При вычислении определителя этим методом удобно пользоваться графическим его представлением. На рис. 1.1 и 1.2 элементы определителя 3-го порядка схематически изображены точками.
При вычислении определителя следует произведение элементов, соединенных прямыми по схеме рис. 1.1, взять со знаком «плюс», а произведение элементов, соединенных по схеме рис. 1.2, взять со знаком «минус». В результате этих действий формула, по которой производится вычисление, имеет вид:
Вычислить определитель 3-го порядка.
Для его реализации нужно справа от определителя приписать два первых столбца, составить произведения элементов, стоящих на главной диагонали и на прямых, параллельных ей, и взять их со знаком «плюс». Затем составить произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и параллельных к ней со знаком «минус».
- Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы
- Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника
- Правило Саррюса
- Методы разложения по элементам строки и столбца
- Свойства определителя
- Решение матрицы правилом треугольника
- Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника
- Правило Саррюса
- Методы разложения по элементам строки и столбца
- Свойства определителя
- Навигация
- Популярные статьи
- Облако тегов
- 🎥 Видео
Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать
Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы
Определитель (детерминант) матрицы — некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А = ( a i j ) n × n .
|А|, ∆ , det A — символы, которыми обозначают определитель матрицы.
Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.
Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле:
d e t A = 1 — 2 3 1 = 1 × 1 — 3 × ( — 2 ) = 1 + 6 = 7
Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать
Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника
Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:
- правило треугольника;
- правило Саррюса.
Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?
а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32
А = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1
d e t A = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1 = 1 × 2 × ( — 2 ) + 1 × 3 × 1 + 4 × 0 × 5 — 1 × 2 × 4 — 0 × 3 × ( — 1 ) — 5 × 1 × 1 = ( — 2 ) + 3 + 0 — 8 — 0 — 5 = — 12
Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать
Правило Саррюса
Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:
- дописать слева от определителя два первых столбца;
- перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
- перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».
а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32
А = 1 3 4 0 2 1 — 2 5 — 1 1 3 0 2 — 2 5 = 1 × 2 × ( — 1 ) + 3 × 1 × ( — 2 ) + 4 × 0 × 5 — 4 × 2 × ( — 2 ) — 1 × 1 × 5 — 3 × 0 × ( — 1 ) = — 2 — 6 + 0 + 16 — 5 — 0 = 3
Видео:2 минуты на формулы Крамера ➜ Решение систем уравнений методом КрамераСкачать
Методы разложения по элементам строки и столбца
Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:
- разложением по элементам строки;
- разложением по элементам столбца.
Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Разложение матрицы по элементам строки:
d e t A = a i 1 × A i 1 + a i 2 × A i 2 + . . . + а i n × А i n
Разложение матрицы по элементам столбца:
d e t A = а 1 i × А 1 i + а 2 i × А 2 i + . . . + а n i × А n i
Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.
А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0
- раскладываем по 2-ой строке:
А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 2 × ( — 1 ) 3 × 1 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0 = — 2 × 1 — 1 3 4 5 1 2 1 0 + 1 × 0 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0
- раскладываем по 4-му столбцу:
А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 3 × ( — 1 ) 5 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 + 1 × ( — 1 ) 7 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1 = — 3 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 — 1 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1
Видео:Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать
Свойства определителя
- если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
- если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
- определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.
Пример 6
А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5
d e t А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5 = 1 × 5 × 2 = 10
Определитель матрицы, который содержит нулевой столбец, равняется нулю.
Видео:Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4Скачать
Решение матрицы правилом треугольника
Теперь Вам нужно перейти в свою почту и подтвердить отправку отзыва
Обработка информации о пользователях
Мы обрабатываем ваши персональные данные исключительно для:
– организации Вашего участия в мероприятиях и опросах, организованных нами и нашими партнерами;
– коммуникации с вами, когда вы обращаетесь к нам, например, для получения консультационной поддержки.
Определитель (детерминант) матрицы — некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А = ( a i j ) n × n .
|А|, ∆ , det A — символы, которыми обозначают определитель матрицы.
Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.
Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле:
d e t A = 1 — 2 3 1 = 1 × 1 — 3 × ( — 2 ) = 1 + 6 = 7
Видео:Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать
Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника
Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:
- правило треугольника;
- правило Саррюса.
Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?
а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32
А = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1
d e t A = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1 = 1 × 2 × ( — 2 ) + 1 × 3 × 1 + 4 × 0 × 5 — 1 × 2 × 4 — 0 × 3 × ( — 1 ) — 5 × 1 × 1 = ( — 2 ) + 3 + 0 — 8 — 0 — 5 = — 12
Видео:Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.Скачать
Правило Саррюса
Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:
- дописать слева от определителя два первых столбца;
- перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
- перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».
а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32
А = 1 3 4 0 2 1 — 2 5 — 1 1 3 0 2 — 2 5 = 1 × 2 × ( — 1 ) + 3 × 1 × ( — 2 ) + 4 × 0 × 5 — 4 × 2 × ( — 2 ) — 1 × 1 × 5 — 3 × 0 × ( — 1 ) = — 2 — 6 + 0 + 16 — 5 — 0 = 3
Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать
Методы разложения по элементам строки и столбца
Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:
- разложением по элементам строки;
- разложением по элементам столбца.
Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Разложение матрицы по элементам строки:
d e t A = a i 1 × A i 1 + a i 2 × A i 2 + . . . + а i n × А i n
Разложение матрицы по элементам столбца:
d e t A = а 1 i × А 1 i + а 2 i × А 2 i + . . . + а n i × А n i
Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.
А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0
- раскладываем по 2-ой строке:
А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 2 × ( — 1 ) 3 × 1 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0 = — 2 × 1 — 1 3 4 5 1 2 1 0 + 1 × 0 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0
- раскладываем по 4-му столбцу:
А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 3 × ( — 1 ) 5 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 + 1 × ( — 1 ) 7 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1 = — 3 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 — 1 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1
Видео:Решение системы линейных уравнений методом ГауссаСкачать
Свойства определителя
- если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
- если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
- определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.
А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5
d e t А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5 = 1 × 5 × 2 = 10
Определитель матрицы, который содержит нулевой столбец, равняется нулю.
Видео:Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.Скачать
Навигация
Популярные статьи
Облако тегов
 |  | |
В этой статье мы познакомимся с очень важным понятием из раздела линейной алгебры, которое называется определитель.
Сразу хотелось бы отметить важный момент: понятие определитель действительно только для квадратных матриц (число строк = числу столбцов), у других матриц его нет.
4. А теперь рассмотрим примеры с действительными числами:
Правило треугольника — это способ вычисления определителя матрицы, который предполагает его нахождение по следующей схеме:
Как вы уже поняли, метод был назван правилом треугольника в следствии того, что перемножаемые элементы матрицы образуют своеобразные треугольники.
Для того, чтобы понять это лучше, разберём такой пример:
А теперь рассмотрим вычисление определителя матрицы с действительными числами правилом треугольника:
Для закрепления пройденного материала, решим ещё один практический пример:
3. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
4. Определитель равен нулю, если элементы одной строки равны соответствующим элементам другой строки (для столбцов также). Самый простой пример этого свойства определителей:
5. Определитель равен нулю, если его 2 строки пропорциональны (также и для столбцов). Пример (1 и 2 строка пропорциональны):
6. Общий сомножитель строки (столбца) может быть вынесен за знак определителя.
7) Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одну и ту же величину. Рассмотрим это на примере:
🎥 Видео
10. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.Скачать
12. Решение систем линейных уравнений методом ГауссаСкачать
Решение системы уравнений методом Крамера 4x4Скачать
12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.Скачать
Метод Гаусса решения систем линейных уравненийСкачать
Линейная алгебра, Матрицы: Метод Гаусса. Высшая математикаСкачать
Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса ➜ 2 метода за 7 минутСкачать
Метод Гаусса и метод Жордана-ГауссаСкачать
решение системы уравнений методом ГауссаСкачать
