6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

Видео:Определяем тип ДУ 1Скачать

Определяем тип ДУ 1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТИ. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА

Рассмотрим некоторый объем покоящейся жидкости (рис. 1.4). Выделим в ней вокруг рассматриваемой точки А бесконечно малый параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. Отбросим мысленно окружающую его жидкость, а ее воздействие на грани заменим силами, действующими со стороны жидкости, — Рх и Р’х, Ру и F, Рг и Р Кроме того, в точке А как в центре массы выделенного элемента приложим равнодействующую массовых сил Q.

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

Рис. 1.4. Схема к выводу уравнения Эйлера

Запишем условие равновесия на осьх:

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

Давление рх и р’х можно выразить через давления в точке А:

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

Тогда уравнение равновесия перепишется

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

Отсюда +рХ = 0, или — = рХ.

Аналогичные уравнения можно получить, рассматривая проекцию на другие оси.

В результате будем иметь

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

Это и есть общие уравнения равновесия жидкости, полученные Эйлером.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

ВЫВОД ФОРМУЛЫ ПРИРАЩЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ РАВНЫХ ДАВЛЕНИЙ

Основной задачей гидростатики является получение:

• зависимости гидростатического давления в точке от ее координат

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

• уравнения поверхности равных давлений

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

Для получения уравнения изменения давления при смещении от данной точки А на бесконечно малое расстояние dl, проекции которого на оси координат соответственно будут dx, dy, dz, преобразуем уравнения Эйлера. Умножим соответственно каждое уравнение на приращения координатах, dy, dzn, суммировав левые и правые части, получим

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

Но левая часть этого уравнения есть полный дифференциал dp, выражающий изменение давления р при смещении точки на бесконечно малое расстояние, тогда имеем

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

То есть получили дифференциальное уравнение изменения давления в функции координат точки. Решение этого уравнения в виде (1.13) может быть выполнено путем интегрирования для данной конкретной задачи.

Перейдем к рассмотрению уравнения поверхности равного давления, определяемого условием р = const.

Из условия постоянства давления следует dp = 0. Подставляя это выражение в (1.15) и учитывая, что р ф 0, получим

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

Уравнение (1.16) связывает координаты точек равных давлений, т.е. оно является дифференциальным уравнением поверхности равных давлений.

Решение этого уравнения в виде (1.14) должно также проводиться путем интегрирования для конкретных задач. К рассмотрению одной из таких задач и перейдем.

Видео:Закон БернуллиСкачать

Закон Бернулли

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Выделим в жидкости, находящейся в равновесии, элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, параллельными осям координат х, у, z (рис. 3.6). Выберем в центре параллелепипеда точку А. Давление в этой точке будет р = f(х, у, z). Так как это давление является непрерывной функцией координат, то, разлагая функцию f(х, у, z) в ряд Тэйлора в окрестности точки А с точностью до бесконечно малых первого порядка, получим следующие соотношения для давлений р1 и р2 в точках 1 и 2 на гранях параллелепипеда, перпендикулярных оси х:

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

Давления на гранях параллелепипеда можно также записать в виде отношения силы к площади:

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости(3.9)

Запишем условие равновесия сил, действующих на элементарный параллелепипед, в проекции на ось х:

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости(3.10)

где Fm массовая сила, определяемая по формуле

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости(3.11)

где dm – масса элементарного параллелепипеда.

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

Рис. 3.6. Схема сил, действующих на элементарный параллелепипед

Подставляя формулы (3.9), (3.11) в соотношение (3.10), получаем

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

Подставляя формулы для р1 и р2, найдем

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

Аналогичные уравнения можно получить, если спроецировать действующие на параллелепипед силы на оси у и z. В итоге будем иметь систему трех дифференциальных уравнений вида

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости(3.12)

где X, Y, Z – проекции ускорений массовых сил, приходящихся на единицу массы.

Эти уравнения впервые были выведены Эйлером в 1755 г. и называются уравнениями равновесия Эйлера. Они показывают, что при равновесии жидкости массовые силы уравновешиваются соответствующими поверхностными силами.

В векторной форме эти уравнения имеют вид

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

где 6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости; 6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости(i, j, k – орты координатных осей, имеющие координаты (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1) соответственно).

Видео:Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решать

Потенциал массовых сил

Умножая уравнения Эйлера (3.12) соответственно на dx, dy, dz и почленно складывая, получаем

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости(3.13)

Так как р = f (x, y, z), полный дифференциал этой функции будет

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

Следовательно, правая часть уравнения (3.13) есть полный дифференциал:

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости(3.14)

Равенство (3.14) имеет смысл лишь в том случае, если левая его часть есть также полный дифференциал какой-то функции. Обозначим эту функцию через и = и(х, у, z). Тогда полный дифференциал ее будет

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости(3.15)

Из сопоставления уравнений (3.14), (3.15) получим

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

Функцию и = и(х, у, z) называют потенциальной функцией, а силы, для которых эта функция существует, – силами, имеющими потенциал.

Отсюда вывод: жидкость может находиться в равновесии только под действием массовых сил, имеющих потенциал, так как только такие силы удовлетворяют уравнениям равновесия Эйлера.

Видео:6. Особые решения ДУ первого порядкаСкачать

6. Особые решения ДУ первого порядка

Интеграл уравнений Эйлера для несжимаемой жидкости

Проинтегрируем уравнение (3.15) при р = const:

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости(3.16)

где с – постоянная интегрирования. Полагая, что при р = р0 потенциальная функция и = u0, будем иметь

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости(3.17)

Подставляя выражение (3.17) в соотношение (3.16), получаем

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

Последнее соотношение является интегралом уравнений Эйлера для несжимаемой капельной жидкости.

Так как величина ρ(u-u0) не зависит от давления р0 и определяется лишь системой массовых (но не поверхностных) сил, следовательно, на сколько изменится давление p0, на столько же изменится и давление р в любой точке жидкости. Отсюда можно сформулировать закон Паскаля: давление в жидкости, находящейся в равновесии, передается всем ее частицам без изменения сто величины.

Введем понятие поверхности равного давления и выведем ее уравнение.

Поверхностью равного давления называется такая выделенная в жидкости поверхность, гидростатическое давление во всех точках которой одно и то же. Для такой поверхности, очевидно, dp = 0. Так как р = f(x, у, z), уравнение поверхности равного давления р = const будет

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

Придавая С различные значения, будем переходить от одной поверхности равного давления к другой. Это уравнение является уравнением семейства поверхностей равного давления. Поверхности равного давления и равного потенциала совпадают. Так как —ρdu = dp, при dp = 0 du = 0 и и = const.

Определение поверхности равного давления по заданным массовым силам производится по уравнению

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости(3.18)

Ввиду отсутствия массовых сил по осям х, у и с учетом того, что массовая сила по оси z Z = -g, уравнение (3.18) примет вид —ρgdz = 0, или dz = 0. Отсюда z = const.

Следовательно, поверхности равного давления, в том числе и свободная поверхность, – горизонтальные плоскости.

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

(уравнения Эйлера)

Выделим в покоящейся жидкости элементарный объ­ем в форме прямоугольного параллелепипеда с ребра­ми, параллельными осям координат и равными соответ­ственно dx, dy, dz (рис. 2.4, стр. 61).

Со стороны окружающей жидкости на выделенный параллелепипед действуют поверхностные силы, определяемые гидростатическим давлением, а также массовые силы, пропорциональные его массе.

Составим уравнение равновесия для этой системы сил в проекциях на координатную ось Ох. При этом бу­дем предполагать, что гидростатическое давление есть непрерывная функция координат пространства и что его значение в центре тяжести параллелепипеда (точка М) равно р. Тогда первое уравнение равновесия в проекци­ях на ось Ох запишется следующим образом:

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости(2.2)

где dP ’ x=P ’ xdydz – сила гидростатического давления на грань 1-2-3-4; dP ” x =P ” x то же, на грань 5-6-7-8; 6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости проекция элементарной массовой си­лы на ось Ох;P’x, и P”— среднее гидростатическое давление соот­ветственно на грани 1-2-3-4 и 5-6-7-8.

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

Рис. 2.4. Расчетная схема для составления уравнений равновесия жидкости

Так как гидростатическое давление является функ­цией координат, значения давлений P’x и P ” x будут:

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

Тогда уравнение (1.1) примет вид:

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости(2.3)

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости(2.3)

Разделив уравнение (1.16) на массу параллелепипеда, получим:

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости

Проделав аналогичные операции с проекциями внеш­них сил на оси Оy и Оz, получим систему дифференци­альных уравнений равновесия жидкости:

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости(2.4)

Эта система уравнений была впервые получена в 1755 г. Эйлером.

Умножим каждое уравнение (2.4) соответственно на dx, dy и dz и сложим их:

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости(2.5)

Давление является функцией только трех независи­мых переменных координат х, у и z, поэтому левая частьуравнения (2.5) представляет собой полный диф­ференциал функции р=f(х, у, г).

Уравнение (2.6) называется основным дифференци­альным уравнением равновесия жидкости. Отметим, что при выводе этого уравнения мы не вводили никаких до­полнительных ограничений на массовые силы и на плот­ность жидкости р, поэтому оно имеет общий характер к может быть использовано и для сжимаемой жидкости.

Левая часть уравнения (2.6) представляет собой полный дифференциал, следовательно, и правая его часть также должна быть полным дифференциалом. Если же принять плотность жидкости или газа постоян­ной или независимой от х, у и z, то выражение в скоб­ках также будет полным дифференциалом некоторой функции U = f(x,y,z),частные производные которой, взятые по х, у, z,равны проекциям ускорений массовых сил на соответствующие оси:

6 какие силы учитываются при выводе дифференциального уравнения равновесия жидкости(2.7)

Величины X, У и Z можно рассматривать как проек­ции массовых сил, отнесенных к единице массы данной жидкости поэтому функцию U=f( х, у,z) называют потенциальной или силовой функцией, а силы, удовлет­воряющие условию (2.7), — силами, имеющими потен­циал. Таким образом, при рассмотрении уравнения (2.6) с учетом выражения (2.7) можно сделать важ­ный вывод: равновесие жидкости возможно только в том случае, когда массовые силы имеют потенциал.

Заметим далее, что в основном уравнении равновесия жидкости неизвестны только две величины ρ и р (значе­ния же проекций единичных массовых сил X, Y и Z, а также координаты точки предполагаются заданными). Следовательно, для получения однозначного решения уравнения (2.7) нужно воспользоваться так называе­мым характеристическим уравнением, которое определяло бы связь между физическими свойствами и состояни­ем рассматриваемой жидкости, например связь между плотностью жидкости, ее температурой и давлением.

Поверхность, в каждой точке которой значение дан­ной функции постоянно, называется поверхностью уров­ня. Физический смысл функции и ее значения могут быть различными (например, поверхность равной тем­пературы, равного давления и т. п.). В ме­ханике жидкости наибольший интерес представляет по­верхность равного давления, т. е. такая поверхность, в каждой точке которой давление имеет постоянное значе­ние.

Уравнение поверхности равного давления следует из основного уравнения равновесия жидкости. Так как для поверхности уровня р = const в любой ее точке, dр=0 и, следовательно, правая часть уравнения также равна нулю. Плотность жидкости отлична от нуля, поэтому выражение в скобках должно быть равным нулю, тогда уравнение поверхности уровня:

Поверхность уровня (поверхность равного давления) обладает двумя основными свойства­ми:

1. Поверхности уровня не пересекаются между собой. Действительно, предположив обратное, мы получим в точках линии пересечения этих поверхностей давление, равное одновременно р1 и р2, что физически невозможно. Следовательно, невозможно и пересечение поверхностей уровня.

2. Внешние массовые силы направлены по внутрен­ней нормали к поверхности уровня.

📹 Видео

Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.

Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 2Скачать

Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 2

Включи БОДРОСТЬ на Полную и Проживай Каждую Секунду на МАКСИМУМ!Скачать

Включи БОДРОСТЬ  на Полную и Проживай Каждую Секунду на МАКСИМУМ!

Урок 137. Движение тела в жидкости и газе.Скачать

Урок 137. Движение тела в жидкости и газе.

Задача разделить 17 лошадейСкачать

Задача разделить 17 лошадей

Дифференциальные уравнения для самых маленькихСкачать

Дифференциальные уравнения для самых маленьких

ЗАЧЕМ НУЖНЫ ЭТИ... производные! Математика на QWERTY.Скачать

ЗАЧЕМ НУЖНЫ ЭТИ... производные! Математика на QWERTY.

УДИВИТЕЛЬНЫЙ способ решения уравнения ★ Вы такого не видели! ★ Уравнение четвертой степениСкачать

УДИВИТЕЛЬНЫЙ способ решения уравнения ★ Вы такого не видели! ★ Уравнение четвертой степени

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.

Дифференциальные уравнения, 5 урок, Уравнение БернуллиСкачать

Дифференциальные уравнения, 5 урок, Уравнение Бернулли

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать

Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятия

Решение физических задач с помощью дифференциальных уравненийСкачать

Решение  физических задач с помощью дифференциальных уравнений
Поделиться или сохранить к себе: