Система разностных уравнений для краевой задачи

для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Примером краевой задачи является двухточечная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

с граничными условиями, заданными на концах отрезка [a; b]:

Следует найти такое решение у(х) на этом отрезке, которое принимает на концах отрезка значения у₀, у₁. Если функция линейна по аргументам , то задача поиска этой функции – линейная краевая задача, в противном случае – нелинейная..

Кроме граничных условий, задаваемых на концах отрезка и называемых граничными условиями первого рода, используются еще условия на производные от решения на концах — граничные условия второго рода:

или линейная комбинация решений и производных – граничные условия третьего рода:

где – такие числа, что

Возможно на разных концах отрезка использовать условия различных типов.

Наиболее распространены два приближенных метода решения краевой задачи:

— метод стрельбы (пристрелки);

Используя конечно-разностный метод, рассмотрим двухточечную краевую задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка на отрезке [а; b].

Введем разностную сетку на отрезке [а; b]:

Решение задачи будем искать в виде сеточной функции:

предполагая, что решение существует и единственно.

Введем разностную аппроксимацию производных следующим образом:

Подставляя эти аппроксимации производных в исходное уравнение, получим систему уравнений для нахождения y_k:

Приводя подобные члены и учитывая, что при задании граничных условий первого рода два неизвестных уже фактически определены, получим систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов:

Для этой системы уравнений при достаточно малых шагах сетки h и q(x_k)

В первом случае линейная алгебраическая система аппроксимирует дифференциальную задачу в целом только с первым порядком (из-за аппроксимации в граничных точках), однако сохраняется трех диагональная структура матрицы коэффициентов. Во втором случае второй порядок аппроксимации сохраняется везде, но матрица линейной системы не трехдиагональная.

Пример. Решить краевую задачу:

с шагом 0,2.

Во всех внутренних узлах отрезка [0; 1] после замены производных их разностными аналогами получим:

На левой границе y₀ = 1, на правой границе аппроксимируем производную односторонней разностью 1-го порядка:

С помощью группировки слагаемых, приведения подобных членов и подстановки значений x_k, а также с учётом у₀ = 1,получим систему линейных алгебраических уравнений:

.

В результате решения системы методом Крамера в Excel, получим:

Решением краевой задачи является табличная функция:

Расчетная часть

3.1. Найти действительные корни уравнения методами простых итераций и касательных (Ньютона) с точностью до 0,00001.

Решение: Для нахождения корня уравнения предварительно отделим корень уравнения графическим методом, записав уравнение в виде:

Построим в осях ХОУ графики функций:

:

Линии графиков пересекаются в единственной точке с абсциссой х₀, лежащей в интервале [0,5; 0,6], т.е.

Значение функции на концах интервала:

Т.к. знаки различны, то уравнение имеет единственный корень в интервале [0,5; 0,6].

3.1.1. Уточнение корня методом простых итераций.

Приведём исходное уравнение к виду:

Т.к. первая производная заданной функции в этом интервале положительна и численно первая производная на этом участке близка к 1,5, то константу С выбираем из интервала:

Т.о. итерационная функция приобретает вид:

Делаем первую итерацию:

Делаем вторую итерацию:

Делаем третью итерацию:

Делаем четвёртую итерацию:

Делаем пятую итерацию:

Делаем шестую итерацию:

Делаем седьмую итерацию:

Делаем восьмую итерацию:

Делаем девятую итерацию:

Продолжая далее, получаем:

На 19-ой итерации изменение шестого знака после запятой, позволяет утверждать, что пятый знак – после запятой – 5. Т.о. значение корня с заданной точностью:

3.1.2. Уточнение корня методом касательных (метод Ньютона):

Т.к. уравнение то же, то интервал, содержащий искомый корень, оставляем тот же [0,5; 0,6], т.е. а = 0,5; b = 0,6.

Находим первую и вторую производную функции :

Очевидно необходимые условия выполняются, т.к.:

, т.е. сохраняют знак на отрезке .

Выполняем первое приближение (х₀ = 0,5):

Выполняем второе приближение (х₁ = 0,571429):

Выполняем третье приближение (х₂ = 0,576128:

Выполняем четвёртое приближение (х₃ = 0,576146):

В пределах заданной точности f(x₂) оказался равен нулю, т.е. требуемая точность достигнута за 4 шага. Значение корня с заданной точностью:

3.2. Вычислить приближенное значение интеграла , используя формулы:

а) трапеций (n = 10); б) Симпсона (n = 10); в) Гаусса (n = 5).

Решение: Ограничимся в расчётах 4 знаками после запятой. Для приближённого вычисления определённого интеграла методом трапеций используется формула:

Разобьём интервал (–1; 9) на n = 10 отрезков (h =1) и вычислим значения подынтегрального выражения для начала и конца каждого отрезка.

№	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
х	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	2,4495	2,6458	3,7417	5,7446	8,3666	11,4455	14,8997	18,6815	22,7596	27,1109	31,7175

Тогда по формуле трапеций, имеем:

Используя формулу Симпсона (формулу параболических трапеций) в виде:

получим:

Применяя к исходному интегралу квадратурную формулу Гаусса, имеем:

где

Для n = 5, коэффициенты t_i, представляющие нули полинома Лежандра и коэффициента А_i (эти значения табулированы в справочных таблицах) составляют:

i	1	2	3	4	5
ti	–0,9061	–0,5385	0	0,5385	0,9061
A1	0,2369	0,4786	0,5689	0,4786	0,2369
хi	0,4695	2,3075	5	7,6925	9,5305
	2,4705	4,2763	11,4455	21,4756	29,5239

3.3. Построить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона по следующим табличным данным:

	2,9	4,4	6,3	9,7
	2,84	4,53	6,04	5,50

Проверить совпадение значений интерполирующего многочлена с табличными значениями функции в узлах интерполяции.

Решение: Интерполяционный полином Лагранжа для четырёх узлов интерполяции записывается в виде:

Подставим численные значения из заданной таблицы:

Для составления интерполяционного полинома в форме Ньютона, вычислим разности первого порядка для заданной таблицы по формуле:

Вычислим разности второго порядка по формуле:

Вычислим разность третьего порядка по формуле:

Тогда интерполяционный полином Ньютона L_n(x) приобретает следующую форму:

Расчёты показывают, что оба интерполяционных полинома практически одинаковы, т.е. интерполяция ряда точек полиномом третьей степени осуществляется единственным образом.

По заданным узлам интерполяции х_i значения полинома по этому уравнению составляют:

Расчётные значения практически совпадают с заданными значениями f(x).

По полученному уравнению построена кривая, проходящая через узлы интерполяции.

3.4. Найти оценки параметров линейной и квадратичной моделей функциональной зависимости величин у и х по результатам наблюдений , приведенным в таблице:

	0,4	2,4	3,4	4,4	5,4
	2,14	2,14	2,24	2,34	2,34

Построить чертеж: на плоскости нанести экспериментальные точки , построить графики полученных эмпирических функций .

Решение: Коэффициенты «a₀ и а₁» линейной модели найдём, выполнив необходимые вычисления. Расчеты сведем в таблицу:

Номер наблюдения	1	2	3	4	5	Сумма
х	0,4	2,4	3,4	4,4	5,4	16
у	2,14	2,14	2,24	2,34	2,34	11,2
х 2	0,16	5,76	11,56	19,36	29,16	66
х∙y	0,856	5,136	7,616	10,296	12,636	36,54
	2,108	2,202	2,249	2,297	2,344	11,200
	0,0011	0,0039	0,0001	0,0019	0,0000	0,0069

Т.о. линейная зависимость у = а₀ + а₁х имеет вид: у = 2,08865 + 0,0473х.

По этой зависимости определены выровненные значения и остаточная сумма квадратов отклонений, которые записаны в нижних строках таблицы.

Коэффициенты а₀, а₁, а₂ квадратичной зависимости найдём, также выполнив необходимые расчёты в таблице:

Номер наблюдения	1	2	3	4	5	S
х	0,4	2,4	3,4	4,4	5,4	16
у	2,14	2,14	2,24	2,34	2,34	11,2
х 2	0,16	5,76	11,56	19,36	29,16	66
х 3	0,064	13,824	39,304	85,184	157,464	295,84
х 4	0,0256	33,1776	133,634	374,81	850,306	1391,95
у·х	0,856	5,136	7,616	10,296	12,636	36,54
у·х 2	0,3424	12,3264	25,8944	45,3024	68,2344	152,1
	2,128	2,182	2,230	2,292	2,368	11,200
	0,0001	0,0018	0,0001	0,0023	0,0008	0,0051

Составим систему уравнений:

Решение этой системы методом Крамера даёт:

Т.о. квадратичная зависимость у = а₀ + а₁х + а₂х 2 имеет вид:

у = 2,12433 + 0,00729·х + 0,006996·х 2 .

В нижней строке таблицы по полученному уравнению тоже рассчитаны значения по заданным значениям Х и остаточная сумма квадратов отклонений, которые записаны в нижних строках таблицы.

Эмпирическая ломаная, а также линии линейной и квадратичной модели построены на рисунке.

Результаты и выводы.

1. Т.о. интерполяционный полином Лагранжа и Ньютона, построенный по 4 заданным узлам интерполяции имеет вид:

Значения функции, вычисленные по этому полиному третьей степени, точно совпадают с заданными значениями в узлах интерполяции.

Полученное уравнение позволяет найти приближённые значения функции в любых промежуточных точках от х₁ = 2,9 до х₄ = 9,7.

2. Применение метода минимальных квадратов (МНК) к аппроксимации пяти экспериментальных точек линейной зависимостью вида у = а₀ + а₁х, т.е. прямой линией и квадратичной зависимостью вида , т.е. параболой дало следующие выражения:

– линейная зависимость реализована уравнением: у = 2,0887 + 0,0473х

– квадратичная зависимость реализована уравнением: у = 2,1243 + 0,0073·х + 0,007·х 2 .

Судя по остаточной сумме квадратов отклонений, квадратичная зависимость несколько лучше аппроксимирует экспериментальные данные, т.к. для неё остаточная сумма квадратов отклонений меньше, чем для линейной функции.

Список использованной литературы

1. Самарский А.А. Гулин А.В. Численные методы. М. МГУ. 1989 год.

2. Н. С. Бахвалов; Н.П. Жидков; Г.М. Кобельков. Численные методы. М 2003 год;

3. В.А. Буслов, С.Л.Яковлев. Численные методы и исследование функций. СПГУ. Курс лекций. СПБ 2001 г

4. Г.А. Зуева. Метод наименьших квадратов и его применение. Электронное учебное пособие. Иваново, 2009

Видео:Разностные уравнения 5 Решения краевых задачСкачать

Краевые задачи и разностные схемы

з курсу “ Введение в численные методы ”

Тема: “КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ”

1. Приведение к системе уравнений первого порядка

2. Разностное представление систем дифференциальных уравнений

3. Разностные системы уравнений для краевых задач

4. Краевые задачи второго порядка

5. Разностные схемы для уравнений в частных производных

6. Повышение точности разностных схем

7. Сеточные методы для нестационарных задач

1. Приведение к системе уравнений первого порядка

Для решения систем дифференциальных уравнений высокого порядка методами конечных разностей в первую очередь возникает потребность преобразования исходной системы в систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим образом преобразованными начальными или граничными условиями. И уже далее реализовывать численную процедуру решения.

Преобразование в систему уравнений первого порядка не единственно. Наиболее популярные из них в большинстве своем касаются линейных систем с постоянными или переменными коэффициентами. Основная идея всех методов состоит во введении новых переменных и выполнении замены высших производных этими переменными.

Пусть неоднородное дифференциальное уравнение высокого порядка задано в виде:

где – соответственно i- тая производная искомого решения и ее значение в начальный момент,

– функция, описывающая внешнее воздействие на динамический объект.

Обозначим первую производную искомой функции новой переменной , первую производную – следующей переменной: , первую производную – переменной и т.д.. Таким образом из исходной системы мы сформируем дифференциальное уравнение первого порядка:

При таких заменах производных искомой функции ее n -ная производная оказывается равной первой производной от :

В результате, эквивалентная система дифференциальных уравнений первого порядка примет следующий вид:

В случае, когда правая часть представлена взвешенной суммой функции и ее производных и в целом дифференциальное уравнение имеет вид

то его преобразование в систему уравнений первого порядка с новыми переменными осуществляется по следующим формулам:

Такое преобразование сохраняет коэффициенты исходного уравнения неизменными и исключает производные в правой части от . Начальные условия для новых переменных здесь приходится пересчитывать по достаточно сложным соотношениям.

И, наконец, приведем еще один вариант разложения на систему уравнений первого порядка исходного неоднородного уравнения с производными в правой части:

Замена переменных в отличие от предыдущего случая производится без сохранения коэффициентов исходного уравнения:

Производные искомой функции можно выразить через вновь введенные переменные путем многократного дифференцирования левой и правой части соотношения для y с подстановкой после каждого дифференцирования производных :

Умножив каждое выражение для на коэффициенты и просуммировав правые и левые члены равенств, получим уравнение, которое отличается от исходного лишь коэффициентами при производных в правых частях. Чтобы добиться тождественности, необходимо коэффициенты при соответствующих производных приравнять и разрешить полученную систему уравнений относительно неизвестных .

Система уравнений имеет вид:

В векторно-матричной форме это уравнение и его решение записываются в следующем виде:

где – вектор известных коэффициентов,

– вектор искомых коэффициентов,

– соответственно прямая и обратная верхне-треугольные матрицы коэффициентов. Первая из них выглядит так:

.

Обратная матрица удобна при использовании математических пакетов для решения векторно-матричного уравнения. Если , то коэффициенты легко вычисляются последовательной подстановкой значений , начиная с .

Начальные условия для вычисляются по выражениям для следующим образом:

или в векторно-матричной форме:

,

.

2. Разностное представление систем дифференциальных уравнений

Представление системы дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями

можно заменить системой конечно-разностных уравнений первого порядка с целочисленной независимой переменной i ( ):

,

погрешность аппроксимации которого пропорциональна сеточному шагу h .

Выше было уже показано, как можно уменьшить погрешность аппроксимации, делая ее пропорциональной . В частности это можно сделать, использовав среднее арифметическое двух разностей первого порядка: “вперед” и “ назад”.

При такой замене производной мы получаем систему разностных уравнений, состоящую из разностных уравнений второго порядка, требующих, кроме известного вектора начальных условий , еще один дополнительный вектор :

.

Дополнительный вектор начальных условий достаточно вычислить по формуле Эйлера. Он и определит дополнительное начальное условие с ошибкой, пропорциональной второй степени h :

Подстановка таких начальных условий в решение сохранит погрешность результатов на уровне . В таком случае говорят, что разностная схема имеет второй порядок точности.

3. Разностные системы уравнений для краевых задач

Исходные дифференциальные уравнения во многих физических и технических применениях решаются для случаев, когда заданы значения искомых функции и/или ее производных в различных точках интервала интегрирования и, в частности — на концах интервала. Такого рода уравнения в обыкновенных производных или системы из таких уравнений называются краевой задачей.

Общим методом решения краевой задачи является преобразование ее в систему алгебраических уравнений относительно множества неизвестных значений искомой функции, выбранных в точках, равномерно расположенных на оси абсцисс, т.е. заданных на сетке известных значений независимой переменной.

Для линейной системы уравнений первого порядка, записанной в матричной форме относительно вектора как

,

обязательно задается полный набор краевых условий , включающий хотя бы одно значение , или набор комбинаций из значений и

Обычно задаваемое граничное значение совмещается с тем или иным n- ным сеточным значением независимой переменной. Это позволяет обходиться без преобразования граничных условий к ближайшей точке сетки. Векторы , , и матрица в общем случае приводятся к единичному интервалу изменения независимой переменной с помощью линейного преобразования , в котором с шагом по оси абсцисс равном . Благодаря этому производные в левых частях единообразно заменяются (M+ 1)-точечными конечно-разностными выражениями через искомые значения решения:

.

Многоточечные представления производных получаются путем применения существующих соотношений между операторами дифференцирования, конечных разностей и сдвига:

Чтобы выразить значение производной порядка k в m -той точке целочисленного интервала [0, n ] через ординаты функции необходимо выполнить следующие операторные преобразования:

Заменив конечно-разностные операторы (после приравнивания нулю разностей со степенями выше n ) выражениями с оператором сдвига и вспомнив, что , получим в результате для k -той производной в m- той точке взвешенную сумму из ординат искомой функции:

.

Погрешность аппроксимации дифференциального оператора конечно-разностным оператором для центральной точки (m=n/ 2) пропорциональна с наименьшим коэффициентом величине и c наибольшим – для точек конца интервала.

Часто применяемые выражения конечно-разностной аппроксимации производных первого и второго порядков по трем-семи равномерно расположенным точкам приведены ниже в таблицах в виде коэффициентов, стоящих перед соответствующими ординатами функции. В левом верхнем углу таблиц записан общий множитель, а в крайней правой колонке – коэффициенты k 1, k 2для формул погрешности.

Трех точечная аппроксимация первой производной

y’(0)	-3	4	-1	2
y’(1)	-1	0	1	-1
y’(2)	1	-4	3	2

Четырех точечная аппроксимация первой производной

	-11	18	-9	2	-3
	-2	-3	6	-1	1
	1	-6	3	2	-1
	-2	9	-18	11	3

Пятиточечная аппроксимация первой производной

	-25	48	-36	16	-3	12
	-3	-10	18	-6	1	-3
	1	-8	0	8	-1	2
	-1	6	-18	10	3	-3
	3	-16	36	-48	25	12

Шести точечная аппроксимация первой производной

	-137	300	-300	200	-75	12	-10
	-12	-65	120	-60	20	-3	2
	3	-30	-20	60	-15	2	-1
	-2	15	-60	20	30	-3	1
	3	-20	60	-120	65	12	-2
	-12	75	-200	300	-300	137	10

Семи точечная аппроксимация первой производной

	-147	360	-450	400	-225	72	-10	60
	-10	-77	150	-100	50	-15	2	-10
	2	-24	-35	80	-30	8	-1	4
	-1	9	-45	0	45	-9	1	-3
	1	-8	30	-80	35	24	-2	4
	-2	15	-50	100	-150	77	10	-10
	10	-72	225	-400	450	-360	147	60

Трех точечная аппроксимация второй производной

	1	-2	1	-12 , 2
	1	-2	1	0 , -1
	1	-2	1	12 , -2

Четырех точечная аппроксимация второй производной

	2	-5	4	-1	55 , -6
	1	-2	1	0	-5 , -2
	0	1	-2	1	-5 , -2
	-1	4	-5	2	55 , -6

Пятиточечная аппроксимация второй производной

	35	-104	114	-56	11	-150 , 12
	11	-20	6	4	-1	15 , -3
	-1	16	-30	16	-1	0 , 2
	-1	4	6	-20	11	15 , 3
	11	-56	114	-104	35	150 , -12

Шести точечная аппроксимация второй производной

	225	-770	1070	-780	305	-50
	50	-75	-20	70	-30	5
	-5	80	-150	80	-5	0
	0	-5	80	-150	80	-5
	5	-30	70	-20	-75	50
	-50	305	-780	1070	-770	225

Семи точечная аппроксимация второй производной

	812	-3132	5265	-5080	2970	-972	137
	137	-147	-255	470	-285	93	-13
	-13	228	-420	200	15	-12	2
	2	-27	270	-490	270	-27	2
	2	-12	15	200	-420	228	-13
	-13	93	-285	470	-255	-147	137
	137	-972	2970	-5080	5265	-3132	812

Например, производная первого порядка в точках m =0, 3, 5 для семи точечной аппроксимации будет иметь вид:

,

.

Аналогично выписываются выражения и для вторых производных в точках 0 и 2:

Таким образом, из приведенных таблиц можно выбрать аппроксимирующие выражения для производной в данной точке, включающие значения функции в точках нужного окружения.

4. Краевые задачи для уравнений второго порядка

При математическом описании реальных физических объектов чаще всего приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных второго порядка с начальными, краевыми или граничными условиями.

Преобразование их в конечно-разностную систему алгебраических уравнений осуществляется аналогично: для каждой точки в области (интервале) интегрирования, где не задано краевое или граничное значение искомой функции, записывается исходное уравнение, в котором все производные выражены через заранее определенное число близлежащих ординат искомой функции, принадлежащих области, и вычислены все коэффициенты и функции независимых переменных в этой точке. К полученным таким образом уравнениям добавляются соотношения или значения функции и ее производных в точках границы области. В результате будет сформирована алгебраическая система уравнений с числом уравнений и неизвестных, равном общему числу точек области интегрирования.

В процессе формирования уравнений особое внимание необходимо обращать на замену производных конечно-разностными эквивалентами в приграничных точках. В выражениях последних должны отсутствовать неизвестные значения функции в точках, расположенных вне области интегрирования. Это достигается многократным применением оператора сдвига к соответствующему конечно-разностному оператору.

Если в центральных точках точность аппроксимации производных с n точками удовлетворяет поставленным требованиям и эту точность желательно сохранить и в приграничных точках заданных областей, то для последних выбирают аппроксимирующие формулы, построенные для (n +1)— й точки или более.

Рассмотрим примеры аппроксимации дифференциальных уравнений с краевыми условиями конечно-разностной системой алгебраических уравнений. Эти аппроксимации в литературе получили название «разностные схемы». Ниже в четырех таблицах приведены четыре варианта конечно-разностной аппроксимации одной и той же краевой задачи, для которой известно точное решение. Вид уравнения, условия на границе интервала, решение аналитическое и вычисленное в заданных точках с 12 значащими цифрами приведены в правой крайней колонке первой таблицы. В левых колонках первой и в трех остальных таблицах записаны системы алгебраических уравнений, полученных применением трех-, пяти-, пяти-шести- и семи точечной аппроксимации второй производной в заданном уравнении. Справа от уравнений приведены решения алгебраических уравнений тоже с 12-ю значащими цифрами.

Система уравнений с трехточечным представлением производных	Вектор разностного решения с шагом h =0.1
-199 +100 +0.1=0	0.0186590989712	0.0186415437361
100 -199 +100 +0.2=0	0.0361316064473	0.0360976603850
100 -199 +100 +0.3=0	0.0512427953890	0.0511947672548
100 -199 +100 +0.4=0	0.0628415300546	0.0627828520998
100 -199 +100 +0.5=0	0.0698118753674	0.0697469636621
100 -199 +100 +0.6=0	0.0710840847137	0.0710183518969
100 -199 +100 +0.7=0	0.0656455142231	0.0655851465687
100 -199 +100 +0.8=0	0.0525504484304	0.0525024675253
100 -199 +0.9=0	0.0309298757856	0.0309018656257

Система уравнений для пяти-точечного	Вектор решения
-9940 +3000 +2000 -500 +6=0	0.0186406186406
8000 -14940 +8000 -500 +12=0	0.0360968696594
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +18=0	0.0511941848390
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +24=0	0.0627825213460
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +30=0	0.0697468774179
-500 +8000 -14940 +8000 -500 8+36=0	0.0710184988305
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +42=0	0.0655854996422
-500 +8000 -14940 +8000 +48=0	0.0525029672554
-500 +2000 +3000 -9940 +54=0	0.0309024932693

Система уравнений для пяти- и шести точечного представления производных	Вектор решения
-3720 -1000 +3500 -1500 +250+3=0	0.0186415486274
8000 -14940 +8000 -500 +12=0	0.0360976918947
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +18=0	0.0511948294923
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +24=0	0.0627829167486
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +30=0	0.0697469746974
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +36=0	0.0710183243686
-500 +8000 -14940 +8000 -500 +42=0	0.0655851063829
-500 +8000 -14940 +8000 +48=0	0.0525024168959
250 -1500 +3500 -1000 -3720 +27=0	0.0309018105849

Система уравнений для семиточечного представления производных	Вектор решения
-7260 -12750 +23500 -14250 +4650 -650+9=0	0.0186415513486
11400 -20910 +10000 +750 -600 +100+18=0	0.0360976659970
-1350 +13500 -24410 +13500 -1350 +100+27=0	0.0511947713313
10 -135 +1350 -2441 +1350 -135 +10+3.6=0	0.0627828547351
10 -135 +1350 -2441 +1350 -135 +10+4.5=0	0.0697469648318
10 -135 +1350 -2441 +1350 -135 +10+5.4=0	0.0710183515790
100 -1350 +13500 -24410 +13500 -1350+63=0	0.0655851447467
100 -600 +750 +10000 -20910 +11400+72=0	0.0525024640963
-650 +4650 -14250 +23500 -12750 -7260+81=0	0.0309018602217

В этой задаче весь интервал интегрирования [0,1] был разбит на 10 равных частей с шагом h =0.1. Из одиннадцати точек в двух крайних искомая функция x (t ) была задана, поэтому уравнения записывались для девяти внутренних точек, в которых значения функции требовалось найти.

5. Разностные схемы для уравнений в частных производных

Конечно-разностная аппроксимация дифференциальных уравнений в частных производных, называемая в литературе методом сеток , использует те же конечно-разностные выражения производных через значения искомой функции, которые приведены в таблицах выше. Однако есть особенности, которые связаны с наличием у каждой рассматриваемой точки соседних точек не только по направлениям осей независимых переменных, но и во множестве других наклонных направлений.

Поэтому, в случае использования многоточечных (более трех точек) формул для производных, выражения последних могут разрабатываться дополнительно для каждого применения.

Наиболее удобным в разработке многоточечных конечно-разностных выражений для уравнений в частных производных является операторный метод, основанный на учете взаимосвязи оператора дифференцирования с операторами сдвига по направлениям различных независимых переменных. Рассмотрим его применение на примере построения разностных формул для двумерных уравнений в частных производных второго порядка.

Характерным представителем уравнений в частных производных второго порядка является уравнение Лапласа:

,

где – непрерывная функция, заданная на границе области.

Область численного решения уравнения разобьем на клетки системой вертикальных и горизонтальных прямых, проходящих через равномерно расположенные с шагом h точки на осях координат соответственно x и y :

Значения функции в узлах сетки обозначим через и для каждой точки области решений частные производные из уравнения заменим соответствующим (например, трех точечным) симметричным конечно-разностным выражением для внутренних точек и для точек вблизи границ таким несимметричным, чтобы значения функций не выходили за пределы области:

После подстановки в уравнение Лапласа этих выражений для каждой внутренней точки области будет получена система алгебраических уравнений следующего вида:

В качестве примера, демонстрирующего применение метода сеток, приведем решение уравнения Лапласа для прямоугольной области с количеством узлов и значениями функции на границе, как показано ниже:

Уравнения для 25 внутренних точек u (i,k ):

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Численные методы решения краевых задач

Видео:6.3 Решение разностных уравненийСкачать

Постановка задачи и основные положения

Рассмотрим двухточечные краевые задачи, часто встречающиеся в приложениях, например, при решении задач вариационного исчисления, оптимального управления, механики жидкости и газа и др. Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение

и краевые условия

где [math]F bigl(x,y,y’,ldots,y^bigr);

j=overline[/math] — функции указанных аргументов, заданные в некоторой области их изменения; [math]L[/math] и [math](n-L)[/math] — число условий на левом и правом концах отрезка [math][a,b][/math] соответственно. Общее количество условий равно порядку дифференциального уравнения. Требуется найти функцию [math]y=y(x)[/math] , которая на отрезке [math][a,b][/math] удовлетворяет уравнению (7.1), а на концах отрезка — краевым условиям (7.2).

Если уравнения (7.1),(7.2) линейны относительно искомой функции и ее производных, то краевая задача называется линейной.

Для простоты ограничимся частным случаем линейной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка [math](n=2)[/math] , которая наиболее часто ставится в вычислительной практике и записывается в виде

(Omega equiv [a,b]),[/math]

где [math]p(x),, q(x),, f(x)in C_2[a,b][/math] — заданные функции, а [math]alpha_0,,alpha_1,, beta_0,, beta_1,,A,,B[/math] — заданные числа, 0,

j=0;1[/math] . Требуется найти функцию [math]y(x)[/math] , удовлетворяющую уравнению (7.3) и краевым условиям (7.4). Краевые условия при [math]alpha_ne0,

j=0;1[/math] , задают линейную связь между значениями искомого решения и его производной на концах отрезка [math][a,b][/math] .

В простейшем случае, когда [math]beta_0=0,

beta_1=0[/math] , краевые условия задают на концах отрезка [math][a,b][/math] только значения функции [math]y(a),,y(b)[/math] . Такие функциональные условия называют краевыми условиями первого рода. В этом случае краевая задача называется первой краевой задачей.

В случае, когда [math]alpha_0=0,

alpha_1=0[/math] , т.е. на концах отрезка заданы только значения производных, краевые условия являются дифференциальными. Такие краевые условия называют условиями второго рода или «мягкими». Последнее название обусловлено тем, что они определяют на концах отрезка [math][a,b][/math] всего лишь наклоны интегральных кривых, а не значения функции [math]y(x)[/math] . В этом случае задача (7.3),(7.4) называется второй краевой задачей.

В общем случае, когда [math]alpha_0[/math] и (или) [math]alpha_1;

beta_0[/math] и (или) [math]beta_1[/math] не равны нулю, краевые условия носят функционально-дифференциальный характер и называются условиями третьего рода. Тогда задача (7.3),(7.4) называется третьей краевой задачей.

Например, условия [math]y(a)=A,

y(b)=B[/math] являются условиями первого рода. Геометрически это означает, что при решении первой краевой задачи требуется найти интегральную кривую уравнения (7.3), проходящую через данные точки [math](a,A),, (b,B)[/math] (рис. 7.1,а). Условия [math]y'(a)=A,, y'(b)=B[/math] являются условиями второго рода. Геометрически вторая краевая задача сводится к отысканию интегральной кривой уравнения, пересекающей прямые [math]x=a,

x=b[/math] под заданными углами [math]alpha,,beta[/math] , где [math]operatornamealpha=A,

operatornamebeta=B[/math] (рис. 7.1,6). Условия [math]y'(a)=A,

y(b)=B[/math] являются частным случаем краевых условий третьего рода, так как [math]alpha_0=0,

beta_1=0[/math] . Геометрически данная краевая задача сводится к отысканию интегральной кривой уравнения, проходящей через точку [math](b,B)[/math] и пересекающей прямую [math]x=a[/math] под данным углом [math]alpha[/math] , где [math]operatornamealpha= A[/math] (рис. 7.1,в).

В общем случае краевая задача может:

а) иметь единственное решение;

б) не иметь решений;

в) иметь несколько или бесконечно много решений.

Утверждение 7.1 (о существовании и единственности решения краевой задачи (7.3),(7.4)). Для того чтобы существовало единственное решение краевой задачи (7.3),(7.4), необходимо и достаточно, чтобы однородная краевая задача

имела только тривиальное решение [math]y(x)equiv0[/math] .

Пример 7.1. Найти аналитическое решение следующих краевых задач:

0 leqslant x leqslant frac,

y! left(fracright)-y’! left(fracright)=2[/math] (третья краевая задача);

0 leqslant x leqslant 1,

y(1)=0[/math] (первая краевая задача).

Воспользуемся известной методикой отыскания общих решений дифференциальных уравнений. Подставив в них заданные краевые условия, получим аналитические решения данных краевых задач.

1. Найдем общее решение однородного уравнения [math]y»+y=0[/math] , одинакового для обеих рассматриваемых задач. Так как характеристическое уравнение [math]lambda^2+1=0[/math] имеет комплексные сопряженные корни [math]lambda_=pm i= alphapm beta i[/math] [math](alpha=0,

beta=1)[/math] , то общее решение будет

2. Частные решения неоднородных уравнений находятся методом подбора. Подставляя [math]y_<text>(x)=C[/math] в уравнение [math]y»+y=1[/math] , а [math]y_<text>(x)=Dx[/math] в уравнение [math]y»+y=-x[/math] , получаем [math]C=1,

D=-1[/math] . Поэтому [math]y_<text>(x)=1[/math] в случае «а», [math]y_<text>(x)=-x[/math] в случае «б».

3. Найдем общее решение неоднородного уравнения как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

а) [math]y(x)=C_1cos x+C_2sin x+1[/math] ; б) [math]y(x)=C_1cos x+C_2sin x-x[/math] .

4. Определим значения произвольных постоянных из краевых условий третьего рода (случай «а») и первого рода (случай «б»):

а) найдем [math]y'(x)=-C_1sin x+C_2cos x[/math] . Тогда

Отсюда [math]C_1=1[/math] и [math]y(x)=1+cos x[/math] — решение краевой задачи «а»;

б) общее решение [math]y(x)=C_1cos x+C_2sin x-x[/math] и, следовательно, [math]y(0)=C_1=0,

y(1)=C_1cos1+ C_2sin1-1=0[/math] , отсюда [math]C_2= frac[/math] и [math]y(x)=frac-x[/math] — решение краевой задачи «б». Таким образом, решение краевой задачи представляет собой такое частное решение, которое удовлетворяет краевым условиям.

Рассмотренный метод нахождения аналитического решения краевых задач применим для ограниченного класса задач. Поэтому в вычислительной практике используются численные и приближенно-аналитические методы, позволяющие найти приближенное решение краевых задач, точные аналитические решения которых не могут быть найдены.

Видео:Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Метод сеток

Рассмотрим линейную краевую задачу с краевыми условиями первого рода (первую краевую задачу):

где [math]p(x),q(x),f(x)in C_2[a,b][/math] — заданные функции; [math]A,,B[/math] — заданные числа.

Очевидно, любой отрезок [math][a,b][/math] , на котором ищется решение краевой задачи, можно привести к отрезку [math][0;1][/math] с помощью линейного преобразования [math]widetilde= frac[/math] . Действительно, тогда новая переменная [math]widetildein [0;1][/math] . В результате без ограничения общности краевая задача (7.5) может быть решена сначала на отрезке [math][0;1][/math] , а затем это решение с помощью преобразования [math]x=a+(b-a)cdot widetilde[/math] может быть записано на отрезке [math][a,b][/math] . То же относится и к исследованию свойств полученного решения.

Утверждение 7.2 (о единственности решения краевой задачи (7.5)). Если функции [math]p(x),q(x),f(x)[/math] принадлежат классу [math]C_2[a,b],

q(x) geqslant 0[/math] на [math][0;1][/math] , то краевая задача (7.5) имеет единственное решение [math]y(x)in C_4[0;1][/math] .

Для решения задачи (7.5) применим метод сеток, получаемый путем аппроксимации первой и второй производных. Введем равномерную сетку (где [math]n[/math] — число отрезков разбиения)

Функции [math]p(x),q(x),f(x)[/math] заменяются их проекциями на сетку [math]Omega_n[/math] , то есть [math]p(x)to p(x_)=p_i,[/math] [math]q(x)to q(x_)=q_i,[/math] [math]f(x)to f(x_)= f_i,[/math] . Вместо точного решения [math]y(x)[/math] отыскивается некоторое приближение [math]widehat_= widehat(x_)approx y(x_),

i=overline[/math] . Первая и вторая производные аппроксимируются на трехточечном шаблоне [math](x_,x_,x_)[/math] по формулам второго порядка (5.10),(5.14):

Краевые условия для этой задачи аппроксимируются точно, т.е. [math]y(a)[/math] и [math]y(b)[/math] заменяются на [math]widehat_[/math] и [math]widehat_[/math] . После замены от дифференциальной задачи (7.5) переходим к разностной схеме:

представляющей собой систему алгебраических уравнений трехдиагонального вида:

delta_=f_[/math] . Здесь система (7.6) записана для внутренних узлов сетки [math]Omega_n[/math] . Она является трехдиагональной системой линейных алгебраических уравнений и решается методом прогонки.

1. Изложенный метод сеток допускает обобщение. Например, его можно применять для решения нелинейной краевой задачи:

где [math]F(x,y)[/math] — нелинейная по [math]y[/math] функция (в общем случае, который здесь не рассматривается, функция [math]F[/math] зависит также и от [math]y'[/math] ).

Рассуждая аналогично рассмотренному выше способу, перейдем к разностной задаче:

В силу нелинейности правой части полученная алгебраическая система является нелинейной и для ее решения нельзя использовать метод прогонки в том виде, в каком он изложен для линейной задачи. Поэтому для ее решения используем метод простых итераций, с помощью которого при фиксированном [math]k[/math] (номер итерации) система алгебраических уравнений (7.8) превращается в линейную, так как величины, входящие в правую часть системы, известны из предыдущей итерации. Действительно, для k-й итерации получается система (которая решается на каждой итерации методом прогонки)

Можно показать, что итерации сходятся при выполнении условия [math]q=frac(x_n-x_0)^2M_1 [math]M_1=max_left|fracright|[/math] с линейной скоростью.

2. Краевые условия второго и третьего рода в задаче, аналогичной (7.5), могут быть аппроксимированы несколькими способами.

Первый способ. Использование аппроксимационных формул (5.4) первого порядка

В силу первого порядка этих аппроксимаций метод сеток в этом случае также будет иметь первый порядок аппроксимации.

Второй способ. Применение формулы Тейлора и ее преобразование с использованием дифференциального уравнения. Таким способом может быть достигнут второй порядок аппроксимации.

Третий способ. Применение левосторонней (5.8) и правосторонней (5.9) формул, аппроксимирующих производные со вторым порядком:

3. Порядок аппроксимации схемы определяется минимальным порядком аппроксимации дифференциального уравнения и краевых условий.

Видео:Методы решения нелинейных краевых задач для ОДУСкачать

Алгоритм применения метода сеток

1. Задать сетку [math]Omega_n[/math] на отрезке [math][a,b][/math] или сформировать ее из условий достижения требуемой точности.

2. Используя аппроксимационные формулы (5.10),(5.14) и один из трех способов аппроксимации краевых условий (в случае, если они второго или третьего рода), перейти от исходной дифференциальной задачи к системе алгебраических уравнений (разностной схеме), неизвестными в которой являются величины, «близкие» к решению краевой задачи в узлах сетки.

3. Найти решение разностной задачи путем решения трехдиагональной системы уравнений и таким образом определить приближенное решение краевой задачи.

Пример 7.2. Найти приближенное решение краевой задачи [math]y»+y=1,

0 leqslant x leqslant frac,[/math] [math]y'(0)=0,[/math] [math]y! left(fracright)-y’! left(fracright)=2[/math] при [math]n=3[/math] , используя первый способ аппроксимации краевых условий. Записать разностные схемы для второго и третьего способов при произвольном [math]n[/math] .

В поставленной задаче

Для решения задачи воспользуемся методикой.

1. Так как [math]n=3[/math] , то сетка имеет вид [math]Omega_3=[/math] , где [math]x_=ih,

y! left(fracright)=y_1,[/math] [math]y! left(fracright)=y_2,[/math] [math]y! left(fracright)=y_3[/math] . Будем искать приближенные значения [math]widehat_0,widehat_1, widehat_2, widehat_3[/math] . Проекции функций [math]p(x), q(x), f(x)[/math] на сетку имеют вид [math]p_=0,

2. Составим разностную схему. Согласно (7.6), для внутренних узлов сетки получаем

i=1;2[/math] или [math]widehat_-(2-h^2)widehat_+ widehat_=h^2,

Применим первый способ аппроксимации краевых условий. По формуле (5.4) с учетом условия [math]y'(0)=0[/math] на левом конце имеем

На правом конце [math]y! left(fracright)=y_3,

y’! left(fracright)=y’_3[/math] , и по второй из формул (7.9) [math]widehat,’_= frac<widehat_-widehat_>[/math] . Тогда краевое условие [math]y! left(fracright)-y’! left(fracright)=2[/math] аппроксимируется выражением

В результате получаем разностную схему первого порядка аппроксимации (трехдиагональную систему линейных алгебраических уравнений)

Сравнивая первое уравнение этой системы с рекуррентным соотношением [math]widehat_= P_cdot widehat_+ Q_[/math] метода прогонки, характеризующим обратный ход, получаем [math]P_0=1,

После этого вычисляются все последующие прогоночные коэффициенты по формулам:

Здесь [math]alpha_,beta_,gamma_[/math] соответствуют коэффициентам левой части полученной алгебраической системы, а [math]delta_[/math] — правой части.

Далее выполняется обратный ход: [math]widehat_=Q_3,

widehat_= P_2widehat_+ Q_2,

widehat_= P_1widehat_+ Q_1[/math] .

Результаты решения краевой задачи приведены в табл. 7.1, в которой последний столбец соответствует точному решению [math]y(x)=1+cos x[/math] , найденному в примере 7.1.

7.1>>\hline i& alpha_& beta_& gamma_& delta_& P_& Q_& widehat_& y(x) \hline 0& 0&-1,!0000&-1& 0,!00000& 1,!00000& 0& 1,!8648& 2,!0000\hline 1& 1& 1,!72584& 1& 0,!27415& 1,!37771&-0,!37770& 1,!8648& 1,!8666\hline 2& 1& 1,!72584& 1& 0,!27415& 2,!87240&-1,!87242& 1,!6277& 1,!5000\hline 3& 1& 0,!47640&-& 1,!04200&-& 1,!21853& 1,!21853& 1,!0000\hline end[/math]

В силу того, что краевые условия аппроксимированы с первым порядком относительно [math]h[/math] , в данном случае получена разностная схема первого порядка, так как порядок аппроксимации схемы определяется минимальным порядком аппроксимации дифференциального уравнения и краевых условий.

Воспользуемся вторым способом аппроксимации краевых условий для построения разностной схемы второго порядка аппроксимации. Разложим [math]y(x)[/math] в точке [math]x=x_1[/math] относительно точки [math]x_0[/math] по формуле Тейлора:

Выразим из этого соотношения [math]y'(x_0)[/math] и подставим в него вместо [math]y»(x_0)[/math] выражение [math]y»(x_0)=1-y(x_0)=1-y_0[/math] , определяемое исходным дифференциальным уравнением:

Как показывает это соотношение, дифференциальное условие на левой границе аппроксимируется на двухточечном шаблоне [math](x_0,x_1)[/math] со вторым порядком аппроксимации двухточечным алгебраическим уравнением:

Аналогично получается двухточечное алгебраическое уравнение при / [math]i=n-1[/math] и [math]i=n[/math] . Разложение [math]y(x)[/math] в точке [math]x=x_[/math] относительно точки [math]x_n[/math] по формуле Тейлора имеет вид

Выражая отсюда [math]y'(x_n)[/math] с учетом связи [math]y»(x_n)=1-y(x_n)=1-y_n[/math] , следующей из исходного дифференциального уравнения, получаем

Подставим это выражение в граничное условие:

Таким образом, система линейных алгебраических уравнений в окончательном виде записывается следующим образом:

Эта трехдиагональная система, отличающаяся от полученной первым способом только первым и последним уравнениями, решается численно методом прогонки.

Применим третий способ аппроксимации краевых условий для построения разностной схемы второго порядка. Так, для крайней левой точки используется левосторонняя формула (5.8):

Тогда получается трехточечное алгебраическое уравнение:

Аппроксимация производной [math]y’! left(fracright)[/math] в крайней правой точке по правосторонней формуле [math]widehat,’_= frac bigl(widehat_-4widehat_+ 3widehat_bigr)[/math] приводит к трехточечному алгебраическому уравнению:

Тогда в этом случае получается следующая система линейных алгебраических уравнений:

Здесь [math]widehat_[/math] в первом уравнении и [math]widehat_[/math] в последнем нарушают ее трехдиагональный характер. В этом случае система приводится к трехдиагональному виду путем исключения [math]widehat_[/math] и [math]widehat_[/math] из первых двух и последних двух уравнений системы и после этого решается методом прогонки.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Методы минимизации невязки

Описываемые здесь методы относятся к приближенно-аналитическим и могут применяться при решении достаточно широкого класса задач. На основе одного из приближенно-аналитических методов (метода Галеркина) строится метод конечных элементов, излагаемый в разд. 7.5.

Рассмотрим линейную краевую задачу (7.3),(7.4). Ее решение будем искать в виде

где [math]varphi_0(x), varphi_1(x), ldots, varphi_m(x)[/math] — элементы заданной системы функций; [math]a_1,ldots,a_m[/math] — неопределенные коэффициенты. Заданная система функций называется базисной, и ее элементы должны удовлетворять условиям:

а) [math]varphi_(x)in C_2[a,b],

б) при любом конечном [math]m[/math] функции [math]varphi_1(x), ldots, varphi_m(x)[/math] линейно независимы на отрезке [math][a,b][/math] ;

в) [math]varphi_0(x)[/math] удовлетворяет краевым условиям (7.4)

г) [math]varphi_1(x), ldots, varphi_m(x)[/math] удовлетворяют условиям

называется невязкой . Она равна разности левой и правой частей уравнения (7.3), образующейся при подстановке [math]widehat_(x)[/math] вместо [math]y(x)[/math] в дифференциальное уравнение, и характеризует степень отклонения функции [math]widehat_(x)[/math] от точного решения краевой задачи. Если при некоторых значениях коэффициентов [math]a_1,ldots,a_m[/math] невязка тождественно равна нулю на отрезке [math][a,b][/math] , а именно

то функция [math]widehat_(x)[/math] совпадает с точным решением краевой задачи (7.3),(7.4), так как удовлетворяются и уравнение, и краевые условия.

Однако при решении краевых задач, как правило, не удается получить невязку тождественно равной нулю. Поэтому ставится задача: вычислить коэффициенты [math]a_1,ldots,a_m[/math] таким образом, чтобы невязка в каком-либо смысле стала меньшей. Полученные в результате коэффициенты определяют приближенное решение (7.11).

Выражение для невязки [math]varepsilon(x; a_1,ldots, a_m)[/math] с учетом (7.11) удобно записывать в следующей эквивалентной форме:

где [math]Lwidehat_equiv widehat,»_(x)+ p(x)widehat,’_(x)-q(x) widehat_(x),

L[/math] — линейный оператор задачи (7.3),(7.4) (выполняются равенства [math]L(y+z)= Ly+Lz,[/math] [math]L(Cy)=Ccdot Ly[/math] для любых [math]y,,z[/math] и постоянной [math]C[/math] ).

Рассмотрим различные методы, минимизирующие невязку .

А. Метод коллокации. На интервале [math](a,b)[/math] задаются т точек [math]x_1,ldots, x_n[/math] (точек коллокации) и требуется, чтобы в каждой из них невязка (7.14) обращалась в нуль:

С учетом (7.16) эта система принимает вид

Если полученная система [math]m[/math] линейных уравнений совместна, то из нее определяются коэффициенты [math]a_1,ldots, a_m[/math] , которые затем подставляются в (7.11).

Б. Метод наименьших квадратов (непрерывный вариант). Неизвестные коэффициенты [math]a_1,ldots, a_m[/math] должны обеспечивать минимум интеграла от квадрата невязки:

Для решения задачи применяются необходимые условия безусловного экстремум:

Подставляя (7.16) в (7.19), получаем систему [math]m[/math] линейных алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов [math]a_1,ldots, a_mcolon[/math]

В. Метод наименьших квадратов (дискретный вариант). Неизвестные коэффициенты [math]a_1,ldots,a_m[/math] должны обеспечивать минимум суммы квадратов значений невязки в заданном наборе точек [math]x_1,ldots,x_n;

n geqslant m[/math] , то есть [math]x_in (a,b),

Для решения задачи применяются необходимые условия безусловного экстремума

Отсюда следует система [math]m[/math] линейных уравнений для нахождения коэффициентов [math]a_1,ldots,a_m[/math] , которая по форме записи совпадает с (7.20), но скалярное произведение определяется по формуле [math]textstyle<(f,g)= sumlimits_^ f(x_)g(x_)>[/math] .

Замечание. При [math]n=m[/math] результаты, полученные точечным методом наименьших квадратов и методом коллокации, совпадают. В этом случае точки [math]x_1,ldots, x_n[/math] являются точками коллокации.

Г. Метод моментов (взвешенных невязок). Неизвестные коэффициенты ах. ат находятся из условия равенства нулю /и моментов невязки:

j=overline[/math] — функции, удовлетворяющие условиям:

б) функции [math]psi_(x)[/math] являются элементами системы степеней [math]x[/math] или системы тригонометрических функций.

j=overline[/math] называются весовыми, а условие (7.22) является условием ортогональности невязки к весовым функциям.

Д. Метод Галсркина. Он является частным случаем метода моментов, когда в качестве весовых функций используются базисные. Коэффициенты [math]a_1,ldots,a_m[/math] находятся из условия ортогональности функций базисной системы [math]varphi_1(x),ldots, varphi_(x)[/math] к невязке:

Отсюда следует система [math]m[/math] линейных уравнений для нахождения коэффициентов:

Известно, что при достаточно большом [math]m[/math] условие (7.23) обеспечивает малость невязки в среднем.

Видео:Вычислительная математика. Лекция 7. Решение краевых задач для дифференциальных уравненийСкачать

Алгоритм применения методов минимизации невязки

1. В выражении (7.11) выбрать систему базисных функций, задать число [math]m[/math] в зависимости от требуемой точности.

2. Найти коэффициенты [math]a_1,ldots,a_m[/math] путем решения одной из систем алгебраических уравнений (7.18),(7.20),(7.24) в зависимости от выбранного метода.

3. Выписать приближенное решение краевой задачи по формуле (7.11).

Пример 7.3. Найти приближенное решение краевой задачи [math]y»+y=-x,

0 leqslant x leqslant 1,[/math] [math]y(0)=0,

y(1)=0[/math] методом коллокации, интегральным методом наименьших квадратов, методом Галеркина

В поставленной задаче

Точное решение найдено в примере 7.1.

Воспользуемся сначала методом коллокации.

1. Зададим [math]m=2[/math] и будем искать решение в виде

где [math]varphi_0(x)equiv0[/math] (эта функция удовлетворяет каждому из краевых условий, т.е. [math]varphi_0(0)=0,

varphi_0(1)=0[/math] ), функции [math]varphi_1(x)= x(1-x),

varphi_2(x)= x^2(1-x)[/math] . Функции [math]varphi_1(x),, varphi_2(x)[/math] линейно независимые, дважды непрерывно дифференцируемые и удовлетворяют условию (7.13). Действительно,

Таким образом, решение краевой задачи ищется в форме

2. Так как [math]m=2[/math] и [math]varphi_0(x)equiv 0[/math] , то система (7.18) имеет вид

Выберем узлы коллокации: [math]x_1=1!!not<phantom>,4,

Таким образом, имеем линейную систему относительно [math]a_1[/math] и [math]a_2colon[/math]

3. Приближенное решение задачи: [math]widehat_2(x)= frac(42+40x)[/math] .

Решим теперь задачу методом наименьших квадратов (см. непрерывный вариант).

1. Решение краевой задачи ищется в форме [math]widehat_2(x)= a_1cdot x(1-x)+ a_2cdot x^2(1-x)[/math] .

2. Так как [math]f(x)=-x,

varphi_0(x)equiv 0[/math] , то система (7.20) имеет вид

Итак, имеем линейную систему относительно [math]a_1[/math] и [math]a_2colon[/math]

Приближенное решение задачи: [math]widehat_2(x)=0,!1875419x(1-x)+ 0,!1694707x^2(1-x).[/math] .

Решим задачу методом Галеркина.

1. Пусть сначала [math]m=1[/math] . Решение ищется в форме [math]widehat_1(x)= a_1cdot x(1-x)[/math] .

2. Тогда система (7.24) преобразуется к виду

Так как [math]varphi_1(x)= x(1-x),

Lvarphi_1(x)= varphi»_1(x)+ varphi_1(x)=-2+x(1-x)[/math] , получаем

После вычисления интегралов имеем уравнение [math]-frac,a_1=-frac[/math] , откуда [math]a_1=frac[/math] .

3. Приближенное решение краевой задачи: [math]widehat_1(x)=frac,x(1-x)[/math] . Пусть теперь [math]m=2[/math] .

1. Решение краевой задачи ищется в форме [math]widehat_2(x)=a_1cdot x(1-x)+ a_2cdot x^2(1-x)[/math] .

2. Тогда система (7.24) имеет вид

Вычисляя интегралы, находим

3. Приближенное решение краевой задачи: [math]widehat_2(x)= x(1-x)! left(frac+ frac,xright)[/math] .

Сопоставим полученные решения с точным (табл. 7.2).

7.2>>\hline x& y_<text>& y_<text>& y_<text>& text \hline 0,!25& 0,!045& 0,!04311& 0,!0440& 0,!044014 \hline 0,!50& 0,!071& 0,!06807& 0,!0698& 0,!069747 \hline 0,!75& 0,!062& 0,!05899& 0,!0600& 0,!060050 \hline end[/math]

Очевидно, метод Галеркина дал более точный результат.

Пример 7.4. Найти приближенное решение краевой задачи [math]y»+2xy’-2y=2x^2,

0 leqslant x leqslant 1,[/math] [math]y'(0)=-2,

y(1)+y'(1)=0[/math] методом Галеркина.

В поставленной задаче

1. Зададим [math]m=2[/math] и подберем функции [math]varphi_0(x),, varphi_1(x),, varphi_2(x)[/math] , используя систему [math]1,x,x^2,ldots[/math] . Функция [math]varphi_0(x)[/math] должна удовлетворять условиям (7.12):

Пусть [math]varphi_0(x)=b+cx[/math] , где [math]b,,c[/math] — неопределенные коэффициенты. Тогда

Отсюда [math]b=4[/math] и [math]varphi_0(x)=4-2x[/math] .

Функции [math]varphi_1(x),, varphi_2(x)[/math] должны удовлетворять условиям (7.13):

Первое условие выполняется для функций вида [math]varphi_= x^+b_[/math] . Значения [math]b_[/math] находятся из второго условия [math]1+b_+j+1=0[/math] , откуда [math]b_=-j-2[/math] . Тогда получаем [math]varphi_1(x)=x^2-3,

Таким образом, решение краевой задачи ищется в форме

2. Тогда система (7.24) имеет вид

3. Приближенное решение краевой задачи [math]widehat_2(x)= x^2-2x+1[/math] .

Видео:Разностное функциональное уравнение решено двумя способами.Скачать

Методы сведения краевой задачи к задаче Коши

Метод стрельбы. Суть этого метода заключается в сведении решения краевой задачи к многократному решению задачи Коши. Принцип построения метода стрельбы рассмотрим на примере нелинейной краевой задачи:

где [math]f(x,y,y’)[/math] — нелинейная функция, обусловливающая нелинейность дифференциального уравнения (7.25).

При введении новой переменой [math]z=y'[/math] уравнение (7.25) записывается в нормальной форме Коши, а краевые условия видоизменяются:

где [math]eta=y'(a)=operatornamealpha[/math] — параметр, равный тангенсу угла наклона интегральной кривой в точке [math]x=a[/math] . Угол [math]alpha[/math] (параметр [math]eta[/math] ) в процессе многократного решения краевой задачи должен принять такое значение, чтобы интегральная кривая «попала в цель», т.е. в точку [math](b,B)[/math] (рис.7.2 ,а). В общем случае полученное при некотором значении [math]eta[/math] решение [math]y(x,eta)[/math] не будет удовлетворять условию [math]y(b,eta)=B[/math] на правом конце отрезка.

Следовательно, требуется найти такое значение параметра [math]eta[/math] , чтобы оно было корнем нелинейного уравнения [math]Phi(eta)= y(b,n)-B=0[/math] . Для решения этого уравнения, как правило, используются методы половинного деления или секущих. В случае использования метода половинного деления сначала делают «пробные» выстрелы при выбранных наугад или в соответствии с некоторым алгоритмом значениях [math]eta[/math] до тех пор, пока среди значений [math]Phi(eta)[/math] не окажется двух противоположных по знаку. Им соответствует начальный интервал неопределенности, который далее последовательно сокращается путем деления пополам. При применении метода секущих используется формула

где [math]eta^,,eta^[/math] — начальные значения параметра, [math]k[/math] — номер итерации. Итерации прекращаются при выполнении условия окончания [math]bigl|Phi(eta^)bigr| leqslant varepsilon[/math] или [math]bigl|eta^-eta^bigr| leqslant varepsilon[/math] с некоторым положительным [math]varepsilon[/math] , характеризующим точность решения задачи.

Замечание. Точность решения краевой задачи зависит не только от точности определения параметра [math]eta[/math] , но также и от точности решения соответствующей задачи Коши. Поэтому одновременно с уточнением параметра [math]eta[/math] рекомендуется уменьшать шаг при решении задачи Коши, либо выбирать более точный метод.

Рассмотрим применение метода стрельбы для решения линейной краевой задачи (7.3),(7.4):

🎥 Видео

Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводностиСкачать

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Разностные методы решения краевых задач для ОДУ 2 порядка. Разностная производная. Метод стрельбыСкачать

6-2. Метод сетокСкачать

Краевая задача.Функция Грина.Дифференциальное ур.Скачать

Краевая задачаСкачать

Сеточные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.Скачать

Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Разностные схемы для численного решения уравнений гиперболического типаСкачать

2.1. Метод характеристик. Задача Коши для гиперболического уравнения на плоскости.Скачать