Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Теория устойчивости дифференциальных уравнений с примерами решения и образцами выполнения

Рассмотрим вопрос о зависимости решения задачи Коши от начальных данных. Пусть дана задача Коши

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Если функция f(t, х) непрерывна по совокупности аргументов и имеет ограниченную производную Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьв некоторой области Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьизменения t, х, содержащей точку (tо, xo), то решение задачи Коши (1)-(2) существует и единственно. Если изменять значения t0 и хо, то будет меняться и решение. Возникает важный в приложениях вопрос: как оно будет меняться? Вопрос этот имеет и большое принципиальное значение. Действительно, если какая-либо физическая задача приводит к задаче Коши, то начальные значения находятся из опыта и за абсолютную точность измерения ручаться нельзя. И если сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменять решение, то математическая модель окажется малопригодной для описания реального процесса.

Справедлива следующая теорема о непрерывной зависимости решения от начальных условий.

Теорема:

Если правая часть f(t, х) дифференциального уравнения

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

непрерывна по совокупности переменных и имеет ограниченную частную производную Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьв некоторой области G изменения t , х, то решение

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

удовлетворяющее начальному условию Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьнепрерывно зависит от начальных данных.

Иными словами, пусть через точку Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьпроходит решение x(t) уравнения (1), определенное на отрезке Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьТогда для любого Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьнайдется такое Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьрешение Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьуравнения (1), проходящее через точку Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьсуществует на отрезке Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьи отличается там от x(t) меньше чем на Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Аналогичная теорема справедлива и для системы дифференциальных уравнений

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

При выполнении условий теоремы (1) решение задачи Коши существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных. В этом случае говорят, что задача Коши поставлена корректно. Существенным является то обстоятельство, что отрезок [а, b] изменения t конечен. Однако во многих задачах нас интересует зависимость решения от начальных данных в бесконечном промежутке Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьПереход от конечного промежутка, в котором рассматривается непрерывная зависимость решения от начальных значений, к бесконечному существенно меняет характер задачи и методы исследования. Эта проблема относится к теории устойчивости, созданной А.М. Ляпуновым.

Остановимся вкратце на понятии о продолжаемости решения. Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

где t — независимая переменная (время); Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьискомые функции; Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьфункции, определенные для Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьиз некоторой области Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьЕсли функции

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

в их области определения непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьто для системы (3) справедлива локальная теорема существования:

для каждой системы значений

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

существует единственное решение

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

системы (3), определенное в некотором интервале Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьизменения t и удовлетворяющее начальным условиям

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Введем следующее понятие. Пусть

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

— решение задачи Коши (3)-(4), определенное на некотором интервале I = (t1,t2). Это решение может бьггь продолжено, вообще говоря, на больший интервал времени. Решение

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

называется продолжением решения Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьесли оно определено на большем интервале Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьи совпадает с Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьпри Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьРешение называется неограниченно продолжаемым (неограниченно продолжаемым вправо или влево), если его можно продолжить на всю ось Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость(на полуось Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьили Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьсоответственно).

Для дальнейших рассмотрений важен вопрос о существовании решения хi(t), Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость(глобальная теорема существования). Этим свойством обладает линейная система

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

где Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость— непрерывные функции на Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьДля нее каждое решение Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьсуществует на Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость(неограниченно продолжаемо вправо) и единственно.

Не все системы обладают таким свойством. Например, для скалярного уравнения

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

непрерывна и имеет производные всех порядков по х. Нетрудно проверить, что функция

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

является решением задачи

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Однако это решение существует только в интервале Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьзависящем от начального условия, и не-продолжаемо на полуинтервал Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Уравнение (5) есть уравнение сверхбыстрого размножения, когда прирост пропорционален числу всевозможных пар. Его решение показывает, что при таком законе прироста населения количество населения становится бесконечным за конечное время (в то время как обычный закон прироста — экспоненциальный).

Задача:

Показать, что решения уравнения

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

нельзя продолжить неограниченно ни вправо, ни влево.

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Содержание
  1. Устойчивость по Ляпунову. Основные понятия и определения
  2. Устойчивость автономных систем. Простейшие типы точек покоя
  3. Простейшие типы точек покоя
  4. Метод функций Ляпунова
  5. Устойчивость по первому (линейному) приближению
  6. Устойчивость по Ляпунову: основные понятия и определения
  7. Digiratory
  8. Лаборатория автоматизации и цифровой обработки сигналов
  9. Устойчивость нелинейных систем
  10. Первый метод Ляпунова
  11. Пример 1.
  12. Шаг 1. Положение равновесия:
  13. Шаг 2. Линеаризация для малых отклонений
  14. Шаг 3. Линеаризованное управление в матричной форме
  15. Шаг 4. Характеристический полином
  16. Шаг 5. Корни характеристического полинома
  17. Заключение об устойчивости системы
  18. Пример 2. Нелинейный осциллятор
  19. Шаг 1. Положение равновесия:
  20. Шаг 2. Линеаризация для малых отклонений
  21. Шаг 3. Линеаризованное управление в матричной форме
  22. Шаг 4. Характеристический полином
  23. Шаг 5. Корни характеристического полинома
  24. Заключение об устойчивости системы
  25. Второй метод Ляпунова
  26. Теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем
  27. Пример 3. Нелинейный осциллятор
  28. Шаг 1. Функция Ляпунова
  29. Шаг 2. Частные производные
  30. Шаг 3. Производная функции
  31. Заключение об устойчивости системы
  32. Пример 4.
  33. Шаг 1. Функция Ляпунова
  34. Шаг 2. Частные производные
  35. Шаг 3. Производная функции
  36. Заключение об устойчивости системы
  37. 📸 Видео

Видео:Устойчивость 1 ОпределениеСкачать

Устойчивость 1  Определение

Устойчивость по Ляпунову. Основные понятия и определения

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

где функция f(t,x) определена и непрерывна для Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьи х из некоторой области D и имеет ограниченную частную производную Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость. Пусть функция

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

есть решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Пусть, далее, функция

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

есть решение того же уравнения, удовлетворяющее другому начальному условию

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Предполагается, что решения Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьопределены для всех Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьнеограниченно продолжаемы вправо.

Определение:

Решение Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьуравнения (1) называется устойчивым по Ляпунову при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьесли для любого Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьтакое, что для всякого решения х = x(t) этого уравнения из неравенства

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

для всех Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость(всегда можно считать, что Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Это значит, что решения, близкие по начальным значениям к решению Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьостаются близкими и при всех Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьГеометрически это означает следующее. Решение

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

уравнения (1) устойчиво, если, какой бы узкой ни была е-полоска, содержащая кривую Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость, все достаточно близкие к ней в начальный момент Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьинтегральные кривые х = x(t) уравнения целиком содержатся в указанной е-полоске при всех Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость(рис. 1).

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Если при сколь угодно малом Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьхотя бы для одного решения х = x(t) уравнения (1) неравенство (3) не выполняется, то решение Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьэтого уравнения называется неустойчивым. Неустойчивым следует считать и решение, не продолжаемое вправо при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Определение:

Решение Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьуравнения (1) называется асимптотически устойчивым, если

1) решение Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьустойчиво;

2) существует Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьтакое, что для любого решения х = x(t) уравнения (1), удовлетворяющего условию Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьимеем

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Это означает, что все решения х = x(t), близкие по начальным условиям к асимптотически устойчивому решению Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость, не только остаются близкими к нему при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость, но и неограниченно сближаются с ним при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Вот простая физическая модель. Пусть шарик лежит на дне полусферической лунки (находится в положении равновесия). Если малым возмущением вывести шарик из этого положения, то он будет колебаться около него. При отсутствии трения положение равновесия будет устойчивым, при наличии трения колебания шарика будут уменьшаться с возрастанием времени, т. е. положение равновесия будет асимптотически устойчивым.

Пример:

Исследовать на устойчивость тривиальное решение

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Решение Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость, очевидно, удовлетворяет начальному условию

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Решение уравнения (*), удовлетворяющее начальному условию

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Легко видеть (рис. 2), что, какова бы ни была Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость-полоска вокруг интегральной кривой х = 0, существует Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость, например, Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьтакое, что любая интегральная кривая Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьдля которой Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьцеликом содержится в указанной Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьполоске для всех Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьСледовательно, решение Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьустойчиво. Асимптотической устойчивости нет, поскольку решение Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьпри Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьне стремится к прямой х = 0.

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Пример:

Исследовать на устойчивость тривиальное решение Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьуравнения

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Решение уравнения (**), удовлетворяющее начальному условию

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Возьмем любое Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость> 0 и рассмотрим разность решений Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Поскольку Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьдля всех Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость, из выражения (***) следует, что существует Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьнапример, Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьтакое, что при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьимеем

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Согласно определению (1) это означает, что решение Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьуравнения (**) устойчиво. Кроме того, имеем

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

поэтому решение Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьасимптотически устойчиво (рис. 3).

Пример:

Показать, что решение

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

В самом деле, при сколь угодно малом Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьрешение

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

этого уравнения не удовлетворяет условию

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

при достаточно больших t > to. Более того, при любых Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьимеем

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

где функции fi определены для Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьиз некоторой области D изменения Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьи удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Предположим, что все решения системы (4) неограниченно продолжаемы вправо при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Определение:

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

системы (4) называется устойчивым по Ляпунову при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьесли для любого Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость> 0 существует Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьтакое, что для всякого решения Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьтой же системы, начальные значения которого удовлетворяют условию

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

для всех Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьт. е. близкие по начальным значениям решения остаются близкими для всех Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Если при сколь угодно малом Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьхотя бы для одного решения Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьне все неравенства (5) выполняются, то решение Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьназывается неустойчивым.

Определение:

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

системы (4) называется асимптотически устойчивым, если:

1) решение это устойчиво;

2) существует Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьтакое, что всякое решение Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьсистемы, для которого

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Пример:

Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, показать, что решение системы

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

удовлетворяющее начальным условиям

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

устойчиво.

Решение системы (*), удовлетворяющее начальным условиям (**), есть

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Решение этой системы, удовлетворяющее условиям Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьимеет вид

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Возьмем произвольное Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость> 0 и покажем, что существует Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьтакое, что при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьвыполняются неравенства

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

для всех Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьЭто и будет означать, согласно определению, что нулевое решение Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьсистемы (*) устойчиво по Ляпунову. Очевидно, имеем:

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

то при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьбудут иметь место неравенства

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

для всех Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьт.е. действительно нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову, но эта устойчивость не асимптотическая.

Из устойчивости нетривиального решения дифференциального уравнения не следует ограниченности этого решения. Рассмотрим, например, уравнение

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Решением этого уравнения, удовлетворяющим условию х(0) = 0, является функция

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Решение, удовлетворяющее начальному условию Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьимеет вид Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Геометрически очевидно (рис.5), что для всякого Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьсуществует Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьнапример Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьтакое, что любое решение x(t) уравнения, для которого верно неравенство Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьудовлетворяет условию Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьПоследнее означает, что решение Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьустойчиво по Ляпунову, однако это решение является неограниченным при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Из ограниченности решений дифференциального уравнения не следует устойчивости решений.
Рассмотрим уравнение

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Оно имеет очевидные решения

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Интегрируя уравнение (6), находим

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Все решения (7) и (8) ограничены на Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьОднако решение Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьнеустойчиво при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьтак как при любом Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьимеем

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Таким образом, ограниченность и устойчивость решений являются понятиями, независимыми друг от друга.

Замечание:

Исследуемое на устойчивость решение

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

системы (4) всегда можно преобразовать в тривиальное решение

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

другой системы заменой

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

В самом деле, пусть имеем (для простоты) одно дифференциальное уравнение

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

и пусть требуется исследовать на устойчивость какое-либо решение Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьэтого уравнения. Положим, что

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

(величину Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьназывают возмущением). Тогда

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

и подстановка в (*) приводит к равенству

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Но Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость— решение уравнения (*), поэтому

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Обозначив здесь правую часть через F(t, у), получим

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Это уравнение имеет решение Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьтак как при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьего левая и правая части тождественно по t равны нулю:

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Таким образом, вопрос об устойчивости решения Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьуравнения (*) приводится к вопросу об устойчивости тривиального решения Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьуравнения (***), к которому сводится (*). Поэтому в дальнейшем мы будем, как правило, считать, что на устойчивость исследуется тривиальное решение.

Видео:Дифференциальные уравнения 7. Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивостьСкачать

Дифференциальные уравнения 7. Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость

Устойчивость автономных систем. Простейшие типы точек покоя

Нормальная система дифференциальных уравнений называется автономной, если ее правые части fi не зависят явно от t, т. е. если она имеет вид

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Это значит, что закон изменения неизвестных функций, описываемый автономной системой, не меняется со временем, как это бывает с физическими законами. Пусть имеем автономную систему

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

и пусть (а1, a2, …, аn) — такая совокупность чисел, что

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Тогда система функций

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

будет решением системы (1). Точку Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьфазового пространства (x1, x2,…, хn) называют точкой покоя (положением равновесия) данной системы. Рассмотрим автономную систему (1) , для которой

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

есть точка покоя этой системы. Обозначим через S(R) шар

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

и будем считать, что для рассматриваемой системы в шаре S(R) выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Определение:

Будем говорить, что точка покоя

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

системы (1) устойчива, если для любого Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьКак проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьсуществует такое Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьчто любая траектория системы, начинающаяся в начальный момент Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьвсе время затем остается в шаре Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьТочка покоя асимптотически устойчива, если:

1) она устойчива;

2) существует такое Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьчто каждая траектория системы, начинающаяся в точке Mо области Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьстремится к началу координат, когда время t неограниченно растет (рис. 7).

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Поясним это определение примерами.

Пример:

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Траектории здесь — концентрические окружности

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

с центром в начале координат — единственной точкой покоя системы. Если взять Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьто любая траектория, начинающаяся в круге Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость, остается все время внутри Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость, а следовательно, и внутри Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость, так что имеет место устойчивость. Однако траектории не приближаются к началу координат при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьи точка покоя не является асимптотически устойчивой.

Пример:

Пусть дана система

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

поэтому траекториями являются лучи, входящие в начало координат (рис.8). Можно снова выбрать Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьЛюбая точка траектории, находившаяся в начальный момент внутри Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость, остается все время в круге Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьи, кроме того, неограниченно приближается к началу координат при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьСледовательно, наблюдается асимптотическая устойчивость.

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Пример:

Возьмем, наконец, систему

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

и траекториями являются лучи, исходящие из начала координат, но в отличие от примера 2 движение по лучам происходит в направлении от центра. Точка покоя неустойчива.

Видео:Филиппов №881(г) — Исследование решения на устойчивостьСкачать

Филиппов №881(г) — Исследование решения на устойчивость

Простейшие типы точек покоя

Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя х = 0, у = 0 системы двух линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Решение будем искать в виде

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Для определения Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьполучаем характеристическое уравнение

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Величины Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьс точностью до постоянного множителя определяются из системы

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Возможны следующие случаи.

А. Корни Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьхарактеристического уравнения (3) — действительные и различные. Общее решение системы (2) имеет вид

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

  1. Пусть Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьТочка покоя (0,0) в этом случае асимптотически устойчива, так как из-за наличия множителей Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьвсе точки каждой траектории, находившиеся в начальный момент Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьв произвольной Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьокрестности начала координат, при достаточно большом t переходят в точки, лежащие в сколь угодно малой, Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьокрестности начала координат, а при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьстремятся к этому началу. Такая точка покоя называется устойчивым узлом

При С2 = 0 из (4) получаем

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

и траекториями являются два луча, входящие в начало координат с угловым коэффициентом

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Аналогично, при С1 = 0 получаем еще два луча, входящие в начало координат с угловым коэффициентом

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Пусть теперь Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьи (для определенности) Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьТогда в силу (4)

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

т. е. все траектории (исключая лучи Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьв окрестности точки покоя О(0,0) имеют направление луча

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

2. Если Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьто расположение траекторий такое же, как и в предыдущем случае, но точки движутся по траекториям в противоположном направлении. Точка покоя рассматриваемого типа называется неустойчивым узлом (рис. 10).

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Пример:

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Для нее точка О(0,0) — точка покоя. Характеристическое уравнение

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

имеет корни Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьтак что налицо неустойчивый узел. Перейдем от данной системы к одному уравнению

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Оно имеет решения

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

так что траекториями системы будут лучи падающие с координатными полуосями, семейство парабол, касающихся оси Oх в начале координат (рис. 11)

3. Пусть теперь Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьтогда точка покоя неустойчива.

При С2 = 0 получаем решение

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

С возрастанием t точка этой траектории движется по лучу

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

в направлении от начала Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьнеограниченно удаляясь от него. При С1 = 0 имеем:

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Отсюда видно, что при возрастании t точка движется по лучу

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

в направлении к началу координат Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость. Если Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьтак и при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьтраектория покидает окрестность точки покоя. Точка покоя рассматриваемого типа называется седлом (рис. 12).

Пример:

Исследуем характер точки покоя О(0,0) системы

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Характеристическое уравнение системы

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

имеет корни Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьПерейдем к одному уравнению

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

интегрируя которое получаем

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Уравнение (6) имеет также решения Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Таким образом, интегральные кривые этого уравнения (траектории системы (5)) — равнобочные гиперболы и лучи, совпадающие с координатными полуосями.

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Б. Корни Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьхарактеристического уравнения — комплексные: Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьОбщее решение системы (2) можно представить в виде

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

где C1 и C2 — произвольные постоянные, а Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость— некоторые линейные комбинации этих постоянных

  1. Пусть Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьв этом случае множитель Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьстремится к нулю при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьа вторые множители в (7) — ограниченные периодические функции. Траектории — спирали, асимптотически приближающиеся к началу координат при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьТочка покоя х = 0, у = 0 асимптотически устойчива. Она называется устойчивым фокусом (рис. 13).,
  2. Если Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьто этот случай переходит в предыдущий при замене t на -t. Траектории не отличаются от траекторий предыдущего случая, но движение по ним при возрастании t происходит в противоположном направлении. Точка покоя неустойчива — неустойчивый фокус.
  3. Если же Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьто решения системы (2) — периодические функции. Траекториями являются замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку покоя, называемую в этом случае центром (рис. 14). Центр является устойчивой точкой покоя, однако асимптотической устойчивости нет, так как решение

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

не стремится к нулю при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Пример. Рассмотрим систему уравнений

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Характеристическое уравнение системы

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

имеет комплексные корни Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Перейдем от системы к одному уравнению

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

и введем полярные координаты Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьТогда

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Используя уравнение (9), находим, что

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Эти интегральные кривые являются логарифмическими спиралями, навивающимися на начало координат, которое достигается в пределе при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьв зависимости от того, будет ли а 0. Налицо точка покоя типа фокуса. В частном случае, когда а = 0, уравнение (9) принимает вид

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Интегральные кривые этого уравнения — окружности с центром в начале координат, которое при а = 0 является точкой покоя системы (8) типа центра.

В. Корни Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьхарактеристического уравнения кратные: Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьСлучай этот — скорее исключение, а не правило, так как сколь угодно малое изменение коэффициентов системы разрушает его. Применяя метод исключения, находим, что общее решение системы уравнений (2) имеет вид

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

( Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость— некоторые линейные комбинации С1, С2).

  1. Если Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьто из-за наличия множителя Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьрешения х(t), y(t) стремятся к нулю при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьТочка покоя х = 0, у = 0 асимптотически устойчива. Ее называют устойчивым вырожденным узлам (рис. 15). Он отличается от узла в случае А. 1 (там одна из траекторий имела касательную, отличную от всех остальных). Возможен также дикритический узел (см. рис. 8).
  2. При Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьзамена t на -t приводит к предыдущему случаю, но движение по траекториям происходит в противоположном направлении. Точка покоя в этом случае называется неустойчивым вырожденным узлом.

Пример:

Для системы уравнений

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

имеет кратные корни Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьДеля второе уравнение системы на первое, найдем

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Поэтому все интегральные кривые проходят через начало координат, и все они имеют там ось Оу общей касательной.

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Мы перебрали и исчерпали все возможности, поскольку случай Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьисключен условием

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Пример:

Исследовать уравнение малых колебаний маятника с учетом трения.

Уравнение малых колебаний маятника в этом случае имеет вид

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

где x — угол малого отклонения маятника от вертикали, к — коэффициент трения. Заменим уравнение (*) эквивалентной системой

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Характеристическое уравнение для системы (**)

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Если 0 Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

— частота колебаний, а величины А, а определяются из начальных условий.

График решения и фазовая кривая при 0 Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Сформулируем результаты, касающиеся устойчивости решений системы п линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Рассмотрим для системы (10) характеристическое уравнение

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Справедливы следующие предложения:

1) если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть, то все решения системы (10) асимптотически устойчивы. Действительно, в этом случае все слагаемые общего решения содержат множители Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьстремящиеся к нулю при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

2) если хотя бы один корень Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьхарактеристического уравнения имеет положительную действительную часть, то все решения системы неустойчивы;

3) если характеристическое уравнение имеет простые корни с нулевой действительной частью (т. е. чисто мнимые или равные нулю корни), а остальные корни, если они есть, имеют отрицательную действительную часть, та все решения устойчивы, но асимптотической устойчивости нет.

Эти результаты относятся и к одному линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами.

Следует обратить внимание на то, что для линейной системы все решения либо устойчивы, либо неустойчивы одновременна

Теорема:

Решения Системы линейных дифференциальных уравнений

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы.

Преобразуем произвольное частное решение

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

системы (11) в тривиальное с помощью замены

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Система (11) преобразуется при этом в линейную однородную систему относительно yi(t):

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Следовательно, все частные решения системы (11) в смысле устойчивости ведут себя одинаково, а именно как тривиальное решение однородной системы (12).

В самом деле, пусть тривиальное решение

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

системы (12) устойчиво. Это значит, что для любого Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьтакое, что для всякого другого решения системы Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьиз условия Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьследует, что

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Замечая, что Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьполучаем, что из условия

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

для всякого решения Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьисходной системы (11). Согласно определению, это означает устойчивость решения Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьэтой системы.

Это предложение не имеет места для нелинейных систем, некоторые решения которых могут быть устойчивыми, а другие — неустойчивыми.

Пример:

Рассмотрим нелинейное уравнение

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Оно имеет очевидные решения

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Решение x(t) = -1 неустойчиво, а решение x(t) = 1 является асимптотически устойчивым. В самом деле, при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьвсе решения

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

стремятся к +1. Это означает, согласно определению, что решение x(t) = 1 асимптотически устойчиво.

Замечание:

Как и в случае n = 2, можно исследовать расположение траекторий в окрестности точки покоя О(0,0,0) системы (10). Для n = 3 возможны так называемые узлофокусы (рис. 17), седлофокусы (рис. 18) и т. д.

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Видео:Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядкаСкачать

Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка

Метод функций Ляпунова

Метод функций Ляпунова состоит в исследовании устойчивости точки покоя системы дифференциальных уравнений с помощью подходящим образом выбранной функции Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость— так называемой функции Ляпунова, причем делается это без предварительного построения решения системы; в этом неоценимое преимущество метода.

Ограничимся рассмотрением автономных систем

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

для которых Xi = 0, i = 1, 2,…, n, есть точка покоя.

Идея метода состоит в следующем. Предположим, что на устойчивость исследуется точка покоя Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьсистемы (1). Если бы с возрастанием t точки всех траекторий приближались к началу координат или хотя бы не удалялись от него, то рассматриваемая точка покоя была бы устойчивой. Проверка выполнения этого условия не требует знания решений системы. Действительно, если р — расстояние от точки траектории Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьдо начала координат

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

(производная вдоль траектории): Правая часть в (2) есть известная функция от х1, х2,…, хn, и можно исследовать ее знак. Если окажется, что Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьто точки на всех траекториях не удаляются от начала координат при возрастании t и точка покоя хi = 0, i = 1, 2,…, n, устойчива. Однако точка покоя может быть устойчивой и при немонотонном приближении к ней с возрастанием t точек траекторий (например, в случае, когда траектории — эллипсы). Поэтому А. М. Ляпунов вместо функции р рассматривал функции v (x1, x2, … , хn), являющиеся в некотором смысле «обобщенным расстоянием» от начала координат.

Определение:

Функция v(x1, х2, … xn), определенная в некоторой окрестности начала координат, называется знакоопределенной (знакоположительной или знакоотрицательной), если в области G

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

где h — достаточно малое положительное число, она может принимать значения только одного определенного знака и обращается в нуль лишь при

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Так, в случае n = 3 функции

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

будут знакоположительными, причем здесь величина h > 0 может быть взята сколь угодно большой.

Определение:

Функция Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьназывается знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она в области G может принимать значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

будет знакопостоянной (положительной). В самом деле, функцию v(x1, x2, x3) можно представить так:

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

отсюда видно, что она неотрицательна всюду, но обращается в нуль и при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьа именно при X3 = 0 и любых, x1, х2 таких, что х1 = -х2.

Пусть Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость— дифференцируемая функция своих аргументов, и пусть

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

являются некоторыми функциями времени, удовлетворяющими системе дифференциальных уравнений (1). Тогда для полной производной функции v повремени имеем

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Определение:

Величина Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьопределяемая формулой (3), называется полной производной функции v по времени, составленной в силу системы уравнений (1).

Определение:

Функций Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьобладающую свойствами:

1) Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьдифференцируема в некоторой окрестности Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьначала координат;

2) Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьопределенно-положительна в Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьи Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

3) полная производная Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьфункции Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость, составленная в силу системы (1),

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

всюду в Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость, называют функцией Ляпунова.

Теорема:

Теорема Ляпунова об устойчивости. Если для системы дифференциальных уравнений

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

существует дифференцируемая знакоопределенная функция Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость, полная производная Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостькоторой по времени, составленная в силу системы (1), есть знакопостоянная функция (знака, противоположного с v) или тождественно обращается в ноль, то тонка покоя Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьсистемы (1) устойчива.

Приведем идею доказательства. Пусть для определенности Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьесть знакоположительная функция, для которой Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьТак как

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

причем v = 0 лишь при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьто начало координат есть точка строгого минимума функции Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьВ окрестности начала координат поверхности уровня

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

функции v являются, Как можно показать, замкнутыми поверхностями, внутри которых находится начало координат. Чтобы картина стала нагляднее, остановимся на случае n = 2. Так как Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьтолько для Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьто поверхность

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

в общих чертах напоминает параболоид, вогнутый Вверх (рис. 19).

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Линии уровня Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьпредставляют собой семейство замкнутых кривых, окружающих начало координат. При этом если Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьто линия уровня Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьцеликом лежит внутри области, ограниченной линией Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьЗададим Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьПри достаточно малом С > 0 линия уровня v = С целиком лежит в е-окрестности начала координат, но не проходит через начало. Следовательно, можно выбрать Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьтакое, что окрестность начала координат целиком лежит внутри области, ограниченной линией v = С, причем в этой окрестности v Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

существует дифференцируемая знакоопределенная функция Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьполная производная которой по времени, составленная в силу системы, есть также знакоопределенная функция знака, противоположного с v, то тонка покоя Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьсистемы (1) асимптотически устойчива.

Пример:

Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Выберем в качестве функции v(x, y) функцию

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Эта функция знакоположительная. В силу системы (*) найдем

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Из теоремы 3 следует, что точка покоя О(0,0) системы (*) устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет, так как траектория системы (*) — окружности.

Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Таким образом, Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьесть знакоотрицательная функция. В силу теоремы 4 точка покоя О(0,0) системы (**) устойчива асимптотически.

Теорема:

О неустойчивости. Пусть для системы дифференциальных уравнений

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

существует дифференцируемая в окрестности начала координат функция Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьтакая, что v(0,0,…, 0) = 0. Если ее полная производная Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьсоставленная в силу системы (4), есть знакоположительная функция и сколь угодно близко от начала координат имеются точки, в которых функция Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьпринимает положительные значения, то точка покоя Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьсистемы (4) неустойчива.

Пример:

Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Для нее функция

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

знакоположительная. Так как сколь угодно близко к началу координат найдутся точки, в которых v > 0 (например, Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьвдоль прямой у = 0), то выполнены все условия теоремы 5 и точка покоя О(0,0) неустойчива (седло).

Метод функций Ляпунова оказывается универсальным и эффективным для широкого круга проблем теории устойчивости. Недостаток же метода в том, что достаточно общего конструктивного способа построения функций Ляпунова пока нет. В простейших случаях функцию Ляпунова можно искать в виде

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Видео:13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

Устойчивость по первому (линейному) приближению

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

и пусть Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьесть точка покоя системы, т. е.

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Будем предполагать, что функции Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьдифференцируемы в окрестности начала координат достаточное число раз. Применяя формулу Тейлора, разложим функции fi по х в окрестности качала координат

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

а слагаемые Ri содержат члены не ниже второго порядка малости относительно Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьСистема дифференциальных уравнений (1) примет вид

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Так как понятие устойчивости точки покоя O(0,0,…, 0) связано с малой окрестностью начала координа’т в- фазовом пространстве, то естественно ожидать, что поведение решения (1) будет определяться главными линейными членами разложения функций fi по х. Поэтому наряду с системой (3) рассмотрим систему

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

называемую системой уравнений первого (линейного) приближения для системы (3).

Вообще говоря, строгой связи между системами (3) и (4) нет. Рассмотрим, например, уравнение

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Здесь f(x) = 0; линеаризированное уравнение для уравнения (5) имеет вид

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Решение Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьуравнения (6) является устойчивым. Оно же, будучи решением исходного уравнения (5), не является для него устойчивым. В самом деле, каждое действительное решение уравнения (5), удовлетворяющее начальному условию Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьимеет вид Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьи перестает существовать при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость(решение не продолжаемо вправо).

Теорема:

Если все корни характеристического уравнения

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

имеют отрицательные действительные части, то точка покоя Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьсистемы (4) и системы (3) асимптотически устойчива.

При выполнении условий теоремы возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

Теорема:

Если хотя бы один корень характеристического уравнения (7) имеет положительную действительную часть, то точка покоя Xi= 0 системы (4) и системы (3) неустойчива.

В этом случае также возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

Наметим идею доказательства теорем 6 и 7.

Пусть для простоты корни Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьхарактеристического уравнения (7) — действительные и различные. В этом случае существует такая невырожденная матрица Т с постоянными элементами, что матрица Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьбудет диагональной:

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

где Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость— матрица из коэффициентов системы (4). Положим

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

и система (4) преобразуется к виду

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

или, в силу выбора матрицы Т,

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Система (3) при том же преобразовании перейдет в систему

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

причем в Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьопять входят члены не ниже второго порядка малости относительно Yi при Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Рассмотрим следующие возможности:

1. Все корни Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость— отрицательные. Положим

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

тогда производная Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьв силу системы (8) будет иметь вид

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

где Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьмалая более высокого порядка, чем квадратичная форма Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Таким образом, в достаточно малой окрестности Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьточки O(0, 0,…, 0) функция у(y1,y2, …, yn) знакоположительна, а производная Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьзнакоотрицательна, и, значит, точка покоя O (0,0,…, 0) асимптотически устойчива.

2. Некоторые из корней Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьположительные, а остальные — отрицательные. Положим

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Отсюда видно, что сколь угодно близко к началу координат найдутся точки (например, такие, у которых Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьЧто касается производной Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьто, поскольку Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьотрицательны, производная Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость— знакоположительная функция. В силу теоремы 5 точка покоя O (0,0,…, 0) неустойчива.

В критическом случае, когда все действительные части корней характеристического уравнения неположительны, причем действительная часть хотя бы одного корня равна нулю, на устойчивость тривиального решения системы (3) начинают влиять нелинейные члены Ri и исследование на устойчивость по первому приближению становится невозможным.

Пример:

Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 системы

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Система первого приближения имеет вид

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Нелинейные члены удовлетворяют нужным условиям: их порядок не меньше 2. Составляем характеристическое уравнение для системы (**):

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Корни характеристического уравнения Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьнулевое решение Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьсистемы (*) неустойчиво.

Пример:

Исследуем на устойчивость точку покоя О(0, 0) системы

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Точка покоя х = 0, у = 0 системы (*) асимптотически устойчива, так как для этой системы функция Ляпунова

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. В частности,

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

В то же время точка покоя х = 0, у = 0 системы

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

В самом деле, для функции Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивостьв силу системы (**) имеем

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

т.е. Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость— функция знакоположительная. Сколь угодно близко от начала координат 0(0,0) имеются точки, в которых Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

В силу теоремы 5 заключаем о неустойчивости точки покоя О(0,0) системы (**).

Для системы (*) и (**) система первого приближения одна и та же:

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

для системы (***) имеет чисто мнимые корни — критический случай (действительные части корней характеристического уравнения равны нулю). Для системы первого приближения (***) начало координат является устойчивой точкой покоя — центром. Системы (*) и (**) получаются малым возмущением правых частей (***) в окрестности начала координат. Однако эти малые возмущения приводят к тому, что для системы (*) точка покоя О(0,0) становится асимптотически устойчивой, а для системы (**) неустойчивой.

Этот пример показывает, что в критическом случае нелинейные члены могут влиять на устойчивость точки покоя.

Задача. Исследовать на устойчивость точку покоя О(0,0) системы

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

где функция f(х,у) разлагается в сходящийся отеленной ряд и f(0,0) = 0.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Устойчивость по Ляпунову: основные понятия и определения

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

Решение , системы (1), удовлетворяющее начальным условиям , называется устойчивым no Ляпунову при , если для любого 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» /> существует 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> такое, что для всякого решения , системы (1), начальные значения которого удовлетворяют условиям

имеют место неравенства

Если при сколь угодно малом 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAARCAMAAACVS259AAAANlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADAR2LVAAAAEnRSTlMA5dARAV6h/4HAIUExsUAQcZHkvQX+AAAAz0lEQVQoz51S0RLDIAgThyJFV/v/Pztx7Wm1W2/zgTshJgEx5o/zeD5+QDu2ZJcbwlZnNDmt39ABQuIDwe5OHorZVFjrydCsu3whA74EIXnfFkodkw1j35FCjduhRZ0ddNaf+3YVjsR6WTkJQV9G4dODcMDVPJdHiYY5SuGY4LYqRU3I2J54jhfsDKiJ6VuXBu+8I+mQNhi5mZueVLgoEiHs4XOruM9dxxdKAwK9l2mQZQdK3atrsya72Xj6pmnb0NvsYQdh7KnD5S7HLMr9Ah4fBg4hVyWJAAAAAElFTkSuQmCC» /> хотя бы для одного решения , неравенства (3) не выполняются, то решение называется неустойчивым .

Если, кроме выполнения неравенств (3) при условии (2) выполняется также условие

то решение , называется асимптотически устойчивым .

Исследование на устойчивость решения , системы (1) можно свести к исследованию на устойчивость нулевого (тривиального) решения , некоторой системы, аналогичной системе (1),

Говорят, что точка , есть точка покоя системы (1′).

Применительно к точке покоя определения устойчивости и неустойчивости могут быть сформулированы так. Точка покоя , устойчива по Ляпунову , если, каково бы ни было 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» />, можно найти такое 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAARCAMAAACVS259AAAANlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADAR2LVAAAAEnRSTlMA5dARAV6h/4HAIUExsUAQcZHkvQX+AAAAz0lEQVQoz51S0RLDIAgThyJFV/v/Pztx7Wm1W2/zgTshJgEx5o/zeD5+QDu2ZJcbwlZnNDmt39ABQuIDwe5OHorZVFjrydCsu3whA74EIXnfFkodkw1j35FCjduhRZ0ddNaf+3YVjsR6WTkJQV9G4dODcMDVPJdHiYY5SuGY4LYqRU3I2J54jhfsDKiJ6VuXBu+8I+mQNhi5mZueVLgoEiHs4XOruM9dxxdKAwK9l2mQZQdK3atrsya72Xj6pmnb0NvsYQdh7KnD5S7HLMr9Ah4fBg4hVyWJAAAAAElFTkSuQmCC» />, что для любого решения , начальные данные которого , удовлетворят условию

Для случая геометрически это означает следующее. Каким бы малым ни был радиус цилиндра с осью , в плоскости найдется δ-окрестность точки такая, что все интегральные кривые , выходящие из этой окрестности, для всех будут оставаться внутри этого цилиндра (рис. 30).

Если кроме выполнения неравенств (3), выполняется также условие , то устойчивость асимптотическая .

Точка покоя , неустойчива , если при сколь угодно малом 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAARCAMAAACVS259AAAANlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADAR2LVAAAAEnRSTlMA5dARAV6h/4HAIUExsUAQcZHkvQX+AAAAz0lEQVQoz51S0RLDIAgThyJFV/v/Pztx7Wm1W2/zgTshJgEx5o/zeD5+QDu2ZJcbwlZnNDmt39ABQuIDwe5OHorZVFjrydCsu3whA74EIXnfFkodkw1j35FCjduhRZ0ddNaf+3YVjsR6WTkJQV9G4dODcMDVPJdHiYY5SuGY4LYqRU3I2J54jhfsDKiJ6VuXBu+8I+mQNhi5mZueVLgoEiHs4XOruM9dxxdKAwK9l2mQZQdK3atrsya72Xj6pmnb0NvsYQdh7KnD5S7HLMr9Ah4fBg4hVyWJAAAAAElFTkSuQmCC» /> хотя бы для одного решения , условие (3′) не выполняется.

Пример 1. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, исследовать на устойчивость решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию

Решение. Уравнение (5) есть линейное неоднородное уравнение. Его общее решение . Начальному условию удовлетворяет решение

уравнения (5). Начальному условию удовлетворяет решение

Рассмотрим разность решений (7) и (6) уравнения (5) и запишем ее так:

Отсюда видно, что для всякого 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» /> существует 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAARCAMAAACVS259AAAANlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADAR2LVAAAAEnRSTlMA5dARAV6h/4HAIUExsUAQcZHkvQX+AAAAz0lEQVQoz51S0RLDIAgThyJFV/v/Pztx7Wm1W2/zgTshJgEx5o/zeD5+QDu2ZJcbwlZnNDmt39ABQuIDwe5OHorZVFjrydCsu3whA74EIXnfFkodkw1j35FCjduhRZ0ddNaf+3YVjsR6WTkJQV9G4dODcMDVPJdHiYY5SuGY4LYqRU3I2J54jhfsDKiJ6VuXBu+8I+mQNhi5mZueVLgoEiHs4XOruM9dxxdKAwK9l2mQZQdK3atrsya72Xj6pmnb0NvsYQdh7KnD5S7HLMr9Ah4fBg4hVyWJAAAAAElFTkSuQmCC» /> (например, ) такое, что для всякого решения уравнения (5), начальные значения которого удовлетворяют условию , выполняется неравенство

для всех . Следовательно, решение является устойчивым. Более того, поскольку

решение является асимптотически устойчивым.

Это решение является неограниченным при .

Приведенный пример показывает, что из устойчивости решения дифференциального уравнения не следует ограниченности решения.

Пример 2. Исследовать на устойчивость решение уравнения

Решение. Оно имеет очевидные решения

Интегрируем уравнение (8): , или , откуда

Все решения (9) и (10) ограничены на . Однако решение неустойчиво при , так как при любом имеем (рис.31).

Следовательно, из ограниченности решений дифференциального уравнения , вообще говоря, не следует их устойчивости . Это явление характерно для нелинейных уравнений и систем.

Пример 3. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, показать, что решение системы, удовлетворяющее начальным условиям , устойчиво

Решение. Решение системы (11), удовлетворяющее заданным начальным условиям, есть . Любое решение этой системы, удовлетворяющее условиям , имеет вид

Возьмем произвольное 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAC4AAAAQBAMAAACb51DZAAAAMFBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAlTPQ5AAAAEHRSTlMA/QHAQSFZiDGh0BCgsXHgm/CxLgAAALNJREFUGNNjYCAecHtgF8+vWYFNmEWCoX4DnOcOZ/IuYAhMANJMCiAem00AVFzRgEHxAlDAULYBJKsCk3C8wKD4iYFhborzA4i5xg4Q8QIGRSEGjglwK1gnOyGJm5VvQEgkwMVZPy8OgIufT4CaL8TA3IAw5zDYnI0GICe1w4VVDkPs1QK6/wFD1yalPIhzLKE61UQZHgYwsEsZgl3EZgmzhqn+uRiQCsuAhAPcdibVZxsYAOHLKP4AljeRAAAAAElFTkSuQmCC» /> и покажем, что существует 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> такое, что при имеют место неравенства

Это и будет означать, согласно определению, что нулевое решение системы (11) устойчиво по Ляпунову. Имеем, очевидно,

для всех . Поэтому, если то и подавно

Следовательно, если, например, взять , то при и в силу (12) будут иметь место неравенства (13) для всех , т.е. действительно нулевое решение системы (11) устойчиво по Ляпунову , но эта устойчивость не асимптотическая.

Теорема. Решения системы линейных дифференциальных уравнений

либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы.

Это предложение не верно для нелинейных систем, некоторые решения которых могут быть устойчивыми, а другие — неустойчивыми.

Пример 4. Исследовать на устойчивость решение нелинейного уравнения

Решение. Оно имеет очевидные решения и .

Решение этого уравнения неустойчиво, а решение является асимптотически устойчивым. В самом деле, при все решения уравнения (14)

Видео:ДУ Практика по устойчивостиСкачать

ДУ Практика по устойчивости

Digiratory

Видео:Устойчивость 5 Устойчивость по первому приближению Теорема ПримерыСкачать

Устойчивость 5  Устойчивость по первому приближению  Теорема  Примеры

Лаборатория автоматизации и цифровой обработки сигналов

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 способаСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 способа

Устойчивость нелинейных систем

Анализ устойчивости систем является одним из важнейших этапов проектирования систем управления, однако при анализе нелинейных, строго говоря, нет метода отвечающего критериям необходимости и достаточности, а критерии являются, как правило только достаточным (для устойчивости). Исходя из этого, для некоторых систем невозможно однозначно говорить о неустойчивости.

В классической теории управления имеется два основных аналитических метода: первый и второй методы Ляпунова, а также достаточно большое количество модификаций второго метода, как не связанного с линеаризацией.

Рассмотрим применение классических методов Ляпунова.

Видео:Козлов В.В. - Формальная устойчивость и неустойчивость по Ляпунову в аналитических системахСкачать

Козлов В.В. - Формальная устойчивость и неустойчивость по Ляпунову в аналитических системах

Первый метод Ляпунова

Позволяет судить об устойчивости положения равновесия по линеаризованным уравнениям. Метод основан на утверждениях:

  • если собственные значения линеаризованной системы имеют отрицательные действительные части (линеаризованная система асимптотически устойчива), то положение равновесия нелинейной системы устойчиво «в малом»;
  • если среди собственных значений линеаризованной системы имеются «правые», то положение равновесия нелинейной системы неустойчиво;
  • если имеются некратные собственные значения на мнимой оси, а остальные — «левые», то в этом критическом случае по линеаризованной модели нельзя судить об устойчивости положения равновесия нелинейной системы.

Таким образом для анализа системы по первому методу Ляпунова необходимо:

  1. Найти положение равновесия системы — движений в системе нет (т.е. скорости и ускорения равны нулю) [ frac <mathrmv_><mathrmt>= ]
  2. Линеаризовать систему в окрестности точки равновесия
  3. Записать полученное линеаризованное дифференциальное уравнение в матричной форме (составить матрицу А)
  4. Составить характеристический полином линеаризованной системы: [ = ]
  5. Найти корни характеристического полинома. По виду корней сделать заключение о характере процессов в системе.

Основными недостатками первого метода Ляпунова являются:

  • Если имеется корень на мнимой оси, то невозможно сказать о поведении процессов в системе.
  • Возможно говорить только об устойчивости «в малом», т.е. при больших отклонениях от положения равновесия система может быть неустойчивой.

Пример 1.

Исследуем систему описываемую дифференциальными уравнениями:

Шаг 1. Положение равновесия:

Для нахождения точек равновесия левые части уравнений приравниваются к 0, что эквивалентно тому, что переменные состояния являются константами, а все их производные равны 0.

Шаг 2. Линеаризация для малых отклонений

Для линеаризации малых отклонений в точке равновесия старшие степени переменных, входящих в уравнения принимаются равными нулю.

Шаг 3. Линеаризованное управление в матричной форме

Преобразуем полученную линейную систему уравнений в матричный вид.

Шаг 4. Характеристический полином

Шаг 5. Корни характеристического полинома

Приравниваем характеристический полином к 0 и находим корни уравнения.

Заключение об устойчивости системы

в данном примере при линеаризации система имеет два корня с отрицательной вещественной частью, т.е. мы можем сказать, что система устойчива «в малом» (при больших отклонениях система может быть неустойчива).

Подтвердим теоретический вывод компьютерным моделированием (построением фазового портрета)

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

При этом, при начальных условиях, находящиеся дальше от точки равновесия, система становится неустойчивойКак проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Пример 2. Нелинейный осциллятор

В качестве второго примера рассмотрим нелинейный осцилятор описываемый системой дифференциальных уравнений:

Аналогично первому примеру выполняем последовательность шагов

Шаг 1. Положение равновесия:

Шаг 2. Линеаризация для малых отклонений

Шаг 3. Линеаризованное управление в матричной форме

Шаг 4. Характеристический полином

Шаг 5. Корни характеристического полинома

Заключение об устойчивости системы

Рассматриваемая система является критическим случаем о ее устойчивости невозможно судить по линеаризованным уравнениям, применяемым в первом методе Ляпунова.

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1

Второй метод Ляпунова

Второй метод Ляпунова не связан с линеаризацией системы, поэтому также называется прямым методом.

Для начала необходимо ввести понятия знакоопределенной, знакопостоянной и знакопеременной функций. Пусть имеется функция нескольких переменных:

Функция (V ) называется знакоопределенной в некоторой области, если она во всех точках этой области вокруг начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде не обращается в нуль, кроме только самого начала координат

[ left ( Vleft ( bar right )=0 right ) ]

Функция (V ) называется знакопостоянной, если она сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области.

Функция (V ) называется знакопеременной, если она в данной области вокруг начала координат может иметь разные знаки.

Теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем

Если при заданных в форме

уравнениях системы n-го порядка можно подобрать такую знакоопределенную функцию Ляпунова

чтобы ее производная по времени

тоже была знакоопределенной (или знакопостоянной), но имела знак противоположный знаку (V), то данная система устойчива.

Для упрощения скажем, что функция Ляпунова должна быть положительной знакоопределенной функцией. Тогда условия теоремы Ляпунова будут выглядеть следующим образом:

Для устойчивости положения равновесия достаточно существования дифференцируемой функции

называемой функцией Ляпунова, удовлетворяющей в окрестности начала координат следующим условиям:

  1. (Vleft ( v_, v_,…, v_right ) geq 0) причем (V=0) лишь при следующем условии, означающем что функция (V) имеет строгий минимум в начале координат. [ bar= begin v_ \ vdots \ v_ end = bar ]
  2. Производная функции по времени [ frac <mathrmVleft ( bar right )><mathrmt>=sum_^frac<partial v_>frac <mathrmv_><mathrmt>=begin frac<partial v_> & frac<partial v_> & cdots & frac<partial v_>endbeginfrac <mathrmv_><mathrmt>\ frac <mathrmv_><mathrmt>\ vdots \ frac <mathrmv_><mathrmt>end ] в силу дифференциального уравнения (frac <mathrmbar><mathrmt>=barleft ( bar right ) ) является отрицательной знакопостоянной функцией, т.е. [ frac <mathrmVleft ( bar right )><mathrmt>=gradbarcdot frac <mathrmbar><mathrmt>=gradbarcdot barleft ( bar right )leq 0 ] при (tgeq t_)

Таким образом, условия:

  1. (frac <mathrmVleft ( bar right )><mathrmt>leq 0) и функция (Vleft ( v_, v_,…, v_right ) ) является положительной знакоопределенной — это является достаточным условием устойчивости
  2. (frac <mathrmVleft ( bar right )><mathrmt> ) — отрицательно определенная — это является достаточным условием асимптотической устойчивости.
  3. (left | v right |rightarrow infty : frac <mathrmVleft ( bar right )><mathrmt>rightarrow infty ) — достаточное условие устойчивости «в целом».

Для анализа системы по второму методу Ляпунова необходимо:

  1. Выбрать функцию Ляпунова от n переменных, где n- порядок системы.
  2. Найти частные производные по переменным.
  3. Вычислить производную функции по времени (frac <mathrmVleft ( bar right )><mathrmt>). Проанализировать полученный знак производной.

Из-за того, что второй метод Ляпунова не связан с линеаризацией, он считается универсальным. Однако он имеет ряд недостатков:

  • Нет общих требований по выбору функции V
  • Достаточный характер утверждения (если условия не выполняются, то об устойчивости ничего сказать нельзя, а можно посоветовать подобрать другую функцию (V ))

Пример 3. Нелинейный осциллятор

Проанализируем систему из примера (2).

Шаг 1. Функция Ляпунова

Для начала необходимо выбрать функцию Ляпунова от 2-х переменных (т.к. два вектора состояния):

Шаг 2. Частные производные

Шаг 3. Производная функции

Подставим в выражение значения исходя из ДУ:

Заключение об устойчивости системы

Исследовав систему первым методом Ляпунова мы не смогли сделать конкретный вывод об устойчивости системы, что позволил нам сделать второй метод Ляпунова. В результате мы можем сделать вывод, что система является асимптотически устойчивой.

Аналогично проверим с помощью моделирования:

Как проверить дифференциальное уравнение на устойчивость

Пример 4.

Рассмотрим систему, описываемую следующей системой дифференциальных уравнений:

Очевидно, что применение первого метода Ляпунова невозможно, т.к. матрица А состоит из нулей, а, следовательно, собственные значения равны нулю. Поэтому применим второй метод Ляпунова:

Шаг 1. Функция Ляпунова

Выбор функции Ляпунова второго порядка

Шаг 2. Частные производные

Шаг 3. Производная функции

При (a=3) имеет место асимптотическая устойчивость.

Заключение об устойчивости системы

Система является устойчивой.

Фазовый портрет системы выглядит следующим образом:

📸 Видео

Как распознать талантливого математикаСкачать

Как распознать талантливого математика

11. Уравнения в полных дифференциалахСкачать

11. Уравнения в полных дифференциалах

Сергеев И. Н. - Дифференциальные уравнения II - Устойчивость по Ляпунову (часть 1)Скачать

Сергеев И. Н. - Дифференциальные уравнения II - Устойчивость по Ляпунову (часть 1)

Дополнительные главы ИДУ: Устойчивость линейных систем дифференциальных уравнений | Занятие 1Скачать

Дополнительные главы ИДУ: Устойчивость линейных систем дифференциальных уравнений | Занятие 1

4. Однородные дифференциальные уравнения (часть 1)Скачать

4. Однородные дифференциальные уравнения (часть 1)

Определяем тип ДУ 1Скачать

Определяем тип ДУ 1

С.Г. Буланов. Компьютерная схема анализа устойчивости систем нелинейных дифференциальных уравненийСкачать

С.Г. Буланов. Компьютерная схема анализа устойчивости систем нелинейных дифференциальных уравнений
Поделиться или сохранить к себе: