Как избежать типичных ошибок, возникающих при выполнении заданий ЕГЭ по математике

Дземяшкевич Е.В., преподаватель математики
(Факультет довузовской подготовки ТулГУ)

Чтобы подготовиться к ЕГЭ по математике, необходимо уже сегодня перестать комплексовать и паниковать перед предстоящим единым экзаменом. Уже сейчас можно сказать, что на ЕГЭ можно получить вполне приличное количество баллов: время для форсированной подготовки еще не потеряно. Конечно, ЕГЭ — это не легко и просто, но и не безнадежно. Важно, чтобы школьник сам честно сформулировал для себя планируемый результат обучения. Это вовсе не означает, что выпускник, наметивший себе «3», может получить только «3» и не более, напротив, ориентируясь на намеченный результат, может и должен получить на один балл выше. Ученики, ориентированные на получение «4», должны помнить, что если постараться, то можно получить и «5».

Но не всегда так получается. Возможны ошибки при решении заданий, недостатки при подготовке, которые приводят к низким результатам ЕГЭ.

Для устранения недостатков в подготовке учеников к ЕГЭ по математике, необходимо совершенствовать процесс преподавания: активнее включать в учебный процесс идеи дифференцированного обучения; использовать практические разработки по индивидуализации обучения (создание индивидуальных модулей обучения), учитывать рекомендации психологов по организации усвоения и пр.).

Поговорим подробнее об ошибках, которые возможны при выполнении заданий ЕГЭ. Рассмотрим важные темы, встречающиеся на экзамене по математике.

&#169 Факультет довузовской подготовки Тульского государственного университета

300012, город Тула, проспект Ленина, 84, кор. 8, 3-й учебный корпус ТулГУ

(4872) 25-46-83, 25-46-84, 717-535

Тульский государственный университет

300012, город Тула, проспект Ленина, 92

(4872) 33-24-10, 35-34-44

Приемная комиссия ТулГУ: (4872) 332-332

Для того, чтобы мы могли качественно предоставить Вам услуги, мы используем cookies, которые сохраняются на Вашем компьютере (сведения о местоположении; ip-адрес; источник, откуда пришел на сайт пользователь, эта же информация используется для обработки статистических данных использования сайта посредством интернет-сервисов Google Analytics и Яндекс.Метрика). Продолжая использовать сайт, Вы соглашаетесь на использовании cookies. Отключить cookies Вы можете в настройках своего браузера.

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Трудности при изучении темы « Квадратные уравнения» в 8 классе.

Трудности при изучении темы « Квадратные уравнения» в 8 классе. Традиционные ошибки, допускаемые учащимися при изучении этой темы.

Акулова О.Н., учитель математики высшей категории МАОУ «СОШ №7» г. Гая Оренбургской области

Прежде, чем приступить к изучению данной темы, мы должны знать трудности изучения темы и те традиционные ошибки, которые допускают учащиеся при изучении данной темы.

Во первых, ученики часто применяют нерациональные приемы решения и излишне подробно записывают процесс преобразования данного уравнения к простейшему виду. Выучив формулу решения полного квадратного уравнения, учащиеся, нередко, применяют ее и в случае решения квадратных уравнений с четным коэффициентом при неизвестном в первой степени. Таким образом, большее внимание в процессе обучения следует уделять рациональным способам вычисления корней.

Наиболее часто встречающиеся ошибки в работах учеников 8-го класса при решении квадратных уравнений, относятся к операциям с буквенными коэффициентами. На вопрос, что называется коэффициентом, получаем один ответ: числовой множитель, стоящий перед буквенным выражением. Этот факт подтверждает, что при оперировании с буквами ученики 8-го класса не всегда видят их конкретный смысл. Если бы ученики были приучены контролировать свою работу, они придавали (хотя бы мысленно) численные значения буквам и сами вскрывали свои ошибки. Следовательно, при обучении большее внимание следует обращать на нахождение числовых значений алгебраических выражений и на аналогию в выполнении алгебраических и арифметических действий; тем самым, учащиеся будут привыкать смотреть на буквенное выражение не только как на объект для тождественных преобразований, но и как на функцию входящих в него букв.

Теорема Виета при изучении квадратных урав­ нений является наиболее сложной темой. Нередко ее смысл учащиеся усваивают формально и не мо­ гут применить теорему на практике. Для проверки понимания теоремы и знаний по данной теме, ре­ комендуется предлагать следующие обучающие- воп­ росы.

Известно, что сумма двух искомых чисел и их произведение — целые числа. Могут ли эти искомые числа быть дробными? Объясните на примерах.

Известно, что сумма и произведение корней квадратного уравнения — целые числа. Могут ли корни этого уравнения быть дробными числами?
Объясните на примерах.

Известно, что сумма корней квадратного урав нения (или сумма двух чисел) — число дробное, а произведение этих чисел — число целое. Могут ли
корни этого уравнения быть целыми числами?

Известно, что сумма корней и их произведе ние — числа дробные. Могут ли корни данного урав­ нения быть целыми числами. Приведите примеры для различных случаев.

Дано полное квадратное уравнение неприведенного вида, свободный член и коэффициенты которого не имеют общего множителя. Какими числами мо­жет выражаться сумма и произведение его корней? Приведите примеры неприведенных полных квадрат­ ных уравнений для случая:

а)когда и сумма, и произведение их корней выра­ жаются дробными числами;

б)когда только сумма или только произведение выражается дробным числом.

Могут ли в указанных случаях оба корня быть целыми?

Изучая ошибки по рассматриваемой теме, мы пришли к выводу, что теорему Виета целесообразно изучать индуктивным путем, исходя из рассмотрения приведен­ ного квадратного уравнения вида x 2 +рх+ q = 0. Затем перейти к рассмотрению этого вопроса для неприве денного квадратного уравнения вида ах 2 + b х + с = 0 и установить соотношение (- b / a )= p и ( c / a )= q

Исследование корней квадратного уравнения по его дискриминанту и коэффициентам, исследование вопроса, будут ли корни данного квадратного уравне­ ния действительными, различными или равными или среди действительных чисел нет корня данного урав­ нения, не затрудняет учащихся. Обычно, допускае­ мая ошибка состоит в том, что за дискриминант при­ нимают не подкоренное выражение, а квадратный корень из дискриминанта, то есть считают, что D =√( b 2 -4 ac ) или D ₁ =√(( b /2) 2 — q ) при исследовании корней уравнения школьники часто применяют не­ рациональный прием, который состоит в том, что для ответа на вопросы: будут ли корни данного квадратного уравнения действительными числами, будут ли они различны или равны, учащиеся вычисляют дис­криминант, хотя достаточно только установить его
знак. Заметим еще, что не всегда учащиеся умеют самостоятельно указать квадратное уравнение, заве­ домо имеющее действительные корни без нахождения числовой величины его дискриминанта. Только после приведения нескольких аналогичных примеров квадратных уравнений с отрицательным свободным членом и наводящего вопроса, учащиеся могут сделать вывод, что в этих случаях всегда D > 0 (сказыва­ется недостаточный навык вычитания отрицательного числа). При определении знаков корней квадратного уравнения не всегда можно получить полное, последова­ тельное, доведенное до логического конца объясне­ ние процесса исследования без наводящих (и даже подсказывающих) вопросов учителя.

Четкость речи, как известно, связана с осознанно­ стью соответствующей мысли. Поэтому при объясне­нии данного вопроса учитель должен дать четкий об­ разец рассуждений. Прежде всего надо указать, что о знаках корней можно говорить лишь тогда, когда они существуют (во множестве действительных чисел).

Надо убедиться в неотрицательности дискриминан­та, причем для этого не следует доводить до конца вычисления, достаточно убедиться, что он не отрица­ телен (в случае, когда свободный член квадратного уравнения отрицателен, а коэффициент при х 2 поло­ жителен, не надо вычислять дискриминант — он по­ложителен). Затем рассмотреть на примерах все че­тыре возможных случая: оба корня уравнения отри­цательные, положительные, один из корней отрица­ тельный, положительный. Выводы следует оформить таблицей.

Вопрос об оперировании с абсолютными величи­ нами остается слабым местом в знаниях учащихся 8-го класса. Особое внимание надо обратить на тот факт, что сравнение абсолютных величин корней не легко усваивается школьниками. Следует лишний раз подчеркнуть, что, например, число может быть запи­сано в виде | + 6 |; + 6; | — 6 |; 6. Для достижения хо­ роших результатов можно рекомендовать систему уп­ ражнений с использованием наглядности.

Расположите в порядке возрастания (убывания) ряд чисел, среди которых имеются положительные, отрицательные числа и нуль. Покажите на числовой прямой числа : — 2,5; 4; — 3; + 2; — 0,1; 1/2; -3/4; — 1/3.

Расположите в порядке возрастания или убы­ вания абсолютные величины тех же чисел. Сделайте выводы.

Найдите сумму, разность, произведение, част ное абсолютных величин двух чисел, если компонен­ тами действий служат различные действительные числа в различных комбинациях, не исключая и нуля.

Составление квадратного уравнения по формуле (х — х ₁ )(х — х ₂ )=0 подготавливает учеников к даль­ нейшему изучению теории алгебраических уравнений. Уже первые примеры на квадратные уравнения- уча­щиеся решают разложением левой его части на ли­нейные множители, делают необходимые выводы и устанавливают связи между различными вопросами одной и той же темы.

К изучению данного учебного материала учащихся следует готовить, начиная с 5-го класса:

При изучении квадрата числа, натуральной степени учащиеся выполняли такие задания: Найти значение выражения D = b 2 -4 ac , если a =2, b =5, c =4. При изучении десятичных дробей, обыкновенных дробей, отрицательных чисел – a , b , c меняются.

Знание квадратов натуральных чисел от 1 до 20 нужно проверять на протяжении всех лет обучения математики.

К работе по схеме учащиеся готовятся, начиная с устного счета, по цепочке, с указанием порядка действий, с помощью стрелок, по элементарным программам при работе с микрокалькулятором, при прохождении многих тем учащиеся учатся выполнять те, или другие преобразования по алгоритму. У учащихся должны быть отработаны навыки решения линейных уравнений.

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

math4school.ru

Видео:8 класс, 25 урок, Формула корней квадратного уравненияСкачать

Ошибки в уравнениях

При выполнении контрольных, тестовых и экзаменационных работ по математике учащиеся решают самые разнообразные уравнения, отличающиеся по тематике и по сложности. Разобрать все ошибки, которые при этом допускаются, не представляется возможным. Ниже предлагаются примеры лишь наиболее распространенных ошибок и анализ ситуаций, в которых эти ошибки допускаются.

Потеря корней

При решении уравнений из-за выполнения нетождественных преобразований может произойти либо потеря корней , либо появление посторонних корней .

При выполнении нетождественных преобразований в процессе решения уравнения может произойти сужение области допустимых значений неизвестного , а значит, корни могут оказаться потерянными.

K Упражнение. Решить уравнение lg (x – 10) 2 + lg x 2 = 2lg 24 .

L Неправильное решение.

2lg (x – 10) + 2lg x = 2lg 24,

Произвели проверку и убедились, что все корни удовлетворяют данному уравнению.

Комментарий . Из-за неправильного применения формул произошло сужение области допустимых значений неизвестного.

J Правильное решение.

Ответ: –2; 4; 6 и 12.

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное , могут быть потеряны корни, которые обращают эти выражения в ноль.

K Упражнение 1. Решить уравнение 3 х ( х 2 – 2 х – 3) = 9 ( х 2 – 2 х – 3) .

L Неправильное решение.

Разделим обе части уравнения на квадратный трехчлен, записанный в скобках, и получим:

J Правильное решение.

Перенесем правую часть исходного уравнения влево и вынесем общий множитель за скобки:

K Упражнение 2. Решить уравнение lg 2 x – lg x = 0 .

L Неправильное решение.

Разделим обе части уравнения на lg x и получим:

J Правильное решение.

Необходимо помнить, что обычно легче исключить посторонний корень, чем найти потерянный.

Посторонние корни

При решении уравнений существуют два диаметрально противоположных мнения относительно полученного результата. Одни считают, что проверка должна производиться всегда, другие считают ее необязательной. На самом деле проверка полученных корней в одних случаях является обязательной и является частью решения уравнения, а в других случаях в проверке необходимости нет.

Проверка полученного решения уравнения обычно делается с целью исключения посторонних корней, которые чаще всего появляются в результате нетождественных преобразований, приводящих к расширению области допустимых значений переменного. Рассмотрим далее некоторые случаи появления посторонних корней.

Это может случиться при умножении обеих частей дробного уравнения на выражение, содержащее неизвестную величину .

K Упражнение. Решить уравнение

L Неправильное решение.

Умножим все члены уравнения на х 2 – 1 и получим:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 1, в чем можно убедиться с помощью проверки .

J Правильный ответ: х = 0.

Появление посторонних корней может быть вызвано сокращением дроби на множитель, содержащий неизвестную величину .

K Упражнение. Решить уравнение

L Неправильное решение.

Заметим, что х 2 – 81 = (x – 9) (x + 9) и произведем сокращение дроби на x – 9 . Имеем:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 9 .

J Правильный ответ: решений нет.

Приведение подобных слагаемых с неизвестным в знаменателе, в том случае, если они взаимно уничтожаются, также может привести к приобретению постороннего корня.

K Упражнение. Решить уравнение

L Неправильное решение.

После приведения подобных слагаемых получим:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 0 .

J Правильный ответ: 4 .

Заметим, что аналогичная ситуация может сложиться и для слагаемых, содержащих переменную под знаком корня или под знаком логарифма.

Очень часто посторонние корни появляются при возведении в четную степень обеих частей уравнения . Рассмотрим следующее иррациональное уравнение и на его примере – процесс появления посторонних корней.

K Упражнение. Решить уравнение √ х + 3 + √ 7 – х = 2 .

L Неправильное решение.

И число –2 , и число 6 содержатся в области допустимых значений переменной х , значит, являются решениями исходного уравнения.

Комментарий . Оба корня посторонние и были приобретены в процессе решения. Как же это произошло? Дело вот в чем. В процессе решения с помощью возведения в квадрат и элементарных преобразований мы перешли от уравнения

Последнему уравнению число –2 удовлетворяет, после подстановки получаем верное равенство 1 = 1 . Предыдущее же уравнение при подстановке –2 дает ложное равенство 1 = –1 , которое стало верным именно в результате возведения в квадрат, ведь 1 2 = (–1) 2 . Число –2 является корнем второго уравнения, для первого – посторонний корень. А вот число 6 не является корнем ни одного из них.

Шестерка выходит на арену при переходе от уравнения

которое уже имеет один корень –2 , к уравнению

Теперь возведение в квадрат превращает ложное равенство 2 = –2 в истинное равенство 4 = 4 , которые соответствуют этим уравнениям для случая х = 6 . Для последнего уравнения 6 – истинный корень, а для предпоследнего – ложный. И вот, путем преобразований мы получаем уравнение

для которого числа –2 и 6 — самые настоящие корни, а для исходного — посторонние. Два раза мы применяли возведение в квадрат и каждый раз приобретали посторонний корень, каждый из которых благополучно преодолел фильтр ОДЗ. В данном случае проверка обязательна.

J Правильный ответ: решений нет.

Необходимо помнить, что если область допустимых значений неизвестного найдена и при решении уравнения получены корни, принадлежащие ей, то проверка корней не нужна, только если при этом в процессе решения все преобразования были тождественными.

Если при решении уравнения используется тот факт, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю , прежде чем писать ответ, необходимо убедиться, что все найденные корни удовлетворяют условию.

K Упражнение. Решить уравнение ( x – 5) (х + 2) √ х – 3 = 0 .

L Неправильное решение.

Перейдем от данного уравнения у совокупности уравнений:

Комментарий . Число –2 обращает подкоренное выражение х – 3 в отрицательное число, а значит не может быть корнем уравнения.

J Правильный ответ: 5 и 3 .

Часто причиной изменения множества корней уравнения во время его преобразования является применение равенств, правая и левая части которых имеют разные области определения . Таких равенств много, вот некоторые из них:

В каждом из этих равенств область определения выражения, стоящего в правой части, является подмножеством области выражения, стоящего в левой части. Поэтому использование этих равенств слева направо может привести к потере корней, а справа налево – к появлению посторонних корней .

L Неправильное решение.

так как х ≥ 3 , то |х – 1| = х – 1 и

Комментарий . Применение формулы √ х · y = √ х · √ y привело к потере корня x = 1 . И вот почему. Исходное уравнение имеет область допустимых значений ∪[3; +∞) , а вот уже ОДЗ уравнения (left| x-1right|cdot sqrt=x-1) – только [3; +∞) , что и привело к потере 1 .

Можем порекомендовать возвести обе части исходного уравнения в квадрат. Это может привести к появлению посторонних корней, избавиться от которых проверкой, как правило, проще, чем заниматься поисками потерянных корней.

J Правильное решение.

(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)=left(x-1 right)^2;)

(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)-left(x-1 right)^2=0;)

(left(x-1 right)^2cdot left(x-4 right)=0;)

Проверкой убеждаемся, что оба корня действительные.

Ошибки, связанные с заменой переменной

При решении некоторых уравнений достаточно удачным является метод замены переменной . Но применение этого метода учащиеся осуществляют не всегда правильно.

Так необходимо помнить, что при наличии нескольких степеней заменять новой переменной надо ту, у которой показатель наименьший .

K Упражнение. Решить уравнение (5 left(x-3 right)^-6=left(x-3 right)^.)

L Неправильное решение.

Сделав замену ( left(x-3 right)^=t), считают, что ( left(x-3 right)^=t^2) и уравнение переписывают в виде 5t 2 – t – 6 = 0 , после чего, конечно, верный результат уже не получить.

J Правильное решение.

Верный результат можно получить, сделав замену ( left(x-3 right)^=t), тогда ( left(x-3 right)^=t^2) с продолжением:

Правильно сделав замену и верно найдя значение вспомогательной переменной, учащиеся часто допускают ошибку, используя не то равенство, которым вспомогательная переменная вводилась .

K Упражнение. Решить уравнение х + 4 √ x – 5 = 0 .

L Неправильное решение.

Комментарий . После нахождения значений вспомогательной переменной t для нахождения х следовало использовать подстановку √ x = t , а не x = t 2 .

J Правильное решение.

При решении иррациональных уравнений учащиеся чаще всего применяют метод возведения в соответствующую степень. В результате этого решения иррациональных уравнений получаются громоздкими и не всегда доводятся до конца .

K Упражнение. Решить уравнение (x^2-4x-sqrt=6.)

L Неправильное (нерациональное) решение.

Чаще всего данное уравнение начинают решать так:

Нередко продолжения решения не следует, так как с полученным уравнением четвертой степени справится не каждый.

Комментарий . В качестве альтернативы можно предложить способ введения новой переменной.

J Правильное решение.

и исходное уравнение принимает вид:

А дальше все просто:

Комментарий . Числа –2 и 6 не подвергались проверке осознанно. В данном случае после возведения в квадрат не могли появиться посторонние корни, так как и квадратный корень, и подкоренное выражение после возведения в квадрат заведомо равны положительным числам.

Ошибки, связанные с использованием модуля

При решении уравнений, в тех случаях, когда необходимо использовать понятия модуля и арифметического корня , допускаются серьезные ошибки, связанные либо с незнанием, либо с непониманием этих понятий.

K Упражнение 1. Решить уравнение (sqrt=9.)

L Неправильное решение.

J Правильное решение.

K Упражнение 2. Решить уравнение (sqrt=x+3.)

L Неправильное решение.

Ответ: корнем данного уравнения является любое действительное число.

J Правильное решение.

Учитывая, что решение уравнений, содержащих модуль, часто вызывает затруднения, приведем полное и развернутое решение одного из таких уравнений.

K Упражнение. Решить уравнение |x – 3| + |x –4| = 1 .

J Правильное решение.

Находим нули модулей, для |х – 3| это 3 , для |x – 4| это 4 , и разбиваем ими область допустимых значений неизвестного на числовые промежутки:

На каждом из этих промежутков исходное уравнение принимает свой вид.

1) при х ∈ (–∞; 3) исходное уравнение принимает вид:

так как 3 ∉ (–∞; 3 ) , то на этом промежутке решений нет;

2) при х ∈ [3; 4) исходное уравнение принимает вид:

что является истинным тождеством; значит, каждое число рассматриваемого промежутка [3; 4) является решением уравнения;

3) при х ∈ [4; +∞) исходное уравнение принимает вид:

так как 4 ∈ [4; +∞) , то 4 – корень уравнения.

Так как [3; 4)∪ = [3; 4] , то корнями исходного уравнения являются все числа числового промежутка [3; 4] .

Подбор корней без обоснования

К ошибочным решениям можно отнести и верный подбор корня заданного уравнения, иногда просто угадывание, без доказательства его единственности .

K Упражнение. Решить уравнение х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 24 .

L Неправильное решение.

Подбором находят корень х = 1 из разложения 24 = 1 · 2 · 3 · 4.

Комментарий . Был подобран корень х = 1 , но не обнаружен еще один корень х = –4 , который соответствует разложению 24 = –4 · (–3) · (–2) · (–1) . Но даже если и второй корень успешно подобран, но не обосновано отсутствие других корней, то считать такое решение уравнения правильным нельзя.

J Правильное решение.

введем новую переменную x 2 + 3х + 1 = t , тогда

1) x 2 + 3х + 1 = –5, x 2 + 3х + 6 = 0, решений нет;

Наиболее распространенным методом доказательства единственности корня нестандартного уравнения является использование свойства монотонности входящих в уравнение функций . Часто при этом используется производная.

K Упражнение. Решить уравнение x 11 + 5х – 6 = 0 .

L Неправильное решение.

Методом подбора находим корень уравнения х = 1 .

Комментарий . Не приведено обоснование единственности подобранного корня уравнения.

J Правильное решение.

Корень х = 1 легко угадывается, а производная левой части равна 11x 10 + 5 и положительна на всей числовой оси. Отсюда следует монотонность функции у = x 11 + 5х – 6 , что и доказывает единственность подобранного корня.

Ошибки в логарифмических и показательных уравнениях

Для решения логарифмических и показательных уравнений используются специальные приемы, основанные на свойствах логарифмов и степеней. Рассмотрим связанные с применением этих приемов ошибки.

При решении уравнений, которые можно свести к равенству степеней с одинаковыми основаниями или с одинаковыми показателями , не всегда делаются правильные выводы.

K Упражнение 1. Решить уравнение (log₇ x) 1 /₃ = 1 .

L Неправильное решение.

Так как при одинаковых основаниях показатели не равны, то равенство степеней невозможно, а, значит, корней нет.

Ответ: корней нет.

J Правильное решение.

Возведем в куб обе части уравнения, тогда

K Упражнение 2. Решить уравнение (х + 5) х 2 + х – 2 = 1 .

L Неправильное решение.

Комментарий . Потерян корень х = –4 . Избежать этого можно было и при данном способе решения уравнения, если учесть, что степень равна 1 не только в случае нулевого показателя, но и в случае основания равного 1 при произвольном показателе. И тогда в дополнение к приведенному решению имеем:

J Правильное решение.

Прологарифмируем обе части уравнения по некоторому основанию, например 10, при условии х > 5 , тогда

Необходимо помнить, что:

из равенства степеней, основания которых равны единице, не следует обязательное равенство показателей этих степеней;

степенно–показательное уравнение предпочтительно решать путем логарифмирования.

При решении логарифмических уравнений часто приходится применять свойства логарифмов с одинаковыми основаниями . При применении этих свойств учащиеся часто допускают ошибки.

L Неправильное решение.

Комментарий . В решении допущены две серьезные ошибки: во-первых, произведение логарифмов двух чисел заменено логарифмом произведения этих чисел; во-вторых, при решении уравнения 3х 2 = 81x потерян корень х = 0 (этот корень, конечно, не является корнем исходного уравнения, что не оправдывает его потерю).

J Правильное решение.

K Упражнение 2. Решить уравнение lg x 2 = 4 .

L Неправильное решение.

J Правильное решение 1.

2lg |x| = 4; lg | x| = 2; |x| = 100; x = ±100.

J Правильное решение 2.

lg x 2 = lg 10000; x 2 = 10000; x = ±100.

Большие затруднения у многих учащихся возникают при выполнении действий над логарифмами с разными основаниями , так как учащиеся либо не умеют пользоваться соответствующими формулами, либо не знают их.

Следует помнить, что переход к логарифму с другим основанием может привести как к приобретению посторонних корней, так и к потере корней .

K Упражнение 1. Решить уравнение (left(log_5 +2 right)<log _>^2 ;x=0.)

L Неправильное решение.

(left(1 +2 log _xright)log _x=0;)

Комментарий . Преобразование логарифма с основание х в логарифм с основанием 5 привело к появлению постороннего корня, так как произошло расширение ОДЗ.

J Правильное решение.

Приведенное выше решение следует дополнить указанием области допустимых значений неизвестного в исходном уравнении. Это объединение числовых промежутков (0; 1)∪(1; +∞) . И указанием того факта, что 1 ∉ (0; 1)∪(1; +∞) , а, значит, не является корнем.

K Упражнение 2. Решить уравнение (20log_sqrt+ 7log_x^3-3log _x^2=0.)

L Неправильное решение.

Комментарий . В приведенном решении потерян корень, и вот почему. Был выполнен переход к логарифму с основанием х . Это вызвало изменения в ОДЗ неизвестного. Одно из таких изменений – это х ≠ 1 . Поэтому число 1 , как возможный корень исходного уравнения, следует рассмотреть отдельно.

J Правильное решение.

Приведенное выше решение нужно дополнить лишь проверкой того, не является ли 1 корнем уравнения. Подставляем 1 в исходное уравнение и убеждаемся, что 1 – корень.

Ошибки в тригонометрических уравнениях

Выделение в отдельный подраздел тригонометрических уравнений связано стем, что при их решении применяются не только алгебраические методы. Рассмотрим наиболее типичные ошибки, которые допускают учащиеся при решении тригонометрических уравнений.

Часто можно встретить неправильную запись решения тригонометрического уравнения или лишь частное решение .

💡 Видео

Типичные ошибки в математикеСкачать

Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Решение квадратного уравнения с выводом формулы корнейСкачать

ТОП-5 ОШИБОК в математике | Математика | TutorOnlineСкачать

Wow-ошибки в математике | Математика TutorOnlineСкачать

Упрощенная формула корней квадратного уравнения. ЕГЭ и ОГЭ 2022 по математикеСкачать

ТОП 6 ошибок в математике — Урок математики с нуляСкачать

Типичные ошибки оформления задач второй части. Профильный ЕГЭ. МатематикаСкачать

(3) Параметр в ЕГЭ. Исследование квадратных уравнений. Расположение корнейСкачать

Математика| Разложение квадратного трехчлена на множители.Скачать

Типичные ошибки в неравенствах #умскул #умскул_профильнаяматематика #math #аделияадамоваСкачать

Типичные ошибки понимания математических записейСкачать

Провокация на ошибку - квадратное уравнение | Профильная математикаСкачать

Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.Скачать

РАЗБИРАЕМ ДИСКРИМИНАНТ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #дискриминантСкачать

Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать

Квадратные уравнения #shorts Как решать квадратные уравненияСкачать