Решение уравнений со степенью с рациональным показателем (8 видео)

Степень с рациональным показателем

Мы уже знакомы с понятием степени с целым показателем. Давайте разберемся, что такое степень с рациональным показателем.

Рациональный показатель – это выражение вида (frac

), где (p)-некоторое целое число, а (q) – натуральное число, причем (qge2).

Положительное число (a) в рациональной степени (frac

) является арифметическим корнем степени (q) из числа (a) в степени (p):

Обращаем ваше внимание, что

Неважно в каком порядке – сначала извлечь корень или возвести в степень, от этого смысл выражения не теряется. Как удобнее, так и считайте.

Пусть есть некоторое положительное число (a) и целое число (p), тогда справедливы следующие соотношения:

где (k) и (q) – натуральные числа большие 1.

Давайте попробуем их доказать:

Из определения степени с рациональным показателем следует, что:

Опять из определения и свойства корня n-й степени следует:

Третья формула на наш взгляд очевидна, просто сократить степень справа и получите исходное выражение.

Содержание

Свойства степени с рациональным показателем
1. Показательные уравнения. Понятие и свойства степени с рациональным показателем
Теория:
Алгебра
Степень с рациональным показателем
Свойства дробных степеней и операции с ними
Сравнение степеней
🎦 Видео

Видео:СТЕПЕНИ с рациональным показателям СТЕПЕНИ с действительным показателямСкачать

Свойства степени с рациональным показателем

Пусть (a) и (b) – некоторые положительные числа, а числа (m) и (n) – рациональные числа. Тогда выполняются соотношения:

При умножении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели степени складываются.

При делении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели степени вычитаются.

При возведении степени с рациональным показателем в степень с рациональным показателем их показатели перемножаются.

Степень с рациональным показателем от произведения двух положительных чисел равна произведению степеней этих множителей.

Степень с рациональным показателем от частного двух положительных чисел равна частному степеней этих чисел.

И еще два очень важных свойства степеней. Они вам понадобятся при решении показательных уравнений и неравенств.

Пусть опять есть некоторое положительное число (a>1) и рациональные числа (n) и (m).

При (n gt 0) (a^n gt 1),

При (n lt 0) (0 lt a^n lt 1).

Если же (a gt 1) и (n gt m), то

Если ( 0 lt a lt 1 ) и (n gt m), то

Разберем несколько примеров:

Так как основание степени больше единицы (3 gt 1) и (frac lt frac).

Так как (0 lt frac lt 1) и (frac lt frac)

Описание урока

От успешной сдачи государственного экзамена по математике зависит поступление в высшее учебное заведение. Степень с рациональным показателем – важная тема, изучение которой необходимо для успешной подготовки к ЕГЭ. От того, насколько хорошо она освоена, зависит в будущем, насколько легко будет решать уравнения и производить более сложные операции с числами. Задание номер 15 строится на умении работать с такими степенями. Чтобы понимать, о чём идёт речь, стоит ознакомиться с определением степени с рациональным показателем и её основными свойствами, которые пригодятся и при работе с функциями.

Степенью числа А, рациональный показатель которого равен p делённому на q, называют выражение, где под корнем степени q находится возведённое в степень p число A. Чтобы более наглядно рассмотреть это явление, разберём пример. Допустим, число 3 возводится в степень 2/4. Тогда изначальное выражение приобретёт следующий вид: корень четвертой степени от 3 в квадрате. 3 во второй степени — 9. Корень четвертой степени из 9 сложно рассчитать без помощи калькулятора, но существуют примеры, где корень n-ой степени из подкоренного выражения легко извлекается.

Важно запомнить, что число А не должно быть меньше 0, а число q не равно 1.

Свойства степени с рациональным показателем

Знание свойств степеней с показателем, равным рациональному числу, облегчает работу с уравнениями и функциями, где содержатся такие выражения. Внимательно их изучив, можно достаточно быстро выполнять задания, что немаловажно в процессе написания ЕГЭ.

Одно из основных свойств: произведение двух степеней с одинаковым основанием равно основанию в степени, равной сумме степеней двух множителей.

При делении степеней с рациональным показателем из показателя делимого вычитают показатель делителя. У степени с рациональным показателем есть и другие свойства, которые также присущи степени с обыкновенным показателем. Их легко запомнить, а чтобы примеры помогли внимательнее рассмотреть свойства, посмотрите видео, в котором о них рассказывается подробнее.

Видео:Степень с рациональным показателем. Алгебра, 9 классСкачать

1. Показательные уравнения. Понятие и свойства степени с рациональным показателем

Теория:

Поэтому запись − 7 1 5 не имеет смысла.

Если p q — обыкновенная дробь ( q ≠ 1 ) и a > 0 , то под a − p q понимают 1 a p q , т. е. a − p q = 1 a p q , a > 0 .

1. 3 − 1 2 = 1 3 1 2 = 1 3 ;

2. 7 − 5 4 = 1 7 5 4 = 1 7 5 4 .

Справедливы следующие свойства (предполагаем, что a > 0 , b > 0, s , t — произвольные рациональные числа):

Можно выделить три основных метода решения показательных уравнений, которые приводятся в следующих теоретических материалах данного раздела.

Видео:Степень числа с рациональным показателем. 11 класс.Скачать

Алгебра

План урока:

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№17 - Степень с рациональным и действительным показателем.)Скачать

Степень с рациональным показателем

Напомним, что в 7 классе мы впервые познакомились с понятием степени, причем тогда рассматривались случаи, когда показателем степени является натуральное число. В 8 классе понятие степени было расширено, теперь в него включались случаи, когда показатель являлся целым числом. Настоятельно рекомендуем перечитать соответствующие уроки. Сегодня же мы можем сделать ещё один шаг вперед и рассмотреть степени с рациональными показателями.

При расширении понятия степени важно обеспечить то, чтобы уже известные правила работы с целыми степенями работали и для дробных показателей. Одно из свойств степеней выглядит так:

Подставим в эту формулу следующие значения переменных:

Мы специально выбрали эти числа такими, чтобы произведение mn равнялось единице:

Подставляем эти значения:

(3 1/6 ) 6 = 3 1/6 • 6 = 3 1 = 3

Однако по определению корня n-ой степени число, дающее при возведении в шестую степень тройку, является корнем шестой степени из трех. То есть можно записать:

С помощью подобных преобразований нам удалось указать, чему равно число, возведенное в дробную степень. Аналогично можно показать, что для любого а > 0 справедлива формула:

Действительно, если возвести левую часть в n-ую степень, то получим:

(а 1/ n ) n = a 1/ n • n = a

Значит, по определению корня n-ой степени

Ограничение а > 0 необходимо для того, чтобы не рассматривать случаи, когда подкоренное выражение является отрицательным.

Продолжим наши рассуждения. Чему будет равна степень а m / n ? Ясно, что дробь m/n можно представить в виде:

C учетом этого выполним преобразование:

В результате несложных преобразований нам удалось получить формулу, позволяющую возводить число в степень, у которой рациональный показатель!

Приведем несколько примеров вычисления дробных степеней:

Часто при вычислениях удобнее сначала извлечь корень из числа, а потом полученный результат возвести в степень:

Напомним, что одну и ту же дробь можно представить разными способами, например:

1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 0,5

Возникает вопрос – изменится ли значение дробной степени, если мы приведем дробь к новому знаменателю? Очевидно, что нет, но всё же убедимся в этом на примере. Сначала возведем в степень 1/2 число 25:

Теперь заменим дробь 1/2 на идентичную ей дробь 2/4:

Результат не изменился. В общем случае есть смысл максимально сократить дробь перед вычислением, чтобы избежать операций с большими числами. Особенно это касается десятичных дробей. Например, пусть необходимо вычислить значение выражения 81 0,25 . По определению десятичной дроби можно записать, что 0,25 = 25/100. Тогда вычислить 81 0,25 можно так:

Согласитесь, возводить число 81 в 25-ую степень не очень легко! Поэтому поступим иначе. Сократим дробь 25/100:

0,25 = 25/100 = 25/(25•4) = 1/4

Теперь вычисления будет более простыми:

Вообще легко запомнить, что 0,25 = 1/4, а 0,5 = 1/2. Замена десятичных дробей обыкновенными дробями сильно упрощает вычисления. Приведем примеры:

Видео:✓ Про степень с действительным показателем | В интернете опять кто-то неправ #005 | Борис ТрушинСкачать

Свойства дробных степеней и операции с ними

Когда мы изучали степени с целыми показателями, мы выяснили, что правила работы с ними ничем не отличаются от правил работы со степенями с натуральным показателем. Оказывается, эти же правила работают и для степеней с рациональным показателем. Сформулируем основные свойства дробных степеней.

Например, справедливы следующие действия:

5 0,5 •5 2,5 = 5 0,5 + 2,5 = 5 3 = 125

19 5/3 •19 1/3 = 19 5/3 + 1/3 = 19 2 = 361

29,36 –0,37 •29,36 1,37 = 29,36 –0,37 + 1,37 = 29,36 1 = 29,36

Вот несколько примеров подобных вычислений:

17 4,5 :17 3,5 = 17 4,5–3,5 = 17 1 = 1

4 9,36 :4 6,36 = 4 9,36–6,36 = 4 3 = 64

20 12 :20 14 = 20 12–14 = 20 –2

Проиллюстрируем это правило примерами:

(6 0,25 ) 8 = 6 0,25•8 = 6 2 = 36

(9 3/2 ) 2 = 9 (3/2)•2 = 9 3 = 729

(25 4 ) 0,125 = 25 4•0,125 = 25 0,5 = 5

Покажем, как можно применять данное правило:

4 1/6 •16 1/6 = (4•64) 1/6 = 64 1/6 = 2

0,5 1,5 •50 1,5 = (0,5•50) 1,5 = 25 1,5 = 25 1+0,5 = 25 1 •25 0,5 = 25•5 = 125

4,9 0,5 •10 0,5 = (4,9•10) 0,5 = 49 0,5 =7

Это правило можно применять следующим образом:

360 0,5 :10 0,5 = (360:10) 0,5 = 36 0,5 = 6

500 3 :50 3 = (500:50) 3 = 10 3 = 1000

6,25 1/4 :0,01 1/4 = (6,25:0,01) 1/4 = 625 1/4 = 5

Заметим, что степени очень удобны тем, что с их помощью легко упростить работу с корнями, ведь если

то верное и обратное:

То есть любое выражение с корнями в виде степени с рациональным показателем.

Пример. Вычислите значение выражения

Решение. Корней много, поэтому для удобства заменим их степенями

Получили тоже самое выражение, но в более компактном виде. Посчитаем его значение:

(9 1/4 ) 1/5 •3 9/10 = (9 0,25 ) 0,2 •3 0,9 = 9 0,25•0,2 •3 0,9 = 9 0,05 •3 0,9 = (3 2 ) 0,05 •3 0,9 =

=3 2•0,05 •3 0,9 = 3 0,1 •3 0,9 = 3 0,1•0,9 = 3 1 = 3

Пример. Упростите выражение

(81 n+1 – 65•81 n ) 0,25

Решение. Степень 81 n+1 можно представить как произведение:

81 n+1 = 81 n •81 1 = 81•81 n

С учетом этого можно записать:

(81 n+1 – 65•81 n ) 0,25 = (81•81 n – 65•81 n ) 0,25 = (81 n (81 – 65)) 0,25 =

= (81 n •16) 0,25 = 81 0,25 n •16 0,25 = 81 0,25 n •16 1/4 = 2•81 0,25 n

Ответ: 2•81 0,25 n .

Видео:ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Сравнение степеней

Напомним, что из двух корней n-ой степени больше тот, у которого больше подкоренное выражение:

Отсюда следует вывод, что если a 1/ n 1/ n

теперь возведем каждую часть этого неравенства в степень m. Тогда получим неравенство:

Получили, что из двух степеней с одинаковыми показателями меньше та, у которой меньше основание (правила сравнения будем нумеровать, чтобы на них удобнее было ссылаться):

В частности, справедливы следующие неравенства:

Здесь мы рассматривали случаи, когда показатель степени является положительным числом. А что делать, если он отрицательный? Тогда степень следует «перевернуть», воспользовавшись уже известной вам формулой:

a – n = 1/a n = (1/а) n

Пример. Сравните выражения с рациональным показателем степени:

20 –3,14 и 50 –3,14

Решение. Избавимся от знака минус в показателе:

20 –3,14 = (1/20) 3,14 = 0,05 3,14

50 –3,14 = (1/50) 3,14 = 0,02 3,14

Получили две степени с одинаковым и, что принципиально важно, положительным показателем. Из них больше та, у которой больше основание. То есть из неравенства 0,02 3,14 3,14

Это означает, что

Ответ: 50 –3,14 –3,14 .

Особенным является случай, когда показатель степени равен нулю. Напомним, что любое число в нулевой степени (кроме самого нуля) равно единице, а выражение 0 0 не имеет смысл. Это значит, что числа в нулевой степени равны друг другу, даже если у них разные основания:

9,36 0 = 9,37 0 = 1

18,3546 0 = 12,3647 0 = 1

Несколько сложнее сравнивать числа, у которых одинаковые основания, но различные показатели. Здесь возможны три случая – основание либо равно единице, либо больше неё, либо меньше неё.

На основании этого правила можно записать, что:

Единица в любой степени равна самой себе. Поэтому, если у двух чисел в основании записана именно она, то они должны быть равны друг другу:

1 –7,56 = 1 –0,15 = 1 0,236 = 1 521,36 = 1

Осталось рассмотреть случай, когда основание меньше единицы (но всё равно положительное). В таком случае ситуация становится противоположной – чем больше степень, тем меньше число. Проиллюстрируем это на примере. Пусть надо сравнить числа 0,5 7,6 и 0,5 8,9 . Заменим дробь 0,5 так, чтобы вместо нее получилась степень с основанием, большим единицы:

0,5 = 1/2 = 1/(2 1 ) = 2 –1

Итак, 0,5 = 2 –1 . Тогда можно записать, что:

0,5 7,6 = (2 –1 ) 7,6 = 2 –7,6

0,5 8,9 = (2 –1 ) 8,9 = 2 –8,9

Такие числа мы уже умеем сравнивать. Так как

Следовательно, 0,5 7,6 > 0,5 8,9 .

Например, справедливы неравенства:

0,57 15,36 > 0,57 16,47

0,49 0,04 > 0,49 0,05

Рассмотрим чуть более сложное задание на сравнение степеней, где надо использовать одновременно несколько правил.

Пример. Докажите, что

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3

Решение. Напрямую вычислить значение выражений в правой и левой части затруднительно. Однако мы можем усиливать неравенство, чтобы получить более простые выражения.

Усилить неравенство – это значит увеличить его меньшую или уменьшить большую часть. Например, неравенство 10 1/3 :

Также ясно, что 27 1/3 1/3 (правило 1). Усилим исходное неравенство:

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3 (1)

Действительно, если (1) справедливо, то мы можем записать двойное неравенство

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3 1/3

Опустив здесь среднюю часть, получим исходное неравенство. Так как 27 1/3 = 3, мы можем переписать (1) так:

0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 0,8 0,8 (снова используем правило 1). С другой стороны, 0,9 0,8 0,7 (правило 3). Значит, можно записать двойное неравенство:

или просто 0,8 0,8 0,7 . Абсолютно аналогично можно записать, что

Или 0,7 0,8 0,7 . Наконец, в силу правила (3), 0,9 0,9 0,7 . Итак, имеем три неравенства:

Их левые части стоят в (2). Следовательно, можно усилить (2):

0,9 0,7 + 0,9 0,7 + 0,9 0,7 0,7 0,7 0,7 :

Из правила 1 следует, что (4) справедливо. Но мы получили его, усиливая исходное неравенство. Из справедливости более сильного неравенства следует и справедливость более слабого. Следовательно, из справедливости (4) вытекает верность исходного неравенства, которое и надо было доказать.