Решение уравнений ax b cx d

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 — B A 3 x + B A 2 3 = 0

Результат первой скобки примет вид x = — B A 3 , а квадратный трехчлен — x 2 — B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.

Найти корни кубического уравнения 2 x 3 — 3 = 0 .

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2 x 3 — 3 = 0 x 3 — 3 2 = 0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x 3 — 3 2 = 0 x — 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x = 3 3 2 6 .

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Вид квадратного уравнения — A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 — x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B — A + A

Корень уравнения равен х = — 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B — A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Решить уравнение вида 5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 0 .

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 — 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 — x + 1 — 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 — 5 x + 5 — 8 x = = x + 1 5 x 2 — 13 x + 5 = 0

Если х = — 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 — 13 x + 5 :

5 x 2 — 13 x + 5 = 0 D = ( — 13 ) 2 — 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 — 69 2 · 5 = 13 10 — 69 10

Ответ:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 — 69 10 x 3 = — 1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .

Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

Решение

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D = 4 2 — 4 · 3 · 2 = — 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х = 0 .

Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х :

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x — x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х . Получаем, что

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 — 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Необходимо произвести подстановку y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида

1 3 — 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( — 1 ) 3 — 11 · ( — 1 ) 2 + 24 · ( — 1 ) + 36 = 0

Отсюда видим, что у = — 1 – это корень. Значит, x = y 2 = — 1 2 .

Далее следует деление 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 на x + 1 2 при помощи схемы Горнера:

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 — 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 — 6 x + 9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 — 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 , где х = 3 будет его корнем.

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что — 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

После чего p = — B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 .

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — q 2 4 + p 3 27 3

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению — p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y — B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Видно, что A 0 = 2 , A 1 = — 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .

Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = — 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .

Отсюда следует, что

p = — B 1 2 3 + B 2 = — — 11 2 2 3 + 6 = — 121 12 + 6 = — 49 12 q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · — 11 2 3 27 — — 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — — q 2 4 + p 3 27 3 = = — 343 216 + 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 + — 343 216 — 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 = = — 343 216 3 + — 343 216 3

— 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

— 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2

Если k = 0 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Если k = 1 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = — 7 6

Если k = 2 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 — i · 3 2

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим — p 3 = 49 36 .

Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 — i · 3 2 , — 7 6 и — 7 6 , 7 6 1 2 — i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y 1 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 — i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = — 7 6 + — 7 6 = — 14 6 y 3 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 — i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 — B 1 3 = — 14 6 + 11 6 = — 1 2 x 3 = y 3 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Решение уравнений ax b cx d

Линейные уравнения и неравенства с параметром

Уравнение вида

где a,b О R, x — переменная, называется уравнением первой степени (линейным уравнением).

Ниже приведены примеры линейных уравнений:

Уравнение (1) равносильно уравнению ax = —b откуда следует следующее утверждение.

Утверждение 1.

1. Если a ≠ 0, то уравнение (1) имеет единственное решение x = — b /_a;
2. Если a = 0, b ≠ 0, то множество решений уравнения (1) пусто;
3. Если a = 0, b = 0, то любое действительное число является решением уравнения (1).

Таким образом, приведенные выше линейные уравнения решаются следующим образом:

a) x = — 6 /₂, то есть x = -3;
b) x = 2;
c) любое действительное число является решением данного уравнения;
d) уравнение не имеет решений;
e) x = 0.

Замечание 2. Уравнение (ax + b)(cx + d) = 0 где a, b, c, d О R, сводится к совокупности линейных уравнений

	ax + b = 0,
	cx + d = 0.

Пример 1. Решить уравнения

a) ,	c) —x + 2 = 2 — x,
b) 2x + 1 = 2x + 3,	d) (2x + 4)(3x — 1) = 0.

Решение. a) x = 6.

b) 2x + 1 = 2x + 3 Ы 2x — 2x = 3 — 1 Ы 0·x = 2 откуда следует, что уравнение не имеет решений.

c) —x + 2 = 2 — x Ы —x + x = 2 — 2 Ы 0·x = 0, следовательно, любое действительное число является решением уравнения.

d) (2x + 4)(3x — 1) = 0 Ы

2x + 4 = 0, 3x — 1 = 0,

Ы

x1 = -2, x2 = 1 /3.

В дальнейшем будут рассматриваться линейные уравнения с параметрами. Под параметром понимается (смотрите тему Уравнения с параметром) фиксированное (но неизвестное) число. Как правило, параметр обозначается первыми буквами латинского алфавита.

Пример 2. Решить уравнения

a) ax = 1;	e)
b) a 2 x — 1 = x + a;	f)
c) ax + b = cx + d;	g)
d) ;

Решение. a) Применяя утверждение 1, получим:

при a ≠ 0 уравнение имеет единственное решение, x = 1 /_a;

при a = 0 уравнение примет вид 0·x = 1 и, следовательно, оно не имеет решений.

Ответ: если a О R, то x = 1 /_a; если a = 0, то уравнение не имеет решений.

b) После элементарных преобразований получим: a 2 x — 1 = x + a Ы a 2 x — x = a + 1 Ы x(a 2 — 1) = a + 1.

откуда, применяя утверждение 1, получим:

1. если a 2 -1 ≠ 0, то есть a ≠ ± 1, то или
2. если a = 1, то уравнение примет вид 0·x = 2 и, следовательно, не имеет решений;
3. если a = -1, то уравнение примет вид 0·x = 0, и, следовательно, любое действительное число является решением этого уравнения.

c) Перепишем уравнение следующим образом (a — c)x = d — b, откуда следует:

1. если a — c ≠ 0, то есть a ≠ c, то уравнение имеет единственное решение
2. если a = c и d — b ≠ 0, то уравнение примет вид 0·x = d — b ( ≠ 0) и, следовательно, оно не имеет решений;
3. если a = c и d = b, то уравнение примет вид 0·x = 0, и, следовательно, множество его решений есть R

d) Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения есть x ≠ 4. В ОДЗ уравнение решается следующим образом:

Ы

x-2a = 0, x ≠ 4

Ы

x = 2a, x ≠ 4.

Таким образом, если 2a ≠ 4, то есть a ≠ 2, то уравнение имеет единственное решение x = 2a, а если a = 2, то уравнение не имеет решений.

f) Если a = 0 или b = 0, то уравнение не имеет смысла. Пусть a·b ≠ 0. Тогда уравнение равносильно следующему x(b + a) = abc откуда следует:

1. если b + a ≠ 0, то есть a ≠ —b, то уравнение имеет единственное решение
2. если a = —b и c ≠ 0, то уравнение не имеет решений.
3. если a = —b и c = 0, то любое действительное число есть решение данного уравнения.

g) ОДЗ уравнения определяется из системы

	5x —a ≠ 0,
	ax — 1 ≠ 0,

откуда x ≠ a /₅ и, если a ≠ 0, x ≠ 1 /_a. Если a = 0, то уравнение примет вид или -2 = 15x,

откуда , и, поскольку следует, что если a = 0 то уравнение имеет решение .

Пусть a ≠ 0. Тогда в ОДЗ уравнение примет вид 2(ax — 1) = 3(5x — a), откуда (2a — 15)x = 2 — 3a и, следовательно,

1. если 2a — 15 ≠ 0, то есть то получим ;
2. если 2a-15 = 0, то есть то уравнение не имеет решений.

Таким образом для нужно проверить условие x ≠ a /₅ и x ≠ 1 /_a: или (2a — 15)a ≠ 5(2 — 3a) откуда 2a 2 ≠ 10, или Таким образом, для уравнение не имеет решений.

В случае второго ограничения получим или a(2 — 3a) ≠ (2a — 15), откуда 3a 2 = 15, то есть a 2 ≠ 5 (уже исследованный случай).

Таким образом, если уравнение не имеет решений, а если то уравнение имеет единственное решение (заметим, что решение полученное в случае a = 0 содержится в приведенном выше результате).

Пример 3. Решить уравнения

Решение. a) Используя свойство модуля, получим:

|x — a| = 2 Ы

x — a = 2, x — a = -2,

Ы

x = a + 2, x = a — 2.

Таким образом, для любого действительного a уравнение имеет два различных решения, x₁ = a + 2 и x₂ = a — 2.

b) Левая часть уравнения принимает неотрицательные значения (как сумма двух неотрицательных слагаемых), а правая часть равна нулю. Следовательно,

x = 0, x — a = 0,

или

x = 0, x = a.

Таким образом, если a = 0, то система (а, следовательно, и уравнение) имеет единственное решение x = 0, а если a ≠ 0, то система (и исходное уравнение) решений не имеет.

c) Так как | f(x)| = |-f(x)| уравнение можно переписать следующим образом |x — a| + |2a — x| = a.

Очевидно, что если a 0. Тогда a = |a| = |(2a — x) + (x — a)|, и уравнение примет вид |x — a| + |2a — x| = |(2a — x) + (x — a)|. Это уравнение равносильно (см. свойства модуля) неравенству (2a — x)(x — a) ≥ 0 откуда, учитывая, что 0 О [a;2a].

если a 0, то уравнение имеет бесконечное число решений — любое число a ≤ x ≤ 2a.

d) Очевидно, что уравнение имеет решения только при a > 0. Рассмотрим три случая:

1. Пусть x —x + 1 — x + 2 = a или -2x = a — 3 откуда . Поскольку xоткуда a > 1. Таким образом, если a > 1, то ;
2. Пусть x О [1;2]. Тогда |x — 1| = x — 1, |x — 2| = -(x-2) и уравнение примет вид x — 1 — x + 2 = a, 0·x = a — 1. Используя утверждение 1, получим:

если a = 1, то любое действительное число из отрезка [1;2] есть решение исходного уравнения;

если a ≠ 1, то решений нет.
Пусть x > 2. Тогда |x — 1| = x — 1, |x — 2| = x — 2 и уравнение примет вид x — 1 + x — 2 = a откуда Поскольку x > 2, то то есть a > 1.

если a > 1, то уравнение имеет два различных решения и

если a = 1, то любое число отрезка [1;2] есть решение уравнения;

если a Линейные неравенства

ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b О R, x — переменная, называются неравенствами первой степени (линейными неравенствами). Поскольку все неравенства (2) решаются аналогично, приведем решение лишь первого из них: ax + b > 0. Рассмотрим следующие случаи: a > 0, тогда ax + b > 0 Ы ax > —b Ы x > — b /a и, следовательно, множество решений неравенства ax + b > 0 (a > 0) есть (- b /a;+ Ґ ); aax + b > 0 Ы ax > —b Ы x b /a и, следовательно, множество решений неравенства ax + b > 0 (a Ґ ;- b /a); a = 0, тогда неравенство примет вид 0·x + b > 0 и для b > 0 любое действительное число есть решение неравенства, а при b ≤ 0 неравенство не имеет решений. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Решить неравенства a) 3x + 6 > 0; c) 2(x + 1) + x Решение. a) 3x + 6 > 0 Ы 3x > -6 Ы x > -2, и, следовательно, множество решений исходного неравенства есть (-2;+ Ґ ). b) -2x + 3 ≥ 0 Ы -2x ≥ -3 Ы x ≤ 3 /2, то есть множеством решений исходного неравенства является (- Ґ ; 3 /2]. c) После элементарных преобразований получим линейное неравенство 2(x + 1) + x Ы 2x + 2 + x Ы 0·x + 1 Так как 1 3x + 2 ≥ 3(x — 1) + 1 Ы 3x + 2 ≥ 3x — 3 + 1 Ы 0·x + 4 ≥ 0, откуда следует, что любое действительное число является решением исходного неравенства. Пример 2. Решить неравенства a) ax ≤ 1; b) |x — 2| > -(a — 1) 2 ; c) 3(4a — x) ax + 3; e) f) ax + b > cx + d; g) Решение. a) В зависимости от знака a рассмотрим три случая: если a > 0, то x ≤ 1 /a; если a 1 /a; если a = 0, то неравенство примет вид 0·x ≤ 1 и, следовательно, любое действительное число является решением исходного неравенства. Таким образом, если a > 0, то x О (- Ґ ; 1 /a], если a О [ 1 /a;+ Ґ ), и если a = 0, то x О R. b) Заметим, что |x — 2| ≥ 0 для любого действительного x и -(a-1) 2 ≤ 0 для любого значения параметра a. Следовательно, если a = 1, то любое x действительное число, отличное от 2, является решением неравенства, а если a ≠ 1, то любое действительное число является решением неравенства. Ответ: если a = 1, то x О R, а если a О R, то x О R. c) После элементарных преобразований получим 3(4a — x) Ы 12a — 3x Ы 12a — 3 Ы x(2a + 3) > 3(4a — 1). Далее рассмотрим три случая: если 2a + 3 > 0, то есть a > — 3 /2, то если 2a + 3 3 /2, то если 2a + 3 = 0, то есть a = — 3 /2, то неравенство примет вид 0·x > -21 и, так как 0 > -21 — истинное числовое неравенство, следует, что любое действительное число является решением исходного неравенства. если то если то Далее рассмотрим следующие случаи: если a(b — 1) > 0, то есть a > 0 и b > 1, или a если a(b — 1) 0 и b 1, то если a = 0, b ≠ 1 то неравенство примет вид 0·x > 3 — b и для b > 3 любое число является решением, а если b О (- Ґ ;1) И (1;3], то множество решений неравенства пусто. если a ≠ 0, b = 1, то неравенство примет вид 0·x > 2 и, очевидно, что оно решений не имеет. если a > 0 и b > 1, или a 0 и b 1, то если a = 0 и b О (3;+ Ґ ), то x О R; если a = 0 и b О (- Ґ ;1) И (1;3) или a ≠ 0 и b = 1, то неравенство не имеет решений. e) Заметим, что a ≠ ± 1, (в противном случае неравенство не имеет смысла). Неравенство переписывается следующим образом Далее рассмотрим следующие случаи: 1. пусть a О (- Ґ ;-1) И (1;+ Ґ ), тогда (a — 1)(a + 1) > 0 и, следовательно, исходное неравенство равносильно следующему x(2 — 3a) + 3 — a ≤ 0, или x(2 — 3a) ≤ a — 3, откуда для a > 1 Последнее неравенство решается следующим образом: если a О (-1; 2 /3), то если a О ( 2 /3,1), то . Таким образом, исходное неравенство при a О (- Ґ ;-1) И ( 2 /3;1) имеет решения при a О (-1; 2 /3) И (1;+ Ґ ) имеет решения при a = 2 /3, любое действительное число является решением исходного неравенства. f) Исходное неравенство равносильно следующему (a — c)x > d — b откуда следует, что если a >c, то a — c > 0 и, следовательно, если a О R. g) Заметим, что a ≠ 0 и b ≠ 0. Приведя к общему знаменателю, получим 2(b 2 — a 2 ) — x(b — a) 2 > 0, ab > 0, 2(b 2 — a 2 ) — x(b — a) 2 Ы x(b — a) 2 2 — a 2 ), ab 2 > 2(b 2 — a 2 ), ab Ы ab > 0, a ≠ b, x О Ж , a = b, ab Таким образом, если a и b одиннакогого знака (ab > 0) и a ≠ b, то множество решений неравенства есть если a и b — противоположных знаков (ab a) |x + a| + |x — 2a| 2; b) |x + a| Решение. a) Заметим, что при a ≤ 0 неравенство решений не имеет. Пусть a > 0. Рассмотрим три случая: пусть x О (- Ґ ;-a], тогда |x + a| = —x — a и |x — 2a| = 2a — x и неравенство примет вид —x — a + 2a — x — 3 /2a, поскольку a > 0, пересечением множеств (- Ґ ;-a] и (а, следовательно, и множеством решений неравенства) явяется множество пусть x О (-a;2a], тогда |x + a| = x + a, и |x — 2a| = 2a — x, и неравенство примет вид x + a + 2a — x и, поскольку a > 0, любое число из интервала (-a;2a] есть решение неравенства; пусть x О (2a;+ Ґ ), тогда |x + a| = x + a и |x — 2a| = x — 2a, и неравенство примет вид x + a + x — 2a 5 /2a. Учитывая условие x > 2a, получим x О (2a; 5 /2a). Таким образом, если a ≤ 0, то неравенство не имеет решений, а если a > 0, то множество решений неравенства есть (- 3 /2a;-a] И (-a;2a] И (2a; 5 /2a) или (- 3 /2a; 5 /2a). b) Заметим, что неравенство может иметь лишь положительные решения. Для x > 0 неравенство переписывается |x + a| |x + a| Ы |x + a| Ы (x + a + ax)(x + a — ax) Ы Ы [(a + 1)x + a][(1 — a)x + a] Ы (a + 1)x + a > 0, (1 — a)x + a Ы (a + 1)x > —a, (1 — a)x —a. Если a > 1, тогда a — 1 > 0 и a + 1 > 0, и первая система совокупности примет вид откуда (учитывая, что x > 0) получим а вторая система совокупности примет вид и, так как a > 1 влечет а x > 0, система не имеет решений. Если a = 1, то первая система совокупности не имеет решений, а из второй получим x 1 /2, и, так как x > 0, то и в этом случае исходное неравенство не имеет решений. Если -1 0 и 1 — a > 0, и первая система совокупности примет вид или откуда, заметив, что получим, что первая система совокупности несовместна. Из второй системы получим и, учитывая, что x > 0, получим откуда a О [0;1), то неравенство не имеет решений, а если a О (-1;0), то множество решений неравенства есть Если a = -1, то первая система совокупности несовместна, а из второй получим x > 1 /2. Если a 0, и из первой системы следует Так как a 0, то в этом случае исходное неравенство не имеет решений. Вторая система совокупности примет вид и, поскольку x > 0, получим если a О (- Ґ ;-1) И (1;+ Ґ ), то если a О [0;1], то неравенство не имеет решений; Различные методы решения уравнений Разделы: Математика I. Линейные уравнения II. Квадратные уравнения ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0, иначе уравнение становится линейным Корни квадратного уравнения можно вычислять различными способами, например: Мы хорошо умеем решать квадратные уравнения. Многие уравнения более высоких степеней можно привести к квадратным. III . Уравнения, приводимые к квадратным. замена переменной: а) биквадратное уравнение ax 2n + bx n + c = 0, a ≠ 0, n ≥ 2 2) симметрическое уравнение 3 степени – уравнение вида 3) симметрическое уравнение 4 степени – уравнение вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c b a или ax 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c (–b) a Т.к. x = 0 не является корнем уравнения, то возможно деление обеих частей уравнения на x 2 , тогда получаем: . Произведя замену решаем квадратное уравнение a(t 2 – 2) + bt + c = 0 Например, решим уравнение x 4 – 2x 3 – x 2 – 2x + 1 = 0, делим обе части на x 2 , , после замены получаем уравнение t 2 – 2t – 3 = 0 – уравнение не имеет корней. Ответ: 4) Уравнение вида (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = Ax 2 , коэффициенты ab = cd Например, (x + 2)(x +3)(x + 8)(x + 12) = 4x 2 . Перемножив 1–4 и 2–3 скобки, получим (x 2 + 14x + 24)(x 2 +11x + 24) = 4x 2 , разделим обе части уравнения на x 2 , получим: имеем (t + 14)(t + 11 ) = 4. 5) Однородное уравнение 2 степени – уравнение вида Р(х,у) = 0, где Р(х,у) – многочлен, каждое слагаемое которого имеет степень 2. IV. Все приведенные уравнения узнаваемы и типичны, а как быть с уравнениями произвольного вида? Рассмотрим метод понижения степени уравнения. Известно, что, если коэффициенты a являются целыми числами и an = 1 , то целые корни уравнения Pn(x) = 0 находятся среди делителей свободного члена a0. Например, x 4 + 2x 3 – 2x 2 – 6x + 5 = 0, делителями числа 5 являются числа 5; –5; 1; –1. Тогда P4(1) = 0, т.е. x = 1 является корнем уравнения. Понизим степень уравнения P4(x) = 0 с помощью деления “уголком” многочлена на множитель х –1, получаем Аналогично, P3(1) = 0, тогда P4(x) = (x – 1)(x – 1)(x 2 + 4x +5), т.е. уравнение P4(x) = 0 имеет корни x1 = x2 = 1. Покажем более короткое решение этого уравнения (с помощью схемы Горнера). 1 2 –2 –6 5 1 1 3 1 –5 0 1 1 4 5 0 Итак, (x – 1) 2 (x 2 + 4x + 5) = 0 Что мы делали? Понижали степень уравнения. V. Рассмотрим симметрические уравнения 3 и 5 степени. а) ax 3 + bx 2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух. б) ax 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух. Например, покажем решение уравнения 2x 5 + 3x 4 – 5x 3 – 5x 2 + 3x + = 0 2 3 –5 –5 3 2 –1 2 1 –6 1 2 0 1 2 3 –3 –2 0 1 2 5 2 0 Получаем (x – 1) 2 (x + 1)(2x 2 + 5x + 2) = 0. Значит, корни уравнения: 1; 1; –1; –2; –0,5. VI. Приведем список различных уравнений для решения в классе и дома. Предлагаю читателю самому решить уравнения 1–7 и получить ответы… Поделиться или сохранить к себе: Смотрите также Сера — химические свойства, получение, соединения. Нитрат кальция: способы получения и химические свойства Кальций: способы получения и химические свойства Гидроксид натрия: способы получения и химические свойства Гидроксид кальция: способы получения и химические свойства Получение бензола Разница между глюкозой и сахарозой Гидроксид калия: способы получения и химические свойства