Точка движется согласно уравнениям касательное ускорение точки в момент равно

Пример решения задачи по определению нормального, касательного и модуля полного ускорения точки, а также, угла с вектором скорости, точки, движущейся по окружности заданного радиуса и известному закону заданному уравнением.

Видео:Точка движется по окружности радиусом R=2см. Волькенштейн 1.47Скачать

Задача

Точка движется по окружности радиуса R=4 м, закон ее движения определяется уравнением s=4,5t 3 ( s в метрах, t в секундах).

Определить модуль полного ускорения и угол φ его с вектором скорости в тот момент t₁, когда скорость будет равна 6 м/с (рисунок 1.6).

Видео:ЕГЭ Задание 7. Материальная точка движется по законуСкачать

Решение

Дифференцируя s по времени, находим модуль вектора скорости точки

Подставляя в это выражение значение скорости, получим 6=13,5t₁ 2 , откуда находим

Касательное ускорение для любого момента времени равно

Так как для окружности радиус кривизны ρ=R, то нормальное ускорение для любого момента времени равно

Модуль вектора полного ускорения точки равен

Угол между вектором полного ускорения и вектором скорости определим следующим образом:

Видео:Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать

Точка движется согласно уравнениям касательное ускорение точки в момент равно

Глава 7. Кинематика точки.

7.6. Касательное ускорение точки.

7.6.1. Точка движется по окружности согласно уравнению s = t 3 + 2t₂ + 3 t. Определить криволинейную координату точки в момент времени, когда ее касательное ускорение а_τ — 16 м/с 2 . (Ответ 22)

7.6.2. Дан график скорости v = v(t) движения точки. Найти момент времени t когда каса­тельное ускорение точки а_τ = 0. (Ответ 3)

7.6.3. Дан график скорости v = v(t) движения точки. Определить касательное ускорение точки. (Ответ 0,75)

7.6.4. Дан график изменения касательного уско­рения а_τ = f(t). Определить модуль скорости в момент времени t₁ = 10 с, если при t₀ = 0 скорость v₀ = 0. (Ответ 25)

7.6.5. Точка движется с постоянным касательным ускорением а_τ = 0,5 м/с 2 . Определить криволинейную координату точки в момент времени t = 4 с, если при t₀ = 0 скорость точки v₀ = 0, координата s_o = 0. (Ответ 4)

7.6.6. Касательное ускорение точки а_τ = 0,2t. Определить момент времени t когда скорость v точки достигнет 10 м/с, если при t₀ = 0 скорость v₀ = 2 м/с. (Ответ 8,94)

7.6.7. Проекции скорости точки во время движения определяются выра­жениями: v_x = 0,2 t 2 , v_у = 3 м/с. Определить касательное ускорение в момент времени t = 2,5 с. (Ответ 0,385)

7.6.8. Скорость точки в декартовых координатах задана выражением v = 1,5i + 1,5tj + 0,5t 2 k. Определить касательное ускорение точки в момент времени t = 2 с. (Ответ 2,18)

7.6.9. Ускорение точки в декартовых координатах задано выражением а = 0,1ti + 0,9j. Определить касательное ускорение точки в момент времени t = 10 с, если при t₀ = 0 скорость точки v_o = 0. (Ответ 1,27)

7.6.10. Проекции ускорения точки во время движения определяются выражениями а_х = 0,8t [м/с 2 ], а_у = 0,8 м/с 2 . Найти касательное ускорение в момент времени t = 2 с, если при t₀ = 0 скорость точки v_о = 0. (Ответ 1,70)

Сборник коротких задач по теоретической механике.
Кепе О.Э.

Книга состоит из 1757 заданий которые предназначены для бысторого
контроля знаний на занятиях и зачетах а также для допуска к экзамену.
Задачи имеют ответы.

Издательство «Высшая школа» 1989 Москва

Также решение задач Кепе можно скачать здесь:
Мобильное приложение для Андроид:

Видео:ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 7. Закон движения. ПроизводнаяСкачать

Касательное и нормальное ускорения точки в теоретической механике

Касательное и нормальное ускорения точки

Касательное ускорение характеризует изменение в данное мгновение вектора скорости по величине, а нормальное — по направлению

Видео:УСКОРЕНИЕ - Что такое равноускоренное движение? Как найти ускорение // Урок Физики 9 классСкачать

Проекция ускорения на касательную и на нормаль

Если движение точки задано в векторной или в координатной форме, то часто встречается необходимость определить проекции ускорения на касательную и главную нормаль к траектории точки в том ‘ месте, где в данное мгновение находится точка (рис. 91, а).

При естественной форме определения движения точки сначала определяют проекции ускорения на касательную и на нормаль, а затем уже по этим проекциям находят величину и направление полного ускорения точки.

Проекцию ускорения точки на касательную к ее траектории называют касательным ускорением, или тангенциальным ускорением (от латинского слова tangens—касающийся), и обозначают a_N.

Проекцию ускорения на нормаль называют нормальным ускорением и обозначают a_r.
Часто касательное и нормальное ускорения рассматривают не как проекции, а как составляющие полного ускорения, т. е. как векторные величины. В таком случае над а_r и a_N ставят стрелку, указывающую на их векторный характер.

Разложение ускорения по касательной и нормали имеет физический смысл: касательная составляющая ускорения направлена по касательной (как и скорость), а потому не может повлиять на направление скорости, но влияет на ее величину; составляющая ускорения по нормали направлена перпендикулярно к скорости, а потому не может повлиять на величину скорости, но влияет на ее направление.

Касательное ускорение равно первой производной от величины скорости по времени:

Видео:7.6. Касательное ускорение точкиСкачать

Касательное ускорение

Пусть точка M движется по траектории, расположенной в плоскости хОу.
Проведем касательную и нормаль к кривой в точке M (рис. 91, б), нанесем на чертеж вектор ускорения точки M и его составляющие и по координатным осям. Чтобы определить касательное ускорение, надо спроецировать на касательную вектор полного ускорения или найти алгебраическую сумму проекций на касательную составляющих и полного ускорения по осям координат. Воспользовавшись вторым из этих способов, спроецируем и на касательную:

Составляющие ускорения и направлены по координатным осям, а направление касательной совпадает с направлением скорости, поэтому косинусы углов а и β равны направляющим косинусам скорости:

(62′)

(62»)

Подставляя значения направляющих косинусов, получаем

По формуле (68) удобно вычислять касательное ускорение точки, если ее движение задано в координатной форме уравнениями (58′) и (58″).

Можно дать еще другой изящный вывод формулы (68) тангенциального ускорения, для чего спроецировать на касательную вектор полного ускорения, не раскладывая его предварительно по осям декартовых координат. В самом деле, тангенциальное ускорение равно проекции полного ускорения на касательную (рис. 91, а):

a_r = a cos δ,
но угол δ, как внутренний угол треугольника, равен внешнему α_а без другого внутреннего α_υ, поэтому:

Подставляя сюда вместо направляющих косинусов их выражения (67) n (62′), получим

Напомним, что в числителе этой формулы проекции имеют свой знак, а знаменатель определяется по (64), т. е. существенно положителен.

Задача №1

Движение точки задано в декартовых координатах уравнениями:

x=21,2 sin 2 t, y=21,2 cos 2 t

Определить касательное ускорение точки (см. задачу № 36, стр. 132).

Решение. Дифференцируя уравнения движения, найдем υ_x = 21,2 sin 2t, υ_y = -21,2 sin 2t. Определим теперь полную скорость:

Дифференцируя уравнения движения вторично, найдем

Касательное ускорение определим по формуле (68):

Ответ. Касательное ускорение равно 60 cos 2t.

Задача №2

Точка M движется в системе координат хОу согласно уравнениям x=r cos πt, y=r sin πt. Найти касательное ускорение точки М.

Решение. Проекции скорости и ускорения на оси координат, а также и полная скорость точки M были уже нами получены при решении задачи № 44 (см. стр. 142). Для определения касательного ускорения точки M нам остается только подставить эти величины в формулу (68):

Ответ. Касательное ускорение равняется нулю.

Для случая задания движения в естественной форме преобразуем формулу (68) следующим образом:

и, сокращая на υ, найдем касательное ускорение

(69)

Принимая во внимание (53), можно придать этой формуле несколько иной вид:

(69′)

Итак, касательное ускорение—это проекция ускорения точки на касательную к траектории, равная первой производной от величины скорости по времени. Чтобы получить касательное ускорение в векторном выражении, нужно его умножить на единичный вектор касательной:

(69»)

Как уже было сказано, касательное ускорение не может изменить направления скорости, оно характеризует быстроту изменения величины скорости, т. е. соответствует изменению вектора скорости вдоль его направления.

Если с течением времени величина скорости увеличивается, то касательное ускорение направлено в ту же сторону, что и скорость. Такое движение называют ускоренным.

Если же величина скорости уменьшается, то касательное ускорение направлено в сторону, противоположную скорости. Такое движение называют замедленным.

Каждое из этих движений называют переменным движением.

Если величина скорости точки постоянна, то производная , а потому равно нулю и касательное ускорение. Движение точки с постоянной по величине скоростью по любой траектории называют равномерным. Следовательно, при равномерном движении точки касательное ускорение равно нулю.

Обратное заключение можно сделать лишь с некоторой оговоркой: если касательное ускорение постоянно равняется нулю, то, следовательно, величина скорости постоянна и движение равномерно; если же касательное ускорение точки равняется нулю не в течение всего рассматриваемого промежутка времени, а только в какое-то мгновение, то движение точки не является равномерным, и равенство означает, что в это мгновение величина скорости достигла экстремального (максимального или минимального) значения.

При равномерном движении точки по любой траектории

(70)

Формулы (70) справедливы только для равномерного движения точки и неприменимы при других движениях.

Видео:Кинематика точки Задание К1Скачать

Равнопеременное движение точки

Из переменных движений точки в задачах наиболее часто встречается равнопеременное движение — такое движение, при котором касательное ускорение остается постоянным.

При равнопеременном движении точки по любой траектории
(71)

Формулы (71) справедливы только для равнопеременного движения и неприменимы при других движениях. Они даны здесь без вывода и известны из элементарной физики. Вывод этих формул приведен в решении задачи № 48.

Задача №3

Точка А начала двигаться с начальной скоростью υ₀= 1 м/сек и с ускорением a_T =2 м/сек 2 . Через одну секунду следом за точкой А по той же траектории с такой же начальной скоростью и с таким же касательным ускорением стала двигаться точка В. Определить расстояние (по траектории) между точками А и В через t сек после выхода первой точки. Построить графики движения точек.

Решение. Определим сначала уравнение движения точек. Нам дано, что

Разделяя переменные и интегрируя, получим

Постоянную C₁ определим из начальных данных:

Написав υ по (53), разделяя переменные и интегрируя, найдем

Подставляя вместо υ₀ и а_T заданные величины, найдем расстояние (в м), пройденное точкой А за время t:

В то же мгновение t расстояние, пройденное точкой В, будет меньше, так как точка В будет находиться в пути лишь t—1 сек. Для точки В

Расстояние между A и B найдем как разность пройденных ими путей:

Это расстояние растет пропорционально времени, хотя точка В во времени не отстает от точки А и каждую точку траектории проходит через 1 сек после того, как через нее прошла точка А.

Графики движения точек А и В изображаются одинаковыми параболами (рис. 92), но парабола, представляющая движение точки В, смещена по оси времени относительно параболы, представляющей движение точки А, на 1 сек вправо. Чтобы определить расстояние (в м) между А и В в какое-либо мгновение, надо восставить перпендикуляр к оси времени в точке, соответствующей этому мгновению, и измерить расстояние по вертикали между параболами. Чтобы определить интервал времени (в сек) между прохождениями точками А и В какой-либо точки К траектории, надо восставить перпендикуляр к оси расстояний в точке, соответствующей расстоянию точки К от начала отсчета, и измерить расстояние по горизонтали между параболами. Графики наглядно показывают, что точка В отстает от точки А по расстоянию, так как А В непрерывно увеличивается, но не отстает по времени, и точка В проходит каждый отрезок траектории за такое же время, как и точка А.

Рис. 92

Нормальное ускорение равно отношению квадрата скорости точки к радиусу кривизны траектории:

Видео:К1 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движенияСкачать

Нормальное ускорение

Чтобы получить формулы нормального ускорения, мы опять воспользуемся тем, что проекция вектора на ось равна сумме проекций его составляющих на ту же ось, и определим a_N как алгебраическую сумму проекций составляющих ax и ay на нормаль к траектории точки. Выберем за положительное направление нормали то, которое получается от поворота положительного направления касательной на прямой угол против хода часов (см. рис. 91) в сторону вогнутости кривой.
Как видно из чертежа (см. рис. 91, б)

Подставляем значения (62) направляющих косинусов:

(72)

По этой формуле удобно вычислять нормальное ускорение точки, если ее движение задано в координатной форме уравнениями (58′) и (58″).

Эту же формулу (72) можно получить, спроецировав полное ускорение а на нормаль M_n (рис. 91, а):

Подставляя эти значения и сокращая на а, получим:

Задача №4

Движение точки задано уравнениями X= 21,2 sin 2 t, у= 212 cos 2 t. Определить нормальное ускорение точки.

Решение. Дифференцируя эти же уравнения движения при решении задачи № 36 (см. стр. 132), мы уже определили нужные нам величины: υ_x, υ_y, υ, a_x, а_у. Подставляя их в формулу (72), найдем

Ответ. Нормальное ускорение равно нулю.

Задача №5

Точка M движется согласно уравнениям x= r cos πt, y= r sin πt. Найти нормальное ускорение точки М.
Решение. Дифференцируя при решении задачи № 44 (см. стр. 142) эти уравнения движения, мы уже нашли проекции скорости и проекции ускорения. Полную скорость определим по ее проекциям согласно (64):

Подставляя все эти величины в формулу (72), найдем

Ответ. Нормальное ускорение равно rπ 2 .

Чтобы преобразовать формулу (72) для случая, когда движение точки задано в естественной форме, припомним из курса высшей математики выражение кривизны плоской кривой, представленной в параметрической форме уравнениями (58′) и (58″),

Если параметр t означает время, то эту геометрическую формулу можно переписать в обозначениях кинематики:
(73)

Сравнивая равенства (72) и (73), находим

(74)

Мы получили положительное значение проекции, следовательно, нормальное ускорение направлено от точки M в положительном направлении оси M_n (см. рис. 91), т. е. в ту сторону от касательной, по которую лежит траектория точки.

Чтобы получить нормальное ускорение в векторном выражении, надо (74) умножить на единичный вектор нормали:

(74 / )

Как уже было сказано, нормальное ускорение не влияет на величину скорости, потому что оно направлено перпендикулярно к скорости. Оно влияет на направление скорости.

Итак, нормальное ускорение—это проекция ускорения точки на нормаль к траектории, направленная в сторону вогнутости, равная квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории.
Если движение точки прямолинейное, то радиус кривизны траектории (прямой линии) равен бесконечности, а нормальное ускорение равно нулю.

Обратное заключение можно сделать лишь с некоторой оговоркой: если в каждое мгновение данного промежутка времени нормальное ускорение движущейся точки равняется нулю, то точка движется по прямой; если же нормальное ускорение точки не постоянно равно нулю, а только в какое-либо мгновение, то движение точки не а потому

является прямолинейным и равенство означает, что в это мгновение положение точки совпадает с точкой перегиба траектории или же направление скорости меняется на обратное. На чертеже (рис. 93) изображено нормальное ускорение точки в различных местах траектории при равномерном движении.

Рис. 93

Величина ускорения точки равна квадратному корню из суммы квадратов касательного и нормального ускорений:

Видео:Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) В какой момент времени ее скорость = 2 м/с?Скачать

Ускорение при естественном способе задания движения

Если движение точки задано в естественной форме, то проекции ускорения на нормаль и на касательную можно определить по формулам (69) и (74) и по проекциям определить величину полного ускорения точки (см. рис. 91):

(75)

(75 / )

Перед радикалом стоит знак « + », потому что величина ускорения существенно положительна.

Вектор полного ускорения направлен по диагонали прямоугольника, построенного на векторах касательного и нормального ускорений. Можно точно установить направление ускорения по тангенсу угла, составляемого им с нормалью к траектории:

Касательное ускорение направлено по касательной к траектории, а нормальное к центру кривизны траектории, поэтому вектор полного ускорения лежит с той стороны от касательной, с которой расположена траектория точки.

При криволинейном ускоренном движений точки полное ускорение составляет со скоростью острый угол, а при замедленном—тупой.

Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости, и проекция ускорения на бинормаль равна нулю:

Разложение ускорения при движении точки по кривой двоякой кривизны. Если кривая не лежит в одной плоскости, то ее называют пространственной кривой, или кривой двоякой кривизны. В каждой точке к кривой можно провести только одну касательную и бесчисленное множество нормалей, расположенных в плоскости, перпендикулярной к касательной и называемой нормальной плоскостью (рис. 94).

рис. 94

Пусть в мгновение t точка занимает на кривой двоякой кривизны положение М. В это мгновение скорость точки направлена по касательной к кривой в точке М. Через эту касательную и через близкую точку M₁ (не показанную на чертеже)., в которую движущаяся точка придет в мгновение t + Δt, проведем плоскость и будем стремить Δt к нулю. Тогда точка M₁ будет стремиться к точке М. При этом плоскость будет поворачиваться около касательной, проведенной в точке М и стремиться к некоторому определенному положению, в котором она называется соприкасающейся плоскостью. Следовательно, в соприкасающейся плоскости находится вектор скорости движущейся точки в то мгновение, когда эта точка совпадает с точкой М, а также когда она занимает положение, предельно близкое к точке M. А так как ускорение характеризует изменение скорости в данное мгновение, то вектор ускорения тоже находится в соприкасающейся плоскости.

Плоскость, проведенную через точку M перпендикулярно к соприкасающейся и к нормальной плоскостям, называют спрямляющей плоскостью.

Нормаль, лежащую в спрямляющей плоскости, называют бинормалью, а нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости,—главной нормалью (главную нормаль плоской кривой обычно называют просто нормалью).

Касательная Mτ главная нормаль M_n и бинормаль M_b пересекаются в точке M под прямыми углами. Эти три взаимно перпендикулярные прямые в механике часто принимают в качестве координатных осей и называют естественными осями, или осями натурального триэдра. По мере движения точки по траектории естественные оси движутся вместе с ней, поворачиваются относительно основных (неподвижных) осей xOyz.

Положительные направления на естественных осях примем такими, чтобы трехгранный угол τMnb можно было привести в совпадение с углом xОyz. Касательная Mτ играет роль оси Ох, главная нормаль Mn— оси Oy и бинормаль Mb— оси Oz.

Так как вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости τМn, а бинормаль Mb перпендикулярна к соприкасающейся плоскости, то проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю (α_b = 0), и при проецировании ускорения на три естественные оси мы имеем только две проекции: касательное ускорение и нормальное ускорение.

Таким образом, мы установили, что формулы (69), (69′) и (69″) касательного ускорения, формулы (74) и (74′) нормального ускорения, а также формулы (75) и (75′) полного ускорения, выведенные нами в предположении, что точка движется по плоской траектории, остаются справедливыми для любого движения точки.

Именно потому, что проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю, в формуле (75) величина полного ускорения определяется по двум проекциям, а не по трем, как это имеет место в формуле (66). Приравнивая выражение (66) модуля полного ускорения точки через проекции на неподвижные оси координат его же выражению (75) через проекции на естественные оси, получим для движения точки по любой траектории соотношение

(76)

(76 / )

Эти равенства часто бывают полезны при решении задач.

Задача №6

Найти касательное и нормальное ускорения точки, движение которой выражается уравнениями:

Решение. Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат:

Подставляя найденные величины в (68), найдем касательное ускорение

Подставляя те же величины в формулу (72), найдем нормальное ускорение

Нормальное ускорение всегда направлено во внутрь траектории, отрицательный знак получился потому, что в этой задаче естественные оси взяты по левой системе, (ось М,— вправо, ось M_n — вниз), а неподвижные — по правой.

Ответ. где υ — скорость точки.

Задача №7

Найти скорость, полное, касательное и нормальное ускорения точки, описывающей фигуру Лиссажу, по уравнениям движения точки, заданным в координатной форме:

х= 3 sin 2t, у = 4 sin 2t.

Решение. Найдем сначала проекции скорости:

υ_χ = 6 cos 2t, υ_y = 8 cos 2t.

Затем определим величину полной скорости точки:

Для определения касательного и нормального ускорений определим проекции ускорения на декартовы оси координат, затем найдем полное ускорение и разложим его на касательное и нормальное. Имеем

Найдем сначала касательное ускорение, для чего продифференцируем по времени полную скорость или воспользуемся формулой (68):

Мы видим, что полное ускорение по величине равно касательному ускорению, т. е. что нормальное ускорение равно нулю. Это возможно только в случае, если траектория — прямая линия. Для проверки можно определить кривизну траектории или найти уравнение траектории. По первому способу имеем

По второму способу найдем (прямая).

Ответ. υ=10 cos 2t; α = 20 sin 2t; а_т= —20sin 2t; α_N = 0.

Задача №8

Точка обода колеса, катящегося без скольжения и без буксования по прямолинейному рельсу, движется согласно уравнениям x=r (ct-sin сt), y=r(l — cos ct). Найти нормальное ускорение точки.
Решение. Для решения задачи можно наметить следующий путь: найти проекции скорости, величину полной скорости, проекции ускорения и полное ускорение; затем, продифференцировав по времени величину полной скорости, найти касательное ускорение и, вычитая его геометрически из полного, найти нормальное.

Дифференцируя уравнения движения, найдем

Далее получаем

Дифференцируя проекции скорости, найдем

a_x = rc 2 sin ct, a_y = rc 2 cos ct

Дифференцируя υ, найдем касательное ускорение:

Вектор aτ перпендикулярен вектору и в сумме с ним равняется вектору полного ускорения, поэтому

Задачи такого типа быстрее и короче решать с применением формулы (72). По этой формуле непосредственно получаем:

Ответ:

Задача №9

Тяжелое тело, размерами которого можно пренебречь, брошено с большой высоты с горизонтальной скоростью υ₀ и движется согласно уравнениям x-υ₀t, . Найти траекторию, скорость, касательное и нормальное ускорения в любом положении, выразив их через скорость тела в этом положении.

Решение. Определяя из первого уравнения t и подставляя во второе, найдем уравнение траектории:

Траектория—парабола (рис. 95). Дифференцируя уравнения движения по времени, найдем проекции скорости и по ним полную скорость:

В начальное мгновение (t = 0), скорость точки υ = υ_o, а затем с течением времени величина скорости непрерывно возрастает. Из полученного равенства определим время t, в течение которого тело приобретает скорость у:

Вторично дифференцируя уравнения движения точки, найдем проекции ускорения на оси координат и полное ускорение:

В данном случае тело движется с постоянным по модулю и направлению ускорением, параллельным оси Оу.
Обращаем внимание на то, что, хотя здесь a = const, движение точки не является равнопеременным, так как условием равнопеременного движения является не условие a = const, а условие a_т= const. В данном же случае, как мы сейчас увидим, а_т непостоянно.

Дифференцируя величину полной скорости по времени или непосредственно по (68), получим касательное ускорение

Подставляя вместо t найденное нами значение, выразим касательное ускорение a_т через скорость υ:

Отсюда следует, что в начальное мгновение, когда υ = υ₀, a_т=0. Затем с увеличением υ величина а_т растет и в пределе стремится к полному ускорению g.
Для нахождения нормального ускорения обратимся к (72). Имеем

В начальное мгновение (при t = 0 и υ=v₀) a_N=g, а затем с увеличением υ а_N убывает, стремясь в пределе к нулю.
Ответ. Парабола

Задача №10

Определить радиус кривизны траектории точки в начале движения, если уравнения ее движения имеют вид: x = 2t, y = t 2 (t— в cек; х, у— в м).
Решение. Из формулы кривизны (73) имеем

Для получения проекций скорости и ускорения в начальное мгновение продифференцируем уравнения движения и подставим t = 0:

Полную скорость в начальное мгновение определяем по ее проекциям:

Подставляя эти величины в формулу (73), получим ответ.
Ответ. р = 2 м

Задача №11

Через 20 сек после начала движения автомобиль, двигаясь иа закруглении радиуса 400 м, приобрел скорость 108 км/ч. Считая, что величина скорости автомобиля пропорциональна квадрату времени, определить полное ускорение автомобиля в конце 20-й секунды н пройденное за это время расстояние.
Решение. За единицы принимаем метр и секунду. Траектория задана—дорога с закруглением радиуса 400 м, и для решения задачи необходимо определить Уравнение движения автомобиля по траектории. (Применять формулы (71) здесь нельзя, так как при равиоперемениом движении величина скорости пропорциональна времени, а в данной задаче она пропорциональна квадрату времени.)
В условии дано

υ=bt 2 .

Найдем коэффициент пропорциональности

Выражая скорость по (53) и разделяя переменные, получим

откуда, интегрируя, получаем

Постоянную C определим из начальных данных: в начальное мгновение (t = 0) автомобиль не прошел еще никакого расстояния, а потому C = 0. Дважды дифференцируя по времени полученное уравнение, найдем касательное ускорение

или в конце 20-й секунды

Скорость в конце 20-й секунды была 30 м/сек, и по (74)

Полное ускорение в конце 20-й секунды было

Чтобы определить расстояние, пройденное автомобилем за 20 сек, положим в уравнении движения t = 20 сек:

Ответ. а = 3,75 м/сек 2 , s = 200 м.

• Основные законы динамики
• Колебания материальной точки
• Количество движения
• Момент количества движения
• Приведение системы сил к данной точке
• Система сил на плоскости
• Естественный и векторный способы определения движения точки
• Координатный способ определения движения точки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Физика - перемещение, скорость и ускорение. Графики движения.Скачать

Интернет-тестирование по теоретической механике

Министерство образования и науки Российской Федерации

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО — СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ННГАСУ)

Кафедра теоретической механики

ИНТЕРНЕТ-ТЕСТИРОВАНИЕ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Выпуск 2. Кинематика точки

Методические указания для подготовки к интернет — тестированию

по теоретической механике

Интернет-тестирование по теоретической механике. Выпуск 2. Кинематика точки. Методические указания для подготовки к интернет — тестированию по теоретической механике, Нижний Новгород, ННГАСУ, 2011 г..

Настоящие методические указания предназначены для студентов ННГАСУ, обучающихся по направлениям «Строительство» и «Теплоэнергетика». Методические указания содержат основные теоретические положения по кинематике точки и примеры решения типовых задач по данной теме, предлагавшихся для решения в процессе интернет — тестирования.

© Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, 2011г.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Векторный способ задания движения точки

Закон движения:

Траектория: годограф радиус-вектора.

Скорость:

Ускорение:

Координатный способ задания движения точки

Закон движения: .

Траектория: из закона движения надо исключить время.

Скорость: Проекции вектора скорости:

Модуль вектора скорости:

.

Ускорение: Проекции вектора ускорения:

Модуль вектора ускорения:

.

Естественный способ задания движения точки

Закон движения: где s – дуговая координата.

Скорость:

— проекция вектора скорости на касательную.

Модуль вектора скорости:

.

,

— касательное ускорение,

— нормальное ускорение

(направлено в сторону вогнутости траектории) ,

радиус кривизны траектории, – кривизна.

Модуль вектора ускорения:

Знак скалярного произведения векторов ускорения и скорости

позволяет определить является движение ускоренным или замедленным.

При ускоренном движении оно положительно, а при замедленном — отрицательно.

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Понятие о сложном движении точки

Сложным движением называют такое движение точки, которое рассматривается одновременно в двух системах отсчета.

При описании сложного движения одну из систем отсчета считают неподвижной или основной . Другая система отсчета рассматривается как подвижная . В таких случаях можно выделить три вида движения: абсолютное, относительное и переносное.

1. Абсолютным движением называется движение точки по отношению к неподвижной системе координат. Характеристиками абсолютного движения являются абсолютная скорость и абсолютное ускорение , то есть скорость и ускорение точки относительно неподвижной системы координат (относительно платформы). Они обозначаются индексом «а».

2. Относительным движением называется движение точки по отношению к подвижной системе координат. Характеристиками относительного движения являются относительная скорость и относительное ускорение то есть скорость и ускорение точки относительно подвижной системы координат (относительно вагона). Они обозначаются индексом «r».

3. Переносным движением называется движение подвижной системы координат относительно неподвижной. В подвижной системе координат положение точки М все время меняется. Переносной скоростью и переносным ускорением называется скорость и ускорение той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка. Они обозначаются индексом «e».

ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА заключается в том, чтобы по известным характеристикам относительного и переносного движений находить кинематические характеристики абсолютного движения.

Сложение скоростей при сложном движении

Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:

.

Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:

.

Вычисление ускорения Кориолиса

Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки:

,

а его модуль может быть найден по формуле:

.

Направление ускорения Кориолиса определяют по правилу Жуковского:

Чтобы найти направление кориолисова ускорения надо:

1. спроектировать вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси вращения;

2. повернуть полученную проекцию на 900 по ходу вращения;

3. полученное таким образом направление указывает направление вектора ускорения Кориолиса.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

По окружности радиуса R=1м движется точка по закону ,
где t – время в секундах, S – в метрах.

Касательное ускорение точки в момент времени t=2с равно… (м/с2) .

Касательное ускорение направлено по касательной к траектории и определяется проекцией вектора ускорения на касательную:

,

знак которой показывает, в какую именно сторону оно направлено, т. е. в сторону положительного или отрицательного отсчета дуговой координаты.

(м/с);

(м/с2).

Касательное ускорение необходимо определить в момент времени t=2 (с), поэтому подставляем

t=2 (с) в выражение касательного ускорения:

(м/с2).

Ответ: 3. (м/с2).

Движение точки по известной траектории задано уравнением

Скорость точки в момент времени t=1с равна… (м/с).

Движение точки задано естественным способом, т. е. задана её траектория и уравнение движения (м).

Скорость всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения, а по модулю равна

.

Знак показывает конкретное направление вектора скорости: если , то скорость направлена в сторону положительного отсчета дуговой координаты, а при – в сторону отрицательного отсчета дуговой координаты.

(м/с).

Подставляем t=1с в полученное уравнение:

(м/с).

Знак минус показывает, что вектор скорости направлен в сторону отрицательного отсчета дуговой координаты.

Ответ: 4. (м/с).

Точка движется по заданной траектории по закону (м). В момент времени t=1с нормальное ускорение равно (м/с2). ОМ=S.

Радиус кривизны траектории ρ в данный момент равен …(м).

Нормальное ускорение направлено по нормали, а его проекция равна

,

следовательно, радиус кривизны равен .

Значение нормального ускорения дано в условии задачи, поэтому остается найти только модуль скорости.

Так как движение точки задано естественным способом, то модуль скорости определяется по формуле:

,

.

В полученное выражение подставляем t=1с

(м/с).

Определяем радиус кривизны

(м).

Ответ: 2. (м).

Уравнение, приведенное ниже, используется при … способе задания движения точки: .

2.координатном (в декартовой системе координат);

3.координатном (в цилиндрической системе координат);

Положение движущейся точки по отношению к некоторой системе отсчета Oxyz можно задать радиус-вектором этой точки . В процессе движения этот радиус-вектор будет меняться, т. е. он является векторной функцией времени:

Данное уравнение представляет собой уравнения движения точки в векторной форме.

Ответ: 1. векторном.

Точка движется согласно уравнениям (x, y – в метрах). Угол (в градусах) между осью Оy и вектором скорости точки в положении x=0, y=6 равен…

Вариантов ответа нет.

Решение.

Движение точки задано координатным способом, координаты точки являются функциями времени.

,

Воспользуемся тригонометрическим тождеством и исключим время из уравнений движения:

.

Получаем, что траектория движения точки — уравнение эллипса с полуосями 4 см и 6 см по осям x и y соответственно, центр которого находится в начале координат.

Находим положение точки М по ее координатам x=0, y=6.

Скорость всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения. В данном случае касательная к траектории будет параллельна оси Ох или перпендикулярна оси Оу.

Направление скорости определяем, дифференцируя уравнения движения:

;

.

Подставив в уравнения движения координаты точки, находим время через которое точка будет находиться в данном положении:

; ; ; ; (с);

; ; ; ; (с).

То есть, точка М будет находиться в положении (0;6) в момент времени (с). Подставив это время в уравнения проекций скорости, получаем:

(м/с),

(м/с).

Следовательно, по оси Ох проекция скорости направлена в сторону отрицательного отсчета, а по оси Оу проекция вектора скорости равна нулю.

То есть угол между осью Оу и вектором скорости точки М будет равен 900.

Ответ: 90 градусов.

ЗАДАЧА 6.

Движение материальной точки М задано уравнением

.

Вектор скорости точки направлен…

1. параллельно плоскости xOz (непараллельно осям);

2. параллельно оси Ох;

3.параллельно плоскости yOz;

4.перпендикулярно плоскости yOz;

Дифференцируя , находим вектор скорости:

,

следовательно, проекции вектора скорости на оси будут:

,

то есть, вектор лежит в плоскости перпендикулярной оси Ох и, следовательно, параллелен плоскости yOz.

Ответ: 3. параллельно плоскости yОz.

Круглая горизонтальная пластина радиуса R вращается вокруг вертикальной оси, проходящий через ее центр по закону (рад). По ободу пластины движется точка М по закону

(м).

Ускорение Кориолиса для точки М равно…(м/с2).

2.;

3.;

4..

Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения () на относительную скорость точки ():
,

при этом его модуль равен : .

Относительным движением является движение точки М по ободу пластины по закону

(м). Относительная скорость точки будет направлена по касательной к траектории в сторону движения, а по модулю равна:

(м/с).

Переносным движением является вращение круглой горизонтальной пластины вокруг вертикальной оси по закону (рад). Угловая скорость — вектор, лежащий на оси вращения и имеющий проекцию на эту ось, равную производной по времени от угла поворота:
(рад/с). Направлен вектор угловой скорости в ту сторону, откуда вращение тела видно против хода часовой стрелки.

Вектор лежит в плоскости диска, а перпендикулярен к этой плоскости, следовательно, угол между вектором относительной скорости точки и вектором переносной угловой скорости равен 900.

(м/с2).

Ответ: 2. (м/с2).

Прямоугольная пластинка вращается вокруг вертикальной оси по закону (рад). По одной из сторон пластинки движется точка по закону (м).

Ускорение Кориолиса для точки М, равно…(м/с2).

1.;

3.;

4..

Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения () на относительную скорость точки ():
, при этом его модуль равен: .

Относительным движением является движение точки М по стороне прямоугольной пластины по закону (м). Относительная скорость точки будет направлена по касательной к траектории в сторону движения, а по модулю равна: (м/с).

Переносным движением является вращение прямоугольной пластины вокруг вертикальной оси по закону (рад). Угловая скорость – вектор, лежащий на оси вращения и имеющий проекцию на эту ось, равную производной по времени от угла поворота:
(рад/с). Направлен вектор угловой скорости в ту сторону, откуда вращение тела видно против хода часовой стрелки.

Вектор и лежат в одной плоскости, параллельны и направлены в разные стороны. Значит угол между вектором относительной скорости точки и вектором переносной угловой скорости равен 1800. (м/с2).

Ответ: 2. (м/с2).

Прямоугольная пластинка вращается вокруг вертикальной оси по закону (рад). По одной из сторон пластинки движется точка по закону (м) (α=600).

Ускорение Кориолиса для точки М, равно…(м/с).

2. 10;

3. 20;

Решение.

Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения () на относительную скорость точки ():
, при этом его модуль равен: .

Относительным движением является движение точки М по диагонали прямоугольной пластины по закону (м). Относительная скорость точки будет направлена по касательной к траектории в сторону движения, а по модулю равна: (м/с).

Переносным движением является вращение прямоугольной пластины вокруг вертикальной оси по закону (рад). Угловая скорость — вектор, лежащий на оси вращения и имеющий проекцию на эту ось, равную производной по времени от угла поворота: рад/с). Направлен вектор угловой скорости в ту сторону, откуда вращение тела видно против хода часовой стрелки.

Вектор и лежат в одной плоскости, а угол между векторами относительной скорости точки и вектором переносной угловой скорости равен 900+600=1500.

(м/с2).

Ответ: 4. (м/с).

Движение материальной точки М задано уравнением

.

Ускорение точки направлено…

1. перпендикулярно оси Oy;

2. параллельно плоскости хОz;

3. перпендикулярно плоскости yOz (параллельно осям);

4. параллельно оси Oy.

Ускорение точки равно производной по времени от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора этой точки.

Дифференцируя , находим вектор скорости:

.

Далее дифференцируя уравнение , находим вектор ускорения:

,

следовательно, проекции вектора на оси будут:

,

то есть, вектор ускорения параллелен оси Oу.

Ответ: 4.параллельно оси Оу.

ЗАДАЧА 11.

Точка движется по прямой.

Дан график скорости движения точки .

Определить пройденный путь в момент времени t=60с.

Решение.

Так как на графике значения скорости даны в км/ч, а времени — в секундах, то необходимо привести их к одной единице измерения.

Переводим км/ч в м/с:

(м/с).

График можно разделить на два участка от 0 до 30с и от 30с до 60с.

Они симметричны, следовательно, можно определить путь только на одном участке (), а путь на втором будет равным ().

Рассмотрим первый участок, по графику можно определить уравнение зависимости скорости от времени: (м/с).

Так как модуль скорости по модулю равен , то проинтегрировав уравнение скорости, получим уравнение движения точки

получили, что за первые 30 секунд точка преодолеет путь (м).

(м).

Ответ: 2. (м).

Точка начинает движение из состояния покоя и движется по прямой с постоянным ускорением а=0,2( м/с2). Определить путь, который точка пройдет за промежуток времени от t1=4(с) до t2=10(с).

Движение точки происходит по прямой, следовательно, нормальное ускорение точки равно нулю (), а ее полное ускорение () равно касательному ().

Чтобы определить путь точки сначала необходимо найти уравнение скорости . Касательное ускорение равно производной по времени от скорости, значит, уравнение скорости определяется интегрированием:

Граничные значения при интегрировании определяются из условия задачи, точка начинает движение из состояния покоя, и отсчет времени начинается с этого момента (t0=0). А для того чтобы выразить зависимость скорости от времени, конечное значение остается переменной t.

Далее, интегрируя получим уравнение движения точки, а в задании следует определить путь, который точка пройдет за промежуток времени от t1=4(с) до t2=10(с), поэтому, подставив данное время в граничные значения и решив определенный интеграл, получим искомый ответ:

За промежуток времени от 4(с) до 10(с) точка пройдет путь

Ответ: 3. (м).

Ускорение точки а=1 (м/с2). Векторы ускорения и скорости образуют

угол 450. Определить скорость в км/ч, если радиус кривизны траектории м).

Полное ускорение точки () складывается из двух – касательного () и нормального ():

.

Касательное ускорение направлено по касательной к траектории. Скорость также всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения, таким образом, вектор скорости и касательного ускорения расположены на одной прямой.

Нормальное ускорение направлено по нормали, и его проекция на нормаль . То есть касательное и нормальное ускорения расположены под углом 90о.

Отсюда следует, что между векторами полного ускорения и касательного угол 45о, а значит, и между векторами полного ускорения и нормального также 45о. Следовательно, значение нормального ускорения равно:

(м/с2).

Из уравнения находим значение скорости

(м/с).

В ответе требуется указать значение скорости в км/ч, поэтому переводим м/с в км/ч:

(км/ч).

Ответ: 1. (км/ч).

ЗАДАЧА 14.

В трубке, вращающейся по закону (рад) вокруг оси Oz, движется шарик по закону ОА=5t2 (м).

Определить координату хА(м) шарика в момент времени t=0,25(с).

Шарик участвует в сложном движении: движение шарика по трубке – относительное движение; вращение шарика вместе с трубкой – переносное движение.

Координату необходимо найти в момент времени t=0,25с, поэтому, подставляем данное время в уравнения движений:

– показывает на какой угол отклонилась трубка за время t=0,25с от начального своего положения, оси Ох (переносное движение).

– показывает какое расстояние в трубке преодолел шарик за это же время, двигаясь из точки О (относительное движение).

По рисунку видно, что проекция на ось Ох и будет искомой координатой хА. Предварительно переведем угол из радиан в градусы: .

Ответ: 1. .

Заданы уравнения движения точки . Определить расстояние (м) точки от начала координат в момент времени t=2 (с).

Движение точки задано координатным способом, координаты точки являются функциями времени.

,

Исключим время из уравнений движения:

.

Получаем, что траектория движения точки — это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а центр находится в начале координат.

Подставив время t=2(с) в уравнения движения, получим координаты

Из рисунка видно, что расстояние от центра координат до точки М — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике, катеты которого равны

.

Ответ: 4. .

ИНТЕРНЕТ-ТЕСТИРОВАНИЕ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Выпуск 2. Кинематика точки

Методические указания для подготовки к интернет — тестированию

по теоретической механике

Подписано к печати. Формат 60х90 116 Бумага газетная. Печать трафаретная

Уч. изд. л.1,0. Усл. печ. л.1,2 Тираж 200 экз. Заказ №

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65.

Полиграфический центр ННГАСУ, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65.

🎦 Видео

Урок 47. Неравномерное движение по окружности. Тангенциальное ускорениеСкачать

Центростремительное ускорение. 9 класс.Скачать

13.1. Определение сил по заданному движениюСкачать

Скорости и ускорения точек вращающегося телаСкачать

Материальная точка движется по закону. Физический смысл производной. 18 вариант Ященко Задание 7Скачать

Лекция 6.5 | Нормальное и тангенциальное ускорение | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать

13.3. Определение параметров криволинейного движения по заданным силамСкачать

Что такое тангенциальное ускорение #shorts #ЕНТ #ЕНТ_по_физике #Умскул #НиколайАкуловСкачать

Теоретическая механика 2020 - Практика 1. Кинематика точки.Скачать

Рассмотрение темы: "Тангенциальное, нормальное и полное ускорение"Скачать