Сведение задачи штурма лиувилля к интегральному уравнению

Будем рассматривать однородное линейное уравнение второго порядка

Ly ≡ a₂(x)y» + a₁(x)y’ + a₀(x)y = 0. Его можно записать по-другому:

(15)

Однородное уравнение Ly = 0 и неоднородное Ly = f, как известно, имеют бесконечное множество решений. На практике часто бывает нужно из множества решений выделить только одно. Для этого задают некоторые дополнительные условия. Если это начальные условия у(х₀) = у_o, y'(x_o) = y₁, то получают задачу Коши. Если задают дополнительные условия на концах некоторого отрезка, то получают задачу, которая называется краевой задачей. Условия, которые задаются на концах отрезка, называются краевыми условиями. Краевые условия иногда именуют также граничными условиями и тогда говорят о граничной задаче.
Мы будем задавать линейные краевые условия вида

(16)

где α₁, α₂, β₁, β₂, A, B — заданные числа, причем по крайней мере одно из чисел α₁, α₂, и одно из чисел β₁, β₂, отличны от нуля. Если в (16) хотя бы одно из чисел А и В не равно нулю, то краевые условия называют неоднородными. Если А = В = 0, то условия (16) называются однородными. Краевая задача называется однородной, если рассматривается однородное уравнение (15) Ly = 0 и однородные краевые условия (16). Решением краевой задачи называется такое решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет заданным краевым условиям. Заметим сразу, что однородная краевая задача всегда имеет решение у ≡ 0 (тривиальное решение).

Наряду с уравнением (15) рассмотрим уравнение

(17)

содержащее некоторый числовой параметр λ. Здесь функции р(х), q(x), r(x) действительные, а число λ может быть, вообще говоря, и комплексным. Краевая задача (17), (16) при А = В = 0 является однородной. Поэтому при любых λ она имеет тривиальное решение. Нас будут интересовать такие значения λ, при которых эта задача обладает не только тривиальными решениями.

Задача Штурма-Лиувилля. Найти те значения параметра λ, при которых уравнение (17) имеет нетривиальное решение, удовлетворяюшее однородным краевым условиям (16). В дальнейшем будем ее записывать в виде

<L_λy = 0, l₁y = 0, l₂y = 0>.
Те значения параметра λ, при которых задача Штурма-Лиувилля имеет ненулевое решение, называются собственными значениями (собственными числами) задачи, а сами эти решения — собственными функциями. Задачу Штурма-Лиувилля называют также задачей на собственные значения. В силу однородности уравнения и краевых условий собственные функции задачи Штурма-Лиувилля определены с точностью до постоянного множителя. Это означает, что если y(х) -собственная функция при некотором значении λ, то произведение Cy(x), где С — произвольная постоянная, также является собственной функцией при том же значении параметра λ. В связи с этим часто в качестве собственной функции рассматривают нормированную функцию у <х), у которой ||у(х)|| = 1. Такая собственная функция определена, по существу, однозначно (с точностью до знака ±). Далее мы подробно изучим наиболее простой случай задачи Штурма-Лиувилля, когда уравнение имеет вид

Из множества краевых условий вида (16) ограничимся тремя частными случаями:

1) краевые условия первого рода

2) краевые условия второго рода

3) краевые условия третьего рода

(21)

Общая задача Штурма-Лиувилля будет обладать свойствами, очень похожими на свойства в этих простых случаях, если на коэффициенты уравнения (17) наложить дополнительные условия: р(х), q(x), f(x) -непрерывные функции, причем р(х) имеет, кроме того, непрерывную производную на [а, b], р(х) > 0, q(x) ≥ 0.

Основные свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

Лемма. Определитель Вронского двух собственных функций задачи Штурма-Лиувилля на концах отрезка [а, b] равен нулю.

Видео:Разбор решения задачи Штурма-ЛиувилляСкачать

Доказательство. Напомним, что определителем Вронского функций у = y₁(x) и у = у₂(x) называется определитель вида

Рассмотрим однородные краевые условия общего вида (16). Пусть у₁(x) и у₂(x) — две любые собственные функции. Это означает, что в точке x = а выполняются равенства

Числа α₁, и α₂ не могут одновременно равняться нулю. Значит, алгебраическая система двух однородных уравнений с двумя неизвестными имеет ненулевое решение. Это возможно только в том случае, когда определитель этой системы равен нулю:

Этот определитель совпадает с определителем Вронского в точке x = а, то есть W(a) = 0.

Аналогичные рассуждения, проведенные для точки x = b, показывают, что W(b) = 0.

Свойство 1. Две собственные функции задачи Штурма-Лиувилля, соответствующие одному и тому же собственному значению λ, линейно зависимые.

Доказательство. Так как собственные функции являются решениями одного и того же однородного уравнения (17) (по условию число λ одно), то в случае их линейной независимости определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке отрезка [а, b]. Это противоречит только что доказанной лемме. Следовательно, y₁(x) и у₂(x) — линейно зависимые функции.

Свойство 2. Две собственные функции у₁(x) и у₂(x), соответствующие различным собственным значениям λ₁ и λ₂ (λ₁ ≠ λ₂), на отрезке [а, b] ортогональны.

Доказательство этого свойства проведем для собственных функций такой задачи, в которой уравнение имеет вид (18). Составим определитель Вронского функций у₁ и у₂ и продифференцируем его:

Так как у₁ и у₂ — решения уравнения (18) при λ = λ₁ и λ = λ₂, соответственно, то получим

Видео:Волков В.Т. - Интегральные уравнения и вариационное исчисление - 4. Задача Штурма-ЛиувилляСкачать

Проинтегрируем по отрезку [а, b] левую и правую части полученного равенства. С учетом леммы будем иметь

По условию λ₁ — λ₂ ≠0, следовательно
Функции y₁(x) 0 и у₂(х) 0, поэтому
Значит, y₁(x) и у₂(х) на отрезке [а, b] ортогональны.

Если уравнение, входящее в задачу Штурма-Лиувилля, имеет вид (17), где r(х) > 0 и r(x) 1, то под ортогональностью функций в этом случае подразумевают ортогональность с весом r(х): две функции y₁(x) и у₂(х) ортогональны на отрезке [а, b] с весом r(x), если

Под нормой функции ||у(x)|| в этом случае также подразумевают весовую норму:

Свойство 3. Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, образуют линейно независимую систему функций.

Это утверждение вытекает из попарной ортогональности собственных функций, соответствующих различным собственным значениям (см. свойство 2).

Свойство 4. Собственные значения задачи Штурма-Лиувилля действительные.

Доказательство. Предположим, что задача Штурма-Лиувилля <L_λy = 0, l₁y = 0, l₂y = 0> имеет комплексное собственное значение λ = α + βi,β ≠ 0. Пусть ему соответствует собственная функция у(х) (вообще говоря, тоже комплекснозначная). Так как все коэффициенты уравнения и краевых условий имеют действительные значения, то

Здесь черта означает переход к комплексно сопряженному выражению. В нашем случае

Значит число также является собственным значением той же задачи Штурма-Лиувилля и ему соответствует собственная функция . Так как в силу свойства 2 функции y(x) и ортогональны на [а, b], то

Отсюда следует, что у(x) ≡ 0 на [а, b]. Значит ни одно комплексное число λ не может быть собственным значением.

Свойство 5. Пусть коэффициенты уравнения (17) удовлетворяют условиям: р(х), q(x), r(x) — непрерывные функции и, кроме того, р(х) имеет непрерывную производную на [а, b], р(х) > 0, q(x) > 0, r(х) > 0. Тогда задача Штурма-Лиувилля <L_λ y = 0, l₁ y = 0, l₂ y = 0> имеет бесконечное число собственных значений λ ₁, λ₂, . λ_n, . Если краевые условия имеют вид (19) или (20), или (21), то собственные значения соответствующей задачи Штурма-Лиувилля удовлетворяют неравенствам

Видео:Ягола А. Г. - Интегральные уравнения - Задача Штурма-Лиувилля. Теорема СтекловаСкачать

Теорема Стеклова.Всякая непрерывная функция f(x), удовлетворяющая однородным краевым условиям : l₁f = 0 и l₂f = 0 , и имеющая непрерывные производные до второго порядка на отрезке [а, b], разлагается на этом отрезке в сходящийся ряд Фурье по собственным функциям y_n(х) задачи Штурма-Лиувилля <L_λ y = 0, l₁ y = 0, l₂ y = 0> :

где коэффициенты Фурье С_n вычисляются по формулам:

Эта теорема применяется при решении уравнений математической физики методом Фурье.

Решение задач Штурма-Лиувилля

Вначале рассмотрим уравнение (18) y» + λy = 0. и краевые условия первого рода (19) y(a) = y(b) = 0. Для удобства будем считать, что a = 0 и b = l > 0. К такой задаче можно всегда свести данную задачу, если сделать замену переменной x’ = x — a, при этом вид уравнения не изменится.

Вид общего решения уравнения (18) зависит от значений параметра λ. Разберем три случая: 1) λ 0. В первом случае обозначим λ = — k 2 . Тогда характеристическое уравнение r 2 — k 2 = 0 будет иметь действительные различные корни r₁ = k, r₂ = — k: Поэтому, общее решение дифференциального уравнения запишется в виде y = C₁e kx + C₂e -kx . Подставим краевые условия в общее решение и получим

Определитель этой системы равен

Следовательно, система имеет только нулевое (тривиальное) решение C₁ = C₂ = 0. Значит, при λ 2 и получим характеристическое уравнение r 2 + k 2 = 0. Оно имеет комплексные корни r₁ = ki и r₂ = -ki и общее решение дифференциального уравнения в этом случае запишется в виде y = C₁cos kx + C₂sin kx. Подставим краевые условия в общее решение:

(22)

Для того, чтобы эта система имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы sin kl = 0. Следовательно kl = πn, то есть Так как то можно ограничиться только положительными значениями n = 1, 2, . . Таким образом, собственные значения данной задачи имеют вид При этих значениях алгебраическая система (22) имеет решения:C₁ = 0, C₂ — любое действительное число. Подставим эти значения в общее решение дифференциального уравнения и получим собственные функции задачи

Обычно постоянный множитель выбирают либо равным единице, либо из условия нормировки:

По тому же алгоритму решаются задачи Штурма-Лиувилля следующего вида:

(23)

и

(24)

Эти задачи так же, как и предыдущая, при λ 0 не имеют собственных значений. В случае λ > 0 общее решение уравнения записывается в виде y = C₁cos kx +C₂sin kx, где После подстановки у в краевые условия, получим:

а) для задачи (23)

Для того, чтобы эти системы уравнений имели нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы coskl = 0. Следовательно, то есть Отрицательные значения n можно не рассматривать, так как Таким образом, собственные значения у этих задач одинаковые

Собственные функции задачи (23) имеют вид А у задачи (24) они другие:

Некоторые отличия возникают при решении задачи Штурма-Лиувилля в случае краевых условий второго рода

Рассуждениями, аналогичными тем, которые проводились для краевых условий первого рода, можно показать, что задача (25) при λ 0. В этом случае, общее решение уравнения имеет вид y = C₁cos kx + C₂sin kx, Найдем производную этой функции и подставим в нее краевые условия (25):

Эта алгебраическая система имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда, sinkl = 0 то есть kl = πn или Таким образом, числа также являются собственными значениями задачи. Собственные функции при этих значениях имеют вид . Окончательно, задача (25) имеет собственные значения и собственные функции

Для задачи Штурма-Лиувилля с краевыми условиями третьего рода (21) уже не удается получить собственные значения в явном виде. В качестве примера рассмотрим одну такую задачу, когда

При задача (26) не имеет собственных значений и собственных функций. Доказательство этого проводится так же, как и для краевых условий первого рода. При λ > 0 общее решение уравнения записывается в виде y = C₁coskx + C₂sinkx, где . После дифференцирования этой функции и подстановки её производной и самой функции в краевые условия (26) будем иметь:

Видео:5. Решение волнового уравнения на отрезке методом ФурьеСкачать

или

(27)

Получившаяся алгебраическая система будет иметь нетривиальные решения только в том случае, когда

coskl — ksinkl = 0 или

Уравнение (28) является трансцендентным уравнением относительно k. Оно не решается в явном виде. Однако, построив графики левой и правой частей уравнения (28), видно, что оно имеет бесконечно много решений (см. рис.13). Обозначим корни уравнения (28) через r_n, n = 1,2, . . Тогда при

Рис.13

Численными методами можно найти приближенные значения r_n. Из системы (27) при k = r_n получим C_1n = r_nC_2n , где C_2n -произвольные постоянные. При этих значениях постоянных решения дифференциального уравнения будут иметь вид

Они являются собственными функциями краевой задачи (26) с собственными значениями

Сведение задачи штурма лиувилля к интегральному уравнению

В этой главе мы продолжим изучение уравнений эллиптического типа. Будут изучены вопросы, связанные с уравнением Начнем с исследования задачи Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа, а затем рассмотрим, внешние и внутренние задачи для уравнения которое называется уравнением Гельмгольца.

§ 1. ЗАДАЧА ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА

В предыдущих главах было показано, что основная идея метода разделения переменных состоит в представлении решения краевой задачи в виде разложения по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля, образующим полную систему функций в соответствующей пространственной области. Зная собственные значения и собственные функции соответствующего оператора, можно построить решения начально-краевых задач как для уравнения теплопроводности, так и для уравнения колебаний в ограниченной области.

Перейдем к изучению задачи Штурма-Лиувилля. Мы не будем рассматривать эту задачу для общего самосопряженного эллиптического оператора а подробно исследуем задачу Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа.

1. Приведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Фредгольма

Рассмотрим простейшую задачу Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа с граничным условием Дирихле. Прежде всего напомним постановку задачи и определение собственных значений и собственных функций.

Определение. Значения параметра X, при которых существует нетривиальное решение однородного уравнения

удовлетворяющее однородному граничному условию

называются собственными значениями оператора Лапласа для задачи Дирихле, а соответствующие им ненулевые решения — собственными функциями.

Будем предполагать, что поверхность Ляпунова, а функция положительная непрерывно дифференцируемая функция в

Сведем задачу (1.1), (1.2) к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Обозначим через функцию Грина внутренней задачи Дирихле для оператора Лапласа. Как было показано ранее, для замкнутой поверхности Ляпунова она всегда существует. Пусть есть решение задачи (1.1), (1.2). Подставляя и в (1.1), (1.2), получим тождества

Рассматривая (1.3) как краевую задачу для уравнения Пуассона, выпишем ее решение через функцию Грина

Соотношение (1.4) есть однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно функции и. По построению (1.4) любое решение задачи (1.1), (1.2) является решением уравнения (1.4).

Покажем, что справедливо и обратное утверждение: любое решение уравнения (1.4) есть решение задачи (1.1), (1.2). Действительно, пусть -решение уравнения (1.4). Учитывая свойства объемного потенциала (см. § 6 гл. V), естественно считать, что функция непрерывно дифференцируема в Тогда, опять используя свойства объемного потенциала, получим, что есть решение уравнения

Видео:Решение задачи Штурма-ЛиувилляСкачать

и, учитывая свойства функции Грина,

Следовательно, есть решение задачи (1.1), (1.2). Таким образом, задача Штурма-Лиувилля (1.1), (1.2) эквивалентна интегральному уравнению (1.4).

Чтобы в дальнейшем воспользоваться результатами теории интегральных уравнений Фредгольма с симметричным ядром, приведем уравнение (1.4) к уравнению с симметричным ядром Для этого домножим (1.4) на и запишем его в виде

Тогда интегральное уравнение принимает вид

Получено интегральное уравнение с симметричным слабополярным ядром, для которого справедлива теория Фредгольма.

🌟 Видео

Дифференциальные уравнения | задача Штурма - Лиувилля | классические краевые задачи | 1Скачать

5.1 Задача Штурма-ЛиувилляСкачать

Боголюбов А. Н. - Методы математической физики - Задача Штурма-ЛиувилляСкачать

Уравнения математической физики. Шаньков В.В. Весенний семестр. Лекция №9Скачать

Линейная алгебра. Алексей Савватеев и Александр Тонис. Лекция 13.4. Существов. и единств. решения ДУСкачать

Курс по ИДУ: Интегральные уравнения Фредгольма с симметричным ядром | Занятие 8Скачать

Простейшие интегральные уравненияСкачать

Семинар от 27 марта 2020 (Михайлова Т.В.)Скачать

Решить интегральное уравнение (ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ) Свёртка функций, Умножение изображенийСкачать

Равносходимость спектральных разложений регулярных операторов Штурма-Лиувилля и ДиракаСкачать

Боголюбов А. Н. - Методы математической физики - Постановка общей начально-краевой задачиСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Семинар 9 по курсу "Уравнения математической физики"Скачать