Рассмотрим внутреннюю краевую задачу для уравнения Лапласа с граничным условием первого рода
Пусть область D — круг радиуса a, ограниченный окружностью S. Это есть задача Дирихле в круге.
Запишем данную задачу в полярных координатах:
Решение этой задачи будем искать методом разделения переменных в виде
Подставляя это выражение в уравнение Лапласа и разделяя переменные, получаем
Следовательно, функция R(r) должна быть найдена из решения уравнения
а для функции Φ(φ) получаем задачу на собственные значения
Здесь условие периодичности функции Φ(φ) является следствием периодичности искомого решения u(r, φ) по угловой переменной φ с периодом 2π.
Последняя задача имеет нетривиальные периодические решения только при λ=&lambdan=n², n=0, 1, 2, … Эти решения имеют вид
Для функции R(r) при λ=n² получаем уравнение
(
)
Будем искать частные решения этого уравнения в виде степенной функции
тогда последнее уравнение примет вид
устанавливаем, что показатель k определяется из уравнения
Следовательно, уравнение () имеет два линейно независимых решения: r n и r -n .
Решение внутренней задачи Дирихле должно быть ограничено в центре круга при r=0. Поэтому из двух найденных решений следует взять лишь
Таким образом, частные решения уравнения Лапласа в полярных координатах можно записать так:
В силу линейности и однородности равнения Лапласа суперпозиция частных решений
также будет удовлетворять этому уравнению.
Из граничного условия получим:
Разложим функцию γ(φ) в интервале (0, 2π) в тригонометрический ряд Фурье:
Приравняв коэффициенты в двух рядах, находим
Тогда решение можно записать в форме
Замечание. Если в этой формуле считать ρ=a/r>1, то она будет определять решение внешней для круга задачи Дирихле.
Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:
Задача ставится так: найти функцию tx(r,у?), удовлетворяющую внутри ируга Kr0 радиуса с центром в начале координат уравнению Лапласа непрерывную в замжутой области KtQ и принимающую задан ные значения награнице круга, Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье где f(tp) — достаточно гладкая функция, периодическая с периодом 2т.
В силу однозначности искомого решения оно должно быть периодическим по с периодом Из непрерывности решения в Кго следует его ограниченность в КГо. Уравнение (1) в полярных координатах имеет вид (3) Будем искать частные решения уравнения (3) в виде . Подставляя «(г, (р) в форме (4) в уравнение (3),умноженное на г2, получим откуда Из условия получаем находим , так что В частности, = Ао = const. Полагая в уравнении (6) (уравнении Эйлера) Л(г) = г*, при А = п2 получаем Отсюда) и, следовательно.
При п = 0 из (6) находам Так как ооприг 0+0,тодля решения внутренней задачи Дирихле нужно положить Решение внутренней задачи Дирихле будем искать в виде ряда (5) (6) где коэффициенты Ап, Вп определяются из граничного условия (2) При т — tq имеем Запишем разложение /(у) в ряд Фурье где Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье Сравнивая ряды (8) и (9), получаем (9) * г0 г0.
Таким образом, формальное решение внутренней задачи Дирихле для круга предста-вимо в виде ряда оо где коэффициенты определяются по формулам (10).
Возможно вам будут полезны данные страницы:
При г го ряд (11) можно дифференцировать по г и любое число раз, и, значит, функция u(r, у) из (11) удовлетворяет уравнению Если предположить, что функция непрерывна и дифференцируема, то ряд (11) при г ^ г0 сходится равномерно, и, следовательно, функция и(г, непрерывна на границе круга и удовлетворяет всем условиям поставл енной задачи.
| Решение внешней задачи Дирихле следует |
искать в виде ряда где коэффициенты Ап, В„ определяются из граничного условия Для кольцевой области образованной двумя концентрическими окружностями с центром в точке 0 радиусов Г] и г2 (рис.8), решение задачи ищется в виде ряда коэффициенты которого Л0, определяются из граничных условий Пример.
Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса го с центром в начале координат и такую. что Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье -4 Задача сводится к решению внутренней задачи Дирихле для уравнения при граничном условии Будем искать решение задачи в вида ряда ПО Из граничного условия (15) имеем Отсюда в силу ортогональности системы функций Искомое решение
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.