Предельные вероятности состояний
Рассмотрим математическое описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем* на примере случайного процесса из примера 1, граф которого изображен на рис. 1. Будем полагать, что все переходы системы из состояния в происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями ; так, переход системы из состояния в будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния в — под воздействием потока «окончаний ремонтов» первого узла и т.п.
Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называть размеченным (см. рис. 1). Рассматриваемая система имеет четыре возможных состояния: .
Вероятностью i-го состояния называется вероятность того, что в момент система будет находиться в состоянии . Очевидно, что для любого момента сумма вероятностей всех состояний равна единице:
Рассмотрим систему в момент и, задав малый промежуток , найдем вероятность того, что система в момент будет находиться в состоянии . Это достигается разными способами.
1. Система в момент с вероятностью находилась в состоянии , а за время не вышла из него.
Вывести систему из этого состояния (см. граф на рис. 1) можно суммарным простейшим потоком с интенсивностью , т.е. в соответствии с формулой (7), с вероятностью, приближенно равной . А вероятность того, что система не выйдет из состояния , равна . Вероятность того, что система будет находиться в состоянии по первому способу (т.е. того, что находилась в состоянии и не выйдет из него за время ), равна по теореме умножения вероятностей:
2. Система в момент с вероятностями (или ) находилась в состоянии или и за время перешла в состояние .
Потоком интенсивностью (или — с- рис. 1) система перейдет в состояние с вероятностью, приближенно равной (или ). Вероятность того, что система будет находиться в состоянии по этому способу, равна (или ).
Применяя теорему сложения вероятностей, получим
Переходя к пределу при (приближенные равенства, связанные с применением формулы (7), перейдут в точные), получим в левой части уравнения производную (обозначим ее для простоты ):
Получили дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. уравнение, содержащее как саму неизвестную функцию, так и ее производную первого порядка.
Рассуждая аналогично для других состояний системы , можно получить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:
Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова . В левой части каждого из них стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части — сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го состояния).
В системе (9) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить уравнение (8).
Особенность решения дифференциальных уравнений вообще состоит в том, что требуется задать так называемые начальные условия, т.е. в данном случае вероятности состояний системы в начальный момент . Так, например, систему уравнений (9) естественно решать при условии, что в начальный момент оба узла исправны и система находилась в состоянии , т.е. при начальных условиях .
Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени . Особый интерес представляют вероятности системы в предельном стационарном режиме , т.е. при , которые называются предельными (или финальными) вероятностями состояний.
В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.
Предельная вероятность состояния имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии . Например, если предельная вероятность состояния , т.е. , то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии .
Так как предельные вероятности постоянны, то, заменяя в уравнениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим. Для системы с графом состояний, изображенном на рис. 1), такая система уравнений имеет вид:
Систему (10) можно составить непосредственно по размеченному графу состояний, если руководствоваться правилом , согласно которому слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа — сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.
Пример 2. Найти предельные вероятности для системы из примера 1, граф состояний которой приведен на рис. 1, при
Решение. Система алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим для данной системы, имеет вид (10) или
(Здесь мы вместо одного «лишнего» уравнения системы (10) записали нормировочное условие (8)).
Решив систему (11), получим , т.е. в предельном, стационарном режиме система в среднем 40% времени будет находиться в состоянии (оба узла исправны), 20% — в состоянии (первый узел ремонтируется, второй работает), 27% — в состоянии (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% времени — в состоянии (оба узла ремонтируются)
Пример 3. Найти средний чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме системы в условиях примеров 1 и 2, если известно, что в единицу времени исправная работа первого и второго узлов приносит доход соответственно в 10 и 6 ден.ед., а их ремонт требует затрат соответственно в 4 и 2 ден.ед. Оценить экономическую эффективность имеющейся возможности уменьшения вдвое среднего времени ремонта каждого из двух узлов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла (в единицу времени).
Решение. Из примера 2 следует, что в среднем первый узел исправно работает долю времени, равную , а второй узел — . В то же время первый узел находится в ремонте в среднем долю времени, равную , а второй узел — . Поэтому средний чистый доход в единицу времени от эксплуатации системы, т.е. разность между доходами и затратами, равен
Уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого из узлов в соответствии с (6) будет означать увеличение вдвое интенсивностей потока «окончаний ремонтов» каждого узла, т.е. теперь и система линейных алгебраических уравнений (10), описывающая стационарный режим системы , вместе с нормировочным условием (8) примет вид:
Решив систему, получим .
Учитывая, что , а затраты на ремонт первого и второго узла составляют теперь соответственно 8 и 4 ден.ед., вычислим средний чистый доход в единицу времени:
Так как больше (примерно на 20%), то экономическая целесообразность ускорения ремонтов узлов очевидна.
Видео:Матрица интенсивностей. Система уравнений КолмогороваСкачать
Процесс гибели и размножения
В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов — так называемый процесс гибели и размножения . Название этого процесса связано с рядом биологических задач, где он является математической моделью изменения численности биологических популяций.
Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 4.
Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы . Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния возможны переходы только либо в состояние , либо в состояние .
Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, простейшие с соответствующими интенсивностями или .
По графу, представленному на рис. 4, составим и решим алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний (их существование вытекает из возможности перехода из каждого состояния в каждое другое и конечности числа состояний).
В соответствии с правилом составления таких уравнений (см. 13) получим: для состояния
для состояния имеем , которое с учетом (12) приводится к виду
Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений:
к которой добавляется нормировочное условие
При анализе численности популяций считают, что состояние соответствует численности популяции, равной , и переход системы из состояния в состояние происходит при рождении одного члена популяции, а переход в состояние — при гибели одного члена популяции.
Решая систему (14), (15), можно получить
Легко заметить, что в формулах (17) для коэффициенты при есть слагаемые, стоящие после единицы в формуле (16). Числители этих коэффициентов представляют произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо до данного состояния , а знаменатели — произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево до состояния .
Пример 4. Процесс гибели и размножения представлен графом (рис. 5). Найти предельные вероятности состояний.
Видео:Решение системы уравнений Колмогорова в МатлабеСкачать
Марковские случайные процессы. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.
Наиболее полное исследование процесса функционирования систем получается, если известны явные математические зависимости, связывающие искомые показатели с начальными условиями, параметрами и переменными исследуемой системы. Для многих современных систем, являющихся объектами моделирования, такие математические зависимости отсутствуют или малопригодны, и следует применять другое моделирование, как правило, имитационное.
Большой класс случайных процессов составляют процессы без последействия, которые в математике называют марковскими процессами в честь Андрея Андреевича Маркова — старшего (1856 — 1922), выдающегося русского математика, разработавшего основы теории таких процессов.
Случайный процесс называется марковским, если вероятность перехода системы в новое состояние зависит только от состояния системы в настоящий момент и не зависит от того, когда и каким образом система перешла в это состояние.
Практически любой случайный процесс является марковским или может быть сведен к марковскому. В последнем случае достаточно в понятие состояния включить всю предысторию смен состояний системы.
Марковские процессы делятся на два класса:
· дискретные марковские процессы (марковские цепи);
· непрерывные марковские процессы.
Дискретной марковской цепьюназывается случайный процесс, при котором смена дискретных состояний происходит в определенные моменты времени.
Непрерывным марковским процессомназывается случайный процесс, при котором смена дискретных состояний происходит в случайные моменты времени.
Рассмотрим ситуацию, когда моделируемый процесс обладает следующими особенностями.
Система 
имеет 
возможных состояний: 
, 
. 
. Вообще говоря, число состояний может быть бесконечным. Однако модель, как правило, строится для конечного числа состояний.
Смена состояний происходит, будем считать, мгновенно и в строго определенные моменты времени 
. В дальнейшем будем называть временные точки 
шагами.
Известны вероятности перехода 
системы за один шаг из состояния 
в состояние 
.
Цель моделирования: определить вероятности состояний системы после 
-го шага.
Обозначим эти вероятности 
(не путать с вероятностями ).
Если в системе отсутствует последействие, то есть вероятности не зависят от предыстории нахождения системы в состоянии , а определяются только этим состоянием, то описанная ситуация соответствует модели дискретной марковской цепи.
Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности от времени не зависят, то есть от шага к шагу не меняются. В противном случае, то есть если переходные вероятности 
зависят от времени, марковская цепь называется неоднородной.
Значения обычно сводятся в матрицу переходных вероятностей:
Значения могут также указываться на графе состояний системы. На рис. показан размеченный граф для четырех состояний системы. Обычно вероятности переходов «в себя» — 
, 
и т. д. на графе состояний можно не проставлять, так как их значения дополняют до 1 сумму переходных вероятностей, указанных на ребрах (стрелках), выходящих из данного состояния.
Не указываются также нулевые вероятности переходов. Например, на рис. это вероятности 
, 
и др.
Математической моделью нахождения вероятностей состояний однородной марковской цепи является рекуррентная зависимость
где 
— вероятность 
-го состояния системы после -го шага, 
;
— вероятность 
-го состояния системы после 
-го шага, 
;
— число состояний системы;
-переходные вероятности.
Рис.Размеченный граф состояний системы
Для неоднородной марковской цепи вероятности состояний системы находятся по формуле:
где 
— значения переходных вероятностей для -го шага.
Сформулируем методику моделирования по схеме дискретных марковских процессов (марковских цепей).
1. Зафиксировать исследуемое свойство системы.
Определение свойства зависит от цели исследования. Например, если исследуется объект с целью получения характеристик надежности, то в качестве свойства следует выбрать исправность. Если исследуется загрузка системы, то — занятость. Если состояния объектов, то — поражен или непоражен.
2. Определить конечное число возможных состояний системы и убедиться в правомерности моделирования по схеме дискретных марковских процессов.
3. Составить и разметить граф состояний.
4. Определить начальное состояние.
5. По рекуррентной зависимости определить искомые вероятности.
В рамках изложенной методики моделирования исчерпывающей характеристикой поведения системы является совокупность вероятностей .
При моделировании состояния систем с непрерывными марковскими процессами мы уже не можем воспользоваться переходными вероятностями 
, так как вероятность «перескока» системы из одного состояния в другое точно в момент времени 
равна нулю (как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины).
Поэтому вместо переходных вероятностей вводятся в рассмотрение плотности вероятностей переходов 
:
где 
— вероятность того, что система, находившаяся в момент времени в состоянии за время 
перейдет в состояние .
С точностью до бесконечно малых второго порядка из приведенной формулы можно представить:
Непрерывный марковский процесс называется однородным,если плотности вероятностей переходов не зависят от времени (от момента начала промежутка ). В противном случае непрерывный марковский процесс называется неоднородным.
Целью моделирования,как и в случае дискретных процессов, является определение вероятностей состояний системы 
Эти вероятности находятся интегрированием системы дифференциальных уравнений Колмогорова.
Сформулируем методику моделирования по схеме непрерывных марковских процессов.
1. Определить состояния системы и плотности вероятностей переходов .
2. Составить и разметить граф состояний.
3. Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова. Число уравнений в системе равно числу состояний. Каждое уравнение формируется следующим образом.
4. B левой части уравнения записывается производная вероятности -го состоянии 
5. В правой части записывается алгебраическая сумма произведений 
и 
. Число произведений столько, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка графа направлена в данное состояние, то соответствующее произведение имеет знак плюс, если из данного состояния — минус.
6. Определить начальные условия и решить систему дифференциальных уравнений.
Пример. Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для нахождения вероятностей состояний системы, размеченный граф состояний которой представлен на рисунке.
Рис. Размеченный граф состояний
Очевидно, 
.
Поэтому любое из первых трех уравнений можно исключить, как линейно зависимое.
Для решения уравнений Колмогорова необходимо задать начальные условия. Для рассмотренного примера можно задать такие начальные условия: 
, 
.
Дата добавления: 2015-04-03 ; просмотров: 7842 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
Алгоритм составления системы уравнений Колмогорова
Читайте также:
|
(9.1)
— вероятность, что за время t произойдет k событий, λ — количество событий в единицу времени (интенсивность потока).
(9.2) 
, где Тобс – среднее время обслуживания.
(9.3)
(9.4)
