- Классификация систем линейных уравнений
- Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Первая часть.
- Способ №1. Вычисление рангов по определению.
- Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований.
- Совместимость и несовместимость систем линейных уравнений
- 🎦 Видео
Видео:Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравненийСкачать
Классификация систем линейных уравнений
Определение. Две системы называются эквивалентными, если решение первой является решением второй и наоборот.
Определение. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.
Определение. Система, имеющая единственное решение, называется определенной, а имеющая более одного решения – неопределенной.
Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать
Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Первая часть.
Исследовать систему линейных агебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.
Нам понадобятся сведения из темы «Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи». В частности, нужны такие понятия, как матрица системы и расширенная матрица системы, поскольку именно на них опирается формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Как обычно, матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $widetilde$.
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $rang A=rangwidetilde$.
Следствие из теоремы Кронекера-Капелли
Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения или нет, а если существуют – то сколько.
Исследовать СЛАУ $ left <begin& -3x_1+9x_2-7x_3=17;\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. endright.$ на совместность. Если СЛАУ совместна, указать количество решений.
Чтобы выяснить наличие решений заданной СЛАУ, используем теорему Кронекера-Капелли. Нам понадобятся матрица системы $A$ и расширенная матрица системы $widetilde$, запишем их:
Видео:Исследование систем линейных уравнений на совместностьСкачать
Способ №1. Вычисление рангов по определению.
Согласно определению, ранг – это наивысший порядок миноров матрицы, среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы $A$. Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица $A$ содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы $A$ – это определитель матрицы $A$, т.е. $Delta A$. Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы «Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков»:
$$ Delta A=left| begin -3 & 9 & -7 \ -1 & 2 & -4 \ 4 & -2 & 19 end right|=-21. $$
Итак, есть минор третьего порядка матрицы $A$, который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице $A$ всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы $A$, среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, $rang A=3$.
Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение. Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е. $Delta A$) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы.
Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы $A$ является прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже. Кроме того, если $Delta A=0$, то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может – ни одного. Если $Delta A=0$, то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким.
Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.
Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать
Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований.
Какие преимущества второго способа? Главное преимущество – это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса. Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор – это дело вкуса.
Ответ: Заданная СЛАУ совместна и определена.
$$ left( begin 1 & -1 & 2 & -1\ -1 & 2 & -3 & 3 \ 2 & -3 & 5 & -4 \ 3 & -2 & 5 & 1 \ 2 & -1 & 3 & 2 end right) begin phantom\r_2+r_1\r_3-2r_1\ r_4-3r_1\r_5-2r_1endrightarrow left( begin 1 & -1 & 2 & -1\ 0 & 1 & -1 & 2 \ 0 & -1 & 1 & -2 \ 0 & 1 & -1 & 4 \ 0 & 1 & -1 & 4 end right) begin phantom\phantom\r_3-r_2\ r_4-r_2\r_5+r_2endrightarrow\ $$ $$ rightarrowleft( begin 1 & -1 & 2 & -1\ 0 & 1 & -1 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 0 end right) begin phantom\phantom\phantom\ r_4-r_3\phantomendrightarrow left( begin 1 & -1 & 2 & -1\ 0 & 1 & -1 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 end right) $$
Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк, поэтому $rangwidetilde=3$. Матрица $A$ (до черты) тоже приведена к ступенчатому виду, и ранг её равен 2, $rang=2$.
Ответ: система несовместна.
Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:
$$ left( begin 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 end right) overset<r_1leftrightarrow> $$ $$ rightarrowleft( begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 end right) begin phantom\ r_2-2r_1 \r_3+3r_1 \ r_4+5r_1 \ r_5-7r_1 end rightarrow left( begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\ 0 & 3 & -2 & 0 & -1 & -13\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 end right) begin phantom\ phantom\4r_3+3r_2 \ 4r_4-7r_2 \ 4r_5+3r_2 end rightarrow $$ $$ rightarrowleft( begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 end right) begin phantom\ phantom\phantom \ r_4-r_3 \ r_5+r_2 end rightarrow left( begin 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end right) $$
Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к ступенчатому виду. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём. Так как система содержит $n=5$ неизвестных, т.е. $rangwidetilde=ranglt$, то согласно пункту №2 следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.
Ответ: система является неопределённой.
Во второй части мы разберём примеры, которые нередко включают в типовые расчёты или контрольные работы по высшей математике: исследование на совместность и решение СЛАУ в зависимости от значений параметров, входящих в неё.
Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать
Совместимость и несовместимость систем линейных уравнений
линейных уравнений называется совместной, если у неё есть хотя бы одно решение, и несовместной, если решений нет. В примере 14 система совместна, столбик является её решением:
Это решение можно записать и без матриц: x = 2, у = 1.
Систему уравнений будем называть неопределённой, если она имеет более одного решения, и определённой, если решение единственно.
Пример 15. Система является неопределённой. Например, . являются её решениями. Читатель может найти и много других решений этой системы.
Научимся решать системы линейных уравнений сначала в частном случае. Систему уравнений AX = B будем называть крамеровской, если её основная матрица А — квадратная и невырожденная. Другими словами, в крамеровской системе число неизвестных совпадает с числом уравнений и |A| = 0.
Теорема 6 (правило Крамера). Крамеровская система линейных уравнений имеет единственное решение, задаваемое формулами:
где Δ = |A| — определитель основной матрицы, Δi — определитель, полученный из A заменой i-го столбика столбиком свободных членов.
Доказательство проведём для n = 3, так как в общем случае рассуждения аналогичны.
Итак, имеется крамеровская система:
Допустим сначала, что решение системы существует, т. е. имеются
Умножим первое . равенство на алгебраическое дополнение к элементу aii, второе равенство — на A2i, третье — на A3i и сложим полученные равенства:
🎦 Видео
15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать
Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать
Лекция 13. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера — Капелли.Скачать
§32 Исследование на совместность СЛАУСкачать
Лекция 12. Системы линейных уравненийСкачать
Решение системы линейных уравнений методом ГауссаСкачать
Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать
Неоднородная система линейных уравненийСкачать
Системы линейных уравнений: Теорема Кронекера-КапеллиСкачать
Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.Скачать
12. Решение систем линейных уравнений методом ГауссаСкачать
Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать
Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать
Исследовать систему уравнений на совместность и решить методом Гаусса и методом обратной матрицыСкачать