Видео:Степень числа с рациональным показателем. 11 класс.Скачать
Степень с рациональным показателем
Мы уже знакомы с понятием степени с целым показателем. Давайте разберемся, что такое степень с рациональным показателем.
Рациональный показатель – это выражение вида (frac
), где (p)-некоторое целое число, а (q) – натуральное число, причем (qge2).
Положительное число (a) в рациональной степени (frac
) является арифметическим корнем степени (q) из числа (a) в степени (p):
Обращаем ваше внимание, что
Неважно в каком порядке – сначала извлечь корень или возвести в степень, от этого смысл выражения не теряется. Как удобнее, так и считайте.
Пусть есть некоторое положительное число (a) и целое число (p), тогда справедливы следующие соотношения:
где (k) и (q) – натуральные числа большие 1.
Давайте попробуем их доказать:
Из определения степени с рациональным показателем следует, что:
Опять из определения и свойства корня n-й степени следует:
Третья формула на наш взгляд очевидна, просто сократить степень справа и получите исходное выражение.
Видео:СТЕПЕНИ с рациональным показателям СТЕПЕНИ с действительным показателямСкачать
Свойства степени с рациональным показателем
Пусть (a) и (b) – некоторые положительные числа, а числа (m) и (n) – рациональные числа. Тогда выполняются соотношения:
При умножении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели степени складываются.
При делении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели степени вычитаются.
При возведении степени с рациональным показателем в степень с рациональным показателем их показатели перемножаются.
Степень с рациональным показателем от произведения двух положительных чисел равна произведению степеней этих множителей.
Степень с рациональным показателем от частного двух положительных чисел равна частному степеней этих чисел.
И еще два очень важных свойства степеней. Они вам понадобятся при решении показательных уравнений и неравенств.
Пусть опять есть некоторое положительное число (a>1) и рациональные числа (n) и (m).
При (n gt 0) (a^n gt 1),
При (n lt 0) (0 lt a^n lt 1).
Если же (a gt 1) и (n gt m), то
Если ( 0 lt a lt 1 ) и (n gt m), то
Разберем несколько примеров:
Так как основание степени больше единицы (3 gt 1) и (frac lt frac).
Так как (0 lt frac lt 1) и (frac lt frac)
Описание урока
От успешной сдачи государственного экзамена по математике зависит поступление в высшее учебное заведение. Степень с рациональным показателем – важная тема, изучение которой необходимо для успешной подготовки к ЕГЭ. От того, насколько хорошо она освоена, зависит в будущем, насколько легко будет решать уравнения и производить более сложные операции с числами. Задание номер 15 строится на умении работать с такими степенями. Чтобы понимать, о чём идёт речь, стоит ознакомиться с определением степени с рациональным показателем и её основными свойствами, которые пригодятся и при работе с функциями.
Степенью числа А, рациональный показатель которого равен p делённому на q, называют выражение, где под корнем степени q находится возведённое в степень p число A. Чтобы более наглядно рассмотреть это явление, разберём пример. Допустим, число 3 возводится в степень 2/4. Тогда изначальное выражение приобретёт следующий вид: корень четвертой степени от 3 в квадрате. 3 во второй степени — 9. Корень четвертой степени из 9 сложно рассчитать без помощи калькулятора, но существуют примеры, где корень n-ой степени из подкоренного выражения легко извлекается.
Важно запомнить, что число А не должно быть меньше 0, а число q не равно 1.
Свойства степени с рациональным показателем
Знание свойств степеней с показателем, равным рациональному числу, облегчает работу с уравнениями и функциями, где содержатся такие выражения. Внимательно их изучив, можно достаточно быстро выполнять задания, что немаловажно в процессе написания ЕГЭ.
Одно из основных свойств: произведение двух степеней с одинаковым основанием равно основанию в степени, равной сумме степеней двух множителей.
При делении степеней с рациональным показателем из показателя делимого вычитают показатель делителя. У степени с рациональным показателем есть и другие свойства, которые также присущи степени с обыкновенным показателем. Их легко запомнить, а чтобы примеры помогли внимательнее рассмотреть свойства, посмотрите видео, в котором о них рассказывается подробнее.
Видео:Степень с рациональным показателем. Алгебра, 9 классСкачать
1. Показательные уравнения. Понятие и свойства степени с рациональным показателем
Теория:
Поэтому запись − 7 1 5 не имеет смысла.
Если p q — обыкновенная дробь ( q ≠ 1 ) и a > 0 , то под a − p q понимают 1 a p q , т. е. a − p q = 1 a p q , a > 0 .
1. 3 − 1 2 = 1 3 1 2 = 1 3 ;
2. 7 − 5 4 = 1 7 5 4 = 1 7 5 4 .
Справедливы следующие свойства (предполагаем, что a > 0 , b > 0, s , t — произвольные рациональные числа):
Можно выделить три основных метода решения показательных уравнений, которые приводятся в следующих теоретических материалах данного раздела.
Видео:ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать
Алгебра
План урока:
Видео:Степень числа с рациональным показателем. Практическая работа. 11 класс.Скачать
Степень с рациональным показателем
Напомним, что в 7 классе мы впервые познакомились с понятием степени, причем тогда рассматривались случаи, когда показателем степени является натуральное число. В 8 классе понятие степени было расширено, теперь в него включались случаи, когда показатель являлся целым числом. Настоятельно рекомендуем перечитать соответствующие уроки. Сегодня же мы можем сделать ещё один шаг вперед и рассмотреть степени с рациональными показателями.
При расширении понятия степени важно обеспечить то, чтобы уже известные правила работы с целыми степенями работали и для дробных показателей. Одно из свойств степеней выглядит так:
Подставим в эту формулу следующие значения переменных:
Мы специально выбрали эти числа такими, чтобы произведение mn равнялось единице:
Подставляем эти значения:
(3 1/6 ) 6 = 3 1/6 • 6 = 3 1 = 3
Однако по определению корня n-ой степени число, дающее при возведении в шестую степень тройку, является корнем шестой степени из трех. То есть можно записать:
С помощью подобных преобразований нам удалось указать, чему равно число, возведенное в дробную степень. Аналогично можно показать, что для любого а > 0 справедлива формула:
Действительно, если возвести левую часть в n-ую степень, то получим:
(а 1/ n ) n = a 1/ n • n = a
Значит, по определению корня n-ой степени
Ограничение а > 0 необходимо для того, чтобы не рассматривать случаи, когда подкоренное выражение является отрицательным.
Продолжим наши рассуждения. Чему будет равна степень а m / n ? Ясно, что дробь m/n можно представить в виде:
C учетом этого выполним преобразование:
В результате несложных преобразований нам удалось получить формулу, позволяющую возводить число в степень, у которой рациональный показатель!
Приведем несколько примеров вычисления дробных степеней:
Часто при вычислениях удобнее сначала извлечь корень из числа, а потом полученный результат возвести в степень:
Напомним, что одну и ту же дробь можно представить разными способами, например:
1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 0,5
Возникает вопрос – изменится ли значение дробной степени, если мы приведем дробь к новому знаменателю? Очевидно, что нет, но всё же убедимся в этом на примере. Сначала возведем в степень 1/2 число 25:
Теперь заменим дробь 1/2 на идентичную ей дробь 2/4:
Результат не изменился. В общем случае есть смысл максимально сократить дробь перед вычислением, чтобы избежать операций с большими числами. Особенно это касается десятичных дробей. Например, пусть необходимо вычислить значение выражения 81 0,25 . По определению десятичной дроби можно записать, что 0,25 = 25/100. Тогда вычислить 81 0,25 можно так:
Согласитесь, возводить число 81 в 25-ую степень не очень легко! Поэтому поступим иначе. Сократим дробь 25/100:
0,25 = 25/100 = 25/(25•4) = 1/4
Теперь вычисления будет более простыми:
Вообще легко запомнить, что 0,25 = 1/4, а 0,5 = 1/2. Замена десятичных дробей обыкновенными дробями сильно упрощает вычисления. Приведем примеры:
Видео:Показательные уравнения. 11 класс.Скачать
Свойства дробных степеней и операции с ними
Когда мы изучали степени с целыми показателями, мы выяснили, что правила работы с ними ничем не отличаются от правил работы со степенями с натуральным показателем. Оказывается, эти же правила работают и для степеней с рациональным показателем. Сформулируем основные свойства дробных степеней.
Например, справедливы следующие действия:
5 0,5 •5 2,5 = 5 0,5 + 2,5 = 5 3 = 125
19 5/3 •19 1/3 = 19 5/3 + 1/3 = 19 2 = 361
29,36 –0,37 •29,36 1,37 = 29,36 –0,37 + 1,37 = 29,36 1 = 29,36
Вот несколько примеров подобных вычислений:
17 4,5 :17 3,5 = 17 4,5–3,5 = 17 1 = 1
4 9,36 :4 6,36 = 4 9,36–6,36 = 4 3 = 64
20 12 :20 14 = 20 12–14 = 20 –2
Проиллюстрируем это правило примерами:
(6 0,25 ) 8 = 6 0,25•8 = 6 2 = 36
(9 3/2 ) 2 = 9 (3/2)•2 = 9 3 = 729
(25 4 ) 0,125 = 25 4•0,125 = 25 0,5 = 5
Покажем, как можно применять данное правило:
4 1/6 •16 1/6 = (4•64) 1/6 = 64 1/6 = 2
0,5 1,5 •50 1,5 = (0,5•50) 1,5 = 25 1,5 = 25 1+0,5 = 25 1 •25 0,5 = 25•5 = 125
4,9 0,5 •10 0,5 = (4,9•10) 0,5 = 49 0,5 =7
Это правило можно применять следующим образом:
360 0,5 :10 0,5 = (360:10) 0,5 = 36 0,5 = 6
500 3 :50 3 = (500:50) 3 = 10 3 = 1000
6,25 1/4 :0,01 1/4 = (6,25:0,01) 1/4 = 625 1/4 = 5
Заметим, что степени очень удобны тем, что с их помощью легко упростить работу с корнями, ведь если
то верное и обратное:
То есть любое выражение с корнями в виде степени с рациональным показателем.
Пример. Вычислите значение выражения
Решение. Корней много, поэтому для удобства заменим их степенями
Получили тоже самое выражение, но в более компактном виде. Посчитаем его значение:
(9 1/4 ) 1/5 •3 9/10 = (9 0,25 ) 0,2 •3 0,9 = 9 0,25•0,2 •3 0,9 = 9 0,05 •3 0,9 = (3 2 ) 0,05 •3 0,9 =
=3 2•0,05 •3 0,9 = 3 0,1 •3 0,9 = 3 0,1•0,9 = 3 1 = 3
Пример. Упростите выражение
(81 n+1 – 65•81 n ) 0,25
Решение. Степень 81 n+1 можно представить как произведение:
81 n+1 = 81 n •81 1 = 81•81 n
С учетом этого можно записать:
(81 n+1 – 65•81 n ) 0,25 = (81•81 n – 65•81 n ) 0,25 = (81 n (81 – 65)) 0,25 =
= (81 n •16) 0,25 = 81 0,25 n •16 0,25 = 81 0,25 n •16 1/4 = 2•81 0,25 n
Ответ: 2•81 0,25 n .
Видео:✓ Про степень с действительным показателем | В интернете опять кто-то неправ #005 | Борис ТрушинСкачать
Сравнение степеней
Напомним, что из двух корней n-ой степени больше тот, у которого больше подкоренное выражение:
Отсюда следует вывод, что если a 1/ n 1/ n
теперь возведем каждую часть этого неравенства в степень m. Тогда получим неравенство:
Получили, что из двух степеней с одинаковыми показателями меньше та, у которой меньше основание (правила сравнения будем нумеровать, чтобы на них удобнее было ссылаться):
В частности, справедливы следующие неравенства:
Здесь мы рассматривали случаи, когда показатель степени является положительным числом. А что делать, если он отрицательный? Тогда степень следует «перевернуть», воспользовавшись уже известной вам формулой:
a – n = 1/a n = (1/а) n
Пример. Сравните выражения с рациональным показателем степени:
20 –3,14 и 50 –3,14
Решение. Избавимся от знака минус в показателе:
20 –3,14 = (1/20) 3,14 = 0,05 3,14
50 –3,14 = (1/50) 3,14 = 0,02 3,14
Получили две степени с одинаковым и, что принципиально важно, положительным показателем. Из них больше та, у которой больше основание. То есть из неравенства 0,02 3,14 3,14
Это означает, что
Ответ: 50 –3,14 –3,14 .
Особенным является случай, когда показатель степени равен нулю. Напомним, что любое число в нулевой степени (кроме самого нуля) равно единице, а выражение 0 0 не имеет смысл. Это значит, что числа в нулевой степени равны друг другу, даже если у них разные основания:
9,36 0 = 9,37 0 = 1
18,3546 0 = 12,3647 0 = 1
Несколько сложнее сравнивать числа, у которых одинаковые основания, но различные показатели. Здесь возможны три случая – основание либо равно единице, либо больше неё, либо меньше неё.
На основании этого правила можно записать, что:
Единица в любой степени равна самой себе. Поэтому, если у двух чисел в основании записана именно она, то они должны быть равны друг другу:
1 –7,56 = 1 –0,15 = 1 0,236 = 1 521,36 = 1
Осталось рассмотреть случай, когда основание меньше единицы (но всё равно положительное). В таком случае ситуация становится противоположной – чем больше степень, тем меньше число. Проиллюстрируем это на примере. Пусть надо сравнить числа 0,5 7,6 и 0,5 8,9 . Заменим дробь 0,5 так, чтобы вместо нее получилась степень с основанием, большим единицы:
0,5 = 1/2 = 1/(2 1 ) = 2 –1
Итак, 0,5 = 2 –1 . Тогда можно записать, что:
0,5 7,6 = (2 –1 ) 7,6 = 2 –7,6
0,5 8,9 = (2 –1 ) 8,9 = 2 –8,9
Такие числа мы уже умеем сравнивать. Так как
Следовательно, 0,5 7,6 > 0,5 8,9 .
Например, справедливы неравенства:
0,57 15,36 > 0,57 16,47
0,49 0,04 > 0,49 0,05
Рассмотрим чуть более сложное задание на сравнение степеней, где надо использовать одновременно несколько правил.
Пример. Докажите, что
0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3
Решение. Напрямую вычислить значение выражений в правой и левой части затруднительно. Однако мы можем усиливать неравенство, чтобы получить более простые выражения.
Усилить неравенство – это значит увеличить его меньшую или уменьшить большую часть. Например, неравенство 10 1/3 :
Также ясно, что 27 1/3 1/3 (правило 1). Усилим исходное неравенство:
0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3 (1)
Действительно, если (1) справедливо, то мы можем записать двойное неравенство
0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 1/3 1/3
Опустив здесь среднюю часть, получим исходное неравенство. Так как 27 1/3 = 3, мы можем переписать (1) так:
0,9 0,9 + 0,8 0,8 + 0,7 0,7 0,8 0,8 (снова используем правило 1). С другой стороны, 0,9 0,8 0,7 (правило 3). Значит, можно записать двойное неравенство:
или просто 0,8 0,8 0,7 . Абсолютно аналогично можно записать, что
Или 0,7 0,8 0,7 . Наконец, в силу правила (3), 0,9 0,9 0,7 . Итак, имеем три неравенства:
Их левые части стоят в (2). Следовательно, можно усилить (2):
0,9 0,7 + 0,9 0,7 + 0,9 0,7 0,7 0,7 0,7 :
Из правила 1 следует, что (4) справедливо. Но мы получили его, усиливая исходное неравенство. Из справедливости более сильного неравенства следует и справедливость более слабого. Следовательно, из справедливости (4) вытекает верность исходного неравенства, которое и надо было доказать.
📽️ Видео
Алгебра 10 класс (Урок№17 - Степень с рациональным и действительным показателем.)Скачать
Степени с рациональным показателемСкачать
Степень с рациональным и действительным показателем. Теория. Видеоурок 4. Алгебра 10 классСкачать
10 класс. Математика. Степень с рациональным показателем. Свойства степени с рациональным показателеСкачать
Степень с рациональным показателем | степень с действительным показателем | 10 класс АлимовСкачать
Степень числа с иррациональным показателем. 11 класс.Скачать
Степень с рациональным показателем | Алгебра 9 класс #11 | ИнфоурокСкачать
11 класс, 8 урок, Понятие степени с любым рациональным показателемСкачать
СТЕПЕНЬ с рациональным показателем 9 КЛАСС алгебраСкачать
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СТЕПЕНЬ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. ФУНКЦИЯ y=к/x. Контрольная №3 8 классСкачать
Степень с рациональным и действительным показателемСкачать
Упрощение выражения, содержащего степени с рациональными показателями. 10 класс. КонсультацияСкачать
Понятие степени с рациональным показателем.Скачать
