Система уравнений кирхгофа в комплексной форме

Первый и второй законы Кирхгофа в комплексной форме

Первый закон Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи в каждый момент времени равна нулю:

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме. (2.31)

Чтобы получить математическую формулировку первого закона Кирхгофа в комплексной форме, представим все синусоидальные токи соответствующими им комплексными значениями:

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме. (2.32)

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме записывается следующим образом:

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме, (2.33)

т.е. алгебраическая сумма комплексных значений токов всех ветвей, сходящихся в каком-либо узле цепи синусоидального тока, равна нулю.

На рис. 2.6 построена векторная диаграмма трех токов:

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме.

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме

На векторной диаграмме должно выполняться равенство:

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме.

Второй закон Кирхгофа. По второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений всех участков любого контура в каждый момент времени равна нулю:

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме. (2.34)

Для контура замещения, содержащего только пассивные элементы и источники ЭДС, в каждый момент времени алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах контура равна алгебраической сумме ЭДС:

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме. (2.35)

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме

Например, для выбранного на схеме замещения (рис. 2.7,а) контура 1

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме.

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме.

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме получим, представив все синусоидальные величины схемы замещения (рис. 2.7,б) соответствующими комплексными значениями:

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме.

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме.

На рис. 2.8 построена векторная диаграмма ЭДС и напряжений контура 2, представленной на рис. 2.7,б схемы замещения, наглядно иллюстрирующая второй закон Кирхгофа в комплексной форме.

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме

ЛИТЕРАТУРА

1. Касаткин В.С., Немцов М.В., Электротехника. — М.; Энергоатомиздат, 2000.

2. Основы промышленной электроники /Под ред. В.Г. Герасимова.- М.: Высшая школа, 1985.

3. Основы теории цепей; Учебник для ВУЗов. /В.П.Бакалов и др. 2-ое изд. перераб. и доп. – М.; 2000.

4. Сборник задач по электротехнике и основам электроники / Под ред. В.Г. Герасимова.- М.: Высшая школа, 1987.

5. Прянишников В.А. Электроника. — СПб; Корона принт, 2002.

6. Хоровиц П., Хилл У.. Искусство схемотехники.- М.:Мир, 1997.

7. Амочаева Г.Г. Электронный конспект лекций.

1. Алексеенко А.Г., Шагурин Н.И. Микросхемотехника. Учебное пособие для вузов.- М.: Радио и связь, 1990.

2. Жеребцов И.П. Основы электроники.- Л.: Энергоатомиздат, 1990.

3. Попов В.П., Основы теории цепей.- Учебник для ВУЗов.- 3-е изд. испр.-М.: Высшая школа, 2000.

4. Электротехника и электроника в экспериментах и упражнениях: Практикум на Electronics Workbench. в 2-х томах, Под ред. Д.И. Панфилова ДОДЭКА, 1999.-т.1-Электроника.

5. Электротехника/Ю.М. Борисов, Д.Н. Липатов, Ю.Н. Зорин. Учебник для вузов.- 2-е изд., перераб. и доп.- М.: Энергоатомиздат, 1985.

Дата добавления: 2016-02-16 ; просмотров: 4658 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Видео:Лекция по электротехнике 2.5 - Составление уравнений КирхгофаСкачать

Лекция по электротехнике 2.5 - Составление уравнений Кирхгофа

Законы Кирхгофа в комплексной форме.

2.1. Первый закон Кирхгофа (для узла): алгебраическая сумма комплексных амплитуд тока в узле равна нулю.

Система уравнений кирхгофа в комплексной формеПри записи первого закона Кирхгофа (рис. 4.4) пользуются следующим правилом: токи, втекающие в узел, берутся со знаком «+», а вытекающие – со знаком «–»:

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме.

2.2. Второй закон Кирхгофа (для контура): алгебраическая сумма падений напряжений на пассивных элементах контура (рис. 4.5) равна алгебраической сумме источников ЭДС, входящих в контур:

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа:

1) выбирают условно-положительное направление обхода элементарного контура;

2) члены суммы Система уравнений кирхгофа в комплексной формеберутся со знаком «+», если ток через элемент и направление обхода совпадают, и со знаком «–» в противном случае;

3) слагаемые правой суммы Система уравнений кирхгофа в комплексной формеберутся со знаком «+», если направление источника ЭДС и направление обхода совпадают, и со знаком «–» в противном случае.

4.3. Эквивалентные преобразования электрических цепей

Часто исходная электрическая схема состоит из большого числа элементов и представляет интерес замены, т.е. преобразования ее к более простой – состоящей из меньшего числа элементов, но эквивалентной исходной. Преобразования электрических цепей считают эквивалентными, если при их выполнении напряжения и токи на интересующих нас участках не изменяются.

Электрические цепи считают простыми, если они содержат только последовательное или только параллельное соединение элементов.

Участок цепи, содержащий и параллельное, и последовательное соединение элементов называют сложным или участком со смешанным соединением элементов.

При преобразовании сложных электрических цепей пользуются последовательным методом, то есть последовательно преобразуют участки цепи, имеющие простое соединение элементов.

4.3.1. Эквивалентное преобразование схемы при последовательном
соединении элементов

Система уравнений кирхгофа в комплексной формеРассмотрим комплексную схему замещения электрической цепи, состоящей из последовательного соединения отдельных элементов (рис. 4.6). Данная цепь представляет собой контур, у которого через все элементы протекает общий для всех элементов ток. Эквивалентно преобразуем схему к одному элементу, но так, чтобы напряжение и ток на выводах схемы сохранили свои значения. Это возможно, когда сопротивление исходной и эквивалентной цепи одинаковы. На основании закона Ома и второго закона Кирхгофа в комплексной форме можно записать уравнение электрического равновесия

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме.

Отсюда напряжение и ток для обеих схем одинаковы когда

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме.

Вывод. При эквивалентном преобразовании при последовательном соединении элементов их комплексные сопротивления складываются.

1) Эквивалентное преобразование сопротивлений.

Система уравнений кирхгофа в комплексной формеРассмотрим электрическую цепь, схема которой приведена на рис. 4.7. Эквивалентно преобразуем сопротивления R1 и R2 к одному сопротивлению Rэкв.

2) Эквивалентное преобразование емкостей.

Рассмотрим электрическую цепь, схема которой приведена на рис. 4.8. Эквивалентно преобразуем емкости С1 и С2 к одной эквивалентной емкости Сэкв.

Система уравнений кирхгофа в комплексной формеУчитывая, что ZС = 1/(jωC), и полученное соотношение, имеем

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме.

3) Эквивалентное преобразование индуктивностей.

Система уравнений кирхгофа в комплексной формеРассмотрим электрическую цепь схема, которой приведена на рис. 4.9. Эквивалентно преобразуем индуктивности L1 и L2 к одной эквивалентной индуктивности Lэкв.

4.3.2. Эквивалентное преобразование схемы при параллельном
соединении элементов

Рассмотрим комплексную схему замещения электрической цепи, состоящей из параллельного соединения отдельных элементов (рис. 4.10). Данная цепь содержит два узла, между которыми включены все элементы. Общим для всех элементов является напряжение на них. Эквивалентно преобразуем схему к одному элементу, но так, чтобы напряжение и ток на выводах схемы сохранили свои значения. Это возможно, когда сопротивление исходной цепи и эквивалентной цепи одинаково. На основании закона Ом Система уравнений кирхгофа в комплексной формеа и первого закона Кирхгофа в комплексной форме можно записать уравнение электрического равновесия

Отсюда следует, что

Учитывая, что (1/Z) = Y – комплексная проводимость элемента, можно записать

Вывод. При эквивалентном преобразовании при параллельном соединении элементов их комплексные проводимости складываются.

1) Эквивалентное преобразование сопротивлений.

Система уравнений кирхгофа в комплексной формеРассмотрим электрическую цепь, схема которой приведена на рис. 4.10. Эквивалентно преобразуем сопротивления R1 и R2 к одному сопротивлению Rэкв.

2) Эквивалентное преобразование емкостей.

Система уравнений кирхгофа в комплексной формеРассмотрим электрическую цепь, схема которой приведена на рис. 4.11. Эквивалентно преобразуем емкости С1 и С2 к одной эквивалентной емкости Сэкв. Учитывая, что ZС = 1/(jωC), и полученное соотношение, имеем Cэкв = C1 + С2 .

3) Эквивалентное преобразование индуктивностей.

Система уравнений кирхгофа в комплексной формеРассмотрим электрическую цепь, схема которой приведена на рис. 4.12. Эквивалентно преобразуем индуктивности L1 и L2 к одной эквивалентной индуктивности Lэкв.

4.3.3. Эквивалентное преобразование схемы при смешанном
соединении элементов

Система уравнений кирхгофа в комплексной формеТакое преобразование выполняется последовательным методом, т.е. последовательно преобразуются участки цепи, имеющие простое соединение элементов. Рассмотрим такое преобразование на примере для обобщенной двухконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис. 4.13).

Система уравнений кирхгофа в комплексной формеЭквивалентное сопротивление находим методом последовательных эквивалентных преобразований.Этот методсостоит в поэтапном преобразовании простых участков цепи. Они показаны на рис. 4.14:

Z34 =Z3+Z4, Z234 = Z34 Z2/(Z34+Z2), Z1234 = Z1 + Z234 = Zэкв.

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме

4.3.4. Эквивалентное преобразование источников электрических сигналов

Система уравнений кирхгофа в комплексной формеЛюбой источник электричес-кого сигнала может быть представлен одной из двух схем (рис. 4.15–4.16), поскольку при определенном выборе параметров элементов эти схемы эквивалентны, т.е. ток нагрузки Iн и напряжение на нагрузки Uн в этих схемах одинаковы.

4.4. Классификация электрических цепей

В общем случае, когда схема электрической цепи неизвестна, недоступна или нас не интересует, ее изображают в виде прямоугольника с рядом выводов (полюсов) схемы, с помощью которых она соединяется с другими устройствами.

1. В зависимости от числа выводов (полюсов) электрические цепи делятся на двухполюсники, четырехполюсники, многополюсники (рис. 4.17)

2 1
1 1
n

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме

2.В зависимости от характера элементов, входящих в электрическую цепь, различают:

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме1) Линейные цепи. Это цепи, которые состоят только из линейных элементов, т.е. элементов, параметры которых не зависят от токов и напряжений на них. Все линейные элементы имеют линейные вольт-амперные характеристики (рис. 4.18).

Процессы в таких цепях описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

2) Нелинейные цепи. Это цепи, которые содержат
нелинейные элементы, т.е. элементы, параметры которых зависят от токов и напряжений на них. Все нелинейные элементы имеют нелинейные вольт-амперные характеристики (рис. 4.19). Процессы в таких цепях описываются
нелинейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

3) Параметрические цепи. Это цепи, в состав которых входят параметрические элементы, т.е. элементы, параметры которых изменяются во времени (например, микрофоны). Процессы в таких цепях описываются нелинейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами.

3. В зависимости от соотношения длины электромагнитной волны λ и геометрических размеров электрической цепи L различают цепи с сосредоточенными и распределенными параметрами.

λ – это путь, который проходит волна за период T.

λ = cT = c/¦ , где c – скорость света, ¦ – частота. Длина волны зависит от частоты сигнала.

а) Если λ >> L, то цепи называются цепями с сосредоточенными параметрами. В них все процессы преобразования энергии сосредоточены в элементах.

В таких цепях токи и напряжения в различных сечениях цепи зависят только от времени и не зависят от координаты сечения х. Процессы в таких цепях описываются дифференциальными уравнениями в полных производных.

б) Если λ ≤ L, то цепи называются цепями с распределенными параметрами. В них элементы R, L, C необходимо рассматривать распределенными в пространстве.

Токи и напряжения в таких цепях зависят не только от времени, но и от координаты. Процессы в таких цепях описываются дифференциальными уравнениями в частных производных.

4.В зависимости от наличия в цепях активных элементовразличают пассивные и активные цепи. Активные цепи содержат источники (активные элементы), а пассивные их не содержат. Активные цепи делят на автономные и неавтономные. Автономные цепи содержат независимые источники, а неавтономные содержат только зависимые источники.

Основные режимы работы электрических цепей

В зависимости от частоты выделяют следующие режимы работы цепей:

1) при постоянных ЭДС и токах;

2) при переменных ЭДС и токах.

В зависимости от характера протекающих в цепи электромагнитных процессов различают установившийся (стационарный) режим и переходной
(нестационарный) режим.

В зависимости от нагрузки различают четыре основных режима работы:

3) холостого хода;

4) короткого замыкания.

При номинальном режиме все устройства данной цепи работают в нормальных для них условиях.

Согласованным называют режим передачи от источника к приемнику наибольшего количества энергии или режим выделения в нагрузке наибольшей мощности.

Режим холостого хода возникает при отключении нагрузки, при обрывах цепи ( Система уравнений кирхгофа в комплексной форме). Режим короткого замыкания – при Система уравнений кирхгофа в комплексной форме.

4.5. Воздействие, реакция, параметры и характеристики цепей

Большинство электрических цепей служат средствами связи для передачи сигналов от источника сигнала в нагрузку (рис. 4.20).

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме

Сигнал источника сигнала x(t) на входе цепи называется входным сигналом или воздействием.

Сигнал на выходе цепи y(t) называется выходным сигналом, откликом или реакцией цепи. В общем случае связь между откликом и воздействием представляет собой дифференциальное уравнение y(t) = F(x(t), a, b, c, . ), где a, b, c … – параметры элементов, входящих в электрическую цепь.

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной формеЕсли входной сигнал гармонический и характеризуется комплексной амплитудой Система уравнений кирхгофа в комплексной формеи цепь линейна, то откликом будет являться также гармонический сигнал с комплексной амплитудой Система уравнений кирхгофа в комплексной форме. При этом связь между комплексными амплитудами Система уравнений кирхгофа в комплексной формеи Система уравнений кирхгофа в комплексной формеимеет вид линейного алгебраического уравнения

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме,

Система уравнений кирхгофа в комплексной формегде Система уравнений кирхгофа в комплексной форме– параметр электрической цепи (рис. 4.21).

Поскольку в состав цепей входят элементы, сопротивления которых зависят от частоты, то параметры цепей оказываются зависящими от частоты. Зависимость параметров цепи от частоты называют частотными характеристиками, или частичными функциями параметров цепи.

4.6. Основные свойства линейных цепей

Система уравнений кирхгофа в комплексной формеСвойство 1. В линейных цепях выполняется принцип суперпозиций, т.е. отклик линейной цепи на сумму воздействий равен сумме откликов на действие каждого воздействия в отдельности. Рассмотрим линейную цепь (рис. 4.21).

Свойство 2. В линейных цепях новых гармонических составляющих не возникает.

4.7. Основные свойства нелинейных цепей

Свойство 1. В нелинейных цепях принцип суперпозиции не выполняется. В качестве примера нелинейной цепи рассмотрим y = kx 2 (рис. 4.23).

Система уравнений кирхгофа в комплексной формеЕсли x(t) = x1, то y = y1 = kx1 2 ;

Слагаемое 2kx1x2 возникает в результате взаимодействия двух сигналов в нелинейной цепи. Его называют комбинационной составляющей.

Свойство 2. В нелинейных цепях происходит трансформация спектра, т.е. появляются новые гармонические составляющие.

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме

Система уравнений кирхгофа в комплексной формеНа рис. 4.24 показаны спектры сигналов на входе и выходе цепи.

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме
а б

Рис. 4.24. Спектры сигналов: а – на входе, б – на выходе цепи

4.8. Основные задачи теории электрических цепей

Основных задач две.

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме1) Задача анализа электрической цепи состоит в отыскании откликов yi(t), т.е. токов и напряжений на интересующих нас участках цепи по заданной схеме и воздействиям xj(t). Схематично задача анализа показана на рис. 4.25.

Задача анализа имеет единственное решение (она однозначна).

2) Задача синтеза электрической цепи состоит в отыскании схемы цепи (структуры цепи) и параметров ее элементов по заданным откликам и воздействиям. Схематично задача синтеза показана на рис. 4.26.

Система уравнений кирхгофа в комплексной формеЗадача синтеза сложнее задачи анализа и обычно неоднозначна, т.е. можно создать ряд схем с одной и той же функцией цепи. Окончательный вариант схемы выбирается на основе дополнительных требований к ней.

1) Синтезировать схему при минимальной стоимости ее деталей;

2) синтезировать пассивную схему, используя только элементы R и C.

4.9. Методы анализа (расчета) линейных цепей
при гармоническом воздействии

в общем случае расчет (анализ) электрических цепей сводится к отысканию токов во всех ветвях схемы. При гармоническом воздействии в основу всех методов расчета линейных цепей положен метод комплексных амплитуд (МКА). Возможность применения МКА основана на том, что в линейных цепях новых гармонических составляющих не возникает, а потому расчет цепей сводится к расчету амплитуд и начальных фаз токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, в то время как частота в любой точке цепи равна частоте входного сигнала.

Метод комплексных амплитуд состоит в следующем:

1) исходная схема электрической цепи заменяется комплексной схемой замещения, в которой:

а) все пассивные элементы заменяются их комплексными сопротивлениями, как показано на рис. 4.27.

Система уравнений кирхгофа в комплексной формеб) все токи и напряжения в схеме заменяются их комплексными амплитудами, т.е. х(t) = Xm cos(w0t – jx) ® Xm = Xm e – j j x .

ZL=jwL
L
ZC=1/(jwC)
C
ZR=R
R

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме
Рис. 4.27

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме2) Расчет электрической цепи сводится к составлению уравнений состояния цепи на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме и нахождению комплексных амплитуд токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, т.е. Ym = Ym e – j j y .

3) Запись окончательного решения состоит в замене рассчитанных комплексных амплитуд на гармонические функции времени, т.е.

Система уравнений кирхгофа в комплексной формеYm =Ym e –j j y ® y(t) = Ym cos(w0t – jy).

Основными методами анализа (расчета) являются:

1. Метод токов ветвей (МТВ).

2. Метод контурных токов (МКТ).

3. Метод узловых потенциалов (МУП).

4. Метод наложения.

Название метода дается в соответствии с тем, какая величина при составлении уравнений состояния принимается за неизвестную в данном методе расчета. Рассмотрим подробнее эти методы.

4.9.1. Метод токов ветвей (МТВ)

Данный метод основан на применении 1-го и 2-го законов Кирхгофа. За неизвестные величины в этом методе принимаются искомые токи во всех ветвях схемы. Для того чтобы задача имела однозначное решение для схемы, состоящей из b ветвей (b = N), необходимо составить N независимых уравнений.

Порядок решения данным методом.

1) Проводится топологический анализ схемы.

а) Во всех ветвях стрелками показывают положительное направление токов и нумеруют их I1, I2, …, IN. Отсюда определяют число ветвей b = N.

б) Подсчитывают число узлов у и определяют число независимых узлов Nу = у – 1.

в) Подсчитывают число независимых контуров по формуле
Nk = bу + 1. На схеме независимые контуры выделяют дугами. Стрелкой на дуге показывают положительное направление обходов элементов контуров. Эти контуры нумеруют. За положительное направление принимают направление по часовой стрелке.

2) По 1-му и 2-му законам Кирхгофа относительно токов ветвей записывают уравнения. Общее число уравнений составляет Ny + Nk = b, это означает, что записанная система относительно токов ветвей имеет однозначное решение. В общем случае для схемы из b = N ветвей составленные уравнения образуют систему линейных алгебраических уравнений N-го порядка:

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме

где xi – искомые токи ветвей; aji – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров пассивных элементов схемы; вi – постоянные величины, зависящие от параметров активных элементов схемы.

3) Токи в ветвях находят по правилу Крамера

xi= Система уравнений кирхгофа в комплексной форме; Система уравнений кирхгофа в комплексной форме,

где D – главный определитель системы; Di – определитель, получается из главного D путем замены i-го столбца на столбец свободных членов вi.

Пример. Дана комплексная схема замещения электрической цепи (рис. 4.28). Определить токи во всех ветвях схемы.

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме1) Проведем топологический анализ.

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме2. Запишем систему уравнений, составленную по методу токов ветвей.

4.9.2. Метод контурных токов (МКТ)

Метод основан на 2-м законе Кирхгофа. При его использовании в составе анализируемой схемы выбирают независимые контуры и предполагают, что в каждом из контуров течет свой контурный ток. Для каждого из независимых контуров составляют уравнение по 2-му закону Кирхгофа и их решают. Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по данной ветви.

Все источники сигналов, представленные источниками тока, заменяют источниками ЭДС (рис. 4.29).

Система уравнений кирхгофа в комплексной формеЭта схема эквивалентна, если

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной формеа) E = IZi I ;

1) Топологический анализ схемы.

а) Как и в предыдущем методе, определяют число ветвей b.

б) Определяют число узлов у.

в) Подсчитывают число независимых контуров Nk = b – y + 1.

Все независимые контуры обозначены дугами со стрелками на них, которые показывают положительное направление обхода.

Все контуры нумеруют и каждому контуру присваивают свой контурный ток: Ik1; Ik2; IkNk.

За положительное направление контурного тока принимают положительное направление обхода контура.

2) По второму закону Кирхгофа относительно контурных токов записывают уравнения, которые после приведения подобных членов образуют систему линейных уравнений Nk = Nk порядка:

Система уравнений кирхгофа в комплексной формеСистема уравнений кирхгофа в комплексной форме

где Iki – контурный ток i-го контура;

Zii – собственное сопротивление i-го контура и равно алгебраической сумме сопротивлений, входящих в i-й контур;

Zji – сопротивление смежных ветвей между i-м и j-м контурами. Оно представляет собой алгебраическую сумму, причем ее члены берутся со знаком «+», если контурные токи направлены одинаково, и со знаком «–», если они направлены встречно;

Eki – контурная ЭДС i-й ветви. Она равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в i-й контур. Контурная ЭДС Eki берется со знаком «+», когда направление источника ЭДС и направление тока совпадают, и со знаком «–», если они направлены встречно.

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме3) По правилу Крамера находят контурные токи Iki= Система уравнений кирхгофа в комплексной форме.

4) Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих через данную ветвь. Если токи оказались положительными, то выбранное направление совпадает с истинным и наоборот.

Пример. Дана комплексная схема замещения электрической цепи (рис. 4.30). Определить токи во всех ветвях.

Проводим топологический анализ

2) Составим систему уравнений по методу МКТ

Система уравнений кирхгофа в комплексной формеСистема уравнений кирхгофа в комплексной форме

Система уравнений кирхгофа в комплексной формегде

Система уравнений кирхгофа в комплексной формеСистема уравнений кирхгофа в комплексной форме

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной формеE11= E1; E22 = 0; E33 = 0.

3) По методу Крамера находим контурные токи Iki = Система уравнений кирхгофа в комплексной форме.

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме4) Находим токи в ветвях: I1 = Ik1; I2 =
= Ik
1Ik2; I3 = Ik1Ik3; I4 = –Ik2 + Ik3; I5 = Ik2; I6 = Ik3.

4.9.3. Метод узловых потенциалов (МУП)

Метод основан на применении первого закона Кирхгофа. В нем за неизвестные величины принимают потенциалы узлов. По закону Ома определяют токи во всех ветвях схемы.

Все источники ЭДС, имеющиеся в схеме, заменяют источниками тока (рис. 4.31).

Система уравнений кирхгофа в комплексной формеа) I = E/Zi I ;

1) Топологический анализ.

а) Подсчитывают число ветвей b и число узлов y. Определяется количество независимых узлов Ny = y – 1.

б) Нумеруют все узлы. Один из узлов, к которому сходится наибольшее число ветвей, считают нулевым, где Система уравнений кирхгофа в комплексной форме– потенциал нулевого узла.

2) По 1-му закону Кирхгофа составляют уравнения для N узлов схемы и решают их относительно потенциалов узлов:

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме,

где Yii – собственная узловая проводимость. Она равна сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в i-м узле, все они берутся со знаком «+»;

Yij – межузловая проводимость между i-м и j-м узлами. Проводимости всех узлов берутся со знаком «–»;

Iii – алгебраическая сумма токов источников тока, сходящихся в i-м узле. Втекающие токи записываются в эту сумму со знаком «+», а вытекающие – со знаком «–».

3) Потенциалы узлов находят по формуле Крамера

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме.

4) Токи в ветвях находят по закону Ома

Пример. Дана электрическая цепь (рис. 4.32). Рассчитать токи во всех ветвях.

Z2
I2

Предварительно преобразуем все источники напряжения (рис. 4.32) в источники тока (рис. 4.33).

Z4
Z3
Z1
I1
I3
I
I
I4
I2
I1
E2
E1
Z4
Z3
Z2
Z1

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме
Рис. 4.32 Рис. 4.33

Проведем топологический анализ.

а) число ветвей b = 4 с токами: Система уравнений кирхгофа в комплексной форме;

б) число независимых узлов Nу = 2, их потенциалы: φ1 и φ2 (рис. 4.33).

Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов:

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной формеСистема уравнений кирхгофа в комплексной форме

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме; Система уравнений кирхгофа в комплексной форме

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме.

По методу Крамера найдем потенциалы узлов: Система уравнений кирхгофа в комплексной форме.

По закону Ома найдем токи во всех ветвях схемы:

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме Система уравнений кирхгофа в комплексной форме.

1. каковы основные свойства линейных цепей?

2. Какие узлы и контуры называются независимыми?

3. Система уравнений кирхгофа в комплексной формеЗаписать закон Ома в комплексной форме.

4. На каком законе основаны методы контурных токов и узловых потенциалов.

5. Записать уравнения по методу контурных токов для схемы на рис. 4.34.

6. Система уравнений кирхгофа в комплексной формеЗаписать уравнение по методу узловых потенциалов для узла А схемы на рис. 4.35.

7. Записать второй закон Кирхгофа (для контура J1 на рис. 4.35).

8. Записать уравнение по методу узловых потенциалов для узла А схемы на рис. 4.35.

9. Записать уравнения по методу контурных токов для схемы на рис. 4.35.

10. Для независимых узлов схемы на рис. 4.35 записать уравнения по 1-му закону Кирхгофа.

Видео:Как составить уравнения по законам Кирхгофа?Скачать

Как составить уравнения по законам Кирхгофа?

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме

Закон Ома в комплексной форме получаем из формулы для комплексного сопротивления:

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме

По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю:

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме

Равенство не нарушится, если вместо токов подставить соответствующие комплексы. Это и будет выражение для первого закона Кирхгофа в комплексной форме:

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме

где — количество ветвей, подходящих к узлу.

По второму закону Кирхгофа, в любом (замкнутом) контуре справедливо равенство алгебраических сумм мгновенных значений напряжений на сопротивлениях контура и ЭДС:

Система уравнений кирхгофа в комплексной форме

Заменив напряжения и ЭДС на соответствующие комплексы, получим выражение для второго закона Кирхгофа в комплексной форме:

📺 Видео

Урок 4. Расчет цепей постоянного тока. Законы КирхгофаСкачать

Урок 4. Расчет цепей постоянного тока. Законы Кирхгофа

Расчет переходного процесса через ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ уравнение по законам Кирхгофа│Классический методСкачать

Расчет переходного процесса через ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ уравнение по законам Кирхгофа│Классический метод

Применение законов Кирхгофа при решении задачСкачать

Применение законов Кирхгофа при решении задач

Цепи переменного тока. Найти токи в цепи по законам КирхгофаСкачать

Цепи переменного тока. Найти токи в цепи по законам Кирхгофа

решение задачи составлением уравнений по правилам киргофа. Законы киргофа кратко на практикеСкачать

решение задачи составлением уравнений по правилам киргофа. Законы киргофа кратко на практике

Лекция 117. Правила КирхгофаСкачать

Лекция 117. Правила Кирхгофа

ТОЭ 32. Законы Кирхгофа в символической форме. Действия с комплексами.Скачать

ТОЭ 32. Законы Кирхгофа в символической форме. Действия с комплексами.

Расчет цепи с ИСТОЧНИКОМ ТОКА по законам КирхгофаСкачать

Расчет цепи с ИСТОЧНИКОМ ТОКА по законам Кирхгофа

Законы Кирхгофа. Метод контурных уравненийСкачать

Законы Кирхгофа. Метод контурных уравнений

Законы Кирхгофа - самое простое и понятное объяснение этих законовСкачать

Законы Кирхгофа - самое простое и понятное объяснение этих законов

Системы комплексных уравненийСкачать

Системы комплексных уравнений

Построение матриц электрических цепейСкачать

Построение матриц электрических цепей

Электротехника (ТОЭ). Лекция 3. Законы Кирхгофа | Решение задачСкачать

Электротехника (ТОЭ). Лекция 3. Законы Кирхгофа | Решение задач

Метод контурных токов - определение токов. ЭлектротехникаСкачать

Метод контурных токов - определение токов. Электротехника

Решение задачи. Расчет электрической цепи по законам КирхгофаСкачать

Решение задачи. Расчет электрической цепи по законам Кирхгофа

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯСкачать

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ

Урок 265. Задачи на правила КирхгофаСкачать

Урок 265. Задачи на правила Кирхгофа

2 8 Метод непосредственного применения законов КирхгофаСкачать

2 8 Метод непосредственного применения законов Кирхгофа
Поделиться или сохранить к себе: