Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

Видео:Вычисление площадей и объемов с помощью определённого интегралаСкачать

Вычисление площадей и объемов с помощью определённого интеграла

Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Видео:СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnline

Задача 57553 Помогите пжл с решением двух задач по.

Условие

Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

Помогите пжл с решением двух задач по математике под цифрой 2

Задача 1. Вычислить объём тела, заданного представленными уравнениями, используя его поперечные сечения

Задача 2. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, заданной представленными линиями Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

Решение

Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

Возводим в квадрат:

[m](z+4)^2+y^2=32[/m] — это уравнение эллипса в пл уOz, а значит цилиндрической поверхности в пространстве

Это бесконечная поверхность, вдоль оси Ох. См. рис.
По условию ограничена пл. х=5 Получается с одной стороны.

А значит тело неограниченное.

Поэтому я думаю, что в условии [b]опечатка.[/b]

[b]Наверное[/b] ( что не почетно, гадать, что должно быть )
так:

Возводим в квадрат и получаем:

[m](x-4)^2=y^2+2z^2[/m] — это коническая поверхность.

Эллиптический конус в с вершиной в точке (4;0;0) cм скрин 3.

Но уравнение в условии задачи [m]x=4+ sqrt[/m] означает, что дана только та часть, которая выше точки (4;0;0) по направлению оси Ох.

И тогда все замечательно, потому как есть ограниченный слой на участке от 4 до 5

Рассекаем этой слой плоскостью x=h

4 Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерыВычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

Видео:11 класс, 33 урок, Вычисление объемов тел с помощью определённого интегралаСкачать

11 класс, 33 урок, Вычисление объемов тел с помощью определённого интеграла

Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям

Задача

Зная закон изменения площади поперечного сечения тела, найти объем этого тела

Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры
X
b
a

Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

Пусть ОХ некоторое выбранное направление и S(x) – площадь поперечного сечения плоскостью перпендикулярной оси ОХ в точке с абсциссой х. Функцию S(x) будем предполагать известной и непрерывно меняющейся при изменении х. Проектируя тело на ось ОХ, получим некоторый отрезок [a,b], дающий линейные размеры тела в направлении оси ОХ.

Разобьем данное тело на элементарные слои плоскостями, перпендикулярными оси ОХ. Точки пересечения этих плоскостей с осью ОХ соответственно Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры. Каждый элементарный слой, ограниченный плоскостями, пересекающимися в точках Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерызаменяем цилиндром с высотой Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерыи площадью основания Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры. Объем данного цилиндра выражается формулой Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры. Составим сумму всех таких произведений Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры. Эта сумма является интегральной для данной функции S=S(x) на отрезке [a,b]. Она выражает объем ступенчатого тела, состоящего их элементарных цилиндров и приближенно заменяющего данное тело.

Объемом тела называют предел объема указанного ступенчатого тела, приближенно заменяющего данное тело, при Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры— длина наибольшего из элементарных отрезков Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры.

По определению Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерыс другой стороны Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры. Из двух последних равенств получаем формулу вычисления объема тела по заданным поперечным сечениям.

Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры(1)

Пример

Найти объем пирамиды с основанием В и высотой Н

Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

Решение

Ось ОХ перпендикулярна поверхности В и направлена из точки О. S – площадь сечения пирамиды плоскостью, находящейся на расстоянии х от вершины. Так как площади поперечных сечений пирамиды относятся как квадраты расстояний их от вершины, то имеем

Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры(известная формула)

Объем тела вращения

Задача

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции aABb, ограниченной данной непрерывной линией Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры, отрезком Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерыоси ОХ и двумя вертикалями x=a, x=b

y

Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

Эта задача – частный случай задачи, рассмотренной выше. Здесь площадь переменного поперечного сечения S=S(x), соответствующего абсциссе х, есть круг радиуса у, поэтому Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерыи формула (1) примет вид Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры(2)

Задача

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОУ криволинейной трапеции cCDd, ограниченной данной непрерывной линией Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры, отрезком Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерыоси ОУ и двумя горизонталями y=c, y=d

Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

По аналогии с формулой (2) Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры(3)

Примеры

  1. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной линиями Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

Пределы интегрирования a=1,b=6, функция Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

  1. Вычислить объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной линией Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры, осями координат и прямой х=1

Пределы интегрирования a=0,b=1, функция Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

  1. Определить объем тела, ограниченного поверхностью, полученной от вращения эллипса Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерывокруг оси ОХОУ)

Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

Так ка эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти объем, образованный вращением вокруг оси ОХ площади ОАВ, равной ¼ площади эллипса, и полученный результат удвоить.

Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры. Окончательно Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерыи соответственно Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

Несобственные интегралы

При определении интеграла Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры(1) предполагалось, что:

1) Отрезок интегрирования [a,b] – конечен;

2) f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b].

Такой определенный интеграл называется собственным (название опускается).

Если нарушается по крайней мере одно из двух условий 1) или 2), то (1) называется несобственным определенным интегралом.

Рассмотрим смысл этого понятия для двух простейших случаев

I. Пусть f(x) непрерывна при Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры. Тогда по определению полагают

Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры(2)

Если предел (2) существует, то несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования, стоящий в левой части равенства (2), называется сходящимся и его значение определяется формулой (2); в противном случае равенство (2) теряет смысл, несобственный интеграл, стоящий слева, называется расходящимся и ему не приписывается никакого числового значения.

Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

Геометрически для неотрицательной на Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерыфункции f(x) несобственный интеграл (2) представляет собой площадь криволинейной фигуры, ограниченной данной линией y=f(x), осью ОХ и вертикалью х=а.

Пусть F(x) первообразная для f(x). На основании формулы (2) имеем

Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры. Если ввести условное обозначение

Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры, то получим для сходящегося несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом обобщенную формулы Ньютона-Лейбница

Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры(3), где F’(x)=f(x).

1) Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

2) Установить, при каких значениях Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерыинтеграл Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерысходится и при каких расходится

Решение Так как при Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры, то

Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры. Следовательно , можно сделать следующие выводы:

Если Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры, то Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры— интеграл сходится;

Если Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры, то Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры— интеграл расходится;

Если Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры, то Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры— интеграл расходится;

3.Вычислить Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры(второй интеграл равен Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры(см. Пример 1)).

Вычислим Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерыследовательно Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

Во многих случаях бывает достаточно установить, сходится данный интеграл или расходится, оценить его значение. Для этого могут быть полезны следующие теоремы.

Теорема 1

Если для любого х Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерывыполняется неравенство Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерыи если Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерысходится, то Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерытакже сходится , при этом Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерыВычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

  1. Исследовать, сходится ли интеграл Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

При Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерысходится и его значение меньше или равно 1.

Теорема 2

Если для любого х Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерывыполняется неравенство Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерыи если Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерырасходится, то Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерытакже расходится.

  1. Исследовать, сходится ли интеграл Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

При Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерыследовательно расходится и данный интеграл.

Для функции меняющий знак в бесконечном интервале, имеет место следующая теорема

Теорема 3

Если интеграл Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерысходится, то сходится и интеграл Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры. В этом случае последний интеграл называется абсолютно сходящимся.

  1. Исследовать, сходится ли интеграл Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примеры

При Вычислить объем тела заданного представленными уравнениями используя его поперечные сечения примерыследовательно сходится и данный интеграл.

🎦 Видео

Урок 28 (осн). Вычисление массы и объема тела по плотностиСкачать

Урок 28 (осн). Вычисление массы и объема тела по плотности

Объем через тройной интеграл в сферической системе координатСкачать

Объем через тройной интеграл в сферической системе координат

Вычисление объемов тел вращения (применение определенного интеграла)Скачать

Вычисление объемов тел вращения (применение определенного интеграла)

Объем тела вращения на примере тора. 2 способаСкачать

Объем тела вращения на примере тора. 2 способа

Объем тела вращенияСкачать

Объем тела вращения

Объем через тройной интегралСкачать

Объем через тройной интеграл

Метод сеченийСкачать

Метод сечений

Объем через двойной интегралСкачать

Объем через двойной интеграл

Интегралы №13 Объем тела вращенияСкачать

Интегралы №13 Объем тела вращения

Видеоурок "Объем тела вращения"Скачать

Видеоурок "Объем тела вращения"

Как строить сеченияСкачать

Как строить сечения

Объем параболоида: тройной интеграл в цилиндрической системе координатСкачать

Объем параболоида: тройной интеграл в цилиндрической системе координат

Математический анализ, 44 урок, Тройной интегралСкачать

Математический анализ, 44 урок, Тройной интеграл

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Применение определенного интеграла при решении геометр. и физических задач. Практ. часть. 11 класс.Скачать

Применение определенного интеграла при решении геометр. и физических задач. Практ. часть. 11 класс.

Расчёт массы и объёма тела по его плотности | Физика 7 класс #16 | ИнфоурокСкачать

Расчёт массы и объёма тела по его плотности  | Физика 7 класс #16 | Инфоурок
Поделиться или сохранить к себе: