Собственные функции уравнения мат физики

Видео:Боголюбов А. Н. - Методы математической физики - Собственные функции кругаСкачать

Боголюбов А. Н. - Методы математической физики - Собственные функции круга

Основные типы уравнений математической физики

Собственные функции уравнения мат физики

Основные типы уравнений

К основным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.

1. Волновое уравнение:

Собственные функции уравнения мат физики.

Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. К его исследованию приводит изучение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводах и т. д.

2. Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:

Собственные функции уравнения мат физики.

Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К его исследованию приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, изучение некоторых вопросов теории вероятностей и т. д.

3. Уравнение Лапласа:

Собственные функции уравнения мат физики.

Это уравнение относится к простейшим уравнениям эллиптического типа. К его исследованию приводит изучение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики и т. д.

В выписанных уравнениях искомая функция u зависит от двух переменных t, x или x, y. Рассматриваются также уравнения и для функций с большим числом переменных. Например, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид

Собственные функции уравнения мат физики,

Собственные функции уравнения мат физики

и уравнение Лапласа

Собственные функции уравнения мат физики.

Уравнение колебаний струны.

Видео:Квантовая механика 8 - Операторы. Собственные векторы и собственные значения.Скачать

Квантовая механика 8 - Операторы. Собственные векторы и собственные значения.

Формулировка краевой задачи

В математической физике струной называют гибкую упругую нить. Пусть струна в начальный момент времени расположена на отрезке 0≤xl оси Собственные функции уравнения мат физикиOx. Предположим, что ее концы закреплены в точках x=0 и x=l. Если струну отклонить от первоначального положения, а потом предоставить самой себе или придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движение. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Если предположить, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости, то процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t), которая определяет величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.

Доказано, что при отсутствии внешней силы функция u(x,t) должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка

Собственные функции уравнения мат физики.

Для полного определения движения струны одного уравнения недостаточно. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны (при x=0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, концы струны при x=0 и x=l неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства

Это – граничные условия для рассматриваемой задачи. В начальный момент t=0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f(x), т. е.

Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией φ(x), т. е.

Собственные функции уравнения мат физики.

Эти два условия называются начальными условиями.

Колебания бесконечной струны.

Формула Даламбера решения задачи Коши

для волнового уравнения

Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, рассмотрим более простую задачу – о колебаниях бесконечной струны. Если представить очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникающие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния.

Рассматривая свободные колебания, мы должны решить однородное уравнение

Собственные функции уравнения мат физики

при начальных условиях

Собственные функции уравнения мат физики, Собственные функции уравнения мат физики,

где функции f(x) и g(x) заданы на всей числовой оси. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.

Преобразуем волновое уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик

Собственные функции уравнения мат физики

распадается на два уравнения:

интегралами которых служат прямые

Введем новые переменные ξ=xat, η=x + at и запишем волновое уравнение для переменных ξ и η.

Собственные функции уравнения мат физики, Собственные функции уравнения мат физики,

Собственные функции уравнения мат физики,

Собственные функции уравнения мат физики,

и подставляя их в исходное уравнение, видим, что уравнение колебания струны в новых координатах будет

Собственные функции уравнения мат физики.

Интегрируя полученное равенство по η при фиксированном ξ, придем к равенству Собственные функции уравнения мат физики. Интегрируя это равенство по ξ при фиксированном η, получим

Собственные функции уравнения мат физики,

где φ и ψ являются функциями только переменных ξ и η соответственно. Следовательно, общим решением исходного уравнения является функция

Собственные функции уравнения мат физики. (8)

Найдем функции φ и ψ так, чтобы удовлетворялись начальные условия:

Собственные функции уравнения мат физики.

Собственные функции уравнения мат физики,

Собственные функции уравнения мат физики.

Интегрируя последнее равенство, получим:

Собственные функции уравнения мат физики,

где х0 и С – постоянные. Из системы уравнений

Собственные функции уравнения мат физики

Собственные функции уравнения мат физики

Таким образом, мы определили функции φ и ψ через заданные функции f и g, причем полученные равенства должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (8) найденные значения φ и ψ, будем иметь

Собственные функции уравнения мат физики

Собственные функции уравнения мат физики.

Найденное решение называется формулой Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения

Пример. Решить уравнение Собственные функции уравнения мат физикипри начальных условиях Собственные функции уравнения мат физики, Собственные функции уравнения мат физики.

Видео:Собственные значения и функции в интегральных уравненияхСкачать

Собственные значения и функции в интегральных уравнениях

Используя формулу Даламбера, сразу получаем

Собственные функции уравнения мат физики

Собственные функции уравнения мат физики.

Решение волнового уравнения

методом разделения переменных

Метод разделения переменных применяется для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение волнового уравнения

Собственные функции уравнения мат физики, (9)

удовлетворяющее краевым условиям

u(x,0)=f(x), Собственные функции уравнения мат физики. (12),(13)

Частное решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным условиям (10) и (11), ищут в виде произведения двух функций:

Подставляя функцию u(x,t) в уравнение (9) и преобразовывая его, получим

Собственные функции уравнения мат физики.

В левой части этого уравнения стоит функция, которая не зависит от x, а в правой – функция, не зависящая от t. Равенство возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от x, ни от t, т. е. равны постоянному числу. Обозначим

Собственные функции уравнения мат физики, где λ>0. (14)

Из этих уравнений получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Собственные функции уравнения мат физикии Собственные функции уравнения мат физики. (15)

Общее решение этих уравнений

Собственные функции уравнения мат физики,

Собственные функции уравнения мат физики,

где A, B, C, D – произвольные постоянные.

Постоянные A и B подбирают так, чтобы выполнялись условия (10) и (11), из которых следует, что X(0)=X(l)=0, так как T(t)≠0 (в противном случае u(x,t)=0). Учитывая полученные равенства, находим

А=0 и Собственные функции уравнения мат физики.

Так как B≠0 (иначе, было бы X=0 и u=0, что противоречит условию), то должно выполняться равенство

Собственные функции уравнения мат физики,

Собственные функции уравнения мат физики.

Найденные значения λ называют собственными значениями для данной краевой задачи. Соответствующие им функции X(x) называются собственными функциями.

Заметим, что, если в равенстве (14) вместо – λ взять число λ (λ>0), то первое из уравнений (15) будет иметь решение в виде

Собственные функции уравнения мат физики.

Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (10) и (11).

Зная Собственные функции уравнения мат физики, можем записать

Собственные функции уравнения мат физики.

Для каждого n получаем решение уравнения (9)

Собственные функции уравнения мат физики.

Так как исходное уравнение (9) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция

Собственные функции уравнения мат физики(16)

будет решением дифференциального уравнения (9), удовлетворяющим граничным условиям (10) и (11).

Найденное частное решение должно еще удовлетворять начальным условиям (12) и (13). Из условия (12) получим

Собственные функции уравнения мат физики.

Далее, дифференцируя члены ряда (16) по переменной t, из условия (13) будем иметь

Собственные функции уравнения мат физики.

Правые части двух последних равенств есть ряды Фурье для функций f(x) и φ(x), разложенных по синусам на интервале (0, l). Поэтому

Собственные функции уравнения мат физики. (17)

Итак, ряд (16), для которого коэффициенты Cn и Dn определяются по выписанным формулам, если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным и начальным условиям.

Пример. Найти решение краевой задачи для волнового уравнения

Собственные функции уравнения мат физики, 0


источники:

🎥 Видео

Горицкий А. Ю. - Уравнения математической физики. Часть 1. Семинары - Семинар 14Скачать

Горицкий А. Ю. - Уравнения математической физики. Часть 1. Семинары - Семинар 14

Собственные функции оператора квадрата момента и его проекции. Часть 1.Скачать

Собственные функции оператора квадрата момента и его проекции. Часть 1.

Колыбасова В.В. - Методы математической физики.Семинары - 15. Решение краевых задач. Функция ГринаСкачать

Колыбасова В.В. - Методы математической физики.Семинары - 15. Решение краевых задач. Функция Грина

Волновая функция (видео 5) | Квантовая физика | ФизикаСкачать

Волновая функция (видео 5) | Квантовая физика | Физика

Боголюбов А. Н. - Методы математической физики - Уравнение БесселяСкачать

Боголюбов А. Н. - Методы математической физики - Уравнение Бесселя

Консультация по квантовой механике. Часть 5. "Волновая функция. Уравнение Шредингера"Скачать

Консультация по квантовой механике. Часть 5. "Волновая функция. Уравнение Шредингера"

14. Свойства функции БесселяСкачать

14. Свойства функции Бесселя

Горицкий А. Ю. - Уравнения математической физики - Функция ГринаСкачать

Горицкий А. Ю. - Уравнения математической физики - Функция Грина

Дифференциальные уравнения | задача Штурма - Лиувилля | классические краевые задачи | 1Скачать

Дифференциальные уравнения | задача Штурма - Лиувилля | классические краевые задачи | 1

Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных. Метод ФурьеСкачать

Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных. Метод Фурье

5.1 Задача Штурма-ЛиувилляСкачать

5.1 Задача Штурма-Лиувилля
Поделиться или сохранить к себе: