12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

Видео:Урок 343. Затухающие колебания (часть 1)Скачать

Урок 343. Затухающие колебания (часть 1)

Уравнение вынужденных колебаний и его решение. Векторная диаграмма

В реальной колебательной системе можно получить незатухающие колебания, если колебания совершаются системой под действием вынуждающей силы, изменяющейся по гармоническому закону с частотой со:

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

где F0 — амплитуда внешней силы.

Тогда уравнение второго закона Ньютона (3.3), учитывая силу трения или сопротивления среды FTf) — —rx и возмущающую силу (7.29), имеет вид

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

Введем обозначения — = со0, -— = (3 и получим дифференциальное m 2m

уравнение вынужденных колебаний

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

где (3 — коэффициент затухания; со0 — собственная частота колебаний системы.

На рис. 7.9 изображен простейший случай установления вынужденных колебаний.

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

Рис. 7.9. Процесс установления вынужденных колебаний

Дифференциальное уравнение (7.31) является линейным неоднородным уравнением. Из теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами известно, что его решение равно сумме общего решения соответствующего однородного (с нулевой правой частью) уравнения (типа (7.21)) и частного решения неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения (7.21) нам известно:

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

где со’ = л/соо — (З 2 — собственная частота затухающих колебаний.

Можно показать, что частное решение имеет вид

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

где А — амплитуда вынужденных колебаний; ср — отставание по фазе вынужденных колебаний от колебаний вынуждающей силы.

Таким образом, осциллятор одновременно совершает два типа колебаний (7.32) и (7.33) и общее решение уравнения (7.31) есть сумма решений:

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

Слагаемое (7.32) играет заметную роль только в начальной стадии процесса при установлении колебаний (рис. 7.9). Со временем затухающие колебания быстро затухают вследствие сопротивления среды: из-за экспоненциального множителя е

Р’ роль решения а:, уменьшается и им можно пренебречь по истечении некоторого времени. В решении уравнения вынужденных колебаний (7.31) при установившихся колебаниях остается только слагаемое (7.33), т.е. колебания происходят с постоянной амплитудой и, следовательно, не затухают. При этом время установления стационарного режима вынужденных колебаний после начала действия вынуждающей силы равно т.

Определим постоянные А и ф. Для этого продифференцируем уравнение (7.33) дважды по времени:

Видео:71. Вынужденные колебанияСкачать

71. Вынужденные колебания

Вынужденные колебания

Видео:Вынужденные колебания и дифференциальное уравнениеСкачать

Вынужденные колебания и дифференциальное уравнение

Определение вынужденных колебаний

Для того чтобы в реально существующей колебательной системе получать незатухающие колебания, следует каким-либо образом компенсировать потери энергии, которые происходят в результате существования сил сопротивления. Самым простым способом реализации незатухающих колебаний является воздействие на систему при помощи внешней периодической силы. Работа внешней силы обеспечить приток энергии в систему извне. Эта энергия не даст колебаниям затухнуть, при действии сил трения.

Колебания, которые возникают под действием периодически меняющейся силы (периодически изменяющейся ЭДС), называют вынужденными механическими (электромагнитными) колебаниями.

Видео:Физика 9 класс (Урок№11 - Гармонические колебания. Затухающие колебания. Резонанс.)Скачать

Физика 9 класс (Урок№11 - Гармонические колебания. Затухающие колебания. Резонанс.)

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Допустим, на механическую колебательную систему действует гармонически изменяющаяся внешняя сила:

Рассмотрим колебания груза на пружине (пружинный маятник). Уравнение незатухающих гармонических колебаний для этой системы можно записать как:

где $x$ — координата; $delta $ — коэффициент затухания; $_0$ — циклическая частота свободных незатухающих колебаний (если $delta $=0, то $_$называют собственной частотой колебаний).

Если рассматривается, например, электрический колебательный контур, то роль периодически действующей силы может играть внешняя ЭДС или переменное напряжение. Их подводят к контуру извне и изменяются они по гармоническому закону. Уравнение колебаний в электрическом контуре можно представить как:

где $q$ — заряд; $delta =frac$ — коэффициент затухания; $_0=frac<sqrt>$; $U=U_m$ — внешнее переменное напряжение.

Уравнения (2) и (3) можно свести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению вида:

где $s$ — колеблющийся параметр; $x_0=frac$ если колебания механические ($x_0=frac— в случае электрических колебаний$).

Решением уравнения (4) является сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Однородное уравнение при этом имеет вид:

Его общее решение:

где $A_0$ — начальная амплитуда колебаний.

Частное решение уравнения (4) в представлено выражением:

Слагаемое $s_1$ в решении уравнения (5) играет значительную роль в начальной стадии установления колебаний, пока амплитуда вынужденных колебаний не будет определяться выражением (8).

Установившись, вынужденные колебания происходят с частотой $omega $ и являются гармоническими. Амплитуда и фаза этих колебаний определяются равенствами (8) и (9), и они зависят от частоты $omega $.

Видео:Честный вывод уравнения колебанийСкачать

Честный вывод уравнения колебаний

Резонанс вынужденных колебаний

Если частота вынуждающей силы приближается к собственной частоте колебаний, то возникает резкое увеличение амплитуды колебаний. Такое явление называют резонансом.

Из выражения (8) видно, что амплитуда имеет максимум. Для нахождения резонансной частоты (частоты при которой $A=max$), следует найти максимум функции $A(omega )$. Взяв производную $frac$ и приравняв ее к нулю получим:

Равенство (10) справедливо при:

Получается, что резонансная частота ($_r$) равна:

При $^2ll ^2_0$ резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний $_0.$ Подставим вместо частоты правую часть выражения (11) в формулу (8), получим выражение для резонансной амплитуды вынужденных колебаний:

При небольшом затухании колебаний (если $^2ll ^2_0$) амплитуда при резонансе равна:

где $Q=frac<_0>$ — добротность колебательной системы, величина, характеризующая резонансные свойства колебательной системы. С увеличением добротности увеличивается амплитуда резонанса.

Видео:Урок 347. Вынужденные колебания. Резонанс (часть 1)Скачать

Урок 347. Вынужденные колебания. Резонанс (часть 1)

Примеры задач с решением

Задание. Какова добротность колебательного контура, представленного на рис.1?

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

Решение. Добротность электрического колебательного контура найдем как:

При этом собственная частота колебаний в таком контуре равна:

коэффициент затухания находим как:

Подставляет правые части выражений (1.2) (1.3) вместо соответствующих величин в (1.1), в результате, добротность представленного на рис. 1 контура найдем при помощи формулы:

Ответ. $Q=10$

Задание. Пружинный маятник выполняет вынужденные колебания в вязком веществе. Масса груза на пружине равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Коэффициент сопротивления среды равен $r$. Систему заставляет совершать колебания сила $F=$Чему равна резонансная амплитуда заданных колебаний ($A_r$)?

Решение. Допустим, что груз совершает колебания вдоль прямой X, тогда уравнением данных механических колебаний будет выражение:

где коэффициент затухания равен $delta =frac$. Из функции, которая задает вынуждающую силу:

мы видим, что амплитуда силы равна единице:

Собственная частота колебаний груза на пружине:

Амплитуда при резонансе таких колебаний равна:

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями .

Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими . Внешний источник периодического воздействия обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь.

Особый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω, включен в электрическую цепь, способную совершать собственные свободные колебания на некоторой частоте ω0.

Если частота ω0 свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешнего источника .

Для установления вынужденных стационарных колебаний после включения в цепь внешнего источника необходимо некоторое время Δ. Это время по порядку величины равно времени τ затухания свободных колебаний в цепи.

Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынужденные колебания под действием периодического источника тока, называются цепями переменного тока .

Рассмотрим последовательный колебательный контур, то есть -цепь, в которую включен источник тока, напряжение которого изменяется по периодическому закону (рис. 2.3.1):

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма,

где 12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма0 – амплитуда, ω – круговая частота.

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма
Рисунок 2.3.1.

Предполагается, что для электрической цепи, изображенной на рис. 2.3.1, выполнено условие квазистационарности. Поэтому для мгновенных значений токов и напряжений можно записать закон Ома:

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

Величина 12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма– это ЭДС самоиндукции катушки, перенесенная с изменением знака из правой части уравнения в левую. Эту величину принято называть напряжением на катушке индуктивности .

Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма,

где , и – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами , и . При установившихся вынужденных колебаниях все напряжения изменяются с частотой ω внешнего источника переменного тока. Для наглядного решения уравнения вынужденных колебаний можно использовать метод векторных диаграмм .

На векторной диаграмме колебания определенной заданной частоты ω изображаются с помощью векторов (рис. 2.3.2).

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма
Рисунок 2.3.2.

Длины векторов на диаграмме равны амплитудам и колебаний, а наклон к горизонтальной оси определяется фазами колебаний φ1 и φ2. Взаимная ориентация векторов определяется относительным фазовым сдвигом . Вектор, изображающий суммарное колебание, строится на векторной диаграмме по правилу сложения векторов: 12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

Для того, чтобы построить векторную диаграмму напряжений и токов при вынужденных колебаниях в электрической цепи, нужно знать соотношения между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для всех участков цепи.

Рассмотрим по отдельности случаи подключения внешнего источника переменного тока к резистру с сопротивлением , конденсатору с емкостью и катушки с индуктивностью . Во всех трех случаях напряжение на резисторе, конденсаторе и катушке равно напряжению источника переменного тока.

1. Резистор в цепи переменного тока

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

Здесь через обозначена амплитуда тока, протекающего через резистор. Связь между амплитудами тока и напряжения на резисторе выражается соотношением

.

Фазовый сдвиг между током и напряжением на резисторе равен нулю.

Физическая величина называется активным сопротивлением резистора .

2. Конденсатор в цепи переменного тока

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

Соотношение между амплитудами тока и напряжения :

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

Ток опережает по фазе напряжение на угол 12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

Физическая величина 12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмманазывается емкостным сопротивлением конденсатора .

3. Катушка в цепи переменного тока

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

Соотношение между амплитудами тока и напряжения :

.

Ток отстает по фазе от напряжения на угол 12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

Физическая величина называется индуктивным сопротивлением катушки .

Теперь можно построить векторную диаграмму для последовательного -контура, в котором происходят вынужденные колебания на частоте ω. Поскольку ток, протекающий через последовательно соединенные участки цепи, один и тот же, векторную диаграмму удобно строить относительно вектора, изображающего колебания тока в цепи. Амплитуду тока обозначим через . Фаза тока принимается равной нулю. Это вполне допустимо, так как физический интерес представляют не абсолютные значения фаз, а относительные фазовые сдвиги. Векторная диаграмма для последовательного -контура изображена на рис. 2.3.2.

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма
Рисунок 2.3.3.

Векторная диаграмма на рис. 2.3.2 построена для случая, когда 12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграммаили 12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграммаВ этом случае напряжение внешнего источника опережает по фазе ток, текущий в цепи, на некоторый угол φ.

Из рисунка видно, что

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

откуда следует

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

Из выражения для видно, что амплитуда тока принимает максимальное значение при условии

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

или

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

Явление возрастания амплитуды колебаний тока при совпадении частоты ω колебаний внешнего источника с собственной частотой ω0 электрической цепи называется электрическим резонансом . При резонансе

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

Сдвиг фаз φ между приложенным напряжением и током в цепи при резонансе обращается в нуль. Резонанс в последовательной -цепи называется резонансом напряжений . Аналогичным образом с помощью векторной диаграммы можно исследовать явление резонанса при параллельном соединении элементов , и (так называемый резонанс токов ).

При последовательном резонансе () амплитуды и напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают:

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

В § 2.2 было введено понятие добротности -контура:

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма

Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в раз превышают амплитуду напряжения внешнего источника.

12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма
Рисунок 2.3.4.

Рис. 2.3.4 иллюстрирует явление резонанса в последовательном электрическом контуре. На рисунке графически изображена зависимость отношения амплитуды напряжения на конденсаторе к амплитуде 12 вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение график векторная диаграмма0 напряжения источника от его частоты ω для различных значений добротности . Кривые на рис. 2.3.3 называются резонансными кривыми .

Можно показать, что максимум резонансных кривых для контуров с низкой добротностью несколько сдвинуты в область низких частот.

💥 Видео

1 Лекция 12 Затухающие и вынужденные колебанияСкачать

1 Лекция 12 Затухающие и вынужденные колебания

70. Затухающие колебанияСкачать

70. Затухающие колебания

Свободные колебания и дифференциальное уравнениеСкачать

Свободные колебания и дифференциальное уравнение

Затухающие колебания. Вынужденные колебания | Физика 9 класс #26 | ИнфоурокСкачать

Затухающие колебания. Вынужденные колебания | Физика 9 класс #26 | Инфоурок

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.

Лекция 7. Свободные затухающие колебания. Вынужденные колебания. Сложение колебаний.Скачать

Лекция 7. Свободные затухающие колебания. Вынужденные колебания. Сложение колебаний.

Вынужденные колебания. Резонанс | Физика 11 класс #9 | ИнфоурокСкачать

Вынужденные колебания. Резонанс | Физика 11 класс #9 | Инфоурок

Билеты №45 "Вынужденные колебания в линейных системах"Скачать

Билеты №45 "Вынужденные колебания в линейных системах"

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Лекция №11 "Вынужденные колебания" (Попов П.В.)Скачать

Лекция №11 "Вынужденные колебания" (Попов П.В.)

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Поделиться или сохранить к себе: