Типичные ошибки при решении тригонометрических уравнений

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Типичные ошибки в заданиях по тригонометрии на ГИА

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Типичные ошибки, допускаемые учащимися при выполнении ГИА

(Никифоренко Инга Николаевна, Макеевская ОШ 21-3 ст. № 53)

1. Типичная ошибка: при нахождении одной из тригонометрических функций через заданное значение другой не учитываются знаки тригонометрических функций в зависимости от положения угла.

1. Упражнение. Найти ctg α, если sin α = 0,8.

1 + ctg2 α = sin–2 α,

1 + ctg2 α = 25/16,

Комментарий: здесь ошибка заключается в том, что при извлечении корня мы можем получить как положительное значение, так и отрицательное, то есть ctg α = ± 3/4, поэтому необходимо искать решение отдельно в каждой четверти.

Так как sin α > 0, то α может находиться только в I или во II четверти, значит:

1) если α – угол первой четверти, то ctg α = 3/4;

2) если α – угол второй четверти, то ctg α = – 3/4.

Комментарий: При объяснении данной темы необходимо как можно больше внимания уделять единичной окружности, работе с ней. Учащиеся должны четко усвоить, что от того, в какой четверти может находиться искомая функция, зависит не только значение, но и знак функции, которую находим.

Во избежание подобных ошибок необходимо многократное повторение и решение подобных упражнений, выработка навыка работы с единичной окружностью.

2.При упрощении тригонометрических выражений необходимо не только хорошо знать тригонометрические формулы, но и владеть навыками преобразования алгебраических выражений: правилами раскрытия скобок и заключения в скобки, формулами сокращенного умножения и т.п. Именно недостаточное знание формул курса алгебры провоцирует неправильное решение упражнений.

Пример. Упростить выражение: .

Решение: Перепишем выражение в виде: ·(1-

Здесь мы представили дробь в виде произведения, затем первый множитель заменили, используя формулу, и получили произведение суммы двух выражений на неполный квадрат разности этих выражений – формулу суммы кубов двух выражений.

Комментарий: Трудности и ошибки при упрощении данного выражения возникают именно из-за незнания, либо плохого владения умением применить формулу суммы кубов двух выражений, а также неумения преобразовать дробь в произведение. Поэтому необходимо постоянное повторение формул с помощью упражнений для устного счета, выполнения тестовых заданий и т.п.

3.При доказательстве тригонометрических тождеств учащиеся из-за незнания некоторых тригонометрических формул «придумывают свои», неправильно выполняют преобразования: раскрывают скобки либо выносят за скобки, производят неправильное сокращение дробей, а также не учитывают область допустимых значений.

Пример: Доказать тождество:

В данном тождестве некоторые учащиеся, например, производили неверное сокращение синусов, что свидетельствует о незнании правил сокращения дробей, а также не учитывали область допустимых значений.

2 способ :

Комментарии: Необходимо перед изучением темы разработать комплекс устных, тестовых и письменных упражнений с целью минимализации подобных ошибок. При объяснении материала необходимо акцентировать внимание учащихся на том, что тождество справедливо лишь при допустимых значениях переменных.

4. В тригонометрических уравнениях, как и в уравнениях других видов, причиной многих ошибок становится невнимательное отношение к области допустимых значений неизвестного, ошибки по причине невнимательного отношения ко всем заданным в уравнении условиям; учащиеся также часто забывают, что сокращение всех членов уравнения на функцию, содержащую неизвестное, нередко приводит к потере корней уравнения. Еще одна причина появления ошибок – недостаточное внимание к проверке. Следует не забывать, что при проверке посторонних корней тригонометрических уравнений часто удобно использовать единичную окружность.

Комментарий: этих и других ошибок можно избежать путем многократного решения однотипных уравнений. Нужно также учить не формальному подходу к решению уравнений, а рассуждать, объяснять ход своего решения.

Пример. Решить уравнение cos x (2sin 2x – 1) = cos x sin 2x.

2sin 2x – 1 = sin 2x;

2x = π /2 + 2 π k, k ∈ Z;

x = π /4 + π k, k ∈ Z.

Ответ : π /4 + π k, k ∈ Z.

cos x (2sin 2x – 1) – cos x sin 2x = 0;

cos x (2sin 2x – 1 – sin 2x) = 0;

cos x (sin 2x – 1) = 0;

1) cos x = 0; x = π /2 + π n, n ∈ Z;

2) sin 2x – 1 = 0; sin 2x = 1; 2x = π /2 + 2 π k, k ∈ Z; x = π /4 + π k, k ∈ Z.

Ответ : π /2 + π n, n ∈ Z; π /4 + π k, k ∈ Z.

Еще одна причина появления ошибок – недостаточное внимание к проверке. Следует не забывать, что при проверке посторонних корней тригонометрических уравнений часто удобно использовать единичную окружность.

Пример. Решить уравнение sin x + cos x = 1.

(sin x + cos x) 2 = 12;

sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x = 1;

1 + 2sin x cos x = 1;

Ответ: π n /2, n ∈ Z .

Комментарий. Так как при решении обе части исходного уравнения возводили в квадрат, а его левая часть может быть как положительной, так и отрицательной величиной, могли появиться посторонние корни, следовательно, проверка обязательна.

Дополним приведенное выше решение следующими рассуждениями.

Значениям x = πn/2, n ∈ Z соответствуют четыре точки, отмеченные на единичной окружности. Причем зеленые точки соответствуют корням уравнения, а красные – посторонним корням.

Так как зеленой точке на Ох соответствуют значения n = 4k, где k ∈ Z, а на оси Оу – значения n = 4m + 1, гдеm ∈ Z, то

1) x = 4πk/2 = 2πk, k ∈ Z;

2) x = 4πm+π/2 = π/2 + 2πm, m ∈ Z.

Ответ: 2πk, k ∈ Z и π/2 + 2πm, m ∈ Z.

5. Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для восприятия и осмысления учащимися. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному, формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.

Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.

Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические неравенства на окружности.

Пример. Решите неравенство

Решение . Все решения данного неравенства являются решениями двойного неравенства откуда получаем, что Ответ :

Комментарий. Здесь при решении тригонометрических неравенств допускались ошибки, связанные с неправильным чтением числовых промежутков, изображенных на единичной окружности.

Видео:Типичные ошибки в тригонометрических уравнениях ЕГЭ, №13Скачать

math4school.ru

Видео:Основные ошибки при решении иррациональных и тригонометрических уравнений ЕГЭ по математикеСкачать

Ошибки в уравнениях

При выполнении контрольных, тестовых и экзаменационных работ по математике учащиеся решают самые разнообразные уравнения, отличающиеся по тематике и по сложности. Разобрать все ошибки, которые при этом допускаются, не представляется возможным. Ниже предлагаются примеры лишь наиболее распространенных ошибок и анализ ситуаций, в которых эти ошибки допускаются.

Потеря корней

При решении уравнений из-за выполнения нетождественных преобразований может произойти либо потеря корней , либо появление посторонних корней .

При выполнении нетождественных преобразований в процессе решения уравнения может произойти сужение области допустимых значений неизвестного , а значит, корни могут оказаться потерянными.

K Упражнение. Решить уравнение lg (x – 10) 2 + lg x 2 = 2lg 24 .

L Неправильное решение.

2lg (x – 10) + 2lg x = 2lg 24,

Произвели проверку и убедились, что все корни удовлетворяют данному уравнению.

Комментарий . Из-за неправильного применения формул произошло сужение области допустимых значений неизвестного.

J Правильное решение.

Ответ: –2; 4; 6 и 12.

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное , могут быть потеряны корни, которые обращают эти выражения в ноль.

K Упражнение 1. Решить уравнение 3 х ( х 2 – 2 х – 3) = 9 ( х 2 – 2 х – 3) .

L Неправильное решение.

Разделим обе части уравнения на квадратный трехчлен, записанный в скобках, и получим:

J Правильное решение.

Перенесем правую часть исходного уравнения влево и вынесем общий множитель за скобки:

K Упражнение 2. Решить уравнение lg 2 x – lg x = 0 .

L Неправильное решение.

Разделим обе части уравнения на lg x и получим:

J Правильное решение.

Необходимо помнить, что обычно легче исключить посторонний корень, чем найти потерянный.

Посторонние корни

При решении уравнений существуют два диаметрально противоположных мнения относительно полученного результата. Одни считают, что проверка должна производиться всегда, другие считают ее необязательной. На самом деле проверка полученных корней в одних случаях является обязательной и является частью решения уравнения, а в других случаях в проверке необходимости нет.

Проверка полученного решения уравнения обычно делается с целью исключения посторонних корней, которые чаще всего появляются в результате нетождественных преобразований, приводящих к расширению области допустимых значений переменного. Рассмотрим далее некоторые случаи появления посторонних корней.

Это может случиться при умножении обеих частей дробного уравнения на выражение, содержащее неизвестную величину .

K Упражнение. Решить уравнение

L Неправильное решение.

Умножим все члены уравнения на х 2 – 1 и получим:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 1, в чем можно убедиться с помощью проверки .

J Правильный ответ: х = 0.

Появление посторонних корней может быть вызвано сокращением дроби на множитель, содержащий неизвестную величину .

K Упражнение. Решить уравнение

L Неправильное решение.

Заметим, что х 2 – 81 = (x – 9) (x + 9) и произведем сокращение дроби на x – 9 . Имеем:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 9 .

J Правильный ответ: решений нет.

Приведение подобных слагаемых с неизвестным в знаменателе, в том случае, если они взаимно уничтожаются, также может привести к приобретению постороннего корня.

K Упражнение. Решить уравнение

L Неправильное решение.

После приведения подобных слагаемых получим:

Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 0 .

J Правильный ответ: 4 .

Заметим, что аналогичная ситуация может сложиться и для слагаемых, содержащих переменную под знаком корня или под знаком логарифма.

Очень часто посторонние корни появляются при возведении в четную степень обеих частей уравнения . Рассмотрим следующее иррациональное уравнение и на его примере – процесс появления посторонних корней.

K Упражнение. Решить уравнение √ х + 3 + √ 7 – х = 2 .

L Неправильное решение.

И число –2 , и число 6 содержатся в области допустимых значений переменной х , значит, являются решениями исходного уравнения.

Комментарий . Оба корня посторонние и были приобретены в процессе решения. Как же это произошло? Дело вот в чем. В процессе решения с помощью возведения в квадрат и элементарных преобразований мы перешли от уравнения

Последнему уравнению число –2 удовлетворяет, после подстановки получаем верное равенство 1 = 1 . Предыдущее же уравнение при подстановке –2 дает ложное равенство 1 = –1 , которое стало верным именно в результате возведения в квадрат, ведь 1 2 = (–1) 2 . Число –2 является корнем второго уравнения, для первого – посторонний корень. А вот число 6 не является корнем ни одного из них.

Шестерка выходит на арену при переходе от уравнения

которое уже имеет один корень –2 , к уравнению

Теперь возведение в квадрат превращает ложное равенство 2 = –2 в истинное равенство 4 = 4 , которые соответствуют этим уравнениям для случая х = 6 . Для последнего уравнения 6 – истинный корень, а для предпоследнего – ложный. И вот, путем преобразований мы получаем уравнение

для которого числа –2 и 6 — самые настоящие корни, а для исходного — посторонние. Два раза мы применяли возведение в квадрат и каждый раз приобретали посторонний корень, каждый из которых благополучно преодолел фильтр ОДЗ. В данном случае проверка обязательна.

J Правильный ответ: решений нет.

Необходимо помнить, что если область допустимых значений неизвестного найдена и при решении уравнения получены корни, принадлежащие ей, то проверка корней не нужна, только если при этом в процессе решения все преобразования были тождественными.

Если при решении уравнения используется тот факт, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю , прежде чем писать ответ, необходимо убедиться, что все найденные корни удовлетворяют условию.

K Упражнение. Решить уравнение ( x – 5) (х + 2) √ х – 3 = 0 .

L Неправильное решение.

Перейдем от данного уравнения у совокупности уравнений:

Комментарий . Число –2 обращает подкоренное выражение х – 3 в отрицательное число, а значит не может быть корнем уравнения.

J Правильный ответ: 5 и 3 .

Часто причиной изменения множества корней уравнения во время его преобразования является применение равенств, правая и левая части которых имеют разные области определения . Таких равенств много, вот некоторые из них:

В каждом из этих равенств область определения выражения, стоящего в правой части, является подмножеством области выражения, стоящего в левой части. Поэтому использование этих равенств слева направо может привести к потере корней, а справа налево – к появлению посторонних корней .

L Неправильное решение.

так как х ≥ 3 , то |х – 1| = х – 1 и

Комментарий . Применение формулы √ х · y = √ х · √ y привело к потере корня x = 1 . И вот почему. Исходное уравнение имеет область допустимых значений ∪[3; +∞) , а вот уже ОДЗ уравнения (left| x-1right|cdot sqrt=x-1) – только [3; +∞) , что и привело к потере 1 .

Можем порекомендовать возвести обе части исходного уравнения в квадрат. Это может привести к появлению посторонних корней, избавиться от которых проверкой, как правило, проще, чем заниматься поисками потерянных корней.

J Правильное решение.

(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)=left(x-1 right)^2;)

(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)-left(x-1 right)^2=0;)

(left(x-1 right)^2cdot left(x-4 right)=0;)

Проверкой убеждаемся, что оба корня действительные.

Ошибки, связанные с заменой переменной

При решении некоторых уравнений достаточно удачным является метод замены переменной . Но применение этого метода учащиеся осуществляют не всегда правильно.

Так необходимо помнить, что при наличии нескольких степеней заменять новой переменной надо ту, у которой показатель наименьший .

K Упражнение. Решить уравнение (5 left(x-3 right)^-6=left(x-3 right)^.)

L Неправильное решение.

Сделав замену ( left(x-3 right)^=t), считают, что ( left(x-3 right)^=t^2) и уравнение переписывают в виде 5t 2 – t – 6 = 0 , после чего, конечно, верный результат уже не получить.

J Правильное решение.

Верный результат можно получить, сделав замену ( left(x-3 right)^=t), тогда ( left(x-3 right)^=t^2) с продолжением:

Правильно сделав замену и верно найдя значение вспомогательной переменной, учащиеся часто допускают ошибку, используя не то равенство, которым вспомогательная переменная вводилась .

K Упражнение. Решить уравнение х + 4 √ x – 5 = 0 .

L Неправильное решение.

Комментарий . После нахождения значений вспомогательной переменной t для нахождения х следовало использовать подстановку √ x = t , а не x = t 2 .

J Правильное решение.

При решении иррациональных уравнений учащиеся чаще всего применяют метод возведения в соответствующую степень. В результате этого решения иррациональных уравнений получаются громоздкими и не всегда доводятся до конца .

K Упражнение. Решить уравнение (x^2-4x-sqrt=6.)

L Неправильное (нерациональное) решение.

Чаще всего данное уравнение начинают решать так:

Нередко продолжения решения не следует, так как с полученным уравнением четвертой степени справится не каждый.

Комментарий . В качестве альтернативы можно предложить способ введения новой переменной.

J Правильное решение.

и исходное уравнение принимает вид:

А дальше все просто:

Комментарий . Числа –2 и 6 не подвергались проверке осознанно. В данном случае после возведения в квадрат не могли появиться посторонние корни, так как и квадратный корень, и подкоренное выражение после возведения в квадрат заведомо равны положительным числам.

Ошибки, связанные с использованием модуля

При решении уравнений, в тех случаях, когда необходимо использовать понятия модуля и арифметического корня , допускаются серьезные ошибки, связанные либо с незнанием, либо с непониманием этих понятий.

K Упражнение 1. Решить уравнение (sqrt=9.)

L Неправильное решение.

J Правильное решение.

K Упражнение 2. Решить уравнение (sqrt=x+3.)

L Неправильное решение.

Ответ: корнем данного уравнения является любое действительное число.

J Правильное решение.

Учитывая, что решение уравнений, содержащих модуль, часто вызывает затруднения, приведем полное и развернутое решение одного из таких уравнений.

K Упражнение. Решить уравнение |x – 3| + |x –4| = 1 .

J Правильное решение.

Находим нули модулей, для |х – 3| это 3 , для |x – 4| это 4 , и разбиваем ими область допустимых значений неизвестного на числовые промежутки:

На каждом из этих промежутков исходное уравнение принимает свой вид.

1) при х ∈ (–∞; 3) исходное уравнение принимает вид:

так как 3 ∉ (–∞; 3 ) , то на этом промежутке решений нет;

2) при х ∈ [3; 4) исходное уравнение принимает вид:

что является истинным тождеством; значит, каждое число рассматриваемого промежутка [3; 4) является решением уравнения;

3) при х ∈ [4; +∞) исходное уравнение принимает вид:

так как 4 ∈ [4; +∞) , то 4 – корень уравнения.

Так как [3; 4)∪ = [3; 4] , то корнями исходного уравнения являются все числа числового промежутка [3; 4] .

Подбор корней без обоснования

К ошибочным решениям можно отнести и верный подбор корня заданного уравнения, иногда просто угадывание, без доказательства его единственности .

K Упражнение. Решить уравнение х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 24 .

L Неправильное решение.

Подбором находят корень х = 1 из разложения 24 = 1 · 2 · 3 · 4.

Комментарий . Был подобран корень х = 1 , но не обнаружен еще один корень х = –4 , который соответствует разложению 24 = –4 · (–3) · (–2) · (–1) . Но даже если и второй корень успешно подобран, но не обосновано отсутствие других корней, то считать такое решение уравнения правильным нельзя.

J Правильное решение.

введем новую переменную x 2 + 3х + 1 = t , тогда

1) x 2 + 3х + 1 = –5, x 2 + 3х + 6 = 0, решений нет;

Наиболее распространенным методом доказательства единственности корня нестандартного уравнения является использование свойства монотонности входящих в уравнение функций . Часто при этом используется производная.

K Упражнение. Решить уравнение x 11 + 5х – 6 = 0 .

L Неправильное решение.

Методом подбора находим корень уравнения х = 1 .

Комментарий . Не приведено обоснование единственности подобранного корня уравнения.

J Правильное решение.

Корень х = 1 легко угадывается, а производная левой части равна 11x 10 + 5 и положительна на всей числовой оси. Отсюда следует монотонность функции у = x 11 + 5х – 6 , что и доказывает единственность подобранного корня.

Ошибки в логарифмических и показательных уравнениях

Для решения логарифмических и показательных уравнений используются специальные приемы, основанные на свойствах логарифмов и степеней. Рассмотрим связанные с применением этих приемов ошибки.

При решении уравнений, которые можно свести к равенству степеней с одинаковыми основаниями или с одинаковыми показателями , не всегда делаются правильные выводы.

K Упражнение 1. Решить уравнение (log₇ x) 1 /₃ = 1 .

L Неправильное решение.

Так как при одинаковых основаниях показатели не равны, то равенство степеней невозможно, а, значит, корней нет.

Ответ: корней нет.

J Правильное решение.

Возведем в куб обе части уравнения, тогда

K Упражнение 2. Решить уравнение (х + 5) х 2 + х – 2 = 1 .

L Неправильное решение.

Комментарий . Потерян корень х = –4 . Избежать этого можно было и при данном способе решения уравнения, если учесть, что степень равна 1 не только в случае нулевого показателя, но и в случае основания равного 1 при произвольном показателе. И тогда в дополнение к приведенному решению имеем:

J Правильное решение.

Прологарифмируем обе части уравнения по некоторому основанию, например 10, при условии х > 5 , тогда

Необходимо помнить, что:

из равенства степеней, основания которых равны единице, не следует обязательное равенство показателей этих степеней;

степенно–показательное уравнение предпочтительно решать путем логарифмирования.

При решении логарифмических уравнений часто приходится применять свойства логарифмов с одинаковыми основаниями . При применении этих свойств учащиеся часто допускают ошибки.

L Неправильное решение.

Комментарий . В решении допущены две серьезные ошибки: во-первых, произведение логарифмов двух чисел заменено логарифмом произведения этих чисел; во-вторых, при решении уравнения 3х 2 = 81x потерян корень х = 0 (этот корень, конечно, не является корнем исходного уравнения, что не оправдывает его потерю).

J Правильное решение.

K Упражнение 2. Решить уравнение lg x 2 = 4 .

L Неправильное решение.

J Правильное решение 1.

2lg |x| = 4; lg | x| = 2; |x| = 100; x = ±100.

J Правильное решение 2.

lg x 2 = lg 10000; x 2 = 10000; x = ±100.

Большие затруднения у многих учащихся возникают при выполнении действий над логарифмами с разными основаниями , так как учащиеся либо не умеют пользоваться соответствующими формулами, либо не знают их.

Следует помнить, что переход к логарифму с другим основанием может привести как к приобретению посторонних корней, так и к потере корней .

K Упражнение 1. Решить уравнение (left(log_5 +2 right)<log _>^2 ;x=0.)

L Неправильное решение.

(left(1 +2 log _xright)log _x=0;)

Комментарий . Преобразование логарифма с основание х в логарифм с основанием 5 привело к появлению постороннего корня, так как произошло расширение ОДЗ.

J Правильное решение.

Приведенное выше решение следует дополнить указанием области допустимых значений неизвестного в исходном уравнении. Это объединение числовых промежутков (0; 1)∪(1; +∞) . И указанием того факта, что 1 ∉ (0; 1)∪(1; +∞) , а, значит, не является корнем.

K Упражнение 2. Решить уравнение (20log_sqrt+ 7log_x^3-3log _x^2=0.)

L Неправильное решение.

Комментарий . В приведенном решении потерян корень, и вот почему. Был выполнен переход к логарифму с основанием х . Это вызвало изменения в ОДЗ неизвестного. Одно из таких изменений – это х ≠ 1 . Поэтому число 1 , как возможный корень исходного уравнения, следует рассмотреть отдельно.

J Правильное решение.

Приведенное выше решение нужно дополнить лишь проверкой того, не является ли 1 корнем уравнения. Подставляем 1 в исходное уравнение и убеждаемся, что 1 – корень.

Ошибки в тригонометрических уравнениях

Выделение в отдельный подраздел тригонометрических уравнений связано стем, что при их решении применяются не только алгебраические методы. Рассмотрим наиболее типичные ошибки, которые допускают учащиеся при решении тригонометрических уравнений.

Часто можно встретить неправильную запись решения тригонометрического уравнения или лишь частное решение .

Видео:Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать

Типичные ошибки в решении задания С1(потеря корней, появление «посторонних» корней)
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме

В презентации для подготовки к ЕГЭ по математике представлены решения двух заданий (тригонометрических уравнений), где подробно рассмотрены возможности появления посторонних корней и потери корней при различных преобразованиях. Это типичные ошибки в решении учащихся.Презентацию можно использовать для интерактивной доски.

Видео:Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

Скачать:

Предварительный просмотр:

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

Подписи к слайдам:

Типичные ошибки в решении задания С1 ЕГЭ по математике (потеря корней, появление «посторонних» корней) Учитель математики МБОУ СОШ № 143 г.Красноярска Князькина Т. В.

Первое задание: а) Решите уравнение: б ) Найдите все корни на промежутке [ ] При решении уравнения попытаемся представить тангенс суммы двух углов по формуле Получилось: И – внимание! – потеря корня!

Смотрите внимательно: после этого преобразования мы получили отдельно стоящий tgx . Но tgx не определен при . А в исходном уравнении x вполне мог быть равен . То есть, выполняя это невинное преобразование, мы сузили ОДЗ . Поэтому, выполняя преобразование нужно следить за тем, что происходит с областью допустимых значений.

Итак, мы идем другим путем. Запишем tgx и ctgx через sin и cos : Используем формулы синуса и косинуса суммы:

Разделим числитель и знаменатель дроби в левой части уравнения на : Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю : Перенесем все влево:

Вынесем за скобку общий множитель : Приведем выражение в скобках к общему знаменателю : Знаменатель дроби не равен нулю, то есть и

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю : или 1. — вот он, потерянный корень ! 2. Раскроем скобки, приведем подобные члены :

Итак, мы получили два решения:

б) Найдем корни, принадлежащие промежутку [ ]: ]:

На рисунке красными точками обозначены решения уравнения; синей дугой обозначен промежуток, которому принадлежат корни ; угловая величина сиреневой дуги равна дуги равна Двигаясь из точки , мы встречаем на пути , Это и есть корни уравнения, принадлежащие промежутку [ ]. не принадлежит заданному промежутку.

Мы видим, что корень не принадлежит заданному промежутку . Ответ: а) б) , ,

И второе задание : а) Решите уравнение: б) Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [ ] Засада в этом уравнении такая: когда мы ищем ОДЗ, то записываем и Будет ошибкой записать ОДЗ : Нельзя забывать, что не определен при , то есть в конечном итоге мы получаем такую ОДЗ:

Собственно, больше никаких сложностей в этом уравнении нет . Умножим обе части на :

Отсюда: или И вот в этом месте важно не пропустить, что корень уравнения – посторонний корень, так как не входит в ОДЗ исходного уравнения ! Но у нас еще есть корни уравнения или

Осталось выбрать корни, принадлежащие промежутку [ ] На рисунке красными точками на зеленой окружности обозначены решения уравнения; красной дугой обозначен промежуток, которому принадлежат корни; угловая величина сиреневой дуги равна

Двигаясь из точки мы встречаем на пути – это и есть корень уравнения, принадлежащий промежутку . Ответ: а) или б)

Видео:РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Типичные ошибки при выполнении заданий части С теста ЕГЭ по химии

Каждый сдающий ЕГЭ по химии должен быть готов к тому, что на выполнение экзаменационной рабо­ты, состоящей из трех частей и включающей в себя 45 заданий, отводится 3 астрономических часа, или 180 мину.

ЕГЭ по ОБЩЕСТВОЗНАНИЮ: Типичный ошибки при выполнении задания 27

Рекомендиции по выполнению задания 27.

Методические приемы решения заданий части С: типичные ошибки учащихся.

В заданиях Части 2 сделан акцент:на проверку владения алгебраическим аппаратом;на проверку освоения базовых идей математического анализа;на проверку умения логически грамотно излагать свои аргументы;н.

Самостоятельная работа на тему «Комплекс уравнений, при решении которых выполняется тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере, с анализом процесса решения»

Вашему вниманию предлагаю самостоятельную работу на тему «Комплекс уравнений, при ре​шении которых выполняется тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их.

Самостоятельная работа «Комплекс уравнений, при решении которых выполняется тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере, с анализом процесса решения»

Работа в помощь слушателям курсов преподавания алгебры.

Типичные ошибки учащихся при решении пробных заданий ОГЭ (модуль «Алгебра») и методы их предотвращения

При выполнении пробных заданий ОГЭ учащимися допускается ряд типичных ошибок, в связи с чем, была предпринята попытка их систематизировать и предложить методы их предотвращения.

Конспект урока по теме «О типичных ошибках при решении логарифмических уравнений и неравенств»

Даннная разработка может быть интересна для учителей, которые хотят обратить внимание учащихся на типичные ошибки при решении логарифмических уравненияхи неравенств.

💡 Видео

Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Метод понижения порядка. 10 класс.Скачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 12. Тригонометрические уравнения. 10 классСкачать

Типичные ошибки оформления задач второй части. Профильный ЕГЭ. МатематикаСкачать

Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Метод вспомогательного угла. 10 класс.Скачать

Все методы решения тригонометрических уравнений за 30 минутСкачать

Как решать тригонометрические уравнения? 3 способа решения для ЕНТ по математике 2023Скачать

Отбор корней при решении тригонометрических уравненийСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 7 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Решение тригонометрических уравнений и их систем. 10 класс.Скачать

Тригонометрические уравнения | Борис ТрушинСкачать