Стационарная и нестационарная система дифференциальных уравнений (6 видео)

2. Математическое описание систем автоматического управления

Публикую первую часть второй главы лекций по теории автоматического управления.
В данной статье рассматриваются:

2.1. Получение уравнений динамики системы. Статическая характеристика. Уравнение динамики САУ (САР) в отклонениях
2.2. Линеаризация уравнений динамики САУ (САР)
2.3. Классический способ решения уравнений динамики

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами», читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки», факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность.

Данные лекции только готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

Содержание

2.1. Получение уравнений динамики системы. Статическая характеристика. Уравнение динамики САУ (САР) в отклонениях
2.2. Линеаризация уравнений динамики САУ (САР)
Пример
2.3. Классический способ решения уравнений динамики
Пример
Нестационарные линейные системы
Нестационарные линейные системы
Методы описания и анализа систем управления. Описание и анализ линейных систем с помощью дифференцианых уравнений.
🔍 Видео

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

2.1. Получение уравнений динамики системы. Статическая характеристика. Уравнение динамики САУ (САР) в отклонениях

При составлении уравнений, описывающих нестационарные процессы в САУ (САР) и которые в дальнейшем будем называть уравнениями динамики, система “разбивается” на отдельные элементы (звенья), для каждого из которых не существует проблем в записи соответствующего уравнения динамики.

На рис. 2.1.1 представлено схематичное представление САУ (звена) в переменных «вход-выход», где x(t) (или u(t)) — входное воздействие, а y(t) — выходное воздействие, соответственно. Нередко входное воздействие будет называться управляющим, а выходное воздействие — регулируемой величиной (переменной).

При составлении уравнений динамики используются фундаментальные законы сохранения из разделов “Механики”, “Физики”, “Химии” и др.

Например, при описании перемещения узла какого-то механизма силового привода используются законы сохранения: момента, энергии, импульса и др… В теплофизических (теплогидравлических) системах используются фундаментальные законы сохранения: массы (уравнение неразрывности), импульса (уравнение движения), энергии (уравнение энергии) и др

Уравнения сохранения в общем случае содержат постоянные и нестационарные члены, причем при отбрасывании нестационарных членов получают так называемые уравнения статики, которые соответствуют уравнениям равновесного состояния САУ (звена). Вычитанием из полных уравнений сохранения стационарных уравнений получают нестационарные уравнения САУ в отклонениях (от стационара).

где: — стационарные значения входного и выходного воздействий;
— отклонения от станционара, соотвесвенно.

В качестве примера рассмотрим «технологию» получения уравнений динамики для механического демпфера, схематическое изображение которого представлено на рис. 2.1.2.

Согласно 2-му закону Ньютона, ускорение тела пропорционально сумме сил, действующих на тело:

где, m — масса тела, F_j — все силы воздействующие на тело (поршень демпфера)

Подставляя в уравнение (2.1.1) все силы согласно рис. 2.2, имеем:

где — сила тяжести; — сила сопротивления пружины, — сила вязконо трения (пропорциональна скорости поршеня)

Размерности сил и коэффициентов, входящих в уравнение (2.1.2):

Предполагая, что при t ≤ 0 поршень демпфера находился в равновесии, то есть

перейдем к отклонениям от стационарного состояния:
Пусть при t>0 . Тогда, подставляя эти соотношения в уравнение (2.1.2), получаем:

если , то уравнение принимает вид:

Соотношение (2.1.4) – уравнение звена (демпфера) в равновесном (стационарном) состоянии, а соотношение (2.1.5) – статическая характеристика звена – демпфера (см. рисунок 2.1.3).

Вычитая из уравнения (2.1.3) уравнение (2.1.4), получаем уравнение динамики демпфера в отклонениях:

тогда, разделив на k, имеем:

Уравнение (2.1.6) — это уравнение динамики в канонической форме, т.е. коэффициент при Δy(t) равен 1.0!

«Легко» видеть, что коэффициенты перед членами, содержащими производные, имеют смысл (и размерность!) постоянных времени. В самом деле:

Таким образом, получаем, что:
— коэффициент перед первой производной имеет размерность [c] т.е. смысл некоторой постоянной времени;
— коэффициент перед второй производной: [];
— коэффициент в правой части (): [].
Тогда уравнение (2.1.6) можно записать в операторной форме:

, что эквивалентно

где: — оператор диффренцирования;
-линейный дифференциальный оператор;
— линейный дифференциальный оператор, вырожденный в константу, равную .

Анализ уравнения (2.1.6.а) показывает, что такое уравнение имеет размерные переменные, а также размерными являются все коэффициенты уравнения. Это не всегда удобно. Кроме того, если реальная САР (САУ) состоит из многих звеньев, выходными воздействиями которых являются различные физические переменные (скорость, температура, нейтронный поток, тепловой поток и т.д.), то значения коэффициентов могут различаться на большое число порядков, что ставит серьезные математические проблемы при численном решении уравнений динамики на компьютере (поскольку числа в компьютере всегда представляются с какой-то точностью). Одним из наилучших способов избежать численных трудностей является принцип нормализации, т.е. переход к безразмерным отклонениям, которые получены нормированием отклонения на стационарное значение соответствующей переменной.

Введем новые нормированные (безразмерные) переменные:

Подставляя эти соотношения в уравнение (2.1.2), имеем:

Поддчеркнутые члены выражения в сумме дают 0 (см. 2.1.4) Перенося в левую часть члены, содержащие , и, разделив на , получаем:

где: — коэффициент усиления, причем безразмерный.

Проверим размерность коэффициента

Использованный выше «технический» прием позволяет перейти к безразмерным переменным, а также привести вид коэффициентов в уравнении динамики к легко интерпретируемому виду, т.е. к постоянным времени (в соответствующей степени) или к безразмерным коэффициентам усиления.

На рис. 2.1.4 представлены статические характеристики для механического демпфера:

Процедура нормировки отклонений позволяет привести уравнения динамики к виду:

где дифференциальные операторы.

Если дифференциальные операторы — линейные, а статическая характеристика САУ (звена) – тоже линейна, то выражение (2.1.8) соответствует линейному обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ).

А если – нелинейные дифференциальные операторы, или , то уравнение динамики — нелинейное. Под нелинейными действиями понимаются все математические действия, кроме сложения (+) и вычитания (-).

Пример создания модели демпфера можно посмотереть здесь: «Технология получения уравнений динамики ТАУ»

Видео:Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"Скачать

2.2. Линеаризация уравнений динамики САУ (САР)

Практически все реальные системы автоматического управления (САУ) являются нелинейными, причем нелинейность САУ может определяться различными причинами:

Нелинейностью статической характеристики.
Нелинейностью динамических членов в уравнениях динамики.
Наличием в САУ принципиально нелинейных звеньев.

Если в замкнутой САУ (САР) нет принципиально нелинейных звеньев, то в большинстве случаев уравнения динамики звеньев, входящих в систему, могут быть линеаризованы. Линеаризация основана на том, что в процессе регулирования (т.е. САУ с обратной связью) все регулируемые величины мало отклоняются от их программных значений (иначе система регулирования или управления не выполняла бы своей задачи).

Например, если рассмотреть управление мощностью энергетического ядерного реактора, то главная задача САР — поддержание мощности на заданном (номинальном) уровне мощности. Существующие возмущения (внутренние и внешние) “отрабатываются” САР и поэтому параметры ядерного реактора незначительно отличаются от стационарных. На рис. 2.2.1 представлена временная зависимость мощности ядерного реактора, где нормированные отклонения мощности ΔN /N₀ Рис. 2.2.1 – Пример изменения мощности реактора

Рассмотрим некоторое звено (или САР в целом), описание динамики которого можно представить в переменных “вход-выход”:

Предположим, что динамика данного звена описывается обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка:

Перенесем в левую часть уравнения и запишем уравнение в виде%

где -– функция регулируемой переменной и ее производных, а также управляющего (входного) воздействия и его производных, причем F – обычно нелинейная функция.

Будем считать, что при t ≤ 0 САУ (звено) находилось в равновесии (в стационарном состоянии). Тогда уравнение (2.2.2) вырождается в уравнение статической характеристики:

Разложим левую часть уравнения (2.2.2) в ряд Тейлора в малой окрестности точки равновесного состояния .

Напомним, что разложение в ряд Тейлора трактуется следующим образом: если , то «простое» разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки будет выглядеть так:

C учетом вышеприведенного разложение принимает вид:

Предполагая, что отклонения выходных и входных воздействий незначительны, (т.е.:), оставим в разложении только члены первого порядка малости (линейные). Поскольку , получаем:

Подставляя соотношение (2.2.4) в уравнение (2.2.2), и перенося множители при у и u в разные части получаем уравнения:

Коэффициенты — постоянные коэффициенты, поэтому уравнения 2.2.5 — линейное дифференциальное с постоянными коэффициентами.

В дальнейшем нами будет часто использоваться операторная форма записи уравнений динамики:

где – оператор дифференцирования;
— линейный дифференциальный оператор степени n;
— линейный дифференциальный оператор степени m, причем обычно порядок оператора выше порядка оператора :

Уравнения (2.2.5) и (2.2.6) — уравнения динамики системы (звена) в отклонениях.

Если исходное уравнение (2.2.1) — дифференциальное уравнение в физических переменных (температура, скорость, поток и т.д.), то размерность коэффициентов может быть произвольной (любой).

Переход к нормализованным отклонениям позволяет “упорядочить” размерность коэффициентов. В самом деле, разделив уравнение (2.2.5) на начальные условия (значения в нулевой момент времени) и выполнив некоторые преобразования, получаем:

Приведение уравнения динамики САУ (звена) к нормализованному виду позволяет “унифицировать” размерность коэффициентов уравнений: ==>

Если вынести в правой части (2.2.7) коэффициент за общую скобку и разделить все уравнение на , то уравнение принимает вид:

или в операторном виде:

Линеаризация уравнений динамики и нормализация переменных позволяют привести уравнения динамики САУ (звена) к виду, наиболее удобному для использования классических методов анализа, т.е. к нулевым начальным условиям.

Пример

Выполнить линеаризацию уравнения динамики некоторой «абстрактной» САР в окрестности состояния (x₀, y₀), если полное уравнение динамики имеет вид:

Нелинейность полного уравнения динамики проявляется в следующем:

• во-первых, в нелинейности статической характеристики:

• во-вторых, слагаемое в левой части — чисто нелинейное, так как действие умножения является нелинейным.

Выполним процесс линеаризации исходного уравнения, динамики без разложения я ряд Тейлора, основываясь на том, что в окрестности состояния (x₀, y₀) нормированные отклонения управляющего воздействия и регулируемой величины намного меньше 1.

Преобразования выполним в следующей последовательности:

Перейдем к безразмерным переменным (нормализованным);
Выполним линеаризацию, отбросив нелинейные члены 2-го и выше порядков малости.

Перейдем к новым безразмерным переменным:

Заметим, что:
.

Подставляя значения x(t) и y(t) в исходное уравнение:

Удаляем полученного уравнения уравнения стационара: , а так же пренебрегая слагаемыми второго прядка малости: , получаем следующее уравнение:

Вводим новые обозначения:

Получаем уравнения в «почти» классическом виде:

Если в правой части вынести за общую скобку и разделить все уравнение на , то уравнение (линеаризованное) принимает вид:

Процедура нормализации позволяет более просто линеаризовать уравнение динамики, так как не требуется выполнять разложение в ряд Тейлора (хотя это и не сложно).

Видео:14. Операционное исчисление. Система ДУСкачать

2.3. Классический способ решения уравнений динамики

Классический метод решения уравнений динамики САУ (САР) применим только для линейных или линеаризованных систем.

Рассмотрим некоторую САУ (звено), динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением вида:

Переходя к полной символике, имеем:

Выражение (2.3.2) — обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ), точнее неоднородное ОДУ, так как правая часть ≠ 0.

Известно входное воздействие x(t), коэффициенты уравнения и начальные условия (т.е. значения переменных и производных при t = 0).

Требуется найти y(t) при известных начальных условиях.

где: — решение однородного дифференциального уравнения y_(t) $inline$ — частное решение. $inline$

Будем называть решение однородного дифференциального уравнения , собственным решением, так как его решение не зависит от входного воздействия, а полностью определяется собственными динамическими свойствами САУ (звена).

Вторую составляющую решения (2.3.3) будем называть , вынужденным, так как эта часть решения определяется внешним воздействием , поэтому САУ (САР или звено) “вынуждена отрабатывать” это воздействие:

Напомним этапы решения:

1) Если имеется уравнение вида , то сначала решаем однородное дифференциальное уравнение:

2) Записываем характеристическое уравнение:

3) Решая уравнение (2.3.5), которое является типичным степенным уравнением, каким-либо способом (в том числе и с помощью стандартных подпрограмм на компьютере) находим корни характеристического уравнения
4) Тогда собственное решение записывается в виде:

если среди нет повторяющихся корней (кратность корней равна 1).

Если уравнение (2.3.5) имеет два совпадающих корня, то собственное решение имеет вид:

Если уравнение (2.3.5) имеет k совпадающих корней (кратность корней равна k), то собственное решение имеет вид:

5) Вынужденную часть решения можно найти различными способами, но наиболее распространены следующие способы:
а) По виду правой части.
б) Методом вариации постоянных.
в) Другие методы…

Если вид правой части дифференциального уравнения – относительно несложная функция времени, то предпочтительным является способ а): подбор решения. .

6) Суммируя полученные составляющие (собственную и вынужденную), имеем:

7) Используя начальные условия (t = 0), находим значения постоянных интегрирования . Обычно получается система алгебраических уравнений. Решая систему, находим значения постоянных интегрирования

Пример

Найти аналитическое выражение переходного процесса на выходе звена, если

Решение. Запишем однородное ОДУ:
Характеристическое уравнение имеет вид: ; Решая, имеем: тогда:

где — неизвестные (пока) постоянные интегрирования.

По виду временной функции в правой части запишем как:

Подставляя в исходное уравнение, имеем:

Суммируя , имеем:

Используя 1-е начальное условие (при t = 0), получаем: , а из 2-го начального условия имеем:

Решая систему уравнений относительно и , имеем:
Тогда окончательно:

Что бы проверить результ, выполним моделирование процесса в SimInTech, для этого преобразуем исходное уравнение к виду:

Создадим модель SimInTech, содержащую исходное динамическое уравнение и полученное аналитическое решение, и выведем результаты на один график (см. рис. 2.3.1).

Рис. 2.3.1 – структурная схема для проверки решения

На рис. 2.3.2 приведено решение по вышеприведенному соотношению и численное решение задачи в среде SimInTech (решения совпадают и линии графиков «наложены» друг на друга).

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Нестационарные линейные системы

Видео:Дифференциальные уравнения 3. Автономные системыСкачать

Нестационарные линейные системы

Нестационарная линейная система Нестационарные линейные системы или линейные системы с переменными параметрами называются системами, описываемыми линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. Чтобы объяснить их, в дополнение к дифференциальным уравнениям можно использовать ранее введенные понятия, такие как передаточные функции, функции перехода и веса (импульсный переход), частотные функции и их характеристики. Кроме того, структурные диаграммы могут быть использованы для графического представления нестационарных систем.

Однако методы, основанные на структурном представлении, не так эффективны, как для стационарных систем. Правила преобразования структурных схем, установленные при исследовании стационарных систем, не применяются к структурным схемам нестационарных систем. Рассмотрим несколько способов описания одномерной нестационарной системы. Они могут быть обобщены для многомерных систем, как это было сделано при описании стационарных линейных систем.

Для линейных систем (как стационарных, так и нестационарных) действует принцип суперпозиции, и для простоты вход может быть ограничен для рассмотрения только одной системы. Людмила Фирмаль

Уравнение для одномерной нестационарной системы (объекта) с одним входом в общем случае можно записать в виде (N) . «(0 = — ^ — j U (s) e ds, 0, — / 00 Где U (s) = L и (2.103) / «Используйте -f / oe y (f) = j w (b, * —6) -j t / (s) e (‘-0) $ rfs £ / 0 O ^ a0— / 00 Если вы измените порядок интеграции, «• + /» t f Jw (fl ./-9)e a0— / 00 v 0 Очевидно, что внутренний интеграл является передаточной функцией параметра U? Равен (S, /). Итак, мы можем написать о0 + / оо y (f) = — ΓU (s) W (s, t) e * ds. 2-й Дж Oo— / co Этот интеграл согласуется с обратным преобразованием Лапласа. Следовательно, если изображение выходной величины * / (/) выражается как Y (st t), Y (s, t) = W (s, /) U (s). (2,104)

Из этого уравнения видно, что параметрическая передаточная функция равна отношению выходной величины к изображению входной величины. Если вам известна параметрическая передаточная функция и изображение входной величины, определите изображение выходной величины из (2.104) и используйте таблицу или другой метод для поиска самой выходной величины. Если весовая функция известна, параметрическую передаточную функцию можно найти, используя ее определение (2.100). Однако это может быть легко определено дифференциальным уравнением.

Напишем переходную линейную систему с дифференциальными уравнениями Q (p. T) y (t) = R (p, /) Людмила Фирмаль

Далее про Wj (s, t) W, (s, t) = N / Q (s, /). (2,110) Аналогично для i-й модификации Wl (stt) = N / Q (STT). (2,111) Пример 2.8 Найти параметрическую передаточную функцию нестационарной системы. Это уравнение b0 Y (, .O ^ IT. («■») +>, («. 0- ( ‘• Квазистационарная система. Такая система называется квазистационарной, если коэффициенты уравнения переходной системы (2.92) изменяются медленно. При описании квазистационарных систем широко используется метод коэффициента замораживания. Этот метод является приближенным и основан на коэффициенте «заморозка». В уравнении переходной системы переменные коэффициенты π, — (/) и bt (() являются передаточной функцией системы с фиксированным временем / «фиксированным коэффициентом», переходной системой с фиксированным временем t = t »

Равен аппроксимации функции нулевого порядка (2.109). Предполагается, что коэффициенты уравнений переходной системы изменяются медленно, если они слегка изменяются в процессе перехода (система является квазистационарной). Здесь под временем переходного процесса понимается минимальное время (после подачи одного импульса), когда абсолютное значение весовой функции системы с коэффициентом замерзания не превышает некоторого достаточно малого положительного значения. Если интервал времени, в течение которого рассматривается процесс квазистационарной системы, велик, изменение коэффициента уравнения может быть большим.

Затем, используя метод с фиксированным коэффициентом, весь временной интервал делится на несколько интервалов, каждый раз, когда система представляет собой постоянный коэффициент, равный значению переменного фактора в любой момент времени из рассматриваемого интервала. Описывается уравнением с Формула Коши. В нормальной форме Коши общий вид уравнения для одномерной или многомерной нестационарной линейной системы 2 atj (t) xj + V bu (t) uj + V cu (t) fh i = 1 ….. l, (2.112) / = I / = I / -I Или в матричной записи (2,113) Где x — это фазовый вектор, управляющий или главный вектор действия, а / — это вектор мешающего воздействия. Φ (0 обозначает основную матрицу уравнения l: = A (/) *, (2,114)

То есть матрица, столбцы которой образуют n линейно независимых решений уравнения (2.114). Далее матрица X (/, / 0) = Ф (ОФ «1 Базовая матрица нормализована везде. если Основная матрица X (/, / 0) известна. Решение (2.113) = при начальном условии x (/ 0) определяется по формуле Коши и x (t) = X (A / 0) n: 0 + j’X (f, i) | B (m) и t t) как такую комплексную функцию, в зависимости от параметра t частоты, модуль которой равен отношению амплитуд гармоник. Вибрация на выходе и входе переходной системы, а аргументом является фазовый сдвиг. Для систем с весовой функцией w (t-m, m) это свойство имеет следующие свойства: и W (/ t t) = j w (0, t-0) e˜ / 0> 9 dQ. (2,99) о

Это соотношение принимается как определение передаточной функции частоты нестационарной линейной системы с весовой функцией w (t-t, t). Получить передаточную функцию tt ^ (s, t) из (2.99) W (s, t) = f w (0, t-0) e до s0 dQ (2,100) о Передаточные функции W (jat /) и W (s, t) называются параметрическими. Следовательно, частота параметра (весовая функция (w (t-t, t)) передаточной функции нестационарной линейной системы является функцией 1РЧ / 0), /), определяемой соотношением (2.99). Параметрической передаточной функцией нестационарной линейной системы (с использованием весовой функции w (t-t, t)) является функция W (s, t), определяемая соотношением (2.100).

Докажем, что * функция W (ja), t), определенная в (2.99), действительно обладает характеристиками передаточной функции частоты. Подайте гармоническую функцию u = itcosЫ на вход нестационарной линейной системы, используя весовую функцию w (t-m, m). Выражается как сумма a = U <+ u2 = 4-. 2 2 Использовать (2.95) T y (t) = j w (/ -X, x) и (x) dx — и для u = b, = t T Y, (‘) = j W (tdx. Измените переменную m = 0. После этого, SO 00 Y (0

jw (9, f-c) e / w (f_c) d0 = e / lr) о Введено обозначение W (ju, t) = j * w (0, t-0) e

‘u, o40. Кроме того, последнее выражение y Аналогично, если s = -y e

/ a, t, Y r (0 = 0 — ^ — e «/ w /, (2.102) л * где о Γ (- / ω, 0 = шω (-0) e / aA ^ e,

Решения (2.101) и (2.102) могут быть переписаны в следующих форматах * /, (/) = ЛК0— = o-y-e «/ u + m (b> 0], где L (s. /) = | U7 (f0, f) |, Φ (u>, f) = arg tt? (/ К, /). Используя принцип суперпозиции. Выходное количество у Если u = um COS и> /, y = yi + y2 = ((u>, /) m mcos [co / + φ (ω, /) |. Поэтому на практике модуль номера функции (/ ©, /), определенный в (2.99), равен отношению амплитуды выходного и входного гармонических сигналов, а его аргументом является фазовый сдвиг. Установите связь между выходным значением изображения (Laplace) и входным значением. T Перепишите (2.95) y (t) = jw (/ -c, t) и (t) dt, используя изменение — и Переменная t-m = 6, в следующем формате: 00 y (t) = fw (e, / -Q) u (t-0) d0 (2,103) о Представьте входную величину, используя обратное преобразование Лапласа.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Видео:Работа с MathCad Prime. Решение дифференциальных уравнений.Скачать

Методы описания и анализа систем управления. Описание и анализ линейных систем с помощью дифференцианых уравнений.

Для анализа системы автоматического управления и регулирования необходимо располагать ее математическим описанием. Система может описываться Дифференциальными или интегро-дифференциальными уравнениями, уравнениями в частных производных и т. д. Они определяют поведение САУ в переходном процессе.

Уравнения называют уравнениями динамики, если они описывают изменение входящих в них переменных во времени. Из уравнений динамики можно получить уравнения статики, если положить входящие в них производные и воздействия равными нулю или постоянными величинами. Уравнения статики описывают поведение системы в установившемся режиме.

В соответствии с классификацией систем управления (рис. 24) кратко рассмотрим методы решения задач описания, анализа и синтеза линейных и нелинейных непрерывных систем управления. Сюда относят методики решения задач 1 анализа выходных процессов, устойчивости, управляемости и наблюдаемости линейных САУ. При этом используются все известные формы математического описания систем: дифференциальными уравнениями, переходными функциями, интегральными и спектральными преобразованиями.

В основе лежит представление системы в виде соединений образующих ee звеньев: последовательного, параллельного, с обратной связью, и замена сложной структуры эквивалентным звеном — оператором системы, преобразующим входной сигнал в выходной.

При исследовании нелинейных систем рассматривают задачи анализа выходных процессов при детерминированных и случайных воздействиях, анализа, абсолютной устойчивости нелинейной САУ; применяются методы гармонической и статистической линеаризации.

К современным проблемам управления можно отнести разработку методики решения задач оптимального управления детерминированными и стохастическими системами с применением принципа максимума и уравнения Беллмана, а также разработку алгоритмов синтеза систем совместного оценивания (наблюдателей состояния) и управления.

11.1. Линейные системы управления

11.1.1. Описание и анализ линейных систем с помощью дифференциальных уравнений

11.1.1.1. Одномерные системы при детерминированных воздействиях

Непрерывные процессы, протекающие в таких системах управления, описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) с соответствующими начальными условиями. Тогда, если известен вид входного сигнала, выходной сигнал определяется в результате решения задачи Коши для ОДУ.

Линейная нестационарная система описывается уравнением

(11.1)

с начальными условиями

(11.2)

где g(t) — входной сигнал, y(t) — выходной сигнал, t — текущее время, а_i (t), b_j(t)- коэффициенты уравнения.

Если коэффициенты а_i (t), b_j(t) уравнения (11.1) постоянны, система называется линейной стационарной.

Уравнение (11.1) может быть записано в операторной форме:

(11.3)

где оператор дифференцирования, D(p,t) и M(p,t) — собственный и входной операторы уравнения (11.1).

Для линейной стационарной системы уравнение в операторной форме имеет вид

(11.4)

Из операторной формы записи уравнения следует способ изображения стационарной системы (ее звеньев) на структурных схемах (рис. 27).

Рис. 27. Структурная схема стационарной системы

W(p)называют передаточной функцией. Строгое определение передаточной функции вводится через преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях.

Звено любого физического вида и конструкции, описываемое дифференциальным уравнением или передаточной функцией первого и второго порядка называют типовым динамическим звеном. Описание типовых динамических звеньев рассматривается в курсе теории автоматического регулирования и управления.

По дифференциальным уравнениям типовых звеньев и связям между ними составляются структурные схемы систем. Они служат одним из языков описания систем управления.

Рассмотрим в качестве примера дифференциальное уравнение инерционного звена первого порядка:

Преобразуем это уравнение. Старшую производную (в данном случае производная одна) оставляем слева, остальные слагаемые переносим в правую часть:

Далее построим структурную схему (рис. 28)

Читайте также:

A) системного программного обеспечения
A) системный блок, дисплей, клавиатура
A) Совокупность программных средств, с помощью которых создается база данных и поддерживается в процессе эксплуатации
A) способ познания окружающего мира с помощью сигналов и символов, воспринимаемых органами чувств
A) Технологии, ориентированные на полученную обработку, передачу информации с помощью технических средств
A. системы учета
A.Становление системы экспортного контроля
AGIL. Системный подход в теории Т. Парсонса.
B) Информационные системы в логистике
B) являются нетвердыми сделками, то есть могут быть ликвидированы с помощью специальных (офсетных сделок);

Стационарная и нестационарная система дифференциальных уравнений

K / T

1/ P

g(t) + y(t)

–

1/ T

y(t)

Рис. 28. Инерционное звено первого порядка

Методика представления САУ в виде структурных схем используется, в частности, при решении задач с помощью аналоговой и цифровой вычислительной техники.

По структурной схеме всегда можно составить дифференциальные уравнения системы.

Анализ выходных процессов может быть проведен по результатам решения дифференциальных уравнений аналитическими методами, численными методами на ЭВМ или интегрированием дифференциальных уравнений по структурным схемам на аналоговой вычислительной технике.

Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции: эффект, вызываемый суммой нескольких воздействий, равен сумме эффектов каждого из воздействий в отдельности. Поэтому выходной сигнал линейной САУ при аналитическом решении представляется в виде суммы свободного и вынужденного движений: