Решить методом разделения переменных задачу для неоднородного уравнения теплопроводности (7 видео)

Метод разделении переменных для уравнении теплопроводности

Содержание

Однородное уравнение теплопроводности
Разделение переменных в двумерных краевых задачах для уравнения теплопроводности
Метод Фурье для уравнения теплопроводности
Пример:
Решение задач:
🔥 Видео

Видео:Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных. Метод ФурьеСкачать

Однородное уравнение теплопроводности

Рассмотрим первую краевую задачу (11.7) — (11.9) для однородного одномерного уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями:

в области ?> = (0 (0) = 0, $?(/) = 0.

Для решения задачи (11.20)—(11.22) применим метод разделения переменных, отыскивая решения уравнения (11.20) в виде

Подставив в уравнение (11.20) и разделив переменные, получим соотношение

где Л — постоянная разделения.

Имеем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Потребуем, чтобы решения (11.23) удовлетворяли граничным условиям (11.22). Подставив (11.23) в (11.22), получим

Таким образом, получена задача Штурма-Лиувилля (11.25), (11.26), совпадающая с задачей (10.26), (10.28), для которой собственные значения Л_п определяются формулами

а собственные функции Х_п сеть

Вычислим Т(г), положив в уравнении (11.24) Л = Л_п:

Общее решение такого уравнения

где Д, — произвольные постоянные.

В результате получена бесконечная последовательность частных решений вида (11.23) уравнения (11.20), которая удовлетворяет граничным условиям (11.22):

Из этих решений составим общее решение в виде ряда

Вычислим коэффициенты А_п, удовлетворяя начальному условию (11.58):

Таким образом, решение задачи (11.20)—(11.22) представлено в виде разложения (11.28).

Видео:Решение неоднородного уравнения теплопроводностиСкачать

Разделение переменных в двумерных краевых задачах для уравнения теплопроводности

До сих пор мы применяли метод разделения переменных при решении краевых задач для уравнения теплопроводности с одной пространственной переменной. Как и в случае уравнений гиперболического типа (см. п. 5.6), этот подход можно распространить и на задачи большей размерности в простых областях.

Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности в двумерном случае для простейшей области — прямоугольника:

Эта задача является, в частности, математической моделью процесса распространения тепла в тонкой однородной прямоугольной пластине с теплоизолированной поверхностью, если по контуру пластины поддерживается нулевая температура, а начальное распределение температуры описывается функцией ср(х, у). Можно также рассматривать эту задачу для описания переноса тепла в длинном стержне с прямоугольным сечением, температура на боковой поверхности которого поддерживается равной нулю.

Применяя метод разделения переменных, будем искать ненулевые решения задачи в виде

Подставив выражение (6.69) в уравнение (6.65), приходим к равенству

разделив которое на a 2 X<x)Y<y)T<t) получим:

Каждое из отношений из этого равенства зависит только от своей переменной. Поэтому данное равенство возможно для всех значений переменных х, у, t из рассматриваемой области только в случае, когда указанные отношения постоянны, т.е.

С учетом граничных условий (6.66) и (6.67) получаем из (6.70) две задачи Штурма—Лиувилля:

Решения этих задач найдены в п. 5.5, см. (5.42), (5.43):

Согласно последнему равенству (6.70) функция T(t) должна удовлетворять уравнению T'(t) + а 2 (к_к + р„)7/) = 0 или

Общее решение уравнения (6.73) имеет вид

Итак, с учетом (6.69), (6.71), (6.72) и (6.74) получаем выражение для искомых функций:

которые удовлетворяют уравнению (6.65) и граничным условиям (6.66)—(6.67). Теперь, как и в одномерном случае, ищем линейную комбинацию этих функций, обеспечивающую выполнение и начального условия (6.68).

Как и в п. 5.7, будем использовать ортогональную в прямоугольнике 0 (m ^ )2t :

Определим коэффициенты А_кт из начального условия (6.68):

Из (6.76) видно, что А_кт — это коэффициенты разложения Фурье функции ср(х, у) по ортогональной системе <v_km(x, у)>:

Из (6.75) и (6.77) окончательно получаем:

Пример 6.5. Найти распределение температур в квадратной пластине (0 2 > 0.

Из (6.83) получаем уравнения

Как и в п. 5.6, из (6.83) и (6.80) находим собственные числа у_к и собственные функции R_k(r) задачи для R(r):

где р_Л — нули функции Бесселя /₀(х), см. приложение 4.

Рассмотрим теперь уравнение (6.85). С учетом (6.86) оно принимает вид

а его общее решение

Подставив выражения (6.87) и (6.88) в (6.82), найдем частные решения

уравнения (6.79), удовлетворяющие граничным условиям (6.80). Осталось составить линейную комбинацию этих решений

которая удовлетворяет и начальным условиям (6.81):

Из (6.91), как и в п. 5.6, находим:

где J_<(x) — функция Бесселя первого порядка, см. п. П4.2.

Подставляя (6.92) в (6.90), окончательно получаем решение задачи (6.79)—(6.81), найденное методом Фурье:

Пример 6.6. Найти закон изменения во времени распределения температуры в длинном стержне в виде кругового цилиндра радиуса г₀, на боковой поверхности которого поддерживается нулевая температура, а начальное распределение температуры описывается функцией

Видео:Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводностиСкачать

Метод Фурье для уравнения теплопроводности

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Займемся решением первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности: найти решение и(х, t) уравнения удовлетворяющее начальному условию и граничным условиям Начнем с простейшей задачи: найти решение u(x,t) однородного уравнения удовлетворяющее начальному условию и нулевым (однородным) граничным условиям Метод Фурье для уравнения теплопроводности.

Будем искать нетривиальные решения уравнения (4), удовлетворяющие граничным условиям (6), в виде Псдстаапя в форме (7) в уравнение (4), получим или откуда имеем два обыжювенных дифференциальных уравнения Чтобы получить нетривиальные решения и(х, *) вида (7), удовлетворяющие граничным условиям (6), необходимо найти нетривиальные решения уравнения (10), удовлетворяющие граничным условиям.

Таким образом, для определения фунмдои Х(х) мы приходим к задаче на собственные значения: найти те значения параметра А, при которых существуют нетривиальные решения задачи Эта задача была рассмотрена в предыдущей главе. Там было показано, что только при существуют нетривиальные решения При А = А„ общее решение уравнения (9) имеет вид удовлетворяют уравнению (4) и граничным условиям (6). Образуем формальный ряд.

Потребовав, чтобы функция и(х> t), определяемая формулой (12), удовлетворяла начальному условию , получим Ряд (13) представляет собой разложение заданной функции в ряд Фурье по синусам в интервале (О, I). Коэффициенты а„ разложения определяются по известным формулам Метод Фурье для уравнения теплопроводности Предположим, что Тогдаряд (13) с коэффициентами, определяемыми по формулам (14), будет сходиться к функции абсолютно и равномерно.

Так как при то ряд при также сходится абсолютно и равномерно.

Поэтому функция и(х, t) — сумма ряда (12) — непрерывна в области и удовлетворяет начальному и граничному условиям. Остается показать, что функция и(х, t) удовлетворяет уравнению (4) в области 0. Для этого достаточно показать, что ряды, полученные из (12) почленным дифференцированием по t один раз и почленным дифференцированием по х два раза, также абсолютно и равномерно сходятся при.

Но это следует из того, что при любом t > 0 если п достаточно велико. Единственность решения задачи (4)-(6) и непрерывная зависимость решения от начальной функции были уже установлены ранее. Таким образом, для t > 0 задача (4)-(6) поставлена корректно; напротив, для отрицательных t зада ча эта некорректна. Замечание.

В отличие отдомового уравнения уравнение неомметрично огноситн о времени t: если заменить t на -t, то получаем уравнение другого вида описывает необратимые процессы: Мы можем предсказать, каким станет данное и через промежуток времени данной t, но мы не можем с уверенностью сказать, какн м было это и за время t до рассматриваемого момента. Это раолич иемежду предсказание м и предысторией типично для параболического ура внения и не имеет места, например, для волнового уравн сния; в случае последнего заглянуть в прошлое так же легко, как и в будущее.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример:

Найти распределение температуры в однородном стерве длины ж, если начальная температура стержня и на концах стержня поддерживается нулевая температура. 4 Задача сводится к решению уравнения при начальном условии и граничных условиях Применяя метод Фурье, ищем нетривиальные решения уравнения (15), удовлетворяющие граничным условиям (17), в виде Подставляя u(x,t) в форме (18) в уравнение (15) и разделяя переменные, получим откуда Собственные значения задачи . собственные функции Хп(х) = мп пх.

При А = А„ общее решение уравнения (19) имеет вид Tn(t) = апе а п так что Решение задачи (15)—(17) ищем в виде ряда Потребовав выполнения начального условия (16), получим откуда . Поэтому решением исходной задачи будет фунхция 2. Рассмотрим теперь следующую задачу: найти решение гх(ж, t) неоднородного уравнения _ удовДстворя ющее начальному условию и однородным граничным услови м Предположим, что функци / непрерывна, имеет непрерывную производ-ную и при всех t > 0 выполняется условие .

Решение задач:

Решение задачи (1)-(3) будем искать в виде где определим как решение задачи а функци — как решение задачи Задача (8)—(10) рассмотрена в п. 1. Будем искать решение v(x, t) задачи (5)-(7) в виде ряда по собстве нным функциям < краевой задачи . Подсгааяяя t) в виде в уравнение (5), получим Разложим функцию /ОМ) в ряд Фурье по синусам, где Сравнивая два разложения (12) и (13) функции /(х, t) в ряд Фурье, получаем ! Пользуясь начальным условием для v(x, t).

Метод Фурье для уравнения теплопроводности.

Находим, что Решения уравнений (15) при начальных условиях (16) имеют вид: Подставляя найденные выражения для Tn(t) в ряд (11), получим решение Функция будет решением исходной задачи (1)-(3). 3. Рассмотрим задачу: найти в области решение уравнения при начальном условии и неоднородных граничных условиях Непосредственно метод Фурье неприменим из-за неоднородности условий (20).

Введем новую неизвестную функцию v(x, t), положив где Тогда решение задачи (18)—(20) сведется к решению задачи (1)-(3), рассмотренной в п. 2, для функции v(x, J). Упражнения 1. Задан бесконечный однородный стержень. Покажи те, что если начальная температура то влобой момент температура стержня 2. Ко|рцы стержня длиной ж поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальная температура определяется формулой Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. 3.

Концы стержня длиной I поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальная температура стержня определяется формулой Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. 4. Концы стержня длиной I поддерживаются при температуре, равной нулю. Начальное распределение температуры Определите температуру стержня для любого момента времени t > 0. Ответы

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.