, т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыили Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Решение. Согласно условию Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим: Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Проинтегрировав обе части уравнения, получим: Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Используя начальные условия, x = 2 и y = — 3 найдем C:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Следовательно, искомое уравнение имеет вид Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y’ = f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) — некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то линейное дифференциальное уравнение называется однородным и имеет вид: y’ = f(x)y

Если Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыто уравнение y’ = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y задается формулой: Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыгде С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением является y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет вид y’ = ky где k — некоторая постоянная, то его общее решение имеет вид: Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y + g(x) задается формулой Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры,

т.е. равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыданного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения вида Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыy’ = kx + b,

где k и b— некоторые числа и Является ли функция решением дифференциального уравнения примерычастным решением будет являться постоянная функция Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры. Поэтому общее решение имеет вид Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры.

Пример. Решить уравнение y’ + 2y +3 = 0

Решение. Представим уравнение в виде y’ = -2y — 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыЯвляется ли функция решением дифференциального уравнения примеры.

Следовательно, Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыгде С – произвольная постоянная.

Ответ: Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y’ = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv, где u и v — неизвестные функции от x. Этот метод решения называется методом Бернулли.

Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

1. Ввести подстановку y=uv.

2. Продифференцировать это равенство y’ = u’v + uv’

3. Подставить y и y’ в данное уравнение: u’v + uv’ = f(x)uv + g(x) или u’v + uv’ + f(x)uv = g(x).

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки: Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыЯвляется ли функция решением дифференциального уравнения примеры

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыЯвляется ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Это уравнение с разделяющимися переменными: Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Разделим переменные и получим: Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Откуда Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры. Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры.

6. Подставить полученное значение v в уравнение Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры(из п.4):

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

и найти функцию Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыЭто уравнение с разделяющимися переменными: Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

7. Записать общее решение в виде: Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыЯвляется ли функция решением дифференциального уравнения примеры, т.е. Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры.

Найти частное решение уравнения y’ = -2y +3 = 0 если y =1 при x = 0

Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, .y’ = u’v + uv’

Подставляя y и y’ в данное уравнение, получим Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобкиЯвляется ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыНайдем функцию v: Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Подставим полученное значение v в уравнение Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыПолучим: Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыНайдем функцию u = u(x,c) Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыНайдем общее решение: Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыНайдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0: Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Ответ: Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

III. Дифференциальные уравнения высших порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее производные не выше второго порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x,y,y’,y») = 0

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция вида Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыЯвляется ли функция решением дифференциального уравнения примеры, в которую входят две произвольные постоянные C1 и C2.

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыпри некоторых значениях произвольных постоянных C1 и C2.

3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y» + py’ +qy = 0, где pи q— постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y» + py’ +qy = 0.

2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив через r 2 , y’ через r, yчерез 1: Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыr 2 + pr +q = 0

3.Вычислить дискриминант D = p 2 -4q и найти корни характеристического уравнения; при этом если:

а) D > 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры. Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры, где C1 и C2 — произвольные постоянные.

б) D = 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет равные действительные корни Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры. Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Общее решение Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Дифференцируя общее решение, получим Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Составим систему из двух уравнений Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Подставим вместо Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры,Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыи Является ли функция решением дифференциального уравнения примерызаданные начальные условия:

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры Является ли функция решением дифференциального уравнения примерыЯвляется ли функция решением дифференциального уравнения примерыЯвляется ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Таким образом, искомым частным решением является функция

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры.

2. Найти частное решение уравнения

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

1. Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

1. Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

2. а) Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

2. а) Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

б) Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

б) Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

в) Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

в) Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

г) Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

г) Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения. Однородное уравнение.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения. Однородное уравнение.

Методы решения дифференциальных уравнений

Является ли функция решением дифференциального уравнения примеры

Здесь мы рассмотрим методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Это уравнения, зависящие от одной независимой переменной, зависимой переменной, и ее производных:
.
Основные определения, относящиеся к дифференциальным уравнениям, изложены на странице Основные понятия и определения дифференциальных уравнений.

Мы считаем, что уравнения имеют решения в области задания переменных; Функции, заданные неявно можно разрешить относительно одной из переменной. Мы не проводим исследования этих и подобных вопросов. Здесь мы рассматриваем только методы решения.

Мы часто будем делить, и умножать уравнения на какие-то функции. В таких операциях нужно соблюдать осторожность. От этого могут появляться дополнительные решения, или исчезать имеющиеся. Например, если мы умножим все части уравнения на , то может появиться новое решение . Если мы разделим все части уравнения на , то может исчезнуть решение , если оно имелось в исходном уравнении. То есть, если мы умножаем или делим уравнение на некоторую функцию f , то всегда нужно особо рассматривать случай f = 0 . Здесь мы не будем заострять на этом внимание.

Видео:Общее и частное решение дифференциального уравненияСкачать

Общее и частное решение дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение и его интеграл

Далее, если это особо не оговорено, мы считаем, что x – это независимая переменная, а y – зависимая. То есть y есть функция от x : . Однако, в уравнениях первого порядка, мы можем легко менять роли переменных. То есть можно считать y независимой переменной, а x – зависимой. Но по умолчанию, x – это независимая переменная, а y – зависимая.

Пусть у нас есть дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Запишем его в следующем виде:
(1) .
Здесь p и q – заданные функции двух переменных.

Далее рассмотрим уравнение:
(2) ,
где φ – некоторая функция двух переменных; C – постоянная, то есть число. Положим, что y есть функция от x : . Тогда будет уже сложной функцией от одной переменной x . Обозначим ее буквой : .
Перепишем уравнение (2), выразив левую часть через переменную x :
(3) .
Дифференцируем это уравнение по x , применяя правило дифференцирования сложной функции:
;
.
Мы получили дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее тот же вид, что и уравнение (1). Отсюда следует, что если , то функция , определяемая из уравнения , является решением исходного уравнения (1).

Заметим, что левая часть уравнения является производной от функции :
.
Тогда сама функция является интегралом по отношению к уравнению (1), точнее – к его левой части. По этой причине решение уравнения, записанного в виде , называется интегралом уравнения, а сам процесс решения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Уравнения в дифференциалах

Воспользуемся свойством дифференциалов, согласно которому
.
Перепишем уравнение (1) и умножим его на dx :
(1) ;
(4) .
Мы получили уравнение, связывающее дифференциалы переменных x и y . По этой причине такие уравнения называются дифференциальными уравнениями. Такая форма записи называется уравнением в дифференциалах, или дифференциальной формой уравнения. Уравнения (1) и (4) эквивалентны. Можно использовать любую из этих форм.

Пусть
(5) ,
где – некоторая функция двух переменных. Подставим в (4):
(6) .
Отсюда видно, что левая часть уравнения (6) является дифференциалом функции : . Тогда уравнение (6) можно переписать в виде равенства нулю дифференциала:
.
Отсюда следует, что функция равняется постоянной, которую обозначим буквой C . Тогда общий интеграл уравнения (4), при условии (5), имеет вид:
(7) .

Уравнения в полных дифференциалах

Итак, мы нашли, что если в уравнении
(4) ,
функции p и q являются частными производными
(5)
от некоторой функции φ , то уравнение (4) имеет интеграл
(7) .
Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями в полных дифференциалах.

Как правило интеграл уравнения (7) нам не известен, а известно лишь само уравнение, то есть известны функции и . Возникает вопрос, как по известным функциям p и q определить, что левая часть уравнения является полным дифференциалом? Оказывается, что сделать это достаточно просто. Для того, чтобы уравнение было в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
(8) .
Доказательство

Зная, что уравнение относится к классу уравнения в полных дифференциалах, мы можем найти функцию , применяя несколько методов. Рассмотрим метод последовательного выделения дифференциала. В этом методе, мы применяем формулы дифференцирования, записанные в дифференциальной форме:
;
;
;
.
Здесь и могут быть любыми функциями от и . Рассмотрим применение этого метода на конкретном примере.

Пример

Дано уравнение:
(П1) .
Требуется проверить, является ли это уравнение в полных дифференциалах. И если является, то решить его.

В нашем случае . Проверим, является ли это уравнение в полных дифференциалах. Находим частные производные.
;
.
Видно, что . То есть это уравнение в полных дифференциалах. Решаем его, последовательно выделяя дифференциал.

.
Итак, мы нашли эквивалентное (П1) уравнение
.
Отсюда получаем его общий интеграл:
.

Решать подобные уравнения можно также и методом последовательного интегрирования. Решение этим методом можно найти на странице Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Интегрирующий множитель

Итак, мы научились решать дифференциальные уравнения первого порядка
(4)
при условии
(8) .
Но если существует единственное решение уравнения (4), и условие (8) не выполняется, то оказывается, что существует такая функция , умножив на которую уравнение (4), оно становится уравнением в полных дифференциалах. Причем существует бесконечное множество таких функций. Доказательство

В качестве примера рассмотрим уравнение:
(П2) .
Перепишем его, сгруппировав члены:
.
Заметим, что . Поэтому разделим уравнение на , чтобы выделить полный дифференциал . При имеем:
.
Выделяем полный дифференциал:
;
.
Отсюда получаем общий интеграл исходного уравнения:
.
В уравнении (П2), интегрирующий множитель равен . Когда мы умножили на него уравнение, то оно стало уравнением в полных дифференциалах, которое мы и решили.

Заметим, что при умножении уравнения на множитель , мы получили другое уравнение. Оно эквивалентно исходному за исключением точек, в которых и . Уравнение корней не имеет. Поэтому этот случай отпадает. А уравнение имеет корень :
.
Поэтому умножение уравнения на множитель дает эквивалентное уравнение, за исключением точек . Другими словами, поскольку мы разделили уравнение на , то нужно проверить случай . Подстановкой в (П2) убеждаемся, что также является решением исходного уравнения. Поэтому общее решение имеет вид:
; .

В этом примере мы угадали, что если уравнение умножить на , то можно выделить полный дифференциал. Не смотря на то, что для любого уравнения, при условии существования его решения, интегрирующий множитель существует, у нас нет общего метода, который позволяет найти его для любого дифференциального уравнения. Можно попытаться это сделать, но для произвольного уравнения нет гарантии, что мы найдем интегрирующий множитель, и решим уравнение. К счастью есть несколько классов уравнений, для которых это сделать можно. Эти типы уравнений мы и рассмотрим.

Уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим уравнение
(9) ,
где – некоторые заданные функции. Перепишем это уравнение в дифференциалах:
.
Разделим его на . При имеем:
(11) .
Уравнение имеет вид суммы, каждое слагаемое которой зависит только от одной переменной. Говорят, что переменные разделились, а уравнение (9), по этой причине, называют дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Нетрудно видеть, что уравнение (11) в полных дифференциалах. Действительно, поскольку множитель при dx не зависит от y , то . Поскольку множитель при dy не зависит от x , то .
Видно, что необходимое и достаточное условие для полных дифференциалов выполняется:
.

Таким образом мы нашли интегрирующий множитель: . Это позволяет нам выделить дифференциал и получить решение в квадратурах:
;
;
.
Отсюда получаем общий интеграл:
.

Пример

Решить уравнение:
(П3) .

Перепишем (П3) в дифференциалах:
.
Разделим на . При имеем:
.
Переменные разделились. Общий интеграл имеет вид:
.
Далее, см. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Уравнения, приводящиеся к разделяющимся переменным

К уравнению с разделяющимися переменными приводятся уравнения вида
,
где f – функция; a, b, c – постоянные. Для решения подобного уравнения нужно от переменной y перейти к новой переменной u , сделав подстановку .

Пример

Решить уравнение:
(П4.1)

От переменной y перейдем к переменной u . Делаем подстановку:
(П4.2) .
Здесь и – функции от x . Дифференцируем (П4.2) по x , и подставляем (П4.1):
;
.
Тем самым мы получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
См. далее Дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Однородные уравнения

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка имеют вид
.
Чтобы определить, является ли уравнение однородным, нужно сделать замену . Здесь t – постоянная. Если t сократится, то это однородное уравнение. Для его решения нужно от переменной y перейти к переменной u , сделав подстановку . После этого, уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример

Проверим, является ли это уравнение однородным. Сделаем замену . Считаем, что постоянная :
;
;
.
Постоянная t сократилась. Она также сократится, если считать . Это однородное уравнение. Переходим от переменной y к переменной u . Для этого делаем подстановку , где u – функция от x . Дифференцируем по x :
.
Подставляем в(П5):
;
;
.
При , берем знак ′+′ . При – знак ′–′ . Мы получили уравнение с разделяющимися переменными, решать которое мы уже умеем.
Далее см. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнения, приводящиеся к однородным

Уравнение вида
.
приводится к однородному подстановками
,
где – новые переменные; – постоянные, которые выбираются из условий
.

Пример

От переменных x и y , переходим к переменным t и u . Делаем подстановку . Тогда ;
;
;
.
Решаем систему из двух линейных уравнений

Определив и , получаем однородное уравнение:
.
Метод решения такого уравнения мы только что рассмотрели. См. Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к однородным

Обобщенные однородные уравнения

К однородным уравнениям приводятся уравнения вида
.
Чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным, нужно ввести постоянную t и сделать замену: . Если удастся выбрать такое значение α , при котором постоянная t сократится, то это – обобщенное однородное дифференциальное уравнение. Для решения этого уравнения, нужно от переменной y перейти к переменной u , сделав подстановку . При этом уравнение сводится к разделяющимся переменным.

Пример

Проверим, является ли уравнение (П7) обобщенным однородным. Делаем замену: .
.
Подставляем в (П7):
.
Делим на :
.
Отсюда видно, что t сокращается, если положить .

Итак, мы нашли, что это обобщенное однородное уравнение с . Решаем его. От переменной y переходим к переменной u , выполняя подстановку .
;
;
.
Подставляем в (П7):
(П7) ;
;
;
;
.
Мы получили уравнение с разделяющимися переменными.
См. далее Обобщенные однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные уравнения

Дифференциальные уравнения, вида
(11)
называются линейными дифференциальными уравнениями первого порядка.

Решение с помощью интегрирующего множителя

Уравнение (11) имеет интегрирующий множитель .
См. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка
Продемонстрируем это на примере.

Пример

Это линейное уравнение первого порядка. Решаем его с помощью интегрирующего множителя. Разделим (П8.1) на x :
(П8.2) .
Тогда . Находим интегрирующий множитель :
; .
Пусть . Тогда . Умножаем (П8.2) на и выделяем полный дифференциал:
;
;
;
.
Отсюда , или .

Мы нашли интегрирующий множитель полагая, что . После умножения на него, мы получили уравнение в полных дифференциалах как при , так и при . При решении мы нигде не полагали, что . Это предположение нам потребовалось, только чтобы выбрать интегрирующий множитель. На самом деле, любое уравнение первого порядка имеет бесконечное число интегрирующих множителей. Поэтому, если бы мы в самом начале взяли , то получили бы множитель . И с его помощью, получили то же самое решение.

Решение методом Бернулли

Линейное уравнение первого порядка можно решить красивым приемом, введя две функции и , зависящие от переменной x . Сделаем подстановку . Тогда . Подставим в исходное уравнение (11):
(11) ;
;
(12) .
Наложим условие
(13) .
Уравнение (13) с разделяющимися переменными. Решаем его, и возьмем любое, отличное от нуля частное решение. Так мы определим функцию . Учитывая (13), уравнение (12) примет вид:
.
Теперь здесь уже известная функция, и это уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, найдем общее решение . Вместе с этим получаем общее решение исходного уравнения (11): .
Подробнее, см. Решение линейного ДУ первого порядка методом Бернулли

Решение методом Лагранжа

Метод Лагранжа интересен тем, что указывает путь поиска решения от простого к сложному. Рассмотрим линейное уравнение:
(11) .
Давайте его упростим. Сначала рассмотрим однородное уравнение – то есть уравнение с :
(14) .
Это уравнение с разделяющимися переменными, и мы можем его решить:
;
;
;
;
.
Заменим постоянную на C . Тогда общее решение примет вид:
(15) , где .

Теперь вернемся к исходному неоднородному уравнению (11). Попытаемся найти его решение, используя решение более простого, однородного уравнения (14). Для этого в (15) заменим постоянную C на функцию, зависящую от переменной x : . То есть будем искать решение в виде
.
Подставляя в (11), получим для дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, которое решается в квадратурах. Решив его, получаем решение исходного уравнения. Такой метод решения называется методом вариации постоянных, или методом Лагранжа.
См. Решение линейных ДУ первого порядка методом Лагранжа

Дифференциальное уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид:
,
где и – заданные функции от x . Можно убедиться, что оно сводится к линейному уравнению подстановкой .
См. Дифференциальное уравнение Бернулли и методы его решения

Однако его легче решать методом двух функций Бернулли. Для этого вводим две функции и . Ищем решение в виде . Одну из этих функций выбираем так, чтобы уравнение для другой функции превратилось в уравнение с разделяющимися переменными.

Пример

Это уравнение Бернулли. Решаем методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций: . Тогда
. Подставляем в (П9.1):
;
(П9.2) .
Одну из этих функций мы можем выбрать произвольным образом. Выберем v так, чтобы выражение в круглых скобках равнялось нулю:
(П9.3) .
Тогда уравнение (П9.2) превратится в уравнение с разделяющимися переменными.

Решаем уравнение (П9.3). Разделяем переменные.
;
;
;
;
.
Возьмем решение , или .

Подставим в (П9.2), учитывая (П9.3), и разделяем переменные:
(П9.2) ;
;
;
.
При имеем:
;
;
;
;
;
.
Заменим постоянную интегрирования: . Тогда решение уравнения (П9.1) примет вид:
.

Теперь рассмотрим случай . Нетрудно увидеть, что это также решение уравнения (П9.2). Тогда является решением исходного уравнения. Получаем общее решение исходного уравнения:
.

Уравнения, не разрешенные относительно производной

Существует несколько типов уравнений, не разрешенных относительно производной, которые допускают решение. При этом они должны быть разрешены относительно одной из переменной. Далее перечислены типы этих уравнений, и даны ссылки на страницы с методами их решений.

Видео:Частное решение дифференциального уравнения. 11 класс.Скачать

Частное решение дифференциального уравнения. 11 класс.

Дифференциальные уравнения второго и высших порядков

Уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнения, не содержащие y в явном виде

Рассмотрим уравнения вида
.
Если сделать подстановку , то . То есть мы понизили на единицу порядок такого уравнения.
См. Дифференциальные уравнения, не содержащие функцию в явном виде

Уравнения, не содержащие x в явном виде

Рассмотрим уравнения, которые не содержат независимую переменную x в явном виде:
.
Мы можем понизить порядок таких уравнений, если от переменных x и y перейдем к независимой переменной y и зависимой переменной y′ . То есть, считаем, что все производные являются функциями от y .

Пример

Это уравнение не содержит независимую переменную x в явном виде. Переходим к новым переменным. Пусть независимой переменной является y , а зависимой y′ . Введем для нее обозначение:
. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции, имеем:
.

Подставляем в (П10.1):
.
Мы получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
Далее, см. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие переменную в явном виде

Уравнения, однородные относительно функции и ее производных

Это уравнения вида
.
Чтобы распознать такое уравнение, нужно сделать замены , и т.д. Если постоянная t сократится, то это уравнение однородное относительно функции и ее производных.

Для решения, мы от зависимой переменной y переходим к новой зависимой переменной u с помощью подстановки
,
где – функция от x .

Пример

Проверим, является ли это уравнение однородным относительно функции и ее производных. Заменим в исходном уравнении y на ty , y′ на ty′ , y′′ на ty′′ :
;
.
Постоянная t сокращается. Значит это уравнение однородное относительно функции и ее производных.

Делаем подстановку , где – функция от x .
.
(П11.1) ;
.
Делим на . При имеем:
;
;
.
Мы получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка. См. далее ДУ высших порядков, однородные относительно функции и ее производных

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

В линейных уравнениях с постоянными коэффициентами, допускающими решение в аналитическом виде, можно сделать линейную подстановку, и понизить порядок уравнения. Однако проще воспользоваться свойствами линейных уравнений и решать их более простым методом.

Общие свойства линейных уравнений

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами:
(Л1) ,
где – постоянные, то есть не зависящие от переменной x коэффициенты (числа). При этом . Это уравнение имеет n линейно независимых решений:
(Л2) .
Они называются фундаментальной системой решений. Когда n линейно независимых решений найдены, то общее решение однородного уравнения (Л1) имеет вид:
.

Теперь рассмотрим более общее – линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами:
(Л3) ,
где – непрерывная функция на некотором отрезке . Тогда, на этом отрезке, уравнение (Л3) имеет решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
, где – любые действительные числа; .

Пусть есть частное (любое) решение уравнения (Л3). Тогда общее решение неоднородного уравнения (Л3) равно сумме частного решения неоднородного уравнения, и общего решения однородного:
,
где – общее решение однородного уравнения (Л1).

Если, в уравнении (Л3), неоднородную часть можно представить в виде суммы p слагаемых:
,
то частное решение равно сумме отдельных частных решений: . Здесь – частное решение уравнения
.

Решение однородного уравнения

Рассмотрим линейное однородное ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами:
(Л1) .
Чтобы найти его общее решение, нам нужно найти n линейно независимых решений. Или, как говорят, найти фундаментальную систему решений. Ищем решение в виде . Подставляя в (Л1), получаем уравнение степени n, которое называют характеристическим уравнением:
(Л4) .
Оно имеет n корней , и может быть записано в виде:
.
Каждому корню соответствует частное решение, входящее в состав фундаментальной системы. При этом корни могут быть кратными и комплексными. Рассмотрим правила составления линейно независимых решений.

Действительному единственному корню соответствует решение .
Действительному корню кратности p , соответствуют p линейно независимых решений:
.
Если есть единственный комплексный корень , то имеется и комплексно сопряженный корень . Им соответствуют два линейно независимых решения
.
Если есть кратный комплексный корень кратности p , то имеется и комплексно сопряженный корень, кратности p : . Им соответствуют 2 p линейно независимых решений
;
;
;
.
.

Пример

Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение и преобразуем его:
;
(П12.2) .
Решаем квадратное уравнение :
.
Перепишем характеристическое уравнение (П12.2) в эквивалентном виде:
.
Корням кратности 2 соответствуют два линейно независимых решения:
;
.
Комплексно сопряженным корням , соответствуют решения
.
Общее решение:
.

Решение уравнений со специальной неоднородностью

Рассмотрим, часто встречающееся в приложениях, линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами со специальной неоднородностью:
(Л5.1) ,
где правая часть представлена в виде произведений степенной функции, экспоненты, косинусов и синусов:
(Л5.2) .
Здесь – многочлены степеней и , соответственно.

Общее решение (Л5.1) – (Л5.2) имеет вид:
.
Здесь – общее решение однородного уравнения (с ); – частное решение неоднородного уравнения (Л5.1)–(Л5.2). Как найти общее решение , мы рассмотрели в предыдущем пункте. Изложим метод нахождения частного решения.

Ищем методом неопределенных коэффициентов. Известно, что для уравнения (Л5.1) – (Л5.2), частное решение имеет следующий вид:
(Л6) .
Здесь ; и – многочлены степени s . Если среди корней характеристического уравнения (Л4) ⇑ нет корня , то . Если такой корень есть, то m – его кратность.

Метод нахождения частного решения заключается в том, что мы ищем решение в виде (Л6). Для этого записываем многочлены в общем виде:
;
.
Здесь коэффициенты (числа), которые нужно определить. Далее мы выписываем (Л6) в общем виде:

.
Находим n производных , и подставляем их выражения в исходное уравнение (Л5.1) – (Л5.2). В левой части мы получим сумму из членов с множителями , и членов с множителями . Здесь . В правой, неоднородной части, также имеется членов с множителями , и членов с множителями . При этом часть из них может равняться нулю. Приравнивая коэффициенты при этих множителях, получим систему из уравнений, решая которую, мы определяем неизвестные коэффициенты .

Если , то правая часть имеет более простой вид:
(Л5.3) .
Тогда частное решение содержит неопределенных коэффициентов:
.
Здесь , если характеристическое уравнение (Л4) ⇑ не имеет действительного корня . Если характеристическое уравнение имеет действительный корень , то m – его кратность.
Далее находим выражения для n производных , и подставляем их в исходное уравнение (Л4.1) – (Л4.2). В левой части мы получим сумму из членов с множителями . В правой, неоднородной части, также имеется членов с множителями . Часть из них может равняться нулю. Приравнивая коэффициенты при этих множителях, получим систему из уравнений, решая которую, мы определяем неизвестные коэффициенты .

Наконец, если и , и , то
(Л5.4) .
Частное решение, как и в предыдущем случае, имеет неопределенных коэффициентов:
.
Если характеристическое уравнение не имеет действительного корня , то . Если характеристическое уравнение имеет такой корень, то m – его кратность. Находим выражения для n производных ; подставляем их в исходное уравнение (Л4.1) – (Л4.2). В левой части мы получим сумму из членов с множителями . В правой, неоднородной части, также имеется членов с множителями . Часть из них может равняться нулю. Приравнивая коэффициенты при этих множителях, получим систему из уравнений, решая которую, определяем неизвестные коэффициенты .

Решение неоднородных уравнений общего вида

Теперь рассмотрим методы решения линейного неоднородного ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами с неоднородностью общего вида:
(Л3) .
В отличие от предыдущего случая со специальной неоднородностью, в этом разделе мы считаем, что неоднородность имеет произвольный вид.

Решение методом Бернулли

Метод Бернулли заключается в том, что мы ищем решение уравнения
(Л3)
в виде произведения двух функций и , зависящих от переменной x :
.
Если в качестве v взять частное решение однородного уравнения
,
то такая подстановка приводит к понижению порядка исходного уравнения (Л3).

Пример

Ищем решение в виде произведения двух функций; подставляем в уравнение (П13.1) и группируем члены:
(П13.2) ;
;
.
(П13.1) ;
;
(П13.3) ;

Решаем однородное уравнение
(П13.4) .
Ищем решение в виде . Составляем и решаем характеристическое уравнение:
;
.
Получаем два кратных корня . Общее решение уравнения (П13.4):
.
В качестве v мы можем взять любое, отличное от нуля решение. Поэтому положим
. Тогда ; .

Понижение порядка линейной подстановкой

Порядок линейного уравнения с постоянными коэффициентами можно понизить с помощью подстановки . Более подробно этот материал изложен на странице «Понижение порядка в линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами». Здесь мы рассмотрим пример применения этого метода.

Пример

Решить уравнение, применяя линейную подстановку
(П14.1)

Перепишем левую часть уравнения (П14.1), введя оператор дифференцирования :
.
Подставим в (П14.1). Исходное уравнение принимает вид
.
Сделаем подстановку . В результате для переменной u получаем уравнение первого порядка:
;
.

Итак, подстановкой
(П14.2) ,
мы получили уравнение первого порядка:
(П14.3) .

Решаем уравнение (П14.3), умножая его на интегрирующий множитель :
;
;
;
;
.

Подставляем в уравнение (П14.2) и решаем его с помощью интегрирующего множителя .
;
;
;
;
;
.

Метод вариации постоянных Лагранжа

Выпишем еще раз линейное неоднородного ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами:
(Л3) .
Метод вариации постоянных, который мы применили для уравнения первого поряддка, также применим и для уравнений произвольного порядка.

Для решения уравнения (Л3), мы вначале решаем однородное уравнение
.
Получаем его общее решение, которое имеет вид:
(Л7) .
Далее мы считаем, что постоянные являются функциями от x . То есть заменяем постоянные на некоторые, пока не известные, функции . Подставляем в (Л7), и ищем решение исходного уравнения (Л3) в следующем виде:
(Л8) .
Подставляем (Л8) в (Л3). При этом на функции накладываем дополнительные ограничения:
.
В результате получаем систему n линейных уравнений относительно неизвестных . Решая эту систему, получаем значения производных , как функций от x . Интегрируя, получаем выражения для самих функций . Подставляя в (Л8), получаем общее решение исходного уравнения (Л3).

Уравнение Эйлера

Уравнение
(Л9)
называется дифференциальным уравнением Эйлера. Подстановкой
(Л10)
оно приводится к уравнению с постоянными коэффициентами.

В некоторых случаях, уравнение Эйлера проще решать напрямую, не прибегая к подстановке (Л10). При решении неоднородного уравнения, к уравнению Эйлера применимы методы двух функций Бернулли, и метод вариации постоянных Лагранжа.

Рассмотрим однородное уравнение Эйлера:
(Л11) .
Его тоже проще решить без подстановки (Л10). Для этого мы ищем решение в виде . Находим производные, и подставляем в уравнение (Л11). В результате получаем характеристическое уравнение степени n . Оно имеет n корней.

Действительному корню , кратности p , соответствуют p линейно независимых решений
;
.
Если есть комплексный корень кратности p , то есть и комплексно сопряженный корень кратности p . Им соответствуют линейно независимых решений
;
;
.
.
Определив фундаментальную систему решений , получаем общее решение однородного уравнения (Л11):
.

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Л.Э. Эльсгольц, Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, М., 1969.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 31-05-2020

📽️ Видео

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятия

Дифференциальные уравнения, 3 урок, Однородные уравненияСкачать

Дифференциальные уравнения, 3 урок, Однородные уравнения

Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решать

✓Дифференцируемая функция. Дифференциал | матан #032 | Борис ТрушинСкачать

✓Дифференцируемая функция. Дифференциал | матан #032 | Борис Трушин

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

4. Однородные дифференциальные уравнения (часть 1)Скачать

4. Однородные дифференциальные уравнения (часть 1)

Дифференциальные уравнения: пример 3Скачать

Дифференциальные уравнения: пример 3

6. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однороднымСкачать

6. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

Решение дифференциальных уравнений ДИФФУРЫСкачать

Решение дифференциальных уравнений ДИФФУРЫ

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.

Пример 65. Решить задачу Коши (диффуры)Скачать

Пример 65. Решить задачу Коши (диффуры)

11. Уравнения в полных дифференциалахСкачать

11. Уравнения в полных дифференциалах
Поделиться или сохранить к себе: