Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Лабораторная работа по выч. математике №4 «Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Адамса»

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

CАНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

Лабораторная работа по выч. математике №4

«Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Выполнил: Припадчев Артём

Задание: составить подпрограмму для решения ОДУ первого порядка используя многошаговый метод Адамса. Разгонные точки вычислить методом Рунге-Кутта 4-го порядка. Вычисление правых частей реализовать отдельной подпрограммой. Найти решение заданного уравнения с точностью e, контролируя точность на каждом шаге вычислений, построить график решения.

Воспользовавшись хорошо зарекомендовавшей себя формулой Симпсона, можно получить еще более точную формулу для решения задачи Коши для ОДУ первого порядка — широко используемого в вычислительной практике метода Рунге-Кутты.

В формуле Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла используются значения подинтегрального выражения в трех точках. В интеграле их всего две, поэтому введем дополнительную точку в середине отрезка [xi+1 xi]

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

тогда можно переписать так:

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Полученное выражение является неявным, так как в правой части содержатся еще не определенные значения функции yi+h/2 и yi+1. Чтобы воспользоваться этой формулой, надо использовать некоторое приближение для вычисления этих значений Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядкаМетод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

При использовании различных методов приближенного вычисления этих величин, получаются выражения для методов Рунге-Кутты различного порядка точности.

Алгоритм Рунге-Кутты третьего порядка — РК3 (погрешность порядка h3):

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка(6.8)

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Алгоритм Рунге-Кутты четвертого порядка — РК4 (погрешность порядка h4):

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка(6.9)

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Алгоритмы третьего и четвертого порядков требуют на каждом шаге трех и четырех вычислений функции соответственно, но являются весьма точными.

Рассмотренный ранее метод Рунге-Кутты использует значение функции на одном предшествующем шаге, поэтому они относятся к так называемым одношаговым методам. Точность вычислений можно увеличить, если использовать при нахождении решения в некотором узле xi информацию о значениях функции, полученных в нескольких (k) предыдущих узлах сетки интегрирования (xi-1, xi-2 … xi-k).

Если используются значения в k предыдущих узлах, то говорят о k-шаговом методе интегрирования уравнения. Одним из способов построения многошаговых методов заключается в следующем. По значениям функции, вычисленным в k предшествующих узлах, строится интерполяционный полином степени (k-1) — Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка, который используется при интегрировании дифференциального уравнения по выражению (6.3). Интеграл при этом выражается через квадратурную формулу:

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка,

где лl – квадратурные коэффициенты.

Очевидно, что при k=1 в качестве частного случая получается формула Эйлера. Значения квадратурных коэффициентов для k от 2 до 4 приведены в таблице.

Видео:08 Методы АдамсаСкачать

08 Методы Адамса

Задача Коши. Метод Адамса

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования ‹‹Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет

Кафедра кристаллографии и экспериментальной физики

ПО УЧЕБНОЙ ПРАКТИКЕ

студент 2 курса

г. Нижний Новгород

1.1 Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

1.2 Методы решения задачи Коши

1.3 Метод Адамса

2. Практическая часть

1.1 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 1-ОГО ПОРЯДКА

Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида yfx,y, (1)

где f(x,y)непрерывная функция двух переменных и дифференцируемая по у. Решением данного уравнения называется функция y=(x) , непрерывно дифференцируемая на некотором конечном или бесконечном множестве и обращающая на нём данное уравнение в тождество (x)f(x,(x)).

Общее решение записывается в виде функции y (x,Cₒ) с произвольной числовой постоянной C .

Частное решение y(x,Cₒ) получается из общего решения при конкретном значении числового параметра CCₒ . Для выделения частного решения обычно ставится условие, которому должно удовлетворять это решение: у=yₒ при х=xₒ , которое называется начальным условием, а точка (хₒ,уₒ)– начальной точкой.

Задача Коши состоит в следующем: найти решение уравнения yfx,y в виде функции у(х), удовлетворяющей начальному условию: у(хₒ)=уₒ .

Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую проходящую через заданную точку Мₒ(хₒ,уₒ) при выполнения равенства yfx,y.

1.2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

Наиболее мощными и универсальными методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений являются численные методы, позволяющие получать решения тогда, когда традиционные, классические, методы не помогают.

Среди численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений одним из важнейших является метод конечных разностей.

Метод конечных разностей основывается:

1) на замене непрерывной области определения решения D дискретным множеством точек, называемым сеткой ω h ;

2) на замене непрерывных функций дискретными (сеточными), определенными на введенной сетке изменения аргумента;

3) на замене производных, входящих в уравнение, конечными разностями. В результате вместо дифференциального уравнения получается конечно-разностное уравнение, определенное в узлах разностной сетки. Решение его сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки.

Методы численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений разделяют на два класса:

1) одноступенчатые методы, использующие данные о решении только в одной точке;

2) многоступенчатые, или многошаговые, методы, не требующие много повторных вычислений функций f(x,у), использующие данные о решении в нескольких точках, что вынуждает применять одношаговые методы для запуска метода и при изменении шага интегрирования. Это методы прогноза-коррекции, Адамса и другие.

1.3 МЕТОД АДАМСА

Метод Адамса относится к методам, в которых вычисление вычисление искомой функции в точке х i +1 зависит от значения этой функции в предыдущих точках, например, x i k , x i k +1 . x i -1 , x i . Такие методы называются многошаговыми.

Для вычисления у i +1 нужно проинтегрировать обе части уравнения уꞌ= f ( x , y ) от x i до x i +1 :

Воспользуемся для разложения 2-ой интерполяционной формулой Ньютона, где q i = => x = hq i + x i => dx = hdq . Подставим получившиеся преобразования в (2) и преобразуем:

∆ 2 yꞌ i -2 +∆ 3 yꞌ i -3 — интерполяционный полином Ньютона

Формула y i +1 = y i + (3) называется расчётной формулой интерполяционного метода Адамса.

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Данную задачу мы решали с помощью метода Адамса через Рунге-Кутта.

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

рис.1. Первый блок программы

На рисунке 1 представлено начало программы. Первым делом мы задали функцию yꞌ = f ( x , y ).

n =100 — количество точек;

х= и y = — списки, состоящие из нулевых элементов. Задаём их именно так, чтобы не было накопления старых значений.

spic =<> — матрица из нулевых элементов х,у.

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

рис.2. Блок программы для расчёта х i

Рисунок 2: цикл For для расчёта i -ого элемента х, начиная с 1-ого и заканчивая n -ым ( n соответствует количеству точек).

AppendTo [ x , t ] — добавляет элемент t в конец списка х (список х модифицируется).

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

рис.3. Расчёт коэффициентов с помощью метода Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта является одним из способов решения задачи Коши обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Адамса является сочетанием методов Эйлера и Рунге-Кутта.

Нахожу приближенные значения задачи Коши для с помощью метода Рунге-Кутта (коэффициента k 1 , k 2 , k 3 , k 4 ).

Цикл For начинается с первого, а заканчивается четвёртым элементом, так как мне нужно посчитать четыре коэффициента. Получила многочлен t . Так же добавляю полученный элемент t в конец списка у — за эту операцию отвечает функция AppendTo [ y , t ].

Сравнивая методы Рунге-Кутты четвертого порядка точности и метод Адамса при k=3так же четвертого порядка точности, видно, что на каждом шаге метод Адамса требует вычисления одного значения функции f(x,y), а метод Рунге-Кутты- четырех вычислений значений функции. Но, метод Рунге-Кутты не требует знания нескольких начальных значений и позволяет менять шаг следования точек в любой момент вычисления.

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

рис.4. Метод Адамса

Сам метод Адамса начинается с четвёртого элемента, а заканчивается n -ым ( n соответствует числу точек (последним)).

Следующим этапом программируем формулу (3) (п.1.3 ‹‹МЕТОД АДАМСА››).

Модифицируем список — добавляем посчитанные значения в конец списка у.

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Делаем список t , состоящий из двух элементов х и у ( x [[ i ]], y [[ i ]])

Объединяем нулевой список с полученным.

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

рис.6. Проверка с помощью встроенной функции

Выполним проверку заданного уравнения с помощью встроенной функции DSolve (функция, которая применяется для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих аналитические решения)

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

рис.7. Построение графиков

1. График состоящий из точек полученного списка из элементов x [[ i ]], y [[ i ]]. Сделаем эти точки розового цвета ( RGB С olor и номер цвета)

2. График проверки решения обыкновенных дифференциальных уравнений

3.Объединение двух графиков (1,2).

Для того, чтобы вывести результат решения дифференциального уравнения у’= f ( x ,у), нужно зажать клавиши Enter + Shift .

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

рис.8. График решения методом Адамса

На рисунке 8 изображен график решения уравнения f ( x ,у)= x +у (данная функция изображена на рис.1) методом Адамса.

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

рис.9. График проверки обыкновенных дифференциальных уравнений

На рисунке 9 изображен график решения дифференциального уравнения с помощью встроенной функции.

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

рис.10. Объединение двух графиков (8,9)

Объединяем график проверки решения дифференциального уравнения и график решения уравнения методом Адамса.

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ. Пример. Решить экстраполяционным методом Адамса уравнение:

Пример. Решить экстраполяционным методом Адамса уравнение:

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка(33)

с начальным условием y(1) = 2.70 на интервале [1; 2.25], принимая h = 0.25 . В качестве разгонных точек x0, x1, x2, x3 и соответствующих решений y0, y1, y2, y3 для реализации метода Адамса взять значения, полученные методом Эйлера в точках: x1, x2, x3. Все вычисления вести с тремя верными в узком смысле знаками.

Решение. Вычислительная схема экстраполяционного метода Адамса определяется выражением:

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка(10)

Поскольку на основе разгонных данных для функции f (xi, yi) можно вычислить только конечные разности до третьего порядка включительно: Dfi; D 2 fi; D 3 fi, то для решения данной задачи формула (10) перепишется в виде:

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Далее в соответствии с условием задачи по методу Эйлера на интервале
[1; 1.75] с шагом h = 0.25 необходимо найти приближённые значения решения y1, y2, y3 данного уравнения. Для этого используется численная схема, определяемая уравнением:

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка, i = 0, 1, …, n

Очевидно, что для получения необходимых разгонных данных метода Адамса: y1 » y(1.25); y2 » y(1.5); y3 » y(1.75) по методу Эйлера необходимо реализовать трёхшаговый вычислительный процесс.

Шаг 1: Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

В результате находим: Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Шаг 2: Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

В результате находим: Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Шаг 3: Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

В результате находим: Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Таким образом, в качестве разгонных значений для метода Адамса имеем следующие приближённые значения решения:

Далее в соответствии с требованиями метода Адамса на основе полученных расходных данных вычислим приближённые значения функции:

f (xi, yi) = Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядкаi = 0, 1, 2, 3;

Далее для реализации метода Адамса на основе имеющихся данных составим для функции f (xi, yi) таблицу конечных разностей:

ixiyif iDf iD 2 f iD 3 f i
1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.252.70 2.36 2.01 1.67 1.39 1.14— 1.35 — 1.42 — 1.34 — 1.19 — 1.04— 0.7 0.08 0.15 0.150.15 0.07 0.00— 0.08 — 0.07

Теперь по формуле Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядкапри h = 0.25 и i = 3

получим: Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

и подставляя из таблицы 2 соответствующие значения функции f (x3, y3) = f3 = — 1.19 и её конечных разностей: Df2 = 0.15; D 2 f1 = 0.07; D 3 f0 = — 0.08; (которые в таблице 2 подчёркнуты) окончательно получим:

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Далее на основе полученного приближённого значения y4 = 1.39; вычисляем значение f (x4, y4) = f(2.00; 1.39) = f4 = — 1.04; и конечные разности Df3 = 0.15; D 2 f2 = 0.00;
D 3 f1 = — 0.07; (которые в таблице 2 обведены рамкой) окончательно получим при i = 4:

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка;

Этот вычислительный пошаговый процесс можно продолжать и далее…

Отметим, что для получения более точных результатов разгонные значения для метода Адамса целесообразно было бы получить более точным методом, например, методом Рунге-Кутта четвёртого порядка. Здесь мы использовали метод Эйлера исключительно из-за его просты.

§5. Метод Милначетвёртого порядка.

Ещё одним методом прогноза и коррекции, используемым на практике, является метод Милна, в рамках которого имеется две формулы – первая и вторая формулы Милна, которые используются соответственно для предсказания и уточнения (коррекции) искомого решения y(x) задачи Коши.

5.1 Первая формула Милна – формула предсказания.

Снова строим численный методы решения начальной задачи.

yi3 » y(xi3), yi2 » y(xi2), yi1 » y(xi1), yi » y(xi).fi3 = f (xi3, yi3) » f (xi3, y(xi3) ), fi2 = f (xi2, yi2) » f (xi2 y(xi2) ), fi1 = f (xi1, yi1) » f (xi1, y(xi1) ), fi = f (xi, yi) » f (xi, y(xi) ).

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка(34)

P3(x i3 + qh) = f i3+ qD f i3 + Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка+ Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка. (35)

При подстановке в выражение (34) полинома (35), зависящего от переменной Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка, в интеграле формулы (34) необходимо сделать замену переменной:
x ® x i3 + qh; в соответствии с которой:

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка.

Поэтому в результате выражение (34) перепишется в следующем виде:

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Отсюда, выразив конечные разности Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядкачерез значения функции f (x, y):

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка;

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка,

получим первую явную формулу (предсказания) Милна четвёртого порядка:

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка, (36)

которая, очевидно, является экстраполяционной, поскольку делает предсказание решения y (xi+1) на основе интерполяционного полинома, построенного по узлам
xi3, x i–2, xi1, xi. Далее в лекции, полученные по формуле предсказания (36) приближённые значения yi для искомого решения y(x i), будем обозначать как Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка.

Оценка шаговой погрешности первой формулы Милна.

Главный член локальной погрешности формулы (36) можно найти при интегрировании первого из неучтённых в (35) слагаемого интерполяционного полинома Ньютона:

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Считая значения четвёртых разностей примерно одинаковым в используемой области таблицы конечных разностей функции fi, опустим индекс у функции f в записи Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка; в результате получим следующее приближённое представление решения в точке x i+1 на основе первой формулы Милна:

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка(37)

5.2 Вторая формула Милна – формула уточнения.

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

и применим к интегралу Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядкапростейшую формулу Симпсона:

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка, где xiÎ(xi-1, xi+1).

В результате получим:

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка(38)

Отбрасывая в формуле (38) слагаемое Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка, характеризующее ошибку квадратурной формулы Симпсона и заменяя значения решения y(x i1) и y(x i) известными приближёнными значениями y i1 и y i, а стоящее в правой части (38) в качестве аргумента функции f(x i+1, y(x i+1)) значение y(xi+1) значением Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка, полученным по первой (явной) формуле Милна (36), приходим ко второй интерполяционнойнеявной) формуле Милнаформуле уточнения.

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка(39)

Оценка шаговой погрешности второй формулы Милна.

Для вывода приближённой оценки шаговой погрешности метода Милна воспользуемся приближённым равенством, связывающим производные и конечные разности Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка, где Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядкатак же, как и в (37), — условная запись практически постоянных четвёртых разностей. Иногда в качестве величины Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядкав формуле Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядкаберут максимальную четвёртую разность из четвёртых конечных разностей в используемой части таблицы конечных разностей.

Исходя из точного равенства (38), локальную погрешность получаемого с помощью формулы (39) приближённого значения yi+1 можно приближённо охарактеризовать величиной Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка. Поэтому, сравнивая выражения (38) и (39), можем написать:

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядкаили Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка(40)

Далее приравнивая правые части выражений (37) и (40):

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка» Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядкаи Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядкаМетод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

получим: Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка(41)

Следовательно, сравнивая выражения (40) и (41), окончательно получаем:

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка(42)

Таким образом, при численном интегрировании начальной задачи (1), (2) методом Милна четвёртого порядка, определяемым формулами (36), (39), на каждом i — м шаге следует вычислять величину

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка(43)

и сравнивать её модуль с величиной e > 0 допустимой шаговой погрешности. Если
½di+1½ i+1) — y М i+1 = Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка(y М i+1y Б i+1). (33)

для предиктор-корректорного метода Адамса четвёртого порядка

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка(28)

это характеризует метод Милна как несколько более точный при одинаковых вычислительных затратах.

§6. Сведение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка к задаче Коши для ОДУ первого порядка с использованием векторных обозначений.

Пусть имеется система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешённых относительно производных. Задача Коши для такой системы дифференциальных уравнений формулируется в следующем виде:

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка(45)

Введём следующие векторныеобозначения:

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка(46)

Используя введённые векторные обозначения (46) задача Коши (44), (45) для системы дифференциальных уравнений первого порядка (44) может быть переписана в виде:

Метод адамса решения дифференциальных уравнений 2 порядка, (47)

который имеет точно такую же форму, как и рассматриваемая выше задача Коши:

К полученному векторному дифференциальному уравнению (47) применимы все численные методы, изучавшиеся в рамках данной темы, поскольку все рассмотренные методы имеют линейную структуру (т.е. если реализацию какого-либо из рассмотренных методов решения задач Коши представить как действие соответствующего линейного оператора).

При таком подходе скалярными величинами в формулах, определяющих методы, являются только независимая переменная x и расчётный шаг h; всем остальным величинам соответствуют введённые выше векторные величины размерности n.

Следует лишь учесть, что в этом случае при контроле пошаговой или глобальной точности методов вместо модуля нужно использовать норму вектора (например, норму — максимум).

Заключение (план — аннотация лекции №24).

В лекции 24 рассмотрены приближённые методы решения задачи Коши, основанные на интегрировании ДУ и последующей замене подынтегральной функции интерполирующим полиномом соответствующего порядка, данные методы известные в литературе под общим названием многошаговых методов Адамса.

Дан вывод формул экстраполяционного метода Адамса, рассмотрен подход к оценке его точности. Приведён интерполяционный метод Адамса, рассмотрены его частные случаи. Рассмотрены предиктор-корректорные методы Адамса, дан метод осуществления пошагового контроля погрешности вычислений при их применении.

Ещё одним методом прогноза и коррекции, рассмотренным в лекции, является метод Милна, в рамках которого получены две формулы – первая и вторая формулы Милна, которые используются соответственно для предсказания и уточнения (коррекции) искомого решения y(x) задачи Коши. Обсуждается роль первой и второй формулы Милна в процессе формирования решения задачи Коши для ОДУ. Дана оценка шаговой (локальной) погрешности метода Милна.

Сформулирована задача Коши для системы ОДУ первого порядка и дифференциального уравнения второго порядка. Дана схема сведение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка к виду задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Приведены примеры решения типовых задач.

1. В.М. Вержбицкий. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2002. – 840 стр.

2. Мастяева И.Н., Семенихина О.Н. Численные методы: Учебное пособие / Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права. – М.: МЭСИ М., 2003. – 102 стр.

3. Приклонский В.И. Численные методы. Лекционный курс, читаемый в МГУ. Адрес в Интернете ttp://afrodita.phys.msu.ru/download/priklonsky/lections/

Вопросы по теме

«Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений».

1. Основные определения и постановка задачи Коши для ОДУ: Определение ОДУ; уравнение, разрешённое относительно производной; начальная задача; начальные условия; геометрическая интерпретация задачи Коши; Классификация приближенных методов. Теорема об эквивалентности задачи Коши соответствующему интегральному уравнению. Метод последовательных приближений Пикара, его основные свойства.

2. Метод Эйлера. Общая характеристика метода Эйлера в классе численных методов решения задачи Коши. Геометрическая интерпретация метода Эйлера — метод ломаных. Квадратурный подход к выводу метода Эйлера. Модификации метода Эйлера (неявный или обратный метод Эйлера, метод трапеций, Метод Хьюна). Исправленный метод Эйлера, его достоинства и недостатки.

3. Методы решения задачи Коши с помощью формулы Тейлора.Исправленный метод Эйлера, его достоинства и недостатки. Методы Рунге-Куттакак способ модификации исправленного метода Эйлера.Вывод формул семейства методов Рунге-Кутта первого и второго порядка. Геометрическая интерпретация метода Рунге-Кутта второго порядка. Формулы для семейства методов Рунге-Кутта четвёртого порядка. Рекомендации по использованию методов Рунге-Кутта. Свойства сходимости и точности методов Рунге-Кутта.

4. Многошаговые методы Адамса.Экстраполяционный метод Адамса, подходы к оценке его точности. Интерполяционный метод Адамса и его частные случаи. Предиктор-корректорные методы Адамса, осуществление пошагового контроля погрешности вычислений при их применении.

5. Метод Милна. Первая и вторая формула Милна, их роль в процессе формирования решения задачи Коши для ОДУ. Оценка шаговой (локальной) погрешности метода Милна.

6. Разностные аппроксимации задачи Коши. Разностный способ решения задачи Коши. Разностные схемы на основе аппроксимации первой производной. Понятие устойчивости вычислительного процесса и сходимости разностной схемы. Локальные и глобальные ошибки вычислительных процессов решения начальных задач для ОДУ. Связь локальной и глобальной ошибки. Оценка глобальной ошибки численной схемы решения задачи Коши для ОДУ на основе метода Эйлера.

7. Задача Коши для системы ОДУ первого порядка и дифференциальных уравнений высших порядков. Сведение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка к виду задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Сведение дифференциальных уравнений высших порядков к соответствующим задачам Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка.

|следующая лекция ==>
Приложение. 1. Ряд Тейлора для функции двух переменныхf (x, y).|ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Дата добавления: 2015-09-14 ; просмотров: 10282 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

🌟 Видео

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Решение системы дифференциальных уравнений методом Эйлера

14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядкаСкачать

14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Численные методы. Метод Адамса.Скачать

Численные методы. Метод Адамса.

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентами

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения, 8 урок, Линейные дифференциальные уравнения с const коэф-ами 2 порядкаСкачать

Дифференциальные уравнения, 8 урок, Линейные дифференциальные уравнения с const коэф-ами 2 порядка

13. Операционное исчисление. Решить неоднородное ДУ 2 порядкаСкачать

13. Операционное исчисление. Решить неоднородное ДУ 2 порядка

Примеры решений дифференциальных уравнений 2 порядкаСкачать

Примеры решений дифференциальных уравнений 2 порядка

7.4 Многошаговые методыСкачать

7.4 Многошаговые методы

Методы численного анализа - Метод Рунге-Кутта для ОДУ 2 порядкаСкачать

Методы численного анализа - Метод Рунге-Кутта для ОДУ 2 порядка

19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядкаСкачать

19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядка

Лекция 6. Вложенные методы Рунге-Кутты и методы Адамса. 26.03.2020Скачать

Лекция 6. Вложенные методы Рунге-Кутты и методы Адамса. 26.03.2020

Математика без Ху!ни. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка.Скачать

Математика без Ху!ни. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка.

15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение Коши-ЭйлераСкачать

Линейное дифференциальное уравнение Коши-Эйлера
Поделиться или сохранить к себе: