Решение уравнений кирхгофа в маткаде (8 видео)

Решение электротехнических задач в Mathcad

В электротехнических расчетах встречается широкий спектр задач ограниченной сложности, для решения которых можно использовать универсальные средства. К таким задачам относятся следующие:

1) подготовка научно-технических документов, содержащих текст и формулы,

записанные в привычной для специалистов форме;

2) вычисление результатов математических операций, в которых частвуют числовые константы, переменные и размерные физические величины;

3) операции с векторами и матрицами;

4) решение уравнений и систем уравнений (неравенств);

5) статистические расчеты и анализ данных;

6) построение двумерных и трехмерных графиков;

7) тождественные преобразования выражений (в том числе упрощение),

аналитическое решение уравнений и систем;

8) дифференцирование и интегрирование, аналитическое и численное;

9) решение дифференциальных уравнений;

10) проведение серий расчетов с разными значениями начальных условий и других параметров.

Научно-технические документы, содержащие электротехнические расчеты, обычно содержат формулы, результаты расчетов в виде таблиц данных или графиков, текстовые комментарии или описания, другие иллюстрации. В программе MathCad [1, 2, 3] им соответствуют два вида объектов: формулы и текстовые блоки. Формулы вычисляются с использованием числовых констант, переменных, функций (стандартных и определенных пользователем), а также общепринятых обозначений математических операций. Введенные в документ MathCad формулы автоматически приводятся к стандартной научно-технической форме записи.

Графики, которые автоматически строятся на основе результатов расчетов, также рассматриваются как формулы. Комментарии, описания и иллюстрации размещаются в текстовых блоках, которые игнорируются при проведении расчетов.

Чтобы буквенные обозначения можно было использовать при расчетах по формулам, этим обозначениям должны быть сопоставлены числовые значения. В программе MathCad буквенные обозначения рассматриваются как переменные, и их значения задаются при помощи оператора присваивания (вводится символом «:»). Таким же образом можно задать числовые последовательности, аналитически определенные функции, матрицы и векторы.

Если все значения переменных известны, то для вычисления числового

значения выражения (скалярного, векторного или матричного) надо подставить все числовые значения и произвести все заданные действия. В программе MathCad для этого применяют оператор вычисления (вводится символом «=»). В ходе вычисления автоматически используются значения переменных и определения функций, заданные в документе ранее. Удобно задать значения известных параметров, провести вычисления с использованием аналитических формул, результат присвоить некоторой переменной, а затем использовать оператор вычисления для вывода значения этой переменной. Например:

Изменение значения любой переменной, коррекция любой формулы, означает, что все расчеты, зависящие от этой величины, необходимо проделать заново. Такая необходимость возникает при выборе подходящих значений параметров или условий, поиске оптимального варианта, исследовании зависимости результата от начальных условий. Электронный документ, подготовленный в программе MathCad, готов к подобной ситуации. При изменении какой-либо формулы программа автоматически производит необходимые вычисления, обновляя изменившиеся значения и графики. Например, если документ содержит

формулы n:= 9; √n =3 , то, изменив значение переменной n, мы сразу же увидим, что изменился и результат расчета: n:= 25; √n =5.

При проведении расчетов с использованием реальных физических величин учитывают их размерность. Чтобы расчет был корректен, все данные должны быть приведены в одну систему единиц — в этом случае результат расчетов получится в этой же системе. Здесь скрывается характерный источник ошибок при расчетах вручную. В программе MathCad единицы измерения (в любой системе) присоединяют к значению величины с помощью знака умножения. Данные автоматически преобразуются в одну и ту же систему единиц (по

умолчанию СИ) и обрабатываются в этом виде. Размерный результат выдается вместе с полученной единицей измерения. Например:

v:= 100⋅kph t:= 0.5⋅yr (kph — километры в час, yr — годы),

s:=v⋅t s= 4.383⋅10 8 m (результат получен в метрах).

При работе с матрицами приходится применять такие операции, как сложение матриц, умножение, транспонирование. Часто возникает необходимость в обращении матриц и в декомпозиции (разложении в произведение матриц специального вида). Программа MathCad позволяет выполнить все эти операции с помощью стандартных обозначений математических операторов (сложение, умножение) или встроенных функций.

Уравнения и системы уравнений, возникающие в практических задачах,

обычно можно решить только численно. Методы численного решения

реализованы и в программе MathCad. Блок уравнений и неравенств, требующих решения, записывается после ключевого слова ‘given’ (дано). При записи уравнений используется знак логического равенства (комбинация клавиш ‘CTRL+=’). Значения переменных, удовлетворяющие системе уравнений и неравенств, находятся с помощью стандартной функции ‘find’. Например:

find(x,y)=

При обработке результатов экспериментов часто встречаются задачи

статистического анализа серий данных. Для такого рода задач программа MathCad предоставляет средства интерполяции данных, предсказания дальнейшего поведения функции, а также построения функций заданного вида, наилучшим образом соответствующих имеющемуся набору данных. При статистическом анализе можно также использовать стандартные функции распределения вероятности и генераторы случайных величин с заданным распределением.

При аналитических вычислениях результат получают в нечисловой форме в результате тождественных преобразований выражений. Простейшие преобразования — это раскрытие скобок, приведение подобных членов, применение тригонометрических тождеств.

Более сложные преобразования позволяют находить аналитические решения некоторых уравнений и систем. Для такого рода вычислений в программе MathCad используют оператор аналитического вычисления (клавиатурная комбинация ‘CTRL+’), а также команды меню Symbolics (Аналитические вычисления). Переменные при аналитических вычислениях рассматриваются как неопределенные параметры. Результат можно использовать для анализа решения при различных значениях этих переменных. При аналитическом решении уравнений и систем за одну операцию можно найти все существующие решения.

Дифференцирование и интегрирование заданных функций вручную — обычно несложная, но трудоемкая операция. В программе MathCad для вычисления производной, а также неопределенных и определенных интегралов могут использоваться символические вычисления с помощью меню Symbolics — Variable (Аналитические вычисления — Переменная). Если функция не задана аналитически или не позволяет получить первообразную в виде формулы, имеется возможность численного дифференцирования и численного расчета определенных интегралов.

Численные методы используют и для решения дифференциальных уравнений. С помощью программы MathCad можно решать уравнения и системы уравнений первого порядка с заданными начальными условиями. Уравнение более высокого порядка надо сначала преобразовать в систему уравнений первого порядка.

Анализ задач в электротехнике сводится к решению систем уравнений (линейных, нелинейных, дифференциальных) составленных по законам Кирхгофа. Основной недостаток уравнений Кирхгофа заключается атом ,что необходимо решать системы уравнений большого порядка. Традиционно системы уравнений записанных по законам Кирхгофа сводили к уравнения меньшего порядка на основании методов, например: метод контурных токов, метод узловых напряжений, метод эквивалентных преобразований и т.д.

Но если использовать пакеты прикладных программ (Mathcad, MatLab и др.), можно анализ электротехнических задач свети к решению уравнений записанных по законам Кирхгофа, как в численном так и символьном виде.

Далее представлены примеры расчетных решений.

2.1. Электрическая цепь постоянного тока с одним источником питания

При расчете электрических цепей постоянного тока с одним источником питания часто необходимо проводить вычисления, связанные с нахождением эквивалентного сопротивления цепи, с определением токов во всех ветвях цепи и напряжений на источнике и на каждом приемнике отдельно.

Рассмотрим пример расчета электрической цепи, представленной на рис. 2 с помощью программы MathCad. Приемы работы в программе MathCad, используемые в данной примере, рассмотрены в главе 1.1.

Из условия задачи известны величина ЭДС аккумуляторной батареи E, ее внутреннее сопротивление R₀ и сопротивления приемников R₁, R₂, R₃. На первом этапе расчета определяем эквивалентное сопротивление цепи Rc, воспользовавшись правилами последовательного и параллельного соединения пассивных элементов цепи. Затем, используя законы Ома для участка цепи, а также закон Кирхгофа для замкнутого контура, рассчитываем токи во всех ветвях цепи I, I₁, I₂ и напряжения на отдельных участках U, U₁₂, U₃. Расчет представлен на рис. 3.

Значения исходных величин могут быть изменены, представленные формулы могут быть скорректированы в зависимости от характера электрической цепи, однако возможности программы MathCad позволяют автоматически производить необходимые вычисления, обновляя изменившиеся значения.

Рис. 2. Электрическая цепь с одним источником питания

Рис. 3. Расчет электрической цепи с одним источником

2.2. Расчет однофазных цепей синусоидального тока

Существует несколько методов расчета однофазных цепей синусоидального тока, например: графоаналитический, комплексный (символический) и другие. При проведении электротехнических расчетов разветвленных и неразветвленных цепей переменного тока удобно использовать все известные методы анализа цепей постоянного тока. В этом случае применяется комплексный метод расчета.

С помощью средств программы MathCad возможно производить расчеты, используя величины, выраженные в комплексном виде. Особенностью формы записи комплексных чисел в программе MathCad является следующее: при вводе комплексных чисел нельзя использовать i или j сами по себе, необходимо всегда печатать Ii или Ij. В MathCad существуют следующие специальные функции и операторы для работы с комплексными числами:

Re (z) — вещественная часть;

Im(z) — мнимая часть;

arg(z) — угол в комплексной плоскости между вещественной осью и z.

Возвращает результат между –π и π радиан;

|z| — модуль z. Чтобы записать модуль от выражения, заключите его в выделяющую рамку и нажмите клавишу с вертикальной полосой |.

z — число, комплексно сопряженное к z. Чтобы применить к выражению оператор сопряжения, выделите выражение, затем нажмите двойную кавычку (“).

На рис. 7 представлен пример перевода из алгебраической формы записи комплексного числа в показательную форму и обратно, что необходимо при выполнении электротехнических расчетов цепей переменного тока.

Приведем пример расчета сложной цепи переменного тока, представленной на рис. 8. Исходными данными для задачи являются величины сопротивлений и напряжения на входе схемы. Расчет цепи произведем поэтапно. Сначала рассчитаем проводимости параллельного участка цепи, затем полное сопротивление цепи. Этот расчет представлен на рис. 9.

Рис. 7. Представление комплексного числа в показательной и алгебраической форме

Рис. 8. Схема электрической цепи синусоидального тока

Рис. 9. Расчет проводимостей и сопротивлений цепи

Воспользовавшись полученными данными, определим все токи и напряжения в цепи, используя законы Ома и Кирхгофа для цепей переменного тока. Расчет токов и напряжений представлен на рис. 10.

На следующем этапе расчета цепи определим активные, реактивные и полные мощности источника и всех приемников, произведем расчет баланса мощностей. Данные расчета показаны на рис. 11. Сравниваем значения Sс (полная мощность источника синусоидального тока) и S (полная мощность всех приемников цепи) и убеждаемся в том, что баланс мощностей «сошелся». Это означает, что задача решена верно.

Рис. 10. Расчет токов и напряжений

Рис. 11. Баланс мощностей

На последнем этапе расчета проверяем выполнение первого и второго законов Кирхгофа для цепей синусоидального тока. Этот этап расчета представлен на рис. 12. На рис. 12 величина I — это ток во всей цепи. Сравниваем ее с Iл и убеждаемся, первый закон Кирхгофа для узла цепи синусоидального тока выполняется. Подтверждение второго закона Кирхгофа наблюдаем при сравнении двух величин: U — напряжение источника тока и Uс — напряжение сети.

Рис. 12. Расчет токов и напряжений с помощью первого и второго законов Кирхгофа для цепей синусоидального тока

Таким образом, с помощью средств программы MathCad произведен расчет сложной цепи синусоидального тока.

2.3. Машины постоянного тока

При расчете машин постоянного тока часто необходимо рассчитывать и строить механические характеристики машины. Возможность построения различных графиков является одной из функции программы MathCad. Правила построения графиков в MathCad описаны в главе 1.2.7.

На примере двигателя постоянного тока параллельного возбуждения построим естественную и искусственные механические характеристики в одной системе координат. Электрическая схема двигателя показана на рис. 13. Двигатель постоянного тока параллельного возбуждения с номинальным напряжением 220 В имеет номинальную мощность Рн, номинальную частоту вращения nн, номинальный КПД ηн и сопротивления обмоток якоря Rя, возбуждения — Rв.

Рис. 13. Электрическая схема двигателя постоянного тока параллельного возбуждения

Для построения механических характеристик рассчитываем параметры двигателя в номинальном режиме. Расчеты представлены на рис. 14. После этого, указав диапазон изменения момента, записываем уравнения стественной n=f(M) и искусственных n1=f(M) (в якорную цепь добавлен пусковой реостат Rп для ограничения пускового тока до 2Iян), n2=f(M) (регулирование частоты вращения двигателя путем ослабления поля за счет введения резистора в цепь возбуждения до 0,7Фн), n3=f(M) (регулирование частоты вращения двигателя путем понижения на 15% подведенного к обмотке якоря напряжения при номинальной нагрузке) характеристик, как показано на рис. 15. На рис. 16 представлено семейство механических характеристик для двигателя постоянного тока араллельного возбуждения, построенные средствами программы MathCad.

Рис. 14. Расчет параметров двигателя в номинальном режиме

Рис. 15. Уравнения механических характеристик двигателя постоянного тока параллельного возбуждения

Рис. 16. Семейство механических характеристик двигателя постоянного тока

\|	следующая лекция ==>
Структура стандартов IEEE 802.X. Виды локальных сетей, протоколы HDLC, PPP	\|	Тема 2. Методы колебательной спектроскопии. Спектроскопия комбинационного рассеяния (рамановская).

Дата добавления: 2017-09-19 ; просмотров: 5289 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Видео:Решение задачи. Расчет электрической цепи по законам КирхгофаСкачать

Решение задачи на переходные процессы с применением MathCad

Условие задачи см тут.

Найти токи и напряжения на пассивных элементах

Составляем схему замещения

Схема после замещения

По законам Кирхгофа составляем систему уравнений для схемы замещения

Делаем подстановку и решаем относительно I(p)

Для решения системы уравнений требуется задать значения искомых величин

Находим решение встроенной функцией mathcad:

Т.о. нашли токи I, I1 и I2 (копируем их из выражения выше):

Проводим обратное преобразование Лапласа с помощью встроенной функции invlaplace:

Упрощаем получившиеся решения с помощью встроенной функции symplify

Оцениваем получившиеся решения (в первую очередь сравниваем с начальными и конечными условиями):

Видео:Урок 4. Расчет цепей постоянного тока. Законы КирхгофаСкачать

Решение уравнений кирхгофа в маткаде

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Глазовский государственный педагогический институт

ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ

Майер, Р.В. Решение физических задач с помощью пакета MathCAD [Электронный ресурс] / Р.В.Майер. — Глазов: ГГПИ, 2006. — 37 c.

В краткой форме рассмотрены некоторые способы решения физических задач с помощью математического пакета MathCAD. Показаны методы рассчета электрических цепей постоянного тока, однофазных и трехфазных цепей переменного тока, колебательных систем, переходных процессов, способы разложения функций в ряд Фурье и проведения спектрального анализа. Приведены примеры использования комплексных чисел, решения дифференциальных уравнений, построения графиков. Для студентов высших учебных заведений.

Компьютерное моделирование, проведение вычислительного эксперимента является одним из современных методов исследования физических явлений. Он имеет свои особенности, преимущества и недостатки по сравнению с другими методами изучения физических систем. Совершенно очевидно, что студенты высших учебных заведений должны иметь представления о компьютерных моделях, численных методах изучения различных объектов познания, достаточно свободно ориентироваться в современных программных продуктах. Современный персональный компьютер позволяет за несколько секунд решить сложную систему уравнений, построить график изучаемой зависимости, промоделировать трудновоспроизводимый эксперимент.

Важным уровнем овладения методами вычислительной математики и физики является самостоятельное написание студентами различных компьютерных программ на алгоритмических языках программирования Basic, Pascal, Visual Basic, Delphi. Создавая подобные компьютерные модели «с нуля», работая с исходным кодом программы, студент глубже понимает конкретные способы обработки информации, методы программирования.

С другой стороны необходимо уметь работать с современными математическими пакетами, различными системами компьютерной математики. К ним относится пакет MathCAD — достаточно распространенная система автоматического проектирования (САПР), в которой объединены редактор документов, системный интегратор, центр ресурсов, электронные книги, справочная система, броузер Интернета. Пакет MathCAD имеет мощный математический аппарат, позволяющий выполнять символьные вычисления, решать системы алгебраических и дифференциальных уравнений, операции с векторами и матрицами, писать программы, строить графики и поверхности, и т.д.

Основы работы в MathCAD подробно изложены в соответствующей литературе и в настоящей работе не рассматриваются. В предлагаемом пособии проанализированы некоторые типы задач общего курса физики, которые могут быть решены средствами MathCAD и позволяют сформировать представления о возможностях использования этого математического пакета при изучении физики.

1. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ

С УЧЕТОМ СИЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ

Задача 1. Тело бросили под углом к горизонту в однородном поле тяжести. Начальные координаты и скорость тела, коэффициент сопротивления воздуха известны. Напишите дифференциальные уравнения и построить траекторию движения тела.

Из второго закона Ньютона:

Решение этой системы уравнений — в документе 01.mcd.

Задача 2. Исследуйте движение тела в поле тяжести при других начальных условиях. Докажите, что из—за силы сопротивления воздуха время подъема меньше времени спуска на тот же уровень. Для этого достаточно проанализировать график y=y(t).

Задача 3. Вычислите скорость и ее проекции на оси в данный момент времени времени. Найдите нормальное и тангенциальное ускорение, радиус кривизны траектории. Когда ускорение тела больше g?

2. ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Задача 5. Цепь состоит из нескольких ветвей, в каждой из которых находится источник ЭДС и резистор (рис.1). Необходимо рассчитать цепь, то есть определить токи во всех ее ветвях.

Из законов Кирхгофа получаем систему уравнений:

Для решения этой системы уравнений запишем матрицу:

Левую часть матрицы, содержащую коэффициенты при токах I_i, обозначим через A, а правую — через B. Чтобы получить матрицу токов в MathCAD используется оператор TOK:=A -1 · B. Решение задачи представлено в документе 03.mcd.

Задача 6. Рассчитайте цепь, состоящую из нескольких источников ЭДС и резисторов, и составьте баланс мощностей.

3. ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Задача 7. Цепь состоит из источника переменной ЭДС и трех ветвей, в каждой из которых резистор, конденсатор и катушка индуктивности. Вторая и третья ветви соединены параллельно между собой, последовательно с ними включена первая ветвь. Рассчитайте все токи и напряжения, полную, активную и реактивную мощности. Постройте векторную диаграмму. Определите действующие значения всех токов и напряжений.

Импеданс k—ой ветви, содержащей последовательно соединенные резистор r_k, конденсатор C_k и катушку индуктивности L_k, равен:

Если ветви 2 и 3 соединены параллельно, а ветвь 1 — последовательно с ними, то импеданс цепи:

Неизвестные токи и напряжения найдем из закона Ома:

Это позволяет построить векторную диаграмму цепи, рассчитать комплекс полной мощности. Решение задачи представлено в файле 04.mcd.

Задача 8. Добавьте к предыдущей цепи четвертую ветвь параллельно источнику. Величины сопротивления, емкости и индуктивности подберите сами. Рассчитайте цепь, постройте векторную диаграмму.

Задача 9. Решите задачу 7 для случая, когда первая и третья ветви состоят их резистора, конденсатора и катушки индуктивности, соединенных параллельно. Постройте векторную диаграмму.

4. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

Задача 10. Имеется четырехпроводная трехфазная цепь с несимметричной нагрузкой. Определите комплексы токов во всех линейных и нейтральном проводах, их модули, вычислите мощность, постройте векторные диаграммы.

Из законов Кирхгофа получаем систему:

Для ее решения создают две матрицы A и B, затем получают третью матрицу TOK:=A -1 · B, элементами которой являются комплексы токов (документ 05.mcd). Их модули равны действующим значениям токов.

Задача 11. Рассчитайте четырехпроводную трехфазную цепь с несимметричной нагрузкой, каждая фаза которой содержит резистор, конденсатор, катушку индуктивности, соединенные смешанно.

Задача 12. Рассчитайте трехфазную цепь с несимметричной нагрузкой, соединенной треугольником. Каждая фаза нагрузки содержит резистор, конденсатор, катушку индуктивности, соединенные смешанно.

Задача 13. Фазоуказатель состоит из конденсатора и двух одинаковых лампочек, соединенных звездой без нейтрали. Какая из лампочек будет гореть ярче, если конденсатор находится в фазе A?

5. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Задача 14. Имеется идеальная колебательная система. Ее вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе. Получите график колебательного движения и фазовую кривую.

Решение дифференциального уравнения незатухающих колебаний:

представлено в документе 06.mcd.

Задача 15. Тело, подвешенное на пружине, совершает гармонические колебания x(t)=Asin(ωt+φ). Средствами MathCAD продифференцируйте эту зависимость, постройте графики зависимости кинетической и потенциальной энергии от времени (07.mcd).

Задача 16. Двойной маятник состоит из подвешенной на нити длиной L₁ материальной точки m₁, к которой с помощью нити длиной L₂ подвешена материальная точка m₂. Изучите зависимость потенциальной энергии от углов α и β, которые образуют нити с вертикалью.

Маятник движется в одной вертикальной плоскости, система имеет две степени свободы. Ее потенциальная энергия равна:

В файле 08.mcd построена поверхность U=U(α,β), характеризующая зависимость потенциальной энергии от координат маятника. Видно, что значениям α=π и β=0 соответствует седлообразное положение равновесия: потенциальная энергия по координате α достигает максимума, а по координате β — минимума.

Задача 17. Последовательный колебательный контур, состоящий из резистора, конденсатора и катушки индуктивности, подключен к источнику переменного напряжения регулируемой частоты. Постройте график зависимости тока, напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности, сдвига колебаниями тока и напряжения питания от частоты.

Полное сопротивление колебательного контура и сдвиг фаз между колебаниями тока и напряжения:

Ток в контуре равен I=U/z. Решение задачи — в документе 09.mcd.

6. АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Задача 18. Исследуйте автоколебательную систему, в которой один раз за период осциллятору сообщается энергия (действует постоянная сила). Постройте график колебаний и фазовую траекторию.

Рассмотрим колебательную систему, на которую при смещениях x в интервале [-a; a] и движении в положительном направлении действует постоянная сила, равная F_m:

Силу запишем иначе:

В этом случае уравнение автоколебаний принимает вид:

Соответствующий документ MathCAD представлен в файле 10.mcd. На фазовой кривой хорошо виден скачок, соответствующий увеличению амплитуды колебаний при передаче колебательной системе очередной порции энергии. Множество точек, к которому стремится фазовая кривая называется аттрактором.

Задача 19. Промоделируйте движение автоколебательной системы, в которой каждый раз при прохождении положения равновесия (дважды за период) осциллятору сообщается энергия (действует постоянная сила).

Пусть система подталкивает осциллятор вблизи положения равновесия, действуя на него с постоянной силой b:

Из второго закона Ньютона получаем дифференциальное уравнение:

Решение этого уравнения представлено в файле 11.mcd.

Задача 20. Промоделируйте автоколебательную систему, описывающуюся уравнением Ван-дер-Поля:

Решение задачи приведено в документе 12.mcd. Колебательная система воздействует посредством положительной обратной связи на клапан, регулирующий поступление энергии от источника, в результате чего возникают автоколебания. Их амплитуда растет до тех пор, пока энергия потерь за период не будет равна энергии от источника.

Задача 21. Фрикционный маятник Фроуда состоит из физического маятника, расположенного на вращающемся валу. Сила трения между валом и маятником с увеличением их относительной скорости убывает. Исследуйте колебания маятника.

Проекцию вращающего момента, действующего со стороны вала на маятник, будем считать равной

Если маятник движется в направлении вращения и его скорость меньше скорости вала, то со стороны вала на него действует достаточно большой момент силы трения в направлении вращения вала. Когда маятник движется в противоположном направлении, его скорость относительно вала велика, поэтому момент силы трения мал. Так автоколебательная система регулирует поступление энергии к осциллятору.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях:

Для решения этого дифференциального уравнения используется документ 13.mcd. Из графиков x=x(t) и v=v(t) видно, что маятник Фроуда колеблется относительно нового положения равновесия, смещенного в сторону вращения вала, причем его скорость в установившемся режиме не превышает скорость вала ω. Замкнутая кривая на фазовой плоскости, при t стремящемся к бесконечности является аттрактором.

Задача 22. Промоделируйте движения маятника Фроуда для случая, когда начальная скорость маятника превышает скорость вращения вала. Убедитесь, что через достаточно большой промежуток времени система переходит в установившееся состояние, фазовая кривая стремиться к аттрактору.

7. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ

Задача 23. Цепь состоит из резистора и катушки индуктивности, подключаемых к источнику постоянного напряжения. В начальный момент ток через катушку равен 0. Определите значение тока и напряжения на катушке в последующие моменты времени.

Решение дифференциального уравнения переходного процесса

представлено в документе 14.mcd.

Задача 24. Колебательный контур содержит резистор, конденсатор, катушку индуктивности. Конденсатор зарядили и подключили к цепи. Исследуйте получающиеся затухающие колебания.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний выглядит так:

Его решение представлено в документе 15.mcd.

Задача 25. Исследуйте цепь из резистора, конденсатора и катушки индуктивности, подключаемых к источнику переменного напряжения. В начальный момент конденсатор разряжен, ток через катушку индуктивности равен 0.

Запишем дифференциальное уравнение переходного процесса:

Начальные условия: q(0)=Cu(0)=0, i(0)=q'(0)=0. Решение этого уравнения представлено в документе 16.mcd.

8. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Задача 26. Разложите пилообразные импульсы напряжения u(t) в ряд Фурье. Восстановите сигнал по 3, 7, 15, 30 и 50 первым гармоникам. Сравните получившуюся функцию с исходной.

Решение задачи предложено в документе 17.mcd.

Задача 27. Разложите импульсы, получающиеся в результате однополупериодного и двухполупериодного выпрямления, в ряд Фурье. Восстановите сигнал по 3, 7, 15, 30 и 50 первым гармоникам.

Задача 28. Получите спектр последовательности радиоимпульсов, представляющих собой обрывки синусоидальных колебаний.

Решение — в документе 18.mcd.

Задача 29. Получите спектр амплитудно—модулированного сигнала

Видно, что спектр содержит колебания на основной частоте и на двух зеркальных частотах (документ 19.mcd).

Задача 30. Доработайте программу так, чтобы промоделировать детектирование амплитудно—модулированного сигнала. Детектором является диод, обрезающий нижнюю часть синусоиды, а сглаживание пульсаций осуществляется за счет емкостного фильтра (документ 20.mcd).

Задача 31. Характеристика нелинейного элемента может быть аппроксимирована полиномом второй степени i(u)=au 2 +bu+c. Изучите спектральный состав отклика системы (силы тока) на оказываемое гармоническое воздействие (напряжение) (документ 21.mcd).

9. ВЛИЯНИЕ ЕМКОСТИ И ИНДУКТИВНОСТИ НА КРИВУЮ ТОКА

Задача 32. К источнику периодической негармонической ЭДС подключена активно—емкостная (активно—индуктивная) нагрузка. Используя разложение в ряд Фурье, получите кривые тока и изучите их спектр.

При активно—индуктивной нагрузке кривая тока в большей степени похожа на синусоиду, чем кривая напряжения, а в случае активно—емкостной — наоборот (документ 22.mcd). Это объясняется тем, что гармоникам тока высокого порядка конденсатор оказывает меньшее сопротивление, а катушка индуктивности — большее.

10. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ, СОДЕРЖАЩИХ ИСТОЧНИК НЕГАРМОНИЧЕСКОЙ ЭДС

Задача 33. Цепь состоит из параллельно соединенных резистора и конденсатора, к которым последовательно подключена катушка индуктивности и источник негармонического напряжения

Найдите токи в ветвях, их действующие значения, мощности.

Заменим этот источник источником постоянной ЭДС U₀ и тремя источниками переменной ЭДС U_m1sin(ωt+φ₁), U_m2sin(2ωt+φ₂), U_m3sin(3ωt+φ₃).

Найдем импеданс цепи для k-ой гармоники:

где tg(φ_k) равен отношению мнимой и действительной частей импеданса. Комплексная амплитуда k—ой гармоники тока определяется как отношение комплексной амплитуды напряжения к импедансу для k—ой гармоники. В представленном ниже документе MathCAD (23.mcd) построен график u(t), рассчитаны импедансы и амплитуды токов для различных гармоник, найдены действующие значения тока и напряжения, определена зависимость i(t), построен график.

11. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ И МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Задача 34. Два точечных электрических заряда q₁, q₂ имеют координаты (X₁,Y₁) и (X₂,Y₂). Рассчитайте распределение потенциала электрического поля, постройте эквипотенциальные линии и поверхность φ=φ(x,y).

Потенциал электрического поля, создаваемого зарядами q_i с координатами (X_i,Y_i), i=1, 2, . в точке (x,y) равен:

Результаты расчета эквипотенциальных линий и поверхности φ=φ(x,y) — в документе 24.mcd. Заряды положительные, поэтому по мере приближения к каждому из них потенциал возрастает.

Задача 35. Рядом с заряженной пластиной расположены два точечных заряда. Изучите распределение потенциала и постройте силовые линии напряженности электрического поля.

Зависимость φ=φ(x,y) определяется как в предыдущей задаче, напряженность электрического поля в двумерном случае равна:

Для построения силовых линий вычисляются проекции вектора напряженности на оси координат и создается матрица E_i,j:=Ex(x_i,y_j)+ 1i· Ey(x_i,y_j) и нормированная матрица A_i,j, используемая для построения векторного поля (25.mcd).

Задача 36. Рассчитайте индукцию магнитного поля, создаваемого двумя витками с током, и постройте силовые линии в случаях, когда токи сонаправлены и противоположно направлены.

Рассмотрим виток с током, лежащий в плоскости XOY, с центром в точке O. Разобъем его на элементы dl_s, определим элементарный магнитный момент, создаваемый каждым элементом в точке наблюдения, и просуммируем их.

Элемент витка и точка наблюдения имеют координаты (r·cosφ_s, r·sinφ_s, 0), и (x, y, z) соответственно. Для расчета индукции магнитного поля используется закон Био—Савара—Лапласа:

где μ₀ — магнитная постоянная, I — сила тока. Решение приведено в документе 26.mcd. Витки расположены параллельно плоскости XOY, на экране получаются силовые линии магнитного поля в плоскости YOZ.

Задача 37. В рассмотренном случае постройте график зависимости модуля индукции магнитного поля от координаты вдоль оси витков с током и перпендикулярно ей.

Задача 38. Получите проекции вектора индукции магнитного поля на плоскость перпендикулярную оси соленоида (витка) с током.

Задача 39. Рассчитайте магнитное поле, создаваемое двумя (тремя) параллельными проводниками, по которым текут токи в различных направлениях.

Задача 40. Изучите магнитное поле, создаваемое соленоидом и прямолинейным проводником с током. Получите проекции индукции магнитного поля на плоскость, содержащую проводник с током.

Задача 41. Имеется два соленоида, расположенных соосно по отношению друг к другу. Постройте силовые линии магнитного поля в случаях, когда токи текут в одном направлении и в противоположных направлениях (27.mcd).

12. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН

Задача 42. Две волны с равными частотами распространяются навстречу друг другу. В результате их наложения возникает стоячая волна. Постройте смещения частиц среды в различные моменты времени (28.mcd).

Задача 43. Рассчитайте интерференционную картину, создаваемую двумя когерентными источниками, работающими в противофазе, в плоскости, содержащей эти источники.

Расстояние от источников до точки наблюдения равно:

Задача 44. Рассчитайте интерференционную картину от двух источников, на плоскости, расположенной параллельно прямой, содержащей эти источники. Длина волны и расположение источников известны.

Геометрическая разность хода и интенсивность равны:

13. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА

Задача 45. Однородный стержень с известным коэффициентом температуропроводности нагревают в середине. Правый конец поддерживается при постоянной температуре, левый — теплоизолирован. Начальное распределение температуры и мощность источника известны. Определите температуру в последующие моменты времени.

Уравнение теплопроводности для стержня:

Решение задачи в документе 31.mcd. В результате вычислений получаются кривые T=T(t,x) зависимости температуры от координаты x в заданные моменты времени t. Видно, что температура средней части стержня за счет источников тепла повышается.

Моделирование диффузии осуществляется аналогично.

Задача 46. Стержень разрезали на две половины и одну из них нагрели, после чего половинки стержня соединили. Рассчитайте распределение температуры вдоль стержня в последующие моменты времени.

Задача 47. Часть сосуда заполнена водным раствором соли, а другая часть — чистой водой. Изучите самопроизвольное перемешивание жидкостей за счет диффузии.

14. ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС

Задача 48. Промоделируйте хаотическое движение броуновской частицы.

На броуновскую частицу со стороны окружающих ее молекул действует сила, хаотическим образом изменяющая свою величину и направление. Чтобы промоделировать ее движение необходимо прибавлять к координатам частицы случайные величины (документ 32.mcd). Траектория частицы является фракталом, то есть объектом, любая часть которого после увеличения подобна целому.

Задача 49. Колебательная система состоит из шарика, находящегося внутри потенциальной ямы с двумя углублениями, задаваемой функцией: U(x)=0.25x 4 -0.5x 2 . На шарик действует вынуждающая сила F(t)=F_mcos(ω t). Исследуйте поведение системы.

Потенциальное поле создает возвращающую силу

Два варианта решения представлены в документах 33.mcd и 34.mcd. Видно, что система совершает хаотические колебания относительно двух положений равновесия.

Задача 50. Конвекционные потоки в атмосфере описываются системой дифференциальных уравнений dx/dt=a(-x+y), dy/dt=bx-y-xz, dz/dt=-cz+xy. Изучите поведение этой системы, получите странный аттрактор Лоренца. В чем состоит эффект бабочки?

Решение задачи — в документе 35.mcd. Видно, что аттрактор Лоренца похож на закрученную восьмерку, и захватывает две большие области фазового пространства. При этом малые изменения состояния атмосферы могут привести к существенным изменениям ее состояния в будущем. Например, бабочка, взмахнув крыльями в Австралии, при определенных метеорологических условиях может вызвать торнадо в Америке.

Внедрение в учебный процесс компьютерной техники позволяет существенным образом изменить методику изучения некоторых вопросов курса физики, связанных с осуществлением громоздких, многократно повторяющихся вычислительных процедур, решением систем дифференциальных уравнений, построением графиков и поверхностей, наглядным представлением результатов решения задачи. Если раньше поведение физической системы анализировалось исключительно аналитически, то теперь появилась возможность применения численных методов компьютерного моделирования, что имеет определенные преимущества.

Рассмотренные выше задачи создают лишь общее представление о возможностях пакета MathCAD. Более глубокое изучение вопроса требует привлечения специальных руководств и пособий, некоторые из которых перечислены в списке литературы. Настоящее электронное пособие может быть использовано студентами и преподавателями при изучении основ компьютерного моделирования, методов математической физики, а также при решении задач курсов общей физики, электротехники и т.д.

Дьяконов, В. MathCAD 2000 [Текст]: учебный курс / В.Дьяконов — СПб.: Питер, 2001. — 592 с.
Кирьянов, Д.В. MathCAD 12 [Текст]: наиболее полное руководство / Д.В.Кирьянов. — Спб. БХВ — Петербург, 2005. — 562.
Майер, Р.В. Информационные технологии и физическое образование [Текст] / Р.В.Майер. — Глазов: ГГПИ, 2006. — 64 с.
Поршнев, С.В. Компьютерное моделирование физических процессов с использованием пакета MathCAD [Текст]: учебное пособие / С.В.Поршнев. — М.: Горячая линия—Телеком, 2002. — 252 c.
Физическая энциклопедия / Гл. ред. А.М.Прохоров. Ред. кол. Д.М.Алексеев, А.М.Балдин, А.М.Бонч-Бруевич, А.С.Боровик—Романов и др. — М.: Большая Российская энциклопедия. — 1992—1995. (в 6 томах).

ПРИЛОЖЕНИЕ

МАЙЕР Роберт Валерьевич, доктор педагогических наук, профессор кафедры информационных технологий в физическом образовании физического факультета Глазовского государственного педагогического института.

Издательская лицензия ИД N06035 от 12.10.2001.

Формат 60 x 90 1/16. Усл. печ. л. 2,15.

Глазовский государственный педагогический институт.

427621, Удмуртия, г. Глазов, ул. Первомайская, 25.