Составить уравнение для смещения скорости и ускорения и найти их значение для заданного времени (2 видео)

I. Механика

Содержание

Тестирование онлайн
Гармоническое колебание
График гармонического колебания
Уравнение гармонического колебания
Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании
Максимальные значения скорости и ускорения
Как получить зависимости v(t) и a(t)
Составить уравнение для смещения скорости и ускорения и найти их значение для заданного времени
Составить уравнение для смещения скорости и ускорения и найти их значение для заданного времени
📺 Видео

Видео:Физика - перемещение, скорость и ускорение. Графики движения.Скачать

Тестирование онлайн

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Гармоническое колебание

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса.

Видео:Урок 330. Скорость и ускорение при гармонических колебанияхСкачать

График гармонического колебания

График устанавливает зависимость смещения тела со временем. Установим к пружинному маятнику карандаш, за маятником бумажную ленту, которая равномерно перемещается. Или математический маятник заставим оставлять след. На бумаге отобразится график движения.

Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения.

Видео:Урок 18 (осн). Координаты тела. График движения. График скоростиСкачать

Уравнение гармонического колебания

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .

Видео:Физика - уравнения равноускоренного движенияСкачать

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила, скорость и ускорение, тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия — достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Если колебание описывать по закону синуса

Видео:МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебанийСкачать

Максимальные значения скорости и ускорения

Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле

Видео:Выполнялка 53.Гармонические колебания.Скачать

Как получить зависимости v(t) и a(t)

Формулы зависимостей скорости от времени и ускорения от времени можно получить математически, зная зависимость координаты от времени. Аналогично равноускоренному движению, зависимость v(t) — это первая производная x(t). А зависимость a(t) — это вторая производная x(t).

При нахождении производной предполагаем, что переменной (то есть x в математике) является t, остальные физические величины воспринимаем как постоянные.

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.Скачать

Составить уравнение для смещения скорости и ускорения и найти их значение для заданного времени

Графики смещения скорости и ускорения

Параметры колебаний запишем в виде системы уравнений:

(1.3.1)

Из этой системы уравнений можно сделать следующие выводы:

скорость колебаний тела максимальна и, по абсолютной величине, равна амплитуде скорости в момент прохождения через положение равновесия ( ). При максимальном смещении ()скорость равна нулю;
ускорение равно нулю при прохождении телом положения равновесия и достигает наибольшего значения, равного амплитуде ускорения при наибольших смещениях.

Ускорение всегда направлено к положению равновесия, поэтому, удаляясь от положения равновесия, тело двигается замедленно, приближаясь к нему – ускоренно. Ускорение всегда прямо пропорционально смещению, а его направление противоположно направлению смещения. Все эти выводы могут служить определением гармонического колебания.

Графики смещения скорости и ускорения гармонических колебаний приведены на рис. 1.3 и 1.4.

Начальная фаза φ₀ определяется из начальных условий конкретной задачи (точно так же, как и амплитуда А).

Найдем разность фаз Δφ между фазами смещения х и скорости υ_x. Для этого воспользуемся (1.3.1):

Отсюда видно, что

Δφ = φ_x — φ_v = π / 2,

(1.2.2)

то есть скорость опережает смещение по фазе на π/2.

Аналогично можно показать, что ускорение, в свою очередь, опережает скорость по фазе на π/2:

т.к. , то φ_a — φ_v = ω t + φ₀ + π — ω t — φ₀ — π/2 = π/2,
или

φ_v — φ_a = — π/2.

(1.3.3)

Тогда ускорение опережает смещение на π, или

φ_x — φ_a = — π,

(1.3.4)

то есть смещение и ускорение находятся в противофазе. Все выше- изложенное хорошо иллюстрируется рис. 1.3.

Видео:Урок 327. Гармонические колебанияСкачать

Составить уравнение для смещения скорости и ускорения и найти их значение для заданного времени

• Т — период колебаний — минимальный промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание

• ω₀ — циклическая (круговая) частота — число полных колебаний за 2π секунд:

Частота и период гармонических колебаний не зависят от амплитуды. Изменяя амплитуду колебаний груза на пружине, мы не изменяем частоту колебаний этой системы.

Колебания характеризуются не только смещением, но и скоростью v_x, и ускорением a_x. Если смещение описывается уравнением x = A cos(ω₀t + φ), то, по определению, .

В этих уравнениях v_m =ω₀A — амплитуда скорости; a_m =ω₀ 2 A — амплитуда ускорения.

Из уравнений (2.1.5) и (2.1.6) видно, что скорость и ускорение также являются гармоническими колебаниями.

2.1.3. Графики смещения скорости и ускорения

Параметры колебаний запишем в виде системы уравнений:

Из этой системы уравнений можно сделать следующие выводы:

• скорость колебаний тела максимальна и по абсолютной величине равна амплитуде скорости в момент прохождения через положение