Теорема фурье теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения (4 видео)

БЮДАНА-ФУРЬЕ ТЕОРЕМА

Расстановка ударений: БЮДА`НА-ФУРЬЕ` ТЕОРЕ`МА

БЮДАНА-ФУРЬЕ ТЕОРЕМА: число корней алгебраич. уравнения

заключенных в интервале (а, b), а (n) (a),

а t₂ — число перемен знака в этом ряду в точке b. При этом каждый кратный корень считается за столько корней, какова его кратность. Установлена Ф. Бюданом (F. Budan, 1822) и Ж. Фурье (J. Fourier, 1820).

Лит. : [1] Энциклопедия элементарной математики, кн. 2 — Алгебра, М. — Л., 1951, с. 331.

Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А — Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] — М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.

Содержание

Теорема фурье теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения
Ряды Фурье
Курсовая.doc
🎬 Видео

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Теорема фурье теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения

ФУРЬЕ Жан Батист Жозеф(21.3.1768-16.5. 1830)

Фурье родился 21 марта 1768г. в семье бедного портного в г. Осере. На девятом году жизни он потерял обоих родителей. Сироту устроили в Военную школу, руководимую монахами Бенедиктинского ордена. Особый интерес и необыкновенные способности мальчик проявлял в области математики, и его мечтой было стать военным инженером. Лежандр, бывший инспектором школ, пытался помочь в этом одаренному юноше, но министр отказался зачислить его в военно-артиллерийское училище: у Фурье не было ни дворянской грамоты, ни денежных средств. Оставалась карьера служителя церкви, быть может, в должности преподавателя. Революция открыла перед Фурье другой путь. В 1789г. он приехал в Париж и представил Академии наук работу о численном решении уравнений любой степени, которая однако, потерялась в вихре тогдашних событий. Фурье вернулся в Осер и начал преподавать в той школе, где ранее учился. В это время он становиться завидным политическим деятелем. Фурье занял весьма умеренную позицию по отношению к якобинцам и за это был арестован. Падение Робеспьера в июле 1794г. освободило его от тюрьмы. Он поступает в Нормальную школу, организованную в то время Конвентом с целью подготовки учителей. Нормальная школа просуществовала недолго, но Фурье уже успел обратить на себя внимание Монжа, Лагранжа, Лапласа. Когда в 1795г. для подготовки инженеров, прежде всего военных, была основана Политехническая школа, Фурье пригласил работать в ней в качестве помощника Лагранжа, и Монжа. Он вел занятия по всему циклу математических наук как лектор и руководил впервые поставленных именно здесь семинарских занятий. Ненадолго Фурье был вторично арестован, теперь за то, что в прошлом поддерживал якобинцев. Несколько времени спустя, в 1798г., Монж, близкий к Наполеону, привлек Фурье к участию в Египетской экспедиции. Наполеон собирался обосноваться в Египте надолго. В Каире был учрежден, по образцу французского, Египетский институт, главной задачей которого стало всестороннее изучение страны. Монж возглавил институт, а Фурье стал его секретарем. Фурье активно участвовал в различных научных исследованиях, в том числе далеких от математических.

Так, позднее, в 1809г., он написал обширное историческое введение к вышедшему на французском языке «Описанию Египта». Кроме этого он показал себя хорошим администратором, заодно он искусно выполнял и дипломатические поручения. Это отразилось на его дальнейшей судьбе. Как известно авантюра Наполеона кончилась провалом. Сам он тайком покинул Египет в 1799г. Французская армия была вынуждена эвакуироваться летом 1801г., а вместе с нею возвратился и Фурье. Он хотел вернуться на работу в Политехническую школу, но в январе 1802г. Наполеон назначил его префектом департамента Изеры с центром в Гренобле. На этом посту Фурье оставался целых 12 лет. В свободное время он продолжал научные исследования по алгебре, активно работал в новой области- теории теплоты. Главные результаты в теории теплопроводности Фурье получил в 1807г., но с публикацией их ему пришло долго ждать.

Тем временем экспансионистская политика Наполеона вела Францию через серию временных успехов к полному разгрому. За это время Фурье получил префектуру в Лионе. Но уже 1 мая, за полтора месяца да поражения Наполеона под Ватерлоо и конца «ста дней», он был отстранен от должности за недостаточную активность. В Париже, куда переехал Фурье, он жил сначала на весьма скромную пенсию префекта. Затем он получил место директора Статистического бюро департамента Сены. В занятиях статистикой ему помог опыт, приобретенный в Египте, и это дело он поднял на большую высоту. В мае 1816г. Парижская академия наук избрала Фурье своим членом. Людовиг XVIII отменил избрание, но через некоторое время сменил гнев на милость. Фурье простили политическое прошлое и даже сохранили пожалованный Наполеоном баронский титул. 12 мая 1817г. Фурье вновь избирают членом Академии наук, но на этот раз избрание утверждается. Более того, вскоре он становится одним и самых влиятельных академиков, а в ноябре 1822г. избирается пожизненно непременным ее секретарем. В этом же году выходит его классическая «Аналитическая теория тепла». Несмотря на то, что должность секретаря отнимала у Фурье много времени, он продолжил научную работу по ряду вопросов математики и физики. Он подготовил к печати большой труд по алгебре «Анализ определенных уравнений. Часть первая», изданный после смерти автора. Многие свои планы Фурье не успел завершить. В архиве Парижской академии наук имеется большое число незаконченных рукописей: по теории неравенств, теории вероятностей, теории параллельных. Эта незавершенность ряда его начинаний объясняется не только нагрузкой секретаря, но и ухудшением его здоровья. Врачей он слушать не хотел, постоянно жил в душной и жаркой квартире, и к тому же боясь ревматизма, всегда чрезвычайно тепло одевался. На учащавшиеся приступы удушья он не обращал внимания. 16 мая 1830г. ему стало дурно, и в тот же день он скончался.

ДОСТИЖЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ

Первые научные исследования Фурье касались алгебры. В 1796г. доказал теорему о числе действительных корней алгебр, уравнения, лежащих между данными пределами (теорема Фурье). В 1818г. исследовал вопрос об условиях применимости разработанного И. Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768г. французским математиком Ж. Мурайлем. Результаты Фурье были опубликованы только в 1831г. в работе «Анализ определенных уравнений». Основным объектом исследования Фурье была математическая физика. В 1807-1811гг. он систематически подавал в Парижской Академии Наук свои открытия по теории теплопроводности в твердом теле. Результаты его исследований были опубликованы в 1822г. в монографии «Аналитическая теория тепла»; главным в них были выводы уравнения теплопроводности и разработка методов его интегрирования при различных граничных условиях, например метода (метод Фурье) разделения переменных, в основе которого лежит представление функций тригонометрическими рядами (рядами Фурье). Такие ряды применялись и раньше, но только у Фурье они стали настоящим орудием математической физики. Фурье нашел формулу представления функции с помощью интеграла, играющую важную роль в современной математике. «Аналитическая теория тепла» Фурье и примененные в ней методы стали основой для создания теории тригонометрических рядов и разработки некоторых других общих проблем математического анализа. Фурье доказал, что всякую произвольно начерченную линию, составленную из отрезков дуг разных кривых, можно представить единым аналитическим выражением. Хотя Фурье и не доказал, что любую функцию можно разложить в тригонометрический ряд, но его попытки осуществить такое разложение были толчком к ряду исследованию по этой проблеме.

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Ряды Фурье

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 01 Октября 2011 в 13:40, курсовая работа

Описание

Ряды Фурье теперь стали хорошо разработанным средством в теории уравнений в частных производных при решении граничных задач.

Работа состоит из 1 файл

Видео:13.2 Разложение функции в ряд Фурье. Пример 1.Скачать

Курсовая.doc

Жан Батист Жозеф Фурье — французский математик, член Парижской Академии Наук (1817).

Первые труды Фурье относятся к алгебре. Уже в лекциях 1796 он изложил теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между данными границами (опубл. 1820), названную его именем; полное решение о числе действительных корней алгебраического уравнения было получено в 1829 Ж.Ш.Ф. Штурмом. В 1818 Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768 французским математиком Ж.Р. Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным методам решения уравнений является «Анализ определённых уравнений», изданный посмертно в 1831.

Основной областью занятий Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811 он представил Парижской Академии Наук свои первые открытия по теории распространении тепла в твёрдом теле, а в 1822 опубликовал известную работу «Аналитическая теория теплоты», сыгравшую большую роль в последующей истории математики. Это – математическая теория теплопроводности. В силу общности метода эта книга стала источником всех современных методов математической физики. В этой работе Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Д. Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных (метод Фурье), который он применял к ряду частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами Фурье.

§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

Функция f(х) называется периодической, если существует постоянное число Т>0, для которого

каково бы ни было х из области задания этой функции 1 ). Число Тс таким свойством называется периодом функции f(x). Наиболее известными периодическими функциями являются

sin x, cos х, tg x. С периодическими функциями приходится иметь дело во многих приложениях математики к задачам физики и техники.

Сумма, разность, произведение и частное функций периода Т, очевидно, всегда дают функции того же периода.

Если мы построим график периодической функции у=f(х) для какого-нибудь отрезка [а, а+Т] значений х, то полный график этой функции получим периодическим повторением построенного (черт. 1).

Если Т есть период функции f(x) то числа 2T, 3T, 4T. будут также периодами, что сразу вытекает из рассмотрения графика периодической функции или из цепи равенств

являющихся следствием многократного пользования условием (1.1). Таким образом, если T—период, то и всякое

число вида κ Т, где κ — целое положительное число, есть также период, т. е. период, если он существует, всегда не единственен. Отметим следующее свойство любой функции f(x) периода Т.

Если f(x) интегрируема на некотором отрезке длины Т, то она интегрируема на всяком другом отрезке такой длины, и величина интеграла при в том неизменна, т. е.

при любых а и b .

Это свойство легко вытекает из интерпретации интеграла как площади. Действительно, интеграл слагается из площадей, заключенных между кривой у=f(x) крайними ординатами и осью Ох, причем площади, лежащие над осью Ох, берутся со знаком “+”, а лежащие под осью Ох, со знаком “-”. В нашем случае в силу периодичности f(x) эти площади оказываются одинаковыми для обоих интегралов (1.2) (черт. 2).

В дальнейшем, когда мы будем говорить, что функция периода Т интегрируема, то будем под этим подразумевать ее интегрируемость на отрезке длины Т, а значит, и на любом отрезке конечной длины, как это легко следует из только что установленного свойства.[1]

Определение коэффициентов по методу Эйлера — Фурье.

Для того чтобы установить возможность тригонометрического разложения (5) для заданной функции f(х) имеющей период 2π, нужно исходить из определенного набора коэффициентов Мы укажем прием для определения их, который во второй половине XVIII века был применен Эйлером и независимо от него в начале XIX века — Фурье.

Будем впредь предполагать функцию f(x) непрерывной или кусочно-непрерывной в промежутке [— π, π] 2 ).

Допустим, что разложение (5) имеет место, и проинтегрируем его почленно от —π до π; мы получим

Но, как легко видеть.

Поэтому все члены под знаком суммы будут нулями, и окончательно найдем

Для того чтобы установить величину коэффициента а_т умножим обе части равенства (5), которое мы все время предполагаем выполненным, на cos тх и снова проинтегрируем почленно в том же промежутке:

Первый член справа исчезает ввиду (6). Далее имеем

Если n m, и, наконец:

Таким образом, обращаются в нуль все интегралы под знаком суммы, кроме интеграла, при котором множителем стоит именно коэффициент а_т. Отсюда этот коэффициент и определяется:

Аналогично, умножая предварительно разложение (5) на sinmx я затем_, интегрируя почленно, определим коэффициент при синусе:

При этом, кроме (6) и (8), мы опираемся еще на легко проверяемые соотношения:

Формулы (7), (11) и (12) известны под именем формул Эйлера — Фурье, вычисленные по этим формулам коэффициенты называются коэффициентами Фурье данной функции, а составленный с их помощью тригонометрический ряд (5) — ее рядом Фурье. Рядами Фурье мы исключительно, а будем заниматься в настоящей главе.

Дадим теперь себе отчет в том, какова логическая ценность проведенных рассуждений. Так как мы исходили из предположения, что тригонометрическое разложение (5) имеет место, то вопрос о том, отвечает ли это действительности, естественно, остается открытым. Но убедительны ли те соображения, с помощью которых по примеру Эйлера и Фурье мы определили коэффициенты разложения (5), даже в предположении, что оно осуществляется? Мы пользовались повторно почленным интегрированием ряда, а эта операция не всегда дозволительна. Достаточным условием для ее применимости является равномерная сходимость ряда. Поэтому строго установленным можно считать лишь следующее:

если функция f(x) разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд (5) 3 ), то последний необходимо будет ее рядом Фурье.

Если же не предполагать наперед равномерности сходимости, то наши соображения не доказывают даже и того, что функция может разлагаться только в ряд Фурье. Каков же смысл приведенных соображений? Их можно рассматривать лишь как наведение, достаточное для того, чтобы в поисках тригонометрического разложения данной функции начать ее с ряда Фурье, обязуясь (уже со всею строгостью!) установить условия, при которых он сходится я притом — именно к данной функции.

Пока же это не сделано, мы имеем право лишь формально рассматривать ряд Фурье данной функция f(x), но не можем о нем ничего утверждать, кроме того, что он «порожден» функцией f(x).

Эту его связь с функцией f обычно обозначают так:

избегая знака равенства.

1.3 Ортогональные системы функций.

Изложенное в предыдущем пункте является образцом рассуждений, которыми часто приходится пользоваться в математическом анализе при изучении многих разложений.

Назовем две функции φ(х) и ψ(x), определенные в промежутке [а, b], ортогональными в этом промежутке, если их произведение имеет интеграл, равный нулю:

Рассмотрим систему функций , определенных в промежутке [а, b] и непрерывных в нем или, по крайней мере, кусочно-непрерывных. Если функции данной системы попарно ортогональны.

то ее называют ортогональной системой функций. При этом мы всегда будем предполагать, что

При соблюдении условий λ n =1 (л = 0, 1, 2, . ) система называется нормальной. Если же условия не выполнены, то при желании можно перейти к системе

,которая уже заведомо будет нормальной.

Важнейшим примером ортогональной системы функций как раз и является тригонометрическая система

в промежутке [ -π , π ], которую мы рассматривали выше, ее ортогональность следует из соотношений (6), (8), (9) и (13). Однако нормальной она не будет ввиду (10) к (14). Умножая тригонометрические функции (17) на надлежащие множители, легко получить нормальную систему: