Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.
Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).
Видео:VB.net - СЛАУ Метод прогонкиСкачать
Метод прогонки
Пример №1 . Решить задачу методом динамического программирования в прямом и обратном времени для целевой функции, заданной таблично.
F(x1,x2,x3) = f1(x1) + f2(x2) + f3(x3) → max
x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 5
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| f1(x1) | 6 | 7 | 11 | 12 | 15 | 16 |
| f2(x2) | 9 | 11 | 13 | 15 | ||
| f3(x3) | 8 | 12 | 14 | 16 |
Решение.
I этап. Условная оптимизация. f1(L) = max(f1); 0 ≤ x1 ≤ 5; x1 = 0,1,2,3,4,5.
f1(0) = max[6] = 6
f1(1) = max[6, 7] = 7
f1(2) = max[6, 7, 11] = 11
f1(3) = max[6, 7, 11, 12] = 12
f1(4) = max[6, 7, 11, 12, 15] = 15
f1(5) = max[6, 7, 11, 12, 15, 16] = 16
Таблица 1 – Расчет значения функции f1(L)
| L | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| f1(L) | 6 | 7 | 11 | 12 | 15 | 16 |
| x1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
f2(L) = max[f2 + f1(L — 2x2)]; 0 ≤ x2 ≤ 5; x2 = 0,1,2,3,4,5.
f2(0) = max[9+6] = 15
f2(1) = max[9+7] = 16
f2(2) = max[9+11, 11+6] = 20
f2(3) = max[9+12, 11+7] = 21
f2(4) = max[9+15, 11+11, 13+6] = 24
f2(5) = max[9+16, 11+12, 13+7] = 25
Таблица 2 – Расчет значения функции f2(L)
| L | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| f2(L) | 15 | 16 | 20 | 21 | 24 | 25 |
| x2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
f3(L) = max[f3 + f2(L — 2x3)]; 0 ≤ x3 ≤ 5; x3 = 0,1,2,3,4,5.
f3(0) = max[8+15] = 23
f3(1) = max[8+16] = 24
f3(2) = max[8+20, 12+15] = 28
f3(3) = max[8+21, 12+16] = 29
f3(4) = max[8+24, 12+20, 14+15] = 32
f3(5) = max[8+25, 12+21, 14+16] = 33
Таблица 3 – Расчет значения функции f3(L)
| L | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| f3(L) | 23 | 24 | 28 | 29 | 32 | 33 |
| x3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
II этап. Безусловная оптимизация.
Таким образом, максимум f3(5) = 33
При этом x3 = 0, так как f3(5) = 33 достигается при х3=0 (см. таблицу 3).
Остальные x распределяются следующим образом:
L = 5 — 2 * 0 = 5
f2(5) = 25 достигается при х2 = 0 (см. таблицу 2).
L = 5 — 2 * 0 = 5
f1(5) = 16 достигается при х1 = 5 (см. таблицу 1).
L = 5 — 1 * 5 = 0
В итоге наилучший вариант достигается при значениях: x1 = 5, x2 = 0, x3 = 0
Пример №2 . Рассмотрим задачу об оптимальном размещении капитала K = nh в m различных независимых фондах (банки, организации, фирма и т.д.), для которых известна ожидаемая прибыль fi при капиталовложениях xi = ih, i = 1..n. Здесь n – количество дискретных приращений h (дискрет), на которые разбит капитал К.
Пусть такие данные имеются по четырем (m=4) фондам для h = 1 млн. руб., n = 6
Решение.
I этап. Условная оптимизация.
1-й шаг: k = 4.
Предположим, что все средства в количестве x4 = 6 отданы 4-у предприятию. В этом случае максимальный доход, как это видно из таблицы 1*, составит 0.56, следовательно:
F4(c4) = g4(x4)
Таблица 1.
| 0 | x1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| x4 | f0(x0) / F4(x4) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0.2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.2 | 0 |
| 2 | 0.33 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.33 | 0 | 0 |
| 3 | 0.42 | 0 | 0 | 0 | 0.42 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 0.48 | 0 | 0 | 0.48 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 0.53 | 0 | 0.53 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 6 | 0.56 | 0.56* | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Таблица 1*.
| c1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| F0(c1) | 0 | 0.2 | 0.33 | 0.42 | 0.48 | 0.53 | 0.56 |
| x1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
2-й шаг: k = 3.
Определяем оптимальную стратегию при распределении средств между остальными предприятиями. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид:
F3(c3) = max [ g3(x3) + F4(c3 — x3)]
Таблица 2.
| 0 | x2 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| x3 | f3(x3) / F3(x3) | 0 | 0.2 | 0.33 | 0.42 | 0.48 | 0.53 | 0.56 |
| 0 | 0 | 0 | 0.2* | 0.33 | 0.42 | 0.48 | 0.53 | 0.56 |
| 1 | 0.15 | 0.15 | 0.35* | 0.48* | 0.57 | 0.63 | 0.68 | 0 |
| 2 | 0.25 | 0.25 | 0.45 | 0.58 | 0.67 | 0.73 | 0 | 0 |
| 3 | 0.4 | 0.4 | 0.6* | 0.73* | 0.82 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 0.5 | 0.5 | 0.7 | 0.83* | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 0.62 | 0.62 | 0.82 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 6 | 0.73 | 0.73 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Заполняем таблицу 2*. Для этого на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем звездочкой и указываем соответствующее значение x2.
Таблица 2*.
| c2 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| F3(c2) | 0 | 0.2 | 0.35 | 0.48 | 0.6 | 0.73 | 0.83 |
| x2 | 0 | 0 | 1 | 1 | 3 | 3 | 4 |
3-й шаг: k = 2.
Определяем оптимальную стратегию при распределении средств между остальными предприятиями. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид:
F2(c2) = max [ g2(x2) + F3(c2 — x2)]
Таблица 3.
| 0 | x3 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| x2 | f4(x4) / F2(x2) | 0 | 0.2 | 0.35 | 0.48 | 0.6 | 0.73 | 0.83 |
| 0 | 0 | 0 | 0.2 | 0.35 | 0.48 | 0.6 | 0.73 | 0.83 |
| 1 | 0.25 | 0.25* | 0.45* | 0.6 | 0.73 | 0.85 | 0.98 | 0 |
| 2 | 0.41 | 0.41 | 0.61* | 0.76* | 0.89 | 1.01 | 0 | 0 |
| 3 | 0.55 | 0.55 | 0.75 | 0.9* | 1.03* | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 0.65 | 0.65 | 0.85 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 0.75 | 0.75 | 0.95 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 6 | 0.8 | 0.8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Заполняем таблицу 3*. Для этого на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем звездочкой и указываем соответствующее значение x3.
Таблица 3*.
| c3 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| F4(c3) | 0 | 0.25 | 0.45 | 0.61 | 0.76 | 0.9 | 1.03 |
| x3 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 |
4-й шаг: k = 1.
Определяем оптимальную стратегию при распределении средств между остальными предприятиями. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид:
F1(c1) = max [ g1(x1) + F2(c1 — x1)]
Таблица 4.
| 0 | x4 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| x1 | f5(x5) / F1(x1) | 0 | 0.25 | 0.45 | 0.61 | 0.76 | 0.9 | 1.03 |
| 0 | 0 | 0 | 0.25 | 0.45 | 0.61 | 0.76 | 0.9 | 1.03 |
| 1 | 0.28 | 0.28* | 0.53* | 0.73* | 0.89 | 1.04 | 1.18 | 0 |
| 2 | 0.45 | 0.45 | 0.7 | 0.9 | 1.06 | 1.21 | 0 | 0 |
| 3 | 0.65 | 0.65 | 0.9* | 1.1* | 1.26* | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 0.78 | 0.78 | 1.03 | 1.23 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 0.9 | 0.9 | 1.15 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 6 | 1.02 | 1.02 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Заполняем таблицу 4*. Для этого на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем звездочкой и указываем соответствующее значение x4.
Таблица 4*.
| c4 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| F5(c4) | 0 | 0.28 | 0.53 | 0.73 | 0.9 | 1.1 | 1.26 |
| x4 | 0 | 1 | 1 | 1 | 3 | 3 | 3 |
II этап. Безусловная оптимизация.
1-й шаг: k = 1.
По данным таблицы 4* максимальный доход при распределении 6 между предприятиями составляет c1 = 6, F1(6) = 1.26. При этом 1-му предприятию нужно выделить x1 = 3.
2-й шаг: k = 2.
Определим величину оставшихся денежных средств, приходящихся на долю остальных предприятий.
c2 = c1 — x1 = 6 — 3 = 3.
По данным таблицы 3* максимальный доход при распределении 3 между предприятиями составляет c2 = 3, F2(3) = 0.61. При этом 2-му предприятию нужно выделить x2 = 2.
3-й шаг: k = 3.
Определим величину оставшихся денежных средств, приходящихся на долю остальных предприятий.
c3 = c2 — x2 = 3 — 2 = 1.
По данным таблицы 2* максимальный доход при распределении 1 между предприятиями составляет c3 = 1, F3(1) = 0.2. При этом 3-му предприятию нужно выделить x3 = 0.
4-й шаг: k = 4.
Определим величину оставшихся денежных средств, приходящихся на долю остальных предприятий.
c4 = c3 — x3 = 1 — 0 = 1.
По данным таблицы 1* максимальный доход при распределении 1 между предприятиями составляет c4 = 1, F4(1) = 0.20. При этом 4-му предприятию нужно выделить x4 = 1.
Таким образом, оптимальный план инвестирования предприятия: x1 = 3, x2 = 2, x3 = 0, x4 = 1, который обеспечит максимальный доход, равный: F(6) = g1(3) + g2(2) + g3(0) + g4(1) = 0.65 + 0.41 + 0 + 0.20 = 1.26.
Пример №3 . Распределите c=200 млн ден. ед. инвестиций между четырьмя министерствами республики ( n=4 ) на реконструкцию и модернизацию производственных мощностей таким образом, чтобы суммарный прирост производства продукции всех министерств f4(с) был максимальным. Прирост выпуска продукции в каждом из министерств gi(x) в зависимости от объема выделенных средств x (0 c=200 млн ден. ед. между первыми тремя министерствами, максимизирующее их суммарный прирост производства продукции f3(с).
Примечание. Основная задача решается с помощью процедуры прямой прогонки. Ответ на подзадачу можно получить из таблицы n-1 исходного решения.
Видео:2.1 Точные методы решения СЛАУ (Крамера, Гаусса, Жордана, прогонки)Скачать
Решение систем линейных уравнений онлайн
Решение систем линейных уравнений онлайн – это нахождение неизвестных переменных входящих в уравнения, при подстановке которых система обращается в равенство.
Решить систему линейных уравнений можно различными способами, например используя метод Крамера и метод Гаусса, метод Жордана Гаусса и метод Кронекера Капелли, или другими способами. Используя наш сервис, вы можете бесплатно в режиме онлайн получить решения разными способами с пошаговыми действиями и пояснениями. Наш калькулятор будет также полезен, если вам необходимо проверить выполненные самостоятельно вычисления.
Наш онлайн сервис позволяет решать системы линейных алгебраических уравнений различными способами:
- методом Крамера (правило Крамера)
- методом обратной матрицы
- методом Гаусса-Монтанте (алгоритм Барейса)
- методом Гаусса (метод последовательного исключения переменных)
- методом Гаусса-Жордана (метод полного исключения неизвестных)
При этом сервис предоставляет последовательность решения, а не только ответ.
Дополнительно вы сможете проверить систему уравнений на совместимость.
🔍 Видео
Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать
Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать
Решение системы линейных уравнений графическим методом. Практическая часть. 7 класс.Скачать
6 способов в одном видеоСкачать
Решение системы линейных уравнений методом ГауссаСкачать
Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать
Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.Скачать
Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать
Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать
Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать
ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать
Матричный метод решения систем уравненийСкачать
Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать
Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать
Метод Гаусса решения систем линейных уравненийСкачать
Как ЛЕГКО РЕШАТЬ Систему Линейный Уравнений — Метод СложенияСкачать
Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса ➜ 2 метода за 7 минутСкачать
