Видео:Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных. Метод ФурьеСкачать
Метод разделении переменных для уравнении теплопроводности
Видео:Решение неоднородного уравнения теплопроводностиСкачать
Однородное уравнение теплопроводности
Рассмотрим первую краевую задачу (11.7) — (11.9) для однородного одномерного уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями:
в области ?> = (0 (0) = 0, $?(/) = 0.
Для решения задачи (11.20)—(11.22) применим метод разделения переменных, отыскивая решения уравнения (11.20) в виде
Подставив в уравнение (11.20) и разделив переменные, получим соотношение
где Л — постоянная разделения.
Имеем два обыкновенных дифференциальных уравнения:
Потребуем, чтобы решения (11.23) удовлетворяли граничным условиям (11.22). Подставив (11.23) в (11.22), получим
Таким образом, получена задача Штурма-Лиувилля (11.25), (11.26), совпадающая с задачей (10.26), (10.28), для которой собственные значения Лп определяются формулами
а собственные функции Хп сеть
Вычислим Т(г), положив в уравнении (11.24) Л = Лп:
Общее решение такого уравнения
где Д, — произвольные постоянные.
В результате получена бесконечная последовательность частных решений вида (11.23) уравнения (11.20), которая удовлетворяет граничным условиям (11.22):
Из этих решений составим общее решение в виде ряда
Вычислим коэффициенты Ап, удовлетворяя начальному условию (11.58):
Таким образом, решение задачи (11.20)—(11.22) представлено в виде разложения (11.28).
Видео:Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводностиСкачать
Разделение переменных в двумерных краевых задачах для уравнения теплопроводности
До сих пор мы применяли метод разделения переменных при решении краевых задач для уравнения теплопроводности с одной пространственной переменной. Как и в случае уравнений гиперболического типа (см. п. 5.6), этот подход можно распространить и на задачи большей размерности в простых областях.
Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности в двумерном случае для простейшей области — прямоугольника:
Эта задача является, в частности, математической моделью процесса распространения тепла в тонкой однородной прямоугольной пластине с теплоизолированной поверхностью, если по контуру пластины поддерживается нулевая температура, а начальное распределение температуры описывается функцией ср(х, у). Можно также рассматривать эту задачу для описания переноса тепла в длинном стержне с прямоугольным сечением, температура на боковой поверхности которого поддерживается равной нулю.
Применяя метод разделения переменных, будем искать ненулевые решения задачи в виде
Подставив выражение (6.69) в уравнение (6.65), приходим к равенству
разделив которое на a 2 X<x)Y<y)T<t) получим:
Каждое из отношений из этого равенства зависит только от своей переменной. Поэтому данное равенство возможно для всех значений переменных х, у, t из рассматриваемой области только в случае, когда указанные отношения постоянны, т.е.
С учетом граничных условий (6.66) и (6.67) получаем из (6.70) две задачи Штурма—Лиувилля:
Решения этих задач найдены в п. 5.5, см. (5.42), (5.43):
Согласно последнему равенству (6.70) функция T(t) должна удовлетворять уравнению T'(t) + а 2 (кк + р„)7/) = 0 или
Общее решение уравнения (6.73) имеет вид
Итак, с учетом (6.69), (6.71), (6.72) и (6.74) получаем выражение для искомых функций:
которые удовлетворяют уравнению (6.65) и граничным условиям (6.66)—(6.67). Теперь, как и в одномерном случае, ищем линейную комбинацию этих функций, обеспечивающую выполнение и начального условия (6.68).
Как и в п. 5.7, будем использовать ортогональную в прямоугольнике 0 (m ^ )2t :
Определим коэффициенты Акт из начального условия (6.68):
Из (6.76) видно, что Акт — это коэффициенты разложения Фурье функции ср(х, у) по ортогональной системе <vkm(x, у)>:
Из (6.75) и (6.77) окончательно получаем:
Пример 6.5. Найти распределение температур в квадратной пластине (0 2 > 0.
Из (6.83) получаем уравнения
Как и в п. 5.6, из (6.83) и (6.80) находим собственные числа ук и собственные функции Rk(r) задачи для R(r):
где рЛ — нули функции Бесселя /0(х), см. приложение 4.
Рассмотрим теперь уравнение (6.85). С учетом (6.86) оно принимает вид
а его общее решение
Подставив выражения (6.87) и (6.88) в (6.82), найдем частные решения
уравнения (6.79), удовлетворяющие граничным условиям (6.80). Осталось составить линейную комбинацию этих решений
которая удовлетворяет и начальным условиям (6.81):
Из (6.91), как и в п. 5.6, находим:
где J<(x) — функция Бесселя первого порядка, см. п. П4.2.
Подставляя (6.92) в (6.90), окончательно получаем решение задачи (6.79)—(6.81), найденное методом Фурье:
Пример 6.6. Найти закон изменения во времени распределения температуры в длинном стержне в виде кругового цилиндра радиуса г0, на боковой поверхности которого поддерживается нулевая температура, а начальное распределение температуры описывается функцией
Видео:Решение первой краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности.Скачать
Метод Фурье для уравнения теплопроводности
Содержание:
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:
Займемся решением первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности: найти решение и(х, t) уравнения удовлетворяющее начальному условию и граничным условиям Начнем с простейшей задачи: найти решение u(x,t) однородного уравнения удовлетворяющее начальному условию и нулевым (однородным) граничным условиям Метод Фурье для уравнения теплопроводности.
Будем искать нетривиальные решения уравнения (4), удовлетворяющие граничным условиям (6), в виде Псдстаапя в форме (7) в уравнение (4), получим или откуда имеем два обыжювенных дифференциальных уравнения Чтобы получить нетривиальные решения и(х, *) вида (7), удовлетворяющие граничным условиям (6), необходимо найти нетривиальные решения уравнения (10), удовлетворяющие граничным условиям.
Таким образом, для определения фунмдои Х(х) мы приходим к задаче на собственные значения: найти те значения параметра А, при которых существуют нетривиальные решения задачи Эта задача была рассмотрена в предыдущей главе. Там было показано, что только при существуют нетривиальные решения При А = А„ общее решение уравнения (9) имеет вид удовлетворяют уравнению (4) и граничным условиям (6). Образуем формальный ряд.
Потребовав, чтобы функция и(х> t), определяемая формулой (12), удовлетворяла начальному условию , получим Ряд (13) представляет собой разложение заданной функции в ряд Фурье по синусам в интервале (О, I). Коэффициенты а„ разложения определяются по известным формулам Метод Фурье для уравнения теплопроводности Предположим, что Тогдаряд (13) с коэффициентами, определяемыми по формулам (14), будет сходиться к функции абсолютно и равномерно.
Так как при то ряд при также сходится абсолютно и равномерно.
Поэтому функция и(х, t) — сумма ряда (12) — непрерывна в области и удовлетворяет начальному и граничному условиям. Остается показать, что функция и(х, t) удовлетворяет уравнению (4) в области 0. Для этого достаточно показать, что ряды, полученные из (12) почленным дифференцированием по t один раз и почленным дифференцированием по х два раза, также абсолютно и равномерно сходятся при.
Но это следует из того, что при любом t > 0 если п достаточно велико. Единственность решения задачи (4)-(6) и непрерывная зависимость решения от начальной функции были уже установлены ранее. Таким образом, для t > 0 задача (4)-(6) поставлена корректно; напротив, для отрицательных t зада ча эта некорректна. Замечание.
В отличие отдомового уравнения уравнение неомметрично огноситн о времени t: если заменить t на -t, то получаем уравнение другого вида описывает необратимые процессы: Мы можем предсказать, каким станет данное и через промежуток времени данной t, но мы не можем с уверенностью сказать, какн м было это и за время t до рассматриваемого момента. Это раолич иемежду предсказание м и предысторией типично для параболического ура внения и не имеет места, например, для волнового уравн сния; в случае последнего заглянуть в прошлое так же легко, как и в будущее.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Пример:
Найти распределение температуры в однородном стерве длины ж, если начальная температура стержня и на концах стержня поддерживается нулевая температура. 4 Задача сводится к решению уравнения при начальном условии и граничных условиях Применяя метод Фурье, ищем нетривиальные решения уравнения (15), удовлетворяющие граничным условиям (17), в виде Подставляя u(x,t) в форме (18) в уравнение (15) и разделяя переменные, получим откуда Собственные значения задачи . собственные функции Хп(х) = мп пх.
При А = А„ общее решение уравнения (19) имеет вид Tn(t) = апе а п так что Решение задачи (15)—(17) ищем в виде ряда Потребовав выполнения начального условия (16), получим откуда . Поэтому решением исходной задачи будет фунхция 2. Рассмотрим теперь следующую задачу: найти решение гх(ж, t) неоднородного уравнения _ удовДстворя ющее начальному условию и однородным граничным услови м Предположим, что функци / непрерывна, имеет непрерывную производ-ную и при всех t > 0 выполняется условие .
Решение задач:
Решение задачи (1)-(3) будем искать в виде где определим как решение задачи а функци — как решение задачи Задача (8)—(10) рассмотрена в п. 1. Будем искать решение v(x, t) задачи (5)-(7) в виде ряда по собстве нным функциям < краевой задачи . Подсгааяяя t) в виде в уравнение (5), получим Разложим функцию /ОМ) в ряд Фурье по синусам, где Сравнивая два разложения (12) и (13) функции /(х, t) в ряд Фурье, получаем ! Пользуясь начальным условием для v(x, t).
Метод Фурье для уравнения теплопроводности. |
Находим, что Решения уравнений (15) при начальных условиях (16) имеют вид: Подставляя найденные выражения для Tn(t) в ряд (11), получим решение Функция будет решением исходной задачи (1)-(3). 3. Рассмотрим задачу: найти в области решение уравнения при начальном условии и неоднородных граничных условиях Непосредственно метод Фурье неприменим из-за неоднородности условий (20).
Введем новую неизвестную функцию v(x, t), положив где Тогда решение задачи (18)—(20) сведется к решению задачи (1)-(3), рассмотренной в п. 2, для функции v(x, J). Упражнения 1. Задан бесконечный однородный стержень. Покажи те, что если начальная температура то влобой момент температура стержня 2. Ко|рцы стержня длиной ж поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальная температура определяется формулой Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. 3.
Концы стержня длиной I поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальная температура стержня определяется формулой Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. 4. Концы стержня длиной I поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальное распределение температуры Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. Ответы
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
📹 Видео
8.2 Теплопроводность на отрезке. Сложные задачи.Скачать
8.1 Решение уравнения теплопроводности на отрезкеСкачать
Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (Часть 1)Скачать
Неоднородное уравнение колебания струныСкачать
Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводностиСкачать
Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (Часть 2)Скачать
5. Решение волнового уравнения на отрезке методом ФурьеСкачать
Уравнение в частных производных Уравнение теплопроводностиСкачать
15. Решение уравнения теплопроводности в кругеСкачать
Уравнение теплопроводности на полупрямой (решение задачи)Скачать
Метод разделения переменных - 3Скачать
Метод разделения переменных. Математика.Скачать
Решение задач теплопроводности (короткая версия)Скачать