Уравнения состояния или материальные уравнения

Видео:Уравнение состояния идеального газа. 10 класс.Скачать

Уравнение состояния идеального газа. 10 класс.

Материальные уравнения

Пусть имеем однородную и изотропную среду, для которой известны диэлектрическая проницаемость Уравнения состояния или материальные уравненияи магнитная проницаемость Уравнения состояния или материальные уравнения. Эти величины связаны со строением и поведением атомов и молекул среды. Для вакуума эти величины равны единице.

Пятое уравнение Максвеллаустанавливает связь между вектором напряженности электрического поля и вектором электрической индукции. Оно имеет вид:

Уравнения состояния или материальные уравнения

В эту формулу входит величина Уравнения состояния или материальные уравнения, которая называется электростатической постоянной вакуума. Это фундаментальная константа, которая определяет скорость распространения электромагнитных волн в вакууме.

Шестое уравнение Максвеллаустанавливает связь между вектором напряженности магнитного поля Уравнения состояния или материальные уравненияи вектором индукции магнитного поля Уравнения состояния или материальные уравнения. Оно имеет вид:

Уравнения состояния или материальные уравнения

Пятое и шестое уравнения Максвелла позволяют рассчитывать характеристики электрического и магнитного полей в некоторой среде, а не только в вакууме. Кроме того, эти уравнения содержат информацию о распространении электромагнитного поля.

Седьмое уравнение Максвелла представляет собой закон сохранения электрического заряда, который может быть записан в различных формулировках.

В дифференциальной форме

Уравнения состояния или материальные уравнения

Закон сохранения электрического заряда в интегральной форме записывается следующей формулой:

Уравнения состояния или материальные уравненияили Уравнения состояния или материальные уравнения

Электромагнитная волнапроцесс распространения в пространстве возмущения электромагнитного поля.

Существование электромагнитных волн является следствием уравнений Максвелла.

Уравнения состояния или материальные уравненияУравнения состояния или материальные уравнения

Это значит, что напряженности Е и Н переменного электромагнитного поля в однородной, изотропной, непроводящей, нейтральной среде должны удовлетворять волновому уравнению, то есть переменное электромагнитное поле будет распространяться в пространстве в виде волны.

Сравнивая полученные уравнения с волновым уравнением, записанным в общем виде получим, что

Уравнения состояния или материальные уравнения, где Уравнения состояния или материальные уравнения

Из уравнений Максвелла следует также, что в однородной и изотропной среде

Уравнения состояния или материальные уравненияУравнения состояния или материальные уравнения

Уравнения состояния или материальные уравнения

Векторы Е и Н вместе с волновым вектором k образуют правую тройку векторов

Электромагнитные волны, как любые волны, не переносят вещество — это распространяющиеся электрические и магнитные поля, они переносят электромагнитную энергию. Для характеристики переноса энергии используют векторное произведение напряженностеи электрического и магнитного поля — вектор Пойнтинга(J. Poynting, 1852-1941), введенный Джоном Пойнтингом в 1884 году

Уравнения состояния или материальные уравнения

По определению интенсивности волны она равна среднему значению модуля вектора Пойнтинга, при этом усреднение должно проводиться или за целое число периодов или за время, много большее периода колебаний.

Видео:Урок 156. Уравнение состояния идеального газа. Квазистатические процессыСкачать

Урок 156. Уравнение состояния идеального газа. Квазистатические процессы

максвелла уравнения

МАКСВЕЛЛА УРАВНЕНИЯ

1. Краткая история

2. Каноническая форма

3. Максвелла уравнения в интегральной форме

4. Общая характеристика Максвелла уравнений

5. Максвелла уравнения для комплексных амплитуд

6. Алгебраические Максвелла уравнения

7. Материальные уравнения

8. Граничные условия

9. Двойственная симметрия Максвелла уравнений

10. Максвелла уравнения в четырёхмерном представлении

11. Лоренц-инвариантность Максвелла уравнений

12. Лагранжиан для электромагнитного поля

13. Единственность решений Максвелла уравнений

14. Классификация приближений Максвелла уравнений

15. Максвелла уравнения в различных системах единиц

Максвелла уравнения — ур-ния, к-рым подчиняется (в пределах применимости классической ыакроскопич. электродинамики, см. Электродинамика классическая), электромагнитное поле в вакууме и сплошных средах.

1. Краткая история

Установлению M. у. предшествовал ряд открытий законов взаимодействий заряженных, намагниченных и токонесущих тел (в частности, законов Кулона, Био — Савара, Ампера). В 1831 M. Фарадей (M. Faraday) открыл закон эл—магн. индукции и примерно в то же время ввёл понятие электрич. и магн. полей как самостоят, физ. субстанций. Опираясь на фарадеевское представление о поле и введя ток смещения, равнозначный по своему магн. действию обычному электрич. току, Дж. К. Максвелл (J. С. Maxwell, 1864) сформулировал систему ур-ний, названную впоследствии ур-ниями Максвелла. M. у. функционально связывают электрич. и магн. поля с зарядами и токами и охватывают собой все известные закономерности макроэлектромагнетизма. Впервые о M. у. было доложено на заседании Лондонского Королевского общества 27 окт. 18(34. Первоначально Максвелл прибегал к вспомогат. механич. моделям «эфира», но уже в «Трактате об электричестве и магнетизме» (1873) эл—магн. поле рассматривалось как самостоят, физ. объект. Физ. основа M. у.- принцип близкодействия, утверждающий, что передача эл—магн. возмущений от точки к точке происходит с конечной скоростью (в вакууме со скоростью света с). Он противопоставлялся ньютоновскому принципу дальнодействия, сводящемуся к мгновенной передаче воздействий на любое расстояние Уравнения состояния или материальные уравненияМатем. аппаратом теории Максвелла послужил векторный анализ, представленный в инвариантной форме через кватернионы Гамильтона. Сам Максвелл считал, что его заслуга состоит лишь в матем. оформлении идей Фарадея.

2. Каноническая форма

Канонич. форма записи, принятая ныне, принадлежит Г. Герцу (H. Hertz) и О. Хевисайду (О. Heaviside) и основана на использовании не кватернионных, а векторных полей: напряжённости электрического поля E, напряжённости магнитного поля H, векторов электрической индукции D и магнитной индукции В. M. у. связывают их между собой, с плотностью электрического зарядаУравнения состояния или материальные уравнения и плотностью электрического тока J, к-рые рассматриваются как источники:

Уравнения состояния или материальные уравнения

Здесь использована Гаусса система единиц (о записи M. у. в др. системах см. в разделе 15). Входящие в (1) — (4) величины E, D, j являются истинными, или полярными, векторами (а величина r — истинным скаляром), поля H к В — псевдовекторами, или аксиальными векторами. Все эти величины предполагаются непрерывными (вместе со всеми производными) ф-циями времени t и координат Уравнения состояния или материальные уравненияСледовательно, в ур-ниях (1) — (4) не учитывается ни дискретная структура электрич. зарядов и токов, ни квантовый характер самих полей. Учёт дискретности истинных источников может быть произведён даже в доквантовом (классич.) приближении с помощью ЛоренцаМаксвелла уравнений.

3. Максвелла уравнения в интегральной форме

Используя ГауссаОстроградского формулу и С такса формулу, ур-ниям (1) — (4) можно придать форму интегральных:

Уравнения состояния или материальные уравнения

Криволинейные интегралы в (1a), (2a) берутся по произвольному замкнутому контуру (их наз. циркуляция-ми векторных полей), а стоящие в правых частях поверхностные интегралы — по поверхностям, ограниченным этими контурами (опирающимся на них), причём направление циркуляции (направление элемента контураУравнения состояния или материальные уравнения) связано с направлением нормали к S (векторУравнения состояния или материальные уравнения) правовинтовым соотношением (если в качестве исходного выбрано пространство с правыми системами координат). В интегралах по замкнутым поверхностям (S) в (3а), (4а) направление вектора элемента площади Уравнения состояния или материальные уравнениясовпадает с наружной нормалью к поверхности; V — объём, ограниченный замкнутой поверхностью S.

M. у. в форме (1a) — (4a) предназначаются не только для изучения топологич. свойств эл—магн. полей, но и являются удобным аппаратом решения конкретных задач электродинамики в системах с достаточно высокой симметрией или с априорно известными распределениями полей. Кроме того, в матем. отношении эта система ур-ний содержательнее системы (1) — (4), поскольку пригодна для описания разрывных, нодиффе-ренцируемых распределений полей. Но в отношении физ. пределов применимости обе системы ур-ний равнозначны, т. к. любые скачки полей в макроэлектродинамике должны рассматриваться как пределы микромасштабно плавных переходов, с тем чтобы внутри них сохранялась возможность усреднения ур-ний Лоренца — Максвелла. С этими оговорками резкие скачки можно описывать и в рамках M. у. (1) — (4), прибегая к аппарату обобщённых функций.

Наконец, M. у. в интегральной форме облегчают физ. интерпретацию MH. эл—магн. явлений и поэтому нагляднее сопоставляются с теми экспериментально установленными законами, к-рым они обязаны своим происхождением. Так, ур-ние (1a) есть обобщение Био — Савара закона (с добавлением к току Уравнения состояния или материальные уравнениямаксвелловского смещения тока).

Ур-ние (2a) выражает закон индукции Фарадея; иногда его правую часть переобозначают через «магн. ток смещения»

Уравнения состояния или материальные уравнения

гдеУравнения состояния или материальные уравнения— плотность «магн. тока смещения», Ф В — магн. поток. Ур-ние (За) связывают с именем Гаусса Уравнения состояния или материальные уравнения, установившим соленоидальность поля В, обусловленную отсутствием истинных магн. зарядов. Впрочем вопрос о существовании магнитных монополей пока остаётся открытым. Но соответствующее обобщение M. у. произведено (Хевисайд, 1885) на основе принципа двойственной симметрии M. у. (см. в разделе 9), для чего в (2) и (2a) наряду с магн. током смещения вводится ещё и «истинный» магн. ток (процедура, обратная проделанной когда-то Максвеллом с электрич. током в первом ур-нии), а в ур-ние Гаусса (3), (За) — магн. заряд

Уравнения состояния или материальные уравнения

где Уравнения состояния или материальные уравнения— плотность магн. заряда. Фактически все экспериментальные установки для регистрации ожидаемых магнитных монополей основаны на этом предположении. Наконец, ур-ние (4a) определяет поле свободного электрич. заряда; его иногда называют законом Кулона (Ch. A. Coulomb), хотя, строго говоря, оно не содержит утверждения о силе взаимодействия между зарядами, да и к тому же справедливо не только в электростатике, но и для систем с произвольным изменением поля во времени. На тех же основаниях иногда и ур-нпе (Ia) связывают с именем Ампера (A. Ampere).

4. Общая характеристика Максвелла уравнений

Совокупность M. у. (1) — (4) составляет систему из восьми (двух векторных и двух скалярных) линейных дифференц. ур-ний 1-го порядка для четырёх векторов Уравнения состояния или материальные уравненияИсточники (скалярУравнения состояния или материальные уравненияи векторУравнения состояния или материальные уравнения) не могут быть заданы произвольно; применяя операцию Уравнения состояния или материальные уравненияк ур-нию (1) и подставляя результат в (4), получаем:

Уравнения состояния или материальные уравнения

или в интегральной форме:

Уравнения состояния или материальные уравнения

Это ур-ние непрерывности для тока, содержащее в себе закон сохранения заряда для замкнутых изолнров. областейУравнения состояния или материальные уравнения,- один из фундам. физ. принципов, подтверждаемых в любых экспериментах.

Ур-ния (1) — (4) распадаются на два самостоят, «блока»: ур-ния (1) и (4), содержащие векторы Уравнения состояния или материальные уравненияи источники Уравнения состояния или материальные уравненияи ур-ния (2) и (3) — однородные ур-ния для Уравнения состояния или материальные уравненияне содержащие источников. Ур-ння (2) и (3) допускают получение общего решения, в к-ромУравнения состояния или материальные уравнениявыражаются через т. H. потенциалы электромагнитного поляУравнения состояния или материальные уравненияПри этом ур-ние (3) «почти следует» из (2), т. к. операция (у), применённая к (2), даёт Уравнения состояния или материальные уравнениячто отличается от (3) только константой, определяемой нач. условиями. Аналогично ур-ние (4) «почти следует» из (1) и ур-ния непрерывности (5).

Система M. у. (1) — (4) не является полной: по существу, она связывает 4 векторные величины двумя векторными ур-ниями. Её замыкание осуществляется путём добавления соотношений, связывающих векторы 1-го «блока»Уравнения состояния или материальные уравненияс векторами 2-го «блока» Уравнения состояния или материальные уравненияЭти соотношения зависят от свойств сред (материальных сред), в к-рых происходят эл—магн. процессы, и наз. материальными ур-ниями (см. раздел 7).

5. Максвелла уравнения для комплексных амплитуд

В силу линейности системы (1) — (4) для её решений справедлив суперпозиции принцип .Часто оказывается удобным фурье-представление общего решения (1) — (4) как ф-ции времени (см. Фурье преобразование). Записывая временной фактор в виде Уравнения состояния или материальные уравнения, для комплексных фурье-амплитудУравнения состояния или материальные уравненияи т. д.) получаем систему ур-ний

Уравнения состояния или материальные уравнения

Система (1б) — (4б) в нек-ром смысле удобнее (1) — (4), ибо упрощает применение к эл—динамич. системам, обладающим временной дисперсией (см. раздел 7), т. е. зависимостью параметров от частотыУравнения состояния или материальные уравнения

6. Алгебраические Максвелла уравнения

Если распространить (в силу линейности M. у.) фурье-разложение и на зависимость полей от пространственных координат, т. е. представить общее решение ур-ний (1) — (4) в виде суперпозиции плоских волн типа Уравнения состояния или материальные уравнения(k — волновой вектор), то для фурье-компонентов нолейУравнения состояния или материальные уравненияk и т. д.) получим систему алгебраич. ур-ний:

Уравнения состояния или материальные уравнения

Такое сведение M. у. к набору ур-ний для осцилляторов (осцилляторов поля) составляет важный этап перехода к квантовой электродинамике, где эл—магн. поле рассматривается как совокупность фотонов, характеризуемых энергиями Уравнения состояния или материальные уравненияи импульсами Уравнения состояния или материальные уравненияОднако и в макроэлектродинамике представления (1в) — (4в) оказываются иногда вполне адекватными физ. сущности процессов: напр., при выделении откликов высокодобротных систем (см. Объёмный резонатор) или при изучении «механизма формирования» мод со сложной пространственной структурой из набора плоских волн и т. п. Наконец, M. у. в форме (1в) — (4в) удобны для описания свойств эл—динамич. систем, обладающих не только временной, но и пространственной дисперсией, если последняя задаётся в виде зависимости параметров от волнового вектора k.

7. Материальные уравнения

В макроэлектродинамике материальные связи, характеризующие эл—магн. свойства сред, вводятся феноменологически; они находятся либо непосредственно из эксперимента, либо на основании модельных представлений. Существуют два способа описания: в одном векторы E и H считаются исходными и материальные ур-ния задаются в виде D = D(E , H) и В = В( Е,Н), в другом — за исходные берутся векторы 2-го «блока» E и В, и соответствующие материальные связи представляются иначе: D = D(E,В), H= H(E, В). Оба описания совпадают для вакуума, где материальные уравнения вырождаются в равенства D = E и B = H.

Рассмотрим простейшую модель среды, характеризуемую мгновенным, локальным поляризац. откликом на появляющиеся в ней поля E и H. Под действием поля E в такой среде возникает электрич. поляризация Уравнения состояния или материальные уравнения(см. Поляризации вектор), а под действием поля H — магн. поляризация Уравнения состояния или материальные уравнения. Чаще её наз. намагниченностью и обозначают М.

Материальные ур-ния для таких сред имеют вид

Уравнения состояния или материальные уравнения

При этом индуцированные в среде электрич. заряды наз. связанными или поляризац. зарядами с плотностью Уравнения состояния или материальные уравнения, а токи, обусловленные их изменениями,- поляризац. токами с плотностьюУравнения состояния или материальные уравнения:

Уравнения состояния или материальные уравнения

Эти понятия были перенесены и на магн. поля, что можно выразить в виде системы ур-ний, аналогичной

Уравнения состояния или материальные уравнения

и только потом выяснилось, что истинными источниками намагничивания среды оказались электрич. токи Уравнения состояния или материальные уравнения, а не магн. заряды. Поэтому терминология сложилась на основе физически некорректной системы

Уравнения состояния или материальные уравнения

тогда как следовало бы принять беззарядовые ур-ния

Уравнения состояния или материальные уравнения

что равносильно замыканию исходных M. у. (1) — (4) с помощью материальных связей

Уравнения состояния или материальные уравнения

Из (6) и (7a) следует, что 2-й вариант представления материальных соотношений, в к-ром постулируются в качестве исходных векторы E и B, физически предпочтительнее.

В модели Лоренца — Максвелла усреднение микрополя Нмикро, произведённое с учётом вклада со стороны индуциров. полей, приводит к ур-ниям (9) и соответственно = В. Однако обычно параметры сред вводятся с помощью ур-ний (7), что облегчает двойственную симметризацию ф-л (подробнее см. в разделе 9). Напр., скалярные восприимчивости сред (c e , c m ) определяются соотношениями

Уравнения состояния или материальные уравнения

Уравнения состояния или материальные уравнения

Простейшие модели сред характеризуются пост, значениямиУравнения состояния или материальные уравненияВ случае вакуумаУравнения состояния или материальные уравнения0.

Классификация разл. сред ооычно основывается на материальных ур-ниях типа (10) и их обобщениях. Если проницаемости e и m не зависят от полей, то M. у. (1) — (4) вместе с материальными ур-ниями (10) остаются линейными, поэтому о таких средах говорят как о линейных средах. При наличии зависимостейУравнения состояния или материальные уравнениясреды наз. нелинейными: решения M. у. в нелинейных средах не удовлетворяют принципу суперпозиции. Если проницаемости зависят от координат Уравнения состояния или материальные уравнениято говорят о неоднородных средах, при зависимости от времени Уравнения состояния или материальные уравнения— о нестац попарных средах (иногда такие эл—динамич. системы наз. параметрическими). Для анизотропных сред скаляры e, m в (10) заменяются на тензоры: Уравнения состояния или материальные уравнения(по дважды встречающимся индексам производится суммирование). Важное значение имеют также эффекты запаздывания и нелокальности отклика среды на внеш. поля.

Значение индуциров. поляризации Р е , напр, в момент г, может определяться, вообще говоря, значениями полей во все предыдущие моменты времени, т. е.

Уравнения состояния или материальные уравнения

что при преобразовании Фурье по времени приводит к зависимости Уравнения состояния или материальные уравнения[соответственноУравнения состояния или материальные уравненияi]. Такие среды наз. средами с временной (частотной) дисперсией или просто диспергирующими средами. Аналогичная связь устанавливается и для нелокальных взаимодействий, когда отклик в точке г зависит от значения полей, строго говоря, во всех окружающих точкахУравнения состояния или материальные уравненияно обычно всё-таки в пределах нек-рой конечной её окрестности: Уравнения состояния или материальные уравненияПри преобразовании Фурье по г это приводит к появлению зависимостей Уравнения состояния или материальные уравнениятакие среды наз. средами с пространственной дисперсией (см. Дисперсия пространственная).

В проводящих средах входящая в M. у. (1) — (5) плотность тока Уравнения состояния или материальные уравнениясостоит из двух слагаемых: одно по-прежнему является сторонним токомУравнения состояния или материальные уравненияобусловленным заданным перемещением электрич. зарядов под действием сторонних сил (обычно неэлектрич. происхождения), а другое — током проводимостиУравнения состояния или материальные уравнениязависящим от полей, определяемых системой M. у., и связанным с ними материальными ур-ниями вида Уравнения состояния или материальные уравненияВ простейшем случае эта зависимость сводится к локальному Ома закону,

Уравнения состояния или материальные уравнения

где Уравнения состояния или материальные уравненияэлектропроводность (проводимость) среды. Иногда в (11) вводят обозначениеУравнения состояния или материальные уравнения, благодаря к-рому различают системы с заданными токами и системы с заданными полями (напряжениями). Для синусоидальных во времени полей, подчинённых ур-ниям (1б) — (4б) и материальным связям (10) и (11), вводится комплексная диэлектрич. проницаемость, объединяющая (10) и (11),Уравнения состояния или материальные уравнения, мнимая часть к-рой обусловлена проводимостью и определяет диссипацию энергии эл—магн. поля в среде. По аналогии вводится комплексная магн. проницаемостьУравнения состояния или материальные уравнения, мнимая часть к-рой обусловливает потери, связанные с перемагничиванием среды. Комплексные проницаемости в общем случае зависят от частоты w и волнового вектораУравнения состояния или материальные уравненияэти зависимости не могут быть произвольными: причинности принцип связывает их действительные и мнимые части КрамерсаКронига соотношениями.

В общем случае вид материальных ур-ний зависит также и от системы отсчёта, в к-рой эти ур-ния рассматривают. Так, если в неподвижной системе К среда характеризуется простейшими ур-ниями (10), то в инер-циальной системе К’ , движущейся относительно К с пост, скоростью и, появляется анизотропия:

Уравнения состояния или материальные уравнения

где индексыУравнения состояния или материальные уравненияобозначают продольные и поперечные кУравнения состояния или материальные уравнениясоставляющие векторов. В рамках алгебраич. M. у. (1в) — (4в) материальные ур-ния (12) могут быть переписаны в виде

Уравнения состояния или материальные уравнения

что можно трактовать как наличие временной и пространственной дисперсии. Исследование процессов с материальными связями типа (12) составляет предмет электродинамики движущихся сред. Заметим, что хотя характеристики е и m удобно симметризуют материальные ур-ния, их введение не является непременным условием замыкания M. у. Соответствующей перенормировкой допустимо свести описание магн. поля к одно-векторному, т. е. сделать Уравнения состояния или материальные уравненияно при этом даже для изотропной среды диэлектрич. проницаемость становится тензором, она различна для вихревых и потенциальных полей. Физически это связано с неоднозначностью модельного представления диполь-ных моментов, во всяком случае приУравнения состояния или материальные уравненияони могут равноправно интерпретироваться и как зарядовые, и как токовые.

8. Граничные условия

Поскольку M. у. справедливы для любых (в рамках применимости макроэлектродинамики) неоднородных сред, то в областях резкого изменения их параметров иногда можно игнорировать тонкую структуру распределения полей в переходном слое и ограничиться «сшиванием» полей по разные стороны от него, заменяя тем самым переходный слой матем. поверхностью — границей, лишённой толщины. Если внутри переходной области имелись заряды с объёмной плотностьюУравнения состояния или материальные уравненияили токи с объёмной плотностьюУравнения состояния или материальные уравнениято при сжатии слоя в поверхность сохраняются их интегральные значения ·- вводятся поверхностные заряды r пов и поверхностные токи

Уравнения состояния или материальные уравнения— толщина переходного слоя.

Применение M. у. и ур-ния непрерывности приводит к следующим граничным условиям:

Уравнения состояния или материальные уравнения

Здесь индексы 1 и 2 характеризуют поля по разные стороны от границы, аУравнения состояния или материальные уравнения— единичный вектор нормали к поверхности, направленный из среды 1 в среду 2. Правила (1г) — (5г) пригодны для перехода через любые поверхности, независимо от того, совпадают ли они с границами раздела сред или проходят по однородным областям, поэтому их иногда наз. поверхностными M. у.

Иногда граничные условия (1г) — (5г) порождают краевые условия, т. е. задают не правила перехода через границу, а сами поля на ней. Напр., внутри идеального проводника Уравнения состояния или материальные уравненияв силу (11) Уравнения состояния или материальные уравнения(иначе возник бы ток неограниченной плотности), поэтому на границе раздела диэлектрик — идеальный проводник в согласии с (2г)Уравнения состояния или материальные уравненияТакие границы наз. идеальными электрич. стенками. Аналогично вводится понятие идеальной магн. стенки, на к-рой Уравнения состояния или материальные уравненияЕсли структура полей по одну сторону от границы универсальна, т. е. не зависит от распределения полей по др. сторону, то краевые условия могут состоять в задании не самих полей, а лишь связей между ними, напр. Уравнения состояния или материальные уравнениягде Z — нек-рая скалярная или тензорная ф-ция координат границы (Уравнения состояния или материальные уравнения— тангенциальный компонентУравнения состояния или материальные уравнения). К условиям такого рода относится, в частности, Леонтовича граничное условие для синусоидально меняющихся во времени полей на поверхности хороших проводников.

9. Двойственная симметрия Максвелла уравнений

Двойственная симметрия M. у. имеет место для любой формы их записи. Она состоит в инвариантности M. у. относительно линейных преобразований нолей, производимых по след, правилам:

Уравнения состояния или материальные уравнения

ЗдесьУравнения состояния или материальные уравнения— произвольный угл. параметр; в частности, приУравнения состояния или материальные уравнения= О получаются тождественные преобразования, а при Уравнения состояния или материальные уравнения— стандартные преобразования перестановочной двойственности (операция Уравнения состояния или материальные уравнения): замена Уравнения состояния или материальные уравнениядаёт в областях, свободных от источников, новое решение M. у. При этом, однако, оно меняет местами ур-нияУравнения состояния или материальные уравнения

Уравнения состояния или материальные уравненияи, следовательно, там, где раньше были распределены электрич. источники, возникают источники магнитныеУравнения состояния или материальные уравнения

Уравнения состояния или материальные уравнения. Поэтому с точки зрения двойственной симметрии M. у. задание материальных связей в виде Уравнения состояния или материальные уравнения Уравнения состояния или материальные уравненияпредставляется вполне удобным. Дуально-симметричные M. у. обладают рядом достоинств, по крайней мере в чисто методич. плане. Так, напр., они симметризуют скачки тангенциальных компонентов магн. и электрич. полей и, если задание ff Tall на поверхности идеальной электрич. стенки эквивалентно заданию поверхностного электрич. тока, то задание Я 1а „ на идеальной магн. стенке сводится к заданию магн. поверхностного тока:

Таким сведением задач с заданнымиУравнения состояния или материальные уравненияполями к задачам с заданными токами широко пользуются в теории дифракции волн, в частности в дифракции радиоволн.

Принцип перестановочной двойственности является представителем класса дискретных преобразований (см. Симметрия ),оставляющих инвариантными M. у. Такого же сорта преобразованиями являются, в частности, операция обращения времениУравнения состояния или материальные уравнения

Уравнения состояния или материальные уравнения

последовательно осуществляемые комбинации операций Уравнения состояния или материальные уравнения

10. Максвелла уравнения в четырёхмерном представлении

Придавая времени t смысл четвёртой координаты и представляя её чисто мнимой величиной Уравнения состояния или материальные уравнения(см. Минковского пространство-время ),можно заключить описание электромагнетизма в компактную форму. Эл—магн. поле в 4-описании может быть задано двумя антисимметричными тензорамиУравнения состояния или материальные уравнения

Уравнения состояния или материальные уравнения

гдеУравнения состояния или материальные уравненияЛеви-Чивиты символ ,лат. индексы пробегают значения 1, 2, 3, 4, а греческие — 1, 2, 3. В 4-век-торе тока объединены обычная плотность тока j e и плотность электрич. зарядаУравнения состояния или материальные уравнения

Уравнения состояния или материальные уравнения

аналогично вводят 4-вектор магн. тока.

В этих обозначениях M. у. допускают компактное 4-мерное представление:

Уравнения состояния или материальные уравнения

Взаимной заменой векторов поля и индукции в ф-лах (13),Уравнения состояния или материальные уравнения(14) вводятся тензоры индукции эл—магн. поля

Уравнения состояния или материальные уравнения

через к-рые также могут быть записаны M. у.:

Уравнения состояния или материальные уравнения

Любая пара тензорных ур-ний, содержащая в правых частях оба 4-тока (электрич. и мат.), тождественна системе M. у. Чаще используют пару ур-ний (15 а), (18), при этом материальные ур-ния сводятся к функциональной связи между тензорами Уравнения состояния или материальные уравнения(последний чаще обозначают черезУравнения состояния или материальные уравнения.

Из антисимметрии тензоров поля, индукции и M. у. в форме (17) — (18) следует равенство нулю 4-дивергенций 4-токов:

Уравнения состояния или материальные уравнения

к-рое представляет собой 4-мерную запись ур-ний непрерывности для электрич. (магн.) зарядов. T. о., 4-векторы токов являются чисто вихревыми, и соотношения (17), (18) можно рассматривать как их представление в виде 4-роторов соответствующих тензоров. Наряду с представленным здесь вариантом часто используется также 4-мерное описание, в к-ром временная координата (обычно с индексом О) берётся действительной, но 4-мерному пространству приписывается гипербодич. сигнатура Уравнения состояния или материальные уравненияв таком пространстве приходится различать ко- и контравариантные компоненты векторов и тензоров (см. Ковариантность и контравариантность).

11. Лоренц-инвариантность Максвелла уравнений

Все экспериментально регистрируемые эл—динамич. явления удовлетворяют относительности принципу .Вид M. у. сохраняется при линейных преобразованиях, оставляющих неизменным интервал Уравнения состояния или материальные уравнения Уравнения состояния или материальные уравненияи составляющих 10-мерную Пуанкаре группу: 4 трансляцииУравнения состояния или материальные уравнения, 3 пространственных (орто-) поворота Уравнения состояния или материальные уравненияи 3 пространственно-временных (орто-хроно-) поворота, иногда называемых ло-ренцевыми вращениями. Последние соответствуют перемещениям системы отсчёта вдоль осей x a с пост, скоростямиУравнения состояния или материальные уравненияВ частности, для Уравнения состояния или материальные уравненияполучается простейшая разновидность Лоренца преобразований:Уравнения состояния или материальные уравнения

Уравнения состояния или материальные уравнения, где Уравнения состояния или материальные уравненияСоответственно поля преобразуются по правилам:

Уравнения состояния или материальные уравнения

Релятивистски-ковариантная запись M. у. позволяет легко находить инвариантные комбинации полей, токов и потенциалов (4-скаляров или инвариантов Лоренца группы), сохраняющихся, в частности, при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Во-первых, это чисто полевые инварианты (см. Инварианты электромагнитного поля ).Во-вторых, это токовые (источниковые) инварианты:

Уравнения состояния или материальные уравнения

В-третьих, это потенциальные инварианты:

Уравнения состояния или материальные уравнения

гдеУравнения состояния или материальные уравнения— магн. потенциалы (получающиеся из А е и Уравнения состояния или материальные уравненияпреобразованием перестановочной двойственности), источниками к-рых являются магн. токи j m и зарядыУравнения состояния или материальные уравнения. И, наконец, многочисл. коыбиниров. инварианты типаУравнения состояния или материальные уравненияи им подобные. Число таких комбиниров. инвариантов (квадратичных, кубичных и т. д.) по полям н источникам неограниченно.

12. Лагранжиан для электромагнитного поля

M. у. могут быть получены из наименьшего действия принципа, т. е. их можно совместить с ЭйлераЛаг-ранжа уравнениями, обеспечивающими вариационную акстремальность ф-ции действия:

Уравнения состояния или материальные уравнения

здесь Уравнения состояния или материальные уравнениялагранжиан ,являющийся релятивистски-инвариантной величиной; интегрирование ведётся по 4-мерному объёму V, (t 2 — t 1 ) с фиксиров. границами. В качестве обобщённых координат принято обычно использовать потенциалы А a и f. Поскольку лагран-жев формализм должен давать полное (замкнутое) динамич. описание системы, то при его построении нужно принимать во внимание материальные ур-ния. Они фигурируют как зависимости связанных зарядов и токов от полей В и Е·

Уравнения состояния или материальные уравнения

В результате лагранжиан принимает вид инвариантной комбинации полей, потенциалов и источников:

Уравнения состояния или материальные уравнения

А ур-ния Эйлера — Лагранжа для нек-рой обобщённой координаты Уравнения состояния или материальные уравненияполучают приравниванием нулю соответствующих вариационных производных:

Уравнения состояния или материальные уравнения

Для Уравнения состояния или материальные уравненияприходим к (4), для- Уравнения состояния или материальные уравненияк ур-нию (1) в соответствующих обозначениях. Вариационный подход позволяет придать теории универсальную форму описания, распространяемую и на описания динамики любых взаимодействий, даёт возможность получать ур-ния для комбиниров. динамич. систем, напр, электромеханических. В частности, для систем с сосредоточенными параметрами, характеризуемых конечным числом степеней свободы, соответствующие ур-ния наз. ур-ниями Лагранжа — Максвелла.

13. Единственность решений Максвелла уравнений

Различают теоремы единственности для стационарных и нестационарных процессов. Условия единственности нестационарных решений извлекаются из Пойн-тинга теоремы, где источники считаются заданными ф-циями координат и времени. Если бы они порождали два разл. поля, то разность этих полей в вакууме (или в любой линейной материальной среде) вследствие принципа суперпозиции была бы решением однородных M. у. Для обращения этой разности в нуль и, следовательно, получения единств, решения достаточно удовлетворить след, трём условиям. 1) На поверхности S, окружающей область V, где ищется поле, должны быть заданы тангенциальные составляющие поля Е тан или поля Н тан либо соотношения между ними импедансного типа: Уравнения состояния или материальные уравнения(п — нормаль к S) со значениями Z, исключающими приток энергии извне. К таковым относятся, в частности, условия излучения (см. Зоммерфельда условия излучения ),к-рым удовлетворяют волны в однородной среде на больших расстояниях от источников. Во всех случаях поток энергии для разностного поля вообще исчезает или направлен наружу (из объёма). 2) В нач. момент времени должны быть заданы все поля всюду внутри V. 3) Плотность энергии электромагнитного поля Уравнения состояния или материальные уравнения HB) должна быть положительна (вакуум, среды с Уравнения состояния или материальные уравнения. Эта частная теорема единственности обобщается на среды с нелокальными связями, а также на нек-рые виды параметрич. сред. Однако в нелинейных средах, где принцип суперпозиции не работает, никаких общих утверждений о единственности не существует.

В стационарных режимах нач. условия выпадают, и теоремы единственности формулируются непосредственно для установившихся решений. Так, в электростатике достаточно задать все источники r e ст , все полные заряды на изолиров. проводниках или их потенциалы, чтобы при соответствующих условиях на бесконечности (нужное спадание поля) решение было бы единственным. Аналогичные теоремы устанавливаются для магнитостатики и электродинамики пост, токов в проводящих средах.

Особо выделяется случай синусоидальных во времени процессов, для к-рых формулируют след, признаки, достаточные для получения единств, решения: 1) задание источников Уравнения состояния или материальные уравнениязадание E тан или Н тан на ограничивающей объём V поверхности S или соответствующих импедансных условий, обеспечивающих отсутствие потока вектора Пойнтинга внутрь V; 3) наличие малого поглощения внутри V или малой утечки энергии через S для исключения существования собств. колебаний на частоте Уравнения состояния или материальные уравнения

14. Классификация приближений Максвелла уравнений

Классификация приближений M. у. обычно основывается на безразмерных параметрах, определяющих и критерии подобия для эл—магн. полей. В вакууме таким параметром является отношение Уравнения состояния или материальные уравнения, где Уравнения состояния или материальные уравнения— характерный масштаб изменения полей (либо размер области, в к-рой ищется решение), Уравнения состояния или материальные уравнения— характерный временной масштаб изменения полей.

а) а = 0 — статич. приближение, статика.

Система M. у. распадается на три.

Уравнения состояния или материальные уравнения

Материальная связь в простейшем случае имеет вид Уравнения состояния или материальные уравнения. Это система M. у. для электростатики, в к-рой источниками служат заданные распределения плотности электрич. заряда Уравнения состояния или материальные уравненияи сторонней поляризации Уравнения состояния или материальные уравнения. В однородной среде Уравнения состояния или материальные уравненияэл—статич. потенциал f определяется Пуассона уравнением

Видео:Уравнение состояния идеального газа | Физика 10 класс #33 | ИнфоурокСкачать

Уравнение состояния идеального газа | Физика 10 класс #33 | Инфоурок

Лекция 24

Видео:Физика 10 класс (Урок№20 - Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы.)Скачать

Физика 10 класс (Урок№20 - Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы.)

1.Основные понятия

Основные законы электродинамики (уравнения Максвелла) были сформулированы в 1873 году. По своей значимости они аналогичны законам Ньютона в механике. Современная формулировка дана Герцем и Хевисайдом. Эти уравнения связывают характеристики электромагнитного поля и его источники.

В данные уравнения входят Уравнения состояния или материальные уравнения— напряженность электрического поля, Уравнения состояния или материальные уравненияиндукция магнитного поля. Эти величины являются основными, т.к. определяют силу, действующую на заряженную частицу (Fл) – силу Лоренца.

Входят две вспомогательные величины Уравнения состояния или материальные уравнения— индукция электрического поля и Уравнения состояния или материальные уравнения— напряженность магнитного поля. Также входят Уравнения состояния или материальные уравнения— плотность тока и ρ — плотность заряда.

Уравнения Максвелла позволяют по известному полю найти токи и заряды (достаточно просто), а также по известным токам и зарядам найти поле (сложно). Уравнения будем писать в СИ в порядке указанном в физической энциклопедии.

Видео:Идеальный газ. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. 10 класс.Скачать

Идеальный газ. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. 10 класс.

2.Интегральная форма

Уравнения состояния или материальные уравнения

I уравнение представляет собой обобщение закона полного тока.

Уравнения состояния или материальные уравнения

Уравнения состояния или материальные уравненияЗакон: Циркуляция напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру определяется током проводимости и быстротой изменения потока электрической индукции через произвольную поверхность, охваченную данным контуром.

II уравнение обобщает закон электромагнитной индукции.

Уравнения состояния или материальные уравнения Уравнения состояния или материальные уравнения

Уравнения состояния или материальные уравненияЗакон: Циркуляция напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру определяется быстротой изменения потока магнитной индукции через площадку, охваченную данным контуром, взятой с обратным знаком

III уравнение: теорема Гаусса для электрической индукции.

Уравнения состояния или материальные уравнения Уравнения состояния или материальные уравнения

Уравнения состояния или материальные уравненияЗакон: Поток электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность определяется зарядом внутри этой поверхности.

IV уравнение: закон Гаусса для индукции магнитного поля.

Уравнения состояния или материальные уравнения Уравнения состояния или материальные уравнения

Закон: Поток индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю.

Видео:идеальный газ УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗАСкачать

идеальный газ УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

3.Дифференциальная форма

Используя формулы Остроградского-Гаусса и Стокса можно получить

Уравнения состояния или материальные уравненияI уравнение Максвелла.

Уравнения состояния или материальные уравненияII уравнение Максвелла.

Уравнения состояния или материальные уравненияIII уравнение Максвелла.

Уравнения состояния или материальные уравненияIV уравнение Максвелла

Видео:Уравнение состояния идеального газаСкачать

Уравнение состояния идеального газа

4.Материальные уравнения

В систему уравнений Максвелла входят 16 скалярных функций координат и времени. Самих уравнений – 8.

Чтобы замкнуть эту систему, используют материальные уравнения.

Уравнения состояния или материальные уравнения

Величины e, μ, σ получаются из других разделов физики или определяются экспериментально.

🎦 Видео

Урок 145. Идеальный газ. Основное ур-ние МКТ ид. газа - 1Скачать

Урок 145. Идеальный газ. Основное ур-ние МКТ ид. газа - 1

Физика 10 класс: Уравнение Клапейрона-МенделееваСкачать

Физика 10 класс: Уравнение Клапейрона-Менделеева

Уравнения состояния вещества — Игорь ЛомоносовСкачать

Уравнения состояния вещества — Игорь Ломоносов

Урок 147. Задачи на основное уравнение МКТ идеального газаСкачать

Урок 147. Задачи на основное уравнение МКТ идеального газа

Урок 194. Уравнение Ван-дер-ВаальсаСкачать

Урок 194. Уравнение Ван-дер-Ваальса

Физика. МКТ: Уравнение Менделеева-Клапейрона для идеального газа. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»Скачать

Физика. МКТ: Уравнение Менделеева-Клапейрона для идеального газа. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»

1.2 Материальные уравнения, векторы поляризованности и намагниченности средСкачать

1.2 Материальные уравнения, векторы поляризованности и намагниченности сред

Решение задач на основное уравнение МКТ идеального газа | Физика 10 класс #29 | ИнфоурокСкачать

Решение задач на основное уравнение МКТ идеального газа | Физика 10 класс #29 | Инфоурок

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.

Урок 146. Основное уравнение МКТ идеального газа - 2Скачать

Урок 146. Основное уравнение МКТ идеального газа - 2

Билеты №32, 33 "Уравнения Максвелла"Скачать

Билеты №32, 33 "Уравнения Максвелла"

Задачи на уравнение Менделеева-Клапейрона. Ч.1. Краткая теория + решение задачиСкачать

Задачи на уравнение Менделеева-Клапейрона. Ч.1. Краткая теория + решение задачи

Составление уравнений химических реакций. 1 часть. 8 класс.Скачать

Составление уравнений химических реакций.  1 часть. 8 класс.
Поделиться или сохранить к себе: