Решение систем дифференциальных уравнений графики

Системы дифференциальных уравнений с примерами решения и образцами выполнения

Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения, системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности. В частности, к ним относятся различного рода физические и химические процессы, процессы нефте- и газодобычи, геологии, экономики и т.д. Действительно, если некоторые физические величины (перемещение тела, пластовое давление жидкости в фиксированной точке с тремя координатами, концентрация веществ, объемы продаж продуктов) оказываются меняющимися со временем под воздействием тех или иных факторов, то, как правило, закон их изменения по времени описывается именно системой дифференциальных уравнений, т.е. системой, связывающей исходные переменные как функции времени и производные этих функций. Независимой переменной в системе дифференциальных уравнений может выступать не только время, но и другие физические величины: координата, цена продукта и т.д.

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Решение системы дифференциальных уравнений методом Эйлера

Решение систем дифференциальных уравнений

К системе дифференциальных уравнений приводит уже простейшая задача динамики точки: даны силы, действующие на материальную точку; найти закон движения, т. е. найти функции Решение систем дифференциальных уравнений графикивыражающие зависимость координат движущейся точки от времени. Система, которая при этом получается, в общем случае имеет вид

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Здесь x, у, z — координаты движущейся точки, t — время, f, g, h — известные функции своих аргументов.

Система вида (1) называется канонической. Обращаясь к общему случаю системы т дифференциальных уравнений с т неизвестными функциями Решение систем дифференциальных уравнений графикиаргумента t, назовем канонической систему вида

Решение систем дифференциальных уравнений графики

разрешенную относительно старших производных. Система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от искомых функций,

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Если Решение систем дифференциальных уравнений графикив (2) принять за новые вспомогательные функции, то общую каноническую систему (2) можно заменить эквивалентной ей нормальной системой, состоящей из Решение систем дифференциальных уравнений графикиуравнений. Поэтому достаточно рассматривать лишь нормальные системы.

Например, одно уравнение

Решение систем дифференциальных уравнений графики

является мастным случаем канонической системы. Положив Решение систем дифференциальных уравнений графикив силу исходного уравнения будем иметь

Решение систем дифференциальных уравнений графики

В результате получаем нормальную систему уравнений

Решение систем дифференциальных уравнений графики

эквивалентную исходному уравнению.

Определение:

Решением нормальной системы (3) на интервале (а, Ь) изменения аргумента t называется всякая система n функций

Решение систем дифференциальных уравнений графики

дифференцируемых на интервале а Решение систем дифференциальных уравнений графики

Теорема:

Существования и единственности решения задачи Коши. Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений

Решение систем дифференциальных уравнений графики

и пусть функции Решение систем дифференциальных уравнений графикиопределены в некоторой (n + 1) — мерной области D изменения переменных Решение систем дифференциальных уравнений графикиЕсли существует окрестность Решение систем дифференциальных уравнений графикиточки Решение систем дифференциальных уравнений графикив которой функции fi непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по переменным Решение систем дифференциальных уравнений графикито найдется интервал Решение систем дифференциальных уравнений графикиизменения t, на котором существует единственное решение нормальной системы (3), удовлетворяющее начальным условиям

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Определение:

Система n функций

Решение систем дифференциальных уравнений графики

зависящих от t и n произвольных постоянных Решение систем дифференциальных уравнений графикиназывается общим решением нормальной системы (3) в некоторой области Решение систем дифференциальных уравнений графикисуществования и единственности решения задачи Коши, если

1) при любых допустимых значениях Решение систем дифференциальных уравнений графикисистема функций (6) обращает уравнения (3) в тождества,

2) в области Решение систем дифференциальных уравнений графикифункции (6) решают любую задачу Коши.

Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях постоянных Решение систем дифференциальных уравнений графикиназываются частными решениями.

Обратимся для наглядности к нормальной системе двух уравнений,

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Будем рассматривать систему значений t, x1, х2 как прямоугольные декартовы координаты точки трехмерного пространства, отнесенного к системе координат Решение систем дифференциальных уравнений графикиРешение

Решение систем дифференциальных уравнений графики

системы (7), принимающее при Решение систем дифференциальных уравнений графикизначения Решение систем дифференциальных уравнений графикиопределяет в пространстве некоторую линию, проходящую через точку Решение систем дифференциальных уравнений графикиЭта линия называется интегральной кривой нормальной системы (7). Задача Коши для системы (7) получает следующую геометрическую формулировку: в пространстве переменных t, x1, х2 найти интегральную кривую, проходящую через данную точку Решение систем дифференциальных уравнений графики(рис. 1). Теорема 1 устанавливает существование и единственность такой кривой.

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Нормальной системе (7) и ее решению можно придать еще такое истолкование: будем независимую переменную t рассматривать как параметр, а решение

Решение систем дифференциальных уравнений графики

системы — как параметрические уравнения кривой на плоскости Решение систем дифференциальных уравнений графикиЭту плоскость переменных х1х2 называют фазовой плоскостью. В фазовой плоскости решение Решение систем дифференциальных уравнений графикисистемы (7), принимающее при t = to начальные значения Решение систем дифференциальных уравнений графикиизображается кривой АВ, проходящей через точку Решение систем дифференциальных уравнений графики(рис. 2). Эту кривую называют траекторией системы (фазовой траекторией). Траектория системы (7) есть проекция интегральной кривой на фазовую плоскость. По интегральной кривой фазовая траектория определяется однозначно, но не наоборот.

Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений

Метод исключения

Один из методов интегрирования — метод исключения. Частным случаем канонической системы является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Введя новые функции Решение систем дифференциальных уравнений графикизаменим это уравнение следующей нормальной системой n уравнений:

Решение систем дифференциальных уравнений графики

т. е. одно уравнение n-го порядка эквивалентно нормальной системе (1)

Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система п уравнений первого порядка эквивалентна одному уравнению порядка n. На этом и основан метод исключения для интегрирования систем дифференциальных уравнений.

Делается это так. Пусть имеем нормальную систему

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Продифференцируем первое из уравнений (2) по t. Имеем

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Заменяя в правой части производные Решение систем дифференциальных уравнений графикиих выражениями Решение систем дифференциальных уравнений графикиполучим

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Уравнение (3) снова дифференцируем по t. Принимая во внимание систему (2), получим

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Продолжая этот процесс, найдем

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Предположим, что определитель

Решение систем дифференциальных уравнений графики

(якобиан системы функций Решение систем дифференциальных уравнений графикиотличен от нуля при рассматриваемых значениях Решение систем дифференциальных уравнений графики

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Тогда система уравнений, составленная из первого уравнения системы (2) и уравнений

Решение систем дифференциальных уравнений графики

будет разрешима относительно неизвестных Решение систем дифференциальных уравнений графикиПри этом Решение систем дифференциальных уравнений графикивыразятся через Решение систем дифференциальных уравнений графики

Внося найденные выражения в уравнение

Решение систем дифференциальных уравнений графики

получим одно уравнение n-го порядка

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Из самого способа его построения следует, что если Решение систем дифференциальных уравнений графикиесть решения системы (2), то функция х1(t) будет решением уравнения (5).

Обратно, пусть Х1(t) — решение уравнения (5). Дифференцируя это решение по t, вычислим Решение систем дифференциальных уравнений графикии подставим найденные значения как известные функции

Решение систем дифференциальных уравнений графики

от t в систему уравнений

Решение систем дифференциальных уравнений графики

По предположению эту систему можно разрешить относительно Решение систем дифференциальных уравнений графикит. е найти Решение систем дифференциальных уравнений графикикак функции от t.

Можно показать, что так построенная система функций

Решение систем дифференциальных уравнений графики

составляет решение системы дифференциальных уравнений (2). Пример:

Требуется проинтегрировать систему

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Дифференцируя первое уравнение системы, имеем

Решение систем дифференциальных уравнений графики

откуда, используя второе уравнение, получаем

Решение систем дифференциальных уравнений графики

— линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с одной неизвестной функцией. Его общее решение имеет вид

Решение систем дифференциальных уравнений графики

В силу первого уравнения системы находим функцию

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Найденные функции x(t), y(t), как легко проверить, при любых значениях С1 и С2 удовлетворяют заданной системе.

Функции x(t), y(t) можно представить в виде

Решение систем дифференциальных уравнений графики

откуда видно, что интегральные кривые системы (6) — винтовые линии с шагом Решение систем дифференциальных уравнений графикии с общей осью х = у = 0, которая также является интегральной кривой (рис. 3).

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Исключая в формулах (7) параметр t, получаем уравнение

Решение систем дифференциальных уравнений графики

так что фазовые траектории данной системы суть окружности с центром в начале координат — проекции винтовых линий на плоскость хОу.

При А = 0 фазовая траектория состоит из одной точки х = 0, у = 0, называемой точкой покоя системы.

Замечание:

Может оказаться, что функции Решение систем дифференциальных уравнений графикинельзя выразить через Решение систем дифференциальных уравнений графикиТогда уравнения n-го порядка, эквивалентного исходной системе, мы не получим. Вот простой пример. Систему уравнений

Решение систем дифференциальных уравнений графики

нельзя заменить эквивалентным уравнением второго порядка относительно х1 или x2. Эта система составлена из пары уравнений 1-го порядка, каждое из которых интегрируется независимо, что дает

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Метод интегрируемых комбинаций

Интегрирование нормальных систем дифференциальных уравнений

Решение систем дифференциальных уравнений графики

иногда осуществляется методом интегрируемых комбинаций.

Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием уравнений (8), но уже легко интегрирующееся.

Пример:

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Складывая почленно данные уравнения, находим одну интегрируемую комбинацию:

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Вычитая почленно из первого уравнения системы второе, получаем вторую интегрируемую комбинацию:

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Мы нашли два конечных уравнения

Решение систем дифференциальных уравнений графики

из которых легко определяется общее решение системы:

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно уравнение

Решение систем дифференциальных уравнений графики

связывающее независимую переменную t и неизвестные функции Решение систем дифференциальных уравнений графикиТакое конечное уравнение называется первым интегралом системы (8). Иначе: первым интегралом системы дифференциальных уравнений (8) называется дифференцируемая функция Решение систем дифференциальных уравнений графикине равная тождественно постоянной, но сохраняющая постоянное значение на любой интегральной кривой этой системы.

Если найдено п первых интегралов системы (8) и все они независимы, т. е. якобиан системы функций Решение систем дифференциальных уравнений графикиотличен от нуля:

Решение систем дифференциальных уравнений графики

то задача интефирования системы (8) решена (так как из системы

Решение систем дифференциальных уравнений графики

определяются все неизвестные функции Решение систем дифференциальных уравнений графики

Системы линейных дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно неизвестных функций и их производных, входящих в уравнение. Система n линейных уравнений первого порядка, записанная в нормальной форме, имеет вид

Решение систем дифференциальных уравнений графики

или, в матричной форме,

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Теорема:

Если все функции Решение систем дифференциальных уравнений графикинепрерывны на отрезке Решение систем дифференциальных уравнений графикито в достаточно малой окрестности каждой точки Решение систем дифференциальных уравнений графикигде Решение систем дифференциальных уравнений графикивыполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши, следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (1).

Действительно, в таком случае правые части системы (1) непрерывны по совокупности аргументов t, Решение систем дифференциальных уравнений графикии их частные производные по Решение систем дифференциальных уравнений графикиограничены, так как эти производные равны непрерывным на отрезке [а,b] коэффициентам Решение систем дифференциальных уравнений графики

Введем линейный оператор

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Тогда система (2) запишется в виде

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Если матрица F — нулевая, т. е. Решение систем дифференциальных уравнений графикина интервале (а,b), то система (2) называется линейной однородной и имеет вид

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Приведем некоторые теоремы, устанавливающие свойства решений линейных систем.

Теорема:

Если X(t) является решением линейной однородной системы

Решение систем дифференциальных уравнений графики

то cX(t), где с — произвольная постоянная, является решением той же системы.

Теорема:

Решение систем дифференциальных уравнений графики

двух решений Решение систем дифференциальных уравнений графикиоднородной линейной системы уравнений является решением той же системы.

Следствие:

Решение систем дифференциальных уравнений графики

с произвольными постоянными коэффициентами сi решений Решение систем дифференциальных уравнений графикилинейной однородной системы дифференциальных уравнений

Решение систем дифференциальных уравнений графики

является решением той же системы.

Теорема:

Если Решение систем дифференциальных уравнений графикиесть решение линейной неоднородной системы

Решение систем дифференциальных уравнений графики

a Xo(t) — решение соответствующей однородной системы

Решение систем дифференциальных уравнений графики

будет решением неоднородной системы Решение систем дифференциальных уравнений графики

Действительно, по условию,

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Пользуясь свойством аддитивности оператора Решение систем дифференциальных уравнений графикиполучаем

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Это означает, что сумма Решение систем дифференциальных уравнений графикиесть решение неоднородной системы уравнений Решение систем дифференциальных уравнений графики

Определение:

Решение систем дифференциальных уравнений графики

называются линейно зависимыми на интервале a Решение систем дифференциальных уравнений графики

при Решение систем дифференциальных уравнений графикипричем по крайней мере одно из чисел аi, не равно нулю. Если тождество (5) справедливо только при Решение систем дифференциальных уравнений графикито векторы Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графикиназываются линейно независимыми на (а, b).

Заметим, что одно векторное тождество (5) эквивалентно n тождествам:

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Решение систем дифференциальных уравнений графики

называется определителем Вронского системы векторов Решение систем дифференциальных уравнений графики

Определение:

Пусть имеем линейную однородную систему

Решение систем дифференциальных уравнений графики

где Решение систем дифференциальных уравнений графикиматрица с элементами Решение систем дифференциальных уравнений графикиСистема n решений

Решение систем дифференциальных уравнений графики

линейной однородной системы (6), линейно независимых на интервале а Решение систем дифференциальных уравнений графики

с непрерывными на отрезке Решение систем дифференциальных уравнений графикикоэффициентами Решение систем дифференциальных уравнений графикиявляется линейная комбинация п линейно независимых на интервале а Решение систем дифференциальных уравнений графики

(Решение систем дифференциальных уравнений графики) — произвольные постоянные числа).

Пример:

Решение систем дифференциальных уравнений графики

имеет, как нетрудно проверить, решения

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Эти решения линейно независимы, так как определитель Вронского отличен от нуля:

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Общее решение системы имеет вид

Решение систем дифференциальных уравнений графики

(с1, с2 — произвольные постоянные).

Фундаментальная матрица

Квадратная матрица

Решение систем дифференциальных уравнений графики

столбцами которой являются линейно независимые решения Решение систем дифференциальных уравнений графикисистемы (6), называется фундаментальной матрицей этой системы. Нетрудно проверить, что фундаментальная матрица удовлетворяет матричному уравнению

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Если Х(t) — фундаментальная матрица системы (6), то общее решение системы можно представить в виде

Решение систем дифференциальных уравнений графики

— постоянная матрица-столбец с произвольными элементами. Полагая в (7) t = t0, имеем

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Матрица Решение систем дифференциальных уравнений графикиназывается матрицей Коши. С ее помощью решение системы (6) можно представить так:

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Теорема:

О структуре общего решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений. Общее решение в области Решение систем дифференциальных уравнений графикилинейной неоднородной системы дифференциальных уравнений

Решение систем дифференциальных уравнений графики

с непрерывными на отрезке Решение систем дифференциальных уравнений графикикоэффициентами aij(t) и правыми частями fi(t) равно сумме общего решения

Решение систем дифференциальных уравнений графики

соответствующей однородной системы и какого-нибудь частного решения Решение систем дифференциальных уравнений графикинеоднородной системы (2):

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Метод вариации постоянных

Если известно общее решение линейной однородной системы (6), то частное решение неоднородной системы можно находить методом вариации постоянных (метод Лагранжа).

Решение систем дифференциальных уравнений графики

есть общее решение однородной системы (6), тогда

Решение систем дифференциальных уравнений графики

причем решения Xk(t) линейно независимы.

Будем искать частное решение неоднородной системы

Решение систем дифференциальных уравнений графики

где Решение систем дифференциальных уравнений графикинеизвестные функции от t. Дифференцируя Решение систем дифференциальных уравнений графикипо t, имеем

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Подставляя Решение систем дифференциальных уравнений графикив (2), получаем

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Решение систем дифференциальных уравнений графики

то для определения Решение систем дифференциальных уравнений графикиполучаем систему

Решение систем дифференциальных уравнений графики

или, в развернутом виде,

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Система (10) есть линейная алгебраическая система относительно Решение систем дифференциальных уравнений графикиопределителем которой является определитель Вронского W(t) фундаментальной системы решений Решение систем дифференциальных уравнений графики. Этот определитель отличен от нуля всюду на интервале a Решение систем дифференциальных уравнений графики

где Решение систем дифференциальных уравнений графики— известные непрерывные функции. Интегрируя последние соотношения, находим

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Подставляя эти значения Решение систем дифференциальных уравнений графикив (9), находим частное решение системы (2)

Решение систем дифференциальных уравнений графики

(здесь под символом Решение систем дифференциальных уравнений графикипонимается одна из первообразных для функции Решение систем дифференциальных уравнений графики

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений

Решение систем дифференциальных уравнений графики

в которой все коэффициенты Решение систем дифференциальных уравнений графики— постоянные. Чаще всего такая система интегрируется сведением ее к одному уравнению более высокого порядка, причем это уравнение будет также линейным с постоянными коэффициентами. Другой эффективный метод интегрирования систем с постоянными коэффициентами — метод преобразования Лапласа.

Мы рассмотрим еще метод Эйлера интегрирования линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Он состоит в следующем.

Метод Эйлера

Будем искать решение системы

Решение систем дифференциальных уравнений графики

где Решение систем дифференциальных уравнений графики— постоянные. Подставляя Xk в форме (2) в систему (1), сокращая на Решение систем дифференциальных уравнений графикии перенося все члены в одну часть равенства, получаем систему

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Для того, чтобы эта система (3) линейных однородных алгебраических уравнений с n неизвестными Решение систем дифференциальных уравнений графикиимела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Уравнение (4) называется характеристическим. В его левой части стоит многочлен относительно Решение систем дифференциальных уравнений графикистепени n. Из этого уравнения определяются те значения Решение систем дифференциальных уравнений графики, при которых система (3) имеет нетривиальные решения Решение систем дифференциальных уравнений графики. Если все корни Решение систем дифференциальных уравнений графикихарактеристического уравнения (4) различны, то, подставляя их по очереди в систему (3), находим соответствующие им нетривиальные решения Решение систем дифференциальных уравнений графикиэтой системы n, следовательно, находим п решений исходной системы дифференциальных уравнений (1) в виде

Решение систем дифференциальных уравнений графики

где второй индекс указывает номер решения, а первый — номер неизвестной функции. Построенные таким образом п частных решений линейной однородной системы (1)

Решение систем дифференциальных уравнений графики

образуют, как можно проверить, фундаментальную систему решений этой системы.

Следовательно, общее решение однородной системы дифференциальных уравнений (1) имеет вид

Решение систем дифференциальных уравнений графики

где Решение систем дифференциальных уравнений графикипроизвольные постоянные.

Случай, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, мы рассматривать не будем.

Пример:

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Ищем решение в виде

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Решение систем дифференциальных уравнений графики

имеет корни Решение систем дифференциальных уравнений графики

Система (3) для определения a1, а2 выглядит так:

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Подставляя в (*) Решение систем дифференциальных уравнений графикиполучаем

Решение систем дифференциальных уравнений графики

откуда а21 = а11. Следовательно,

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Полагая в Решение систем дифференциальных уравнений графикинаходим a22 = — a12, поэтому

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Общее решение данной системы:

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Матричный метод

Изложим еще матричный метод интегрирования однородной системы (1). Запишем систему (1) в виде

Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики

Решение систем дифференциальных уравнений графикиматрица с постоянными действительными элементами Решение систем дифференциальных уравнений графики

Напомним некоторые понятия из линейной алгебры. Вектор Решение систем дифференциальных уравнений графикиназывается собственным вектором матрицы А, если

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Число Решение систем дифференциальных уравнений графикиназывается собственным значением матрицы А, отвечающим собственному вектору g, и является корнем характеристического уравнения

Решение систем дифференциальных уравнений графики

где I — единичная матрица.

Будем предполагать, что все собственные значения Решение систем дифференциальных уравнений графикиматрицы А различны. В этом случае собственные векторы g1, g2, …gn линейно независимы и существует Решение систем дифференциальных уравнений графикиматрица Т, приводящая матрицу А к диагональному виду, т. е. такая, что

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Столбцами матрицы Т являются координаты собственных векторов g1, g2 …, gn матрицы А.

Введем еще следующие понятия. Пусть В(t) — Решение систем дифференциальных уравнений графикиматрица, элементы Решение систем дифференциальных уравнений графикикоторой суть функции аргумента t, определенные на множестве Решение систем дифференциальных уравнений графики. Матрица В(t) называется непрерывной на Решение систем дифференциальных уравнений графики, если непрерывны на Решение систем дифференциальных уравнений графикивсе ее элементы Решение систем дифференциальных уравнений графики. Матрица В(t) называется дифференцируемой на Решение систем дифференциальных уравнений графики, если дифференцируемы на Решение систем дифференциальных уравнений графикивсе элементы Решение систем дифференциальных уравнений графикиэтой матрицы. При этом производной матрицы Решение систем дифференциальных уравнений графикиназывается матрица, элементами которой являются производные Решение систем дифференциальных уравнений графикиу соответствующих элементов матрицы В(t).

Пусть B(t) — n х n-матрица,

Решение систем дифференциальных уравнений графики

— вектор-столбец. Учитывая правила алгебры матриц, непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости формулы

Решение систем дифференциальных уравнений графики

В частности, если В — постоянная матрица, то

Решение систем дифференциальных уравнений графики

так как Решение систем дифференциальных уравнений графикиесть нуль-матрица.

Теорема:

Если собственные значения Решение систем дифференциальных уравнений графикиматрицы А различны, то общее решение системы (7) имеет вид

Решение систем дифференциальных уравнений графики

где g1, g2,…, gn — собственные векторы-столбцы матрицы А, Решение систем дифференциальных уравнений графикипроизвольные постоянные числа.

Введем новый неизвестный вектор-столбец Y(t) по формуле

Решение систем дифференциальных уравнений графики

где Т — матрица, приводящая матрицу А к диагональному виду. Подставляя X(t) из (11) в (7), получим систему

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Умножая обе части последнего соотношения слева на Решение систем дифференциальных уравнений графикии учитывая, что Решение систем дифференциальных уравнений графикипридем к системе

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Мы получили систему из n независимых уравнений, которая без труда интегрируется:

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Здесь Решение систем дифференциальных уравнений графики— произвольные постоянные числа.

Вводя единичные n-мерные векторы-столбцы

Решение систем дифференциальных уравнений графики

решение Y(t) можно представить в виде

Решение систем дифференциальных уравнений графики

В силу (11) Х(t) = TY(t). Так как столбцы матрицы Т есть собственные векторы матрицы Решение систем дифференциальных уравнений графикисобственный вектор матрицы А. Поэтому, подставляя (13) в (11), получим формулу (10):

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Таким образом, если матрица А системы дифференциальных уравнений (7) имеет различные собственные значения, для получения общего решения этой системы:

1) находим собственные значения Решение систем дифференциальных уравнений графикиматрицы как корни алгебраического уравнения

Решение систем дифференциальных уравнений графики

2) находим все собственные векторы g1, g2,…, gn;

3) выписываем общее решение системы дифференциальных уравнений (7) по формуле (10).

Пример:

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Матрица А системы имеет вид

Решение систем дифференциальных уравнений графики

1) Составляем характеристическое уравнение

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Корни характеристического уравнения Решение систем дифференциальных уравнений графики

2) Находим собственные векторы

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Для Решение систем дифференциальных уравнений графики= 4 получаем систему

Решение систем дифференциальных уравнений графики

откуда g11 = g12, так что

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Аналогично для Решение систем дифференциальных уравнений графики= 1 находим

Решение систем дифференциальных уравнений графики

3) Пользуясь формулой (10), получаем общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Корни характеристического уравнения могут быть действительными и комплексными. Так как по предположению коэффициенты Решение систем дифференциальных уравнений графикисистемы (7) действительные, то характеристическое уравнение

Решение систем дифференциальных уравнений графики

будет иметь действительные коэффициенты. Поэтому наряду с комплексным корнем Решение систем дифференциальных уравнений графикионо будет иметь и корень Решение систем дифференциальных уравнений графики*, комплексно сопряженный с Решение систем дифференциальных уравнений графики. Нетрудно показать, что если g — собственный вектор, отвечающий собственному значению Решение систем дифференциальных уравнений графики, то Решение систем дифференциальных уравнений графики* — тоже собственное значение, которому отвечает собственный вектор g*, комплексно сопряженный с g.

При комплексном Решение систем дифференциальных уравнений графикирешение

Решение систем дифференциальных уравнений графики

системы (7) также будет комплексным. Действительная часть

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Решение систем дифференциальных уравнений графики

этого решения являются решениями системы (7). Собственному значению Решение систем дифференциальных уравнений графики* будет отвечать пара действительных решений X1 и -Х2, т. е. та же пара, что и для собственного значения Решение систем дифференциальных уравнений графики. Таким образом, паре Решение систем дифференциальных уравнений графики, Решение систем дифференциальных уравнений графики* комплексно сопряженных собственных значений отвечает пара действительных решений системы (7) дифференциальных уравнений.

Пусть Решение систем дифференциальных уравнений графики— действительные собственные значения, Решение систем дифференциальных уравнений графикиРешение систем дифференциальных уравнений графики— комплексные собственные значения. Тогда всякое действительное решение системы (7) имеет вид

Решение систем дифференциальных уравнений графики

где сi — произвольные постоянные.

Пример:

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Решение систем дифференциальных уравнений графики

1) Характеристическое уравнение системы

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Его корни Решение систем дифференциальных уравнений графики

2) Собственные векторы матриц

Решение систем дифференциальных уравнений графики

3) Решение системы

Решение систем дифференциальных уравнений графики

где а1, а2 — произвольные комплексные постоянные.

Найдем действительные решения системы. Пользуясь формулой Эйлера

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Следовательно, всякое действительное решение системы имеет

Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики

где с1, с2 — произвольные действительные числа.

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.

Понятие о системах дифференциальных уравнений

Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики Решение систем дифференциальных уравнений графики

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"Скачать

Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"

10. Графическое представление решений дифференциальных уравнений

Графическое представление решений дифференциальных уравнений

Применение функции odeplot пакета plots

Для обычного графического представления результатов решения дифференциальных уравнений может использоваться функция odeplot из описанного выше пакета plots. Эта функция используется в следующем виде:

где s — запись (в выходной фирме) дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, решаемых численно функцией dsolve, vars — переменные, г — параметр, задающий пределы решения (например, а. .Ь), и о — необязательные дополнительные опции.

На рис. 13.5 представлен пример решения одиночного дифференциального уравнения с выводом решения у(х) с помощью функции odeplot.

В этом примере решается дифференциальное уравнение:

при у(0) = 2 и x, меняющемся от-5 до 5. Левая часть уравнения записана с помощью функции вычисления производной diff. Результатом построения является график решения у(х).

В другом примере (рис. 13.6) представлено решение системы из двух нелинейных дифференциальных уравнений. Здесь с помощью функции odeplot строятся графики двух функций. —у(х) и z(x).

В этом примере решается система:

при начальных условиях y(0)=0, z(0) = 1 их, меняющемся от -4 до 4 при числе точек решения, равном 25.

Иногда решение системы из двух дифференциальных уравнений (или одного дифференциального уравнения второго порядка) представляется в виде фазового портрета — при этом по осям графика откладываются значения у(х) и z(х) при изменении х в определенных пределах. Рисунок 13.7 демонстрирует построение фазового портрета для системы, представленной выше.

Обычное решение, как правило, более наглядно, чем фазовый портрет решения. Однако для специалистов (например, в теории колебаний) фазовый портрет порою дает больше информации, чем обычное решение. Он более трудоемок; для построения, поэтому возможность Марle 7 быстро строить фазовые портреты трудно переоценить.

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Рис. 13.5. Пример решения одиночного дифференциального уравнения

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Рис. 13.6. Пример решения системы из двух дифференциальных уравнений

Решение систем дифференциальных уравнений графики

Рис. 13.7. Представление решения системы дифференциальных уравнений в виде фазового портрета

Видео:Лабораторная работа 1. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравненийСкачать

Лабораторная работа 1. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений

Этот раздел мы решили посвятить решению систем дифференциальных уравнений простейшего вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 , в которых a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 — некоторые действительные числа. Наиболее эффективным для решения таких систем уравнений является метод интегрирования. Также рассмотрим решение примера по теме.

Решением системы дифференциальных уравнений будет являться пара функций x ( t ) и y ( t ) , которая способна обратить в тождество оба уравнения системы.

Рассмотрим метод интегрирования системы ДУ d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 . Выразим х из 2 -го уравнения системы для того, чтобы исключить неизвестную функцию x ( t ) из 1 -го уравнения:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t — b 2 y — c 2

Выполним дифференцирование 2 -го уравнения по t и разрешим его уравнение относительно d x d t :

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 — b 2 d y d t

Теперь подставим результат предыдущих вычислений в 1 -е уравнение системы:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 — b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t — b 2 y — c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 — ( a 1 + b 2 ) · d y d t + ( a 1 · b 2 — a 2 · b 1 ) · y = a 2 · c 1 — a 1 · c 2

Так мы исключили неизвестную функцию x ( t ) и получили линейное неоднородное ДУ 2 -го порядка с постоянными коэффициентами. Найдем решение этого уравнения y ( t ) и подставим его во 2 -е уравнение системы. Найдем x ( t ) . Будем считать, что на этом решение системы уравнений будет закончено.

Найдите решение системы дифференциальных уравнений d x d t = x — 1 d y d t = x + 2 y — 3

Начнем с первого уравнения системы. Разрешим его относительно x :

x = d y d t — 2 y + 3

Теперь выполним дифференцирование 2 -го уравнения системы, после чего разрешим его относительно d x d t : d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 — 2 d y d t

Полученный в ходе вычислений результат мы можем подставить в 1 -е уравнение системы ДУ:

d x d t = x — 1 d 2 y d t 2 — 2 d y d t = d y d t — 2 y + 3 — 1 d 2 y d t 2 — 3 d y d t + 2 y = 2

В результате преобразований мы получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 -го порядка с постоянными коэффициентами d 2 y d t 2 — 3 d y d t + 2 y = 2 . Если мы найдем его общее решение, то получим функцию y ( t ) .

Общее решение соответствующего ЛОДУ y 0 мы можем найти путем вычислений корней характеристического уравнения k 2 — 3 k + 2 = 0 :

D = 3 2 — 4 · 2 = 1 k 1 = 3 — 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

Корни, которые мы получили, являются действительными и различными. В связи с этим общее решение ЛОДУ будет иметь вид y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Теперь найдем частное решение линейного неоднородного ДУ y

d 2 y d t 2 — 3 d y d t + 2 y = 2

Правая часть записи уравнения представляет собой многочлен нулевой степени. Это значит, что частное решение будем искать в виде y

= A , где А – это неопределенный коэффициент.

Определить неопределенный коэффициент мы можем из равенства d 2 y

= 2 :
d 2 ( A ) d t 2 — 3 d ( A ) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Таким образом, y

= 1 и y ( t ) = y 0 + y

= C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Одну неизвестную функцию мы нашли.

Теперь подставим найденную функцию во 2 -е уравнение системы ДУ и разрешим новое уравнение относительно x ( t ) :
d ( C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 ) d t = x + 2 · ( C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 ) — 3 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t — 1 x = — C 1 · e t + 1

Так мы вычислили вторую неизвестную функцию x ( t ) = — C 1 · e t + 1 .

Ответ: x ( t ) = — C 1 · e t + 1 y ( t ) = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1

📽️ Видео

1 - Решение систем нелинейных уравнений в MatlabСкачать

1 - Решение систем нелинейных уравнений в Matlab

Решение систем Д/У: 1. Знакомство с функциями odeXYСкачать

Решение систем Д/У: 1. Знакомство с функциями odeXY

Численное решение системы дифференциальных уравнений(задачи Коши)Скачать

Численное решение системы дифференциальных уравнений(задачи Коши)

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Пример решения системы уравнений в MathCAD 14 (34/34)Скачать

Пример решения системы уравнений в MathCAD 14 (34/34)

ДУ Линейные системыСкачать

ДУ Линейные системы

Python - численное решение дифференциального уравнения 1го порядка и вывод графикаСкачать

Python - численное решение дифференциального уравнения 1го порядка и вывод графика

7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать

7 класс, 35 урок, Графическое решение уравнений

Система неоднородных дифференциальных уравненийСкачать

Система неоднородных дифференциальных уравнений

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решать

Решение системы нелинейных уравнений графическим способом средствами ExcelСкачать

Решение системы нелинейных уравнений графическим способом средствами Excel

Системы дифференциальных уравнений. Часть 2Скачать

Системы дифференциальных уравнений. Часть 2
Поделиться или сохранить к себе: