Составить уравнение высоты bh треугольника abc (8 видео)

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

Найти уравнение стороны треугольника.
Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Содержание

Решить треугольник Онлайн по координатам
Задача 20272 2. Даны вершины треугольника ABC: A(-1;.
Условие
Решение
🔍 Видео

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

A ( ; ), B ( ; ), C ( ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Видео:№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать

Задача 20272 2. Даны вершины треугольника ABC: A(-1;.

Условие

2. Даны вершины треугольника ABC: A(-1; 7), B(11; 2), C(17; 10).

а) уравнение стороны AC;
б) уравнение медианы AM;
в) уравнение высоты BH и найти её длину.

Решение

а)
Уравнение АС как уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид:
(x-x_(C))/(x_(A)-x_(C))=(y-y_(C))/(y_(A)-y_(C))

(x-17)/(-1-17)=(y-10)/(7-10)
Пропорция, перемножаем крайние и средние члены пропорции
-3*(х-17)=-18*(у-10)
х-17=6(у-10)
х-6у+43=0
б)
х_(М)=(х_(В)+х_(С))/2=(11+17)/2=14
у_(М)=(у_(В)+у_(С))/2=(2+10)/2=6
M(14;6)
Уравнение АМ как уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид
(x-x_(M))/(x_(A)-x_(M))=(y-y_(M))/(y_(A)-y_(M))
(x-14)/(-1-14)=(y-6)/(7-6)
или
х-14=-15(у-6)
х+15у-104=0
в) ВН ⊥ АС
Угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых равны -1
Так как уравнение АС имеет вид
у=(1/6) х-(43/6)

у=-6х+b — уравнение прямых, перпендикулярных АС
Уравнение ВН найдем подставив координаты точки В в данное семейство
2=-6*11+b
b=68
y=-6x+68

или второй способ направляющие векторы взаимно перпендикулярных прямых тоже взаимно перпендикулярны.
Направляющий вектор АС имеет координаты.
(1;-6)
Направляющий вектор ВН имеет координаты (6;1)
Тогда их скалярное произведение (1*6-6*1=0)
6х+у+m=0
Подставляем координаты точки В
6*11+2=m
m=-68
6х+у-68=0

ВН=d( расстоянию от точки В до АС)=
=|11-6*2+43|/sqrt(1+6^2)=
=42/sqrt(37)