Решение уравнений ax b cx d

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Решение кубических уравнений

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Видео:Решение линейного уравнения ax=b. Сколько корней может быть у линейного уравнения. Алгебра 7 класс.Скачать

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 — B A 3 x + B A 2 3 = 0

Результат первой скобки примет вид x = — B A 3 , а квадратный трехчлен — x 2 — B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.

Найти корни кубического уравнения 2 x 3 — 3 = 0 .

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2 x 3 — 3 = 0 x 3 — 3 2 = 0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x 3 — 3 2 = 0 x — 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x = 3 3 2 6 .

Видео:Уравнения от вида: (ax+b)(cx+d)=0 (x=-b/a ; x=-d/c)Скачать

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Вид квадратного уравнения — A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 — x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B — A + A

Корень уравнения равен х = — 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B — A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Решить уравнение вида 5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 0 .

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 — 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 — x + 1 — 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 — 5 x + 5 — 8 x = = x + 1 5 x 2 — 13 x + 5 = 0

Если х = — 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 — 13 x + 5 :

5 x 2 — 13 x + 5 = 0 D = ( — 13 ) 2 — 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 — 69 2 · 5 = 13 10 — 69 10

Ответ:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 — 69 10 x 3 = — 1

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .

Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

Решение

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D = 4 2 — 4 · 3 · 2 = — 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х = 0 .

Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х :

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x — x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х . Получаем, что

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 — 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Необходимо произвести подстановку y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида

1 3 — 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( — 1 ) 3 — 11 · ( — 1 ) 2 + 24 · ( — 1 ) + 36 = 0

Отсюда видим, что у = — 1 – это корень. Значит, x = y 2 = — 1 2 .

Далее следует деление 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 на x + 1 2 при помощи схемы Горнера:

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 — 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 — 6 x + 9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 — 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 , где х = 3 будет его корнем.

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что — 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Видео:Математика | Кубические уравнения по методу СталлонеСкачать

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

После чего p = — B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 .

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — q 2 4 + p 3 27 3

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению — p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y — B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Видно, что A 0 = 2 , A 1 = — 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .

Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = — 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .

Отсюда следует, что

p = — B 1 2 3 + B 2 = — — 11 2 2 3 + 6 = — 121 12 + 6 = — 49 12 q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · — 11 2 3 27 — — 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — — q 2 4 + p 3 27 3 = = — 343 216 + 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 + — 343 216 — 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 = = — 343 216 3 + — 343 216 3

— 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

— 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2

Если k = 0 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Если k = 1 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = — 7 6

Если k = 2 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 — i · 3 2

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим — p 3 = 49 36 .

Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 — i · 3 2 , — 7 6 и — 7 6 , 7 6 1 2 — i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y 1 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 — i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = — 7 6 + — 7 6 = — 14 6 y 3 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 — i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 — B 1 3 = — 14 6 + 11 6 = — 1 2 x 3 = y 3 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Видео:Математика 7 клас. Уравнението (аx + b)(cx + d) = 0Скачать

Решение уравнений ax b cx d

Линейные уравнения и неравенства с параметром

Уравнение вида

где a,b О R, x — переменная, называется уравнением первой степени (линейным уравнением).

Ниже приведены примеры линейных уравнений:

Уравнение (1) равносильно уравнению ax = —b откуда следует следующее утверждение.

Утверждение 1.

1. Если a ≠ 0, то уравнение (1) имеет единственное решение x = — b /_a;
2. Если a = 0, b ≠ 0, то множество решений уравнения (1) пусто;
3. Если a = 0, b = 0, то любое действительное число является решением уравнения (1).

Таким образом, приведенные выше линейные уравнения решаются следующим образом:

a) x = — 6 /₂, то есть x = -3;
b) x = 2;
c) любое действительное число является решением данного уравнения;
d) уравнение не имеет решений;
e) x = 0.

Замечание 2. Уравнение (ax + b)(cx + d) = 0 где a, b, c, d О R, сводится к совокупности линейных уравнений

	ax + b = 0,
	cx + d = 0.

Пример 1. Решить уравнения

a) ,	c) —x + 2 = 2 — x,
b) 2x + 1 = 2x + 3,	d) (2x + 4)(3x — 1) = 0.

Решение. a) x = 6.

b) 2x + 1 = 2x + 3 Ы 2x — 2x = 3 — 1 Ы 0·x = 2 откуда следует, что уравнение не имеет решений.

c) —x + 2 = 2 — x Ы —x + x = 2 — 2 Ы 0·x = 0, следовательно, любое действительное число является решением уравнения.

d) (2x + 4)(3x — 1) = 0 Ы

2x + 4 = 0, 3x — 1 = 0,

Ы

x1 = -2, x2 = 1 /3.

В дальнейшем будут рассматриваться линейные уравнения с параметрами. Под параметром понимается (смотрите тему Уравнения с параметром) фиксированное (но неизвестное) число. Как правило, параметр обозначается первыми буквами латинского алфавита.

Пример 2. Решить уравнения

a) ax = 1;	e)
b) a 2 x — 1 = x + a;	f)
c) ax + b = cx + d;	g)
d) ;

Решение. a) Применяя утверждение 1, получим:

при a ≠ 0 уравнение имеет единственное решение, x = 1 /_a;

при a = 0 уравнение примет вид 0·x = 1 и, следовательно, оно не имеет решений.

Ответ: если a О R, то x = 1 /_a; если a = 0, то уравнение не имеет решений.

b) После элементарных преобразований получим: a 2 x — 1 = x + a Ы a 2 x — x = a + 1 Ы x(a 2 — 1) = a + 1.

откуда, применяя утверждение 1, получим:

1. если a 2 -1 ≠ 0, то есть a ≠ ± 1, то или
2. если a = 1, то уравнение примет вид 0·x = 2 и, следовательно, не имеет решений;
3. если a = -1, то уравнение примет вид 0·x = 0, и, следовательно, любое действительное число является решением этого уравнения.

c) Перепишем уравнение следующим образом (a — c)x = d — b, откуда следует:

1. если a — c ≠ 0, то есть a ≠ c, то уравнение имеет единственное решение
2. если a = c и d — b ≠ 0, то уравнение примет вид 0·x = d — b ( ≠ 0) и, следовательно, оно не имеет решений;
3. если a = c и d = b, то уравнение примет вид 0·x = 0, и, следовательно, множество его решений есть R

d) Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения есть x ≠ 4. В ОДЗ уравнение решается следующим образом:

Ы

x-2a = 0, x ≠ 4

Ы

x = 2a, x ≠ 4.

Таким образом, если 2a ≠ 4, то есть a ≠ 2, то уравнение имеет единственное решение x = 2a, а если a = 2, то уравнение не имеет решений.

f) Если a = 0 или b = 0, то уравнение не имеет смысла. Пусть a·b ≠ 0. Тогда уравнение равносильно следующему x(b + a) = abc откуда следует:

1. если b + a ≠ 0, то есть a ≠ —b, то уравнение имеет единственное решение
2. если a = —b и c ≠ 0, то уравнение не имеет решений.
3. если a = —b и c = 0, то любое действительное число есть решение данного уравнения.

g) ОДЗ уравнения определяется из системы

	5x —a ≠ 0,
	ax — 1 ≠ 0,

откуда x ≠ a /₅ и, если a ≠ 0, x ≠ 1 /_a. Если a = 0, то уравнение примет вид или -2 = 15x,

откуда , и, поскольку следует, что если a = 0 то уравнение имеет решение .

Пусть a ≠ 0. Тогда в ОДЗ уравнение примет вид 2(ax — 1) = 3(5x — a), откуда (2a — 15)x = 2 — 3a и, следовательно,

1. если 2a — 15 ≠ 0, то есть то получим ;
2. если 2a-15 = 0, то есть то уравнение не имеет решений.

Таким образом для нужно проверить условие x ≠ a /₅ и x ≠ 1 /_a: или (2a — 15)a ≠ 5(2 — 3a) откуда 2a 2 ≠ 10, или Таким образом, для уравнение не имеет решений.

В случае второго ограничения получим или a(2 — 3a) ≠ (2a — 15), откуда 3a 2 = 15, то есть a 2 ≠ 5 (уже исследованный случай).

Таким образом, если уравнение не имеет решений, а если то уравнение имеет единственное решение (заметим, что решение полученное в случае a = 0 содержится в приведенном выше результате).

Пример 3. Решить уравнения

Решение. a) Используя свойство модуля, получим:

|x — a| = 2 Ы

x — a = 2, x — a = -2,

Ы

x = a + 2, x = a — 2.

Таким образом, для любого действительного a уравнение имеет два различных решения, x₁ = a + 2 и x₂ = a — 2.

b) Левая часть уравнения принимает неотрицательные значения (как сумма двух неотрицательных слагаемых), а правая часть равна нулю. Следовательно,

x = 0, x — a = 0,

или

x = 0, x = a.

Таким образом, если a = 0, то система (а, следовательно, и уравнение) имеет единственное решение x = 0, а если a ≠ 0, то система (и исходное уравнение) решений не имеет.

c) Так как | f(x)| = |-f(x)| уравнение можно переписать следующим образом |x — a| + |2a — x| = a.

Очевидно, что если a 0. Тогда a = |a| = |(2a — x) + (x — a)|, и уравнение примет вид |x — a| + |2a — x| = |(2a — x) + (x — a)|. Это уравнение равносильно (см. свойства модуля) неравенству (2a — x)(x — a) ≥ 0 откуда, учитывая, что 0 О [a;2a].

если a 0, то уравнение имеет бесконечное число решений — любое число a ≤ x ≤ 2a.

d) Очевидно, что уравнение имеет решения только при a > 0. Рассмотрим три случая:

1. Пусть x —x + 1 — x + 2 = a или -2x = a — 3 откуда . Поскольку xоткуда a > 1. Таким образом, если a > 1, то ;
2. Пусть x О [1;2]. Тогда |x — 1| = x — 1, |x — 2| = -(x-2) и уравнение примет вид x — 1 — x + 2 = a, 0·x = a — 1. Используя утверждение 1, получим:

если a = 1, то любое действительное число из отрезка [1;2] есть решение исходного уравнения;

если a ≠ 1, то решений нет.
Пусть x > 2. Тогда |x — 1| = x — 1, |x — 2| = x — 2 и уравнение примет вид x — 1 + x — 2 = a откуда Поскольку x > 2, то то есть a > 1.

если a > 1, то уравнение имеет два различных решения и

если a = 1, то любое число отрезка [1;2] есть решение уравнения;

если a Линейные неравенства

ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b О R, x — переменная, называются неравенствами первой степени (линейными неравенствами). Поскольку все неравенства (2) решаются аналогично, приведем решение лишь первого из них: ax + b > 0. Рассмотрим следующие случаи: a > 0, тогда ax + b > 0 Ы ax > —b Ы x > — b /a и, следовательно, множество решений неравенства ax + b > 0 (a > 0) есть (- b /a;+ Ґ ); aax + b > 0 Ы ax > —b Ы x b /a и, следовательно, множество решений неравенства ax + b > 0 (a Ґ ;- b /a); a = 0, тогда неравенство примет вид 0·x + b > 0 и для b > 0 любое действительное число есть решение неравенства, а при b ≤ 0 неравенство не имеет решений. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Решить неравенства a) 3x + 6 > 0; c) 2(x + 1) + x Решение. a) 3x + 6 > 0 Ы 3x > -6 Ы x > -2, и, следовательно, множество решений исходного неравенства есть (-2;+ Ґ ). b) -2x + 3 ≥ 0 Ы -2x ≥ -3 Ы x ≤ 3 /2, то есть множеством решений исходного неравенства является (- Ґ ; 3 /2]. c) После элементарных преобразований получим линейное неравенство 2(x + 1) + x Ы 2x + 2 + x Ы 0·x + 1 Так как 1 3x + 2 ≥ 3(x — 1) + 1 Ы 3x + 2 ≥ 3x — 3 + 1 Ы 0·x + 4 ≥ 0, откуда следует, что любое действительное число является решением исходного неравенства. Пример 2. Решить неравенства a) ax ≤ 1; b) |x — 2| > -(a — 1) 2 ; c) 3(4a — x) ax + 3; e) f) ax + b > cx + d; g) Решение. a) В зависимости от знака a рассмотрим три случая: если a > 0, то x ≤ 1 /a; если a 1 /a; если a = 0, то неравенство примет вид 0·x ≤ 1 и, следовательно, любое действительное число является решением исходного неравенства. Таким образом, если a > 0, то x О (- Ґ ; 1 /a], если a О [ 1 /a;+ Ґ ), и если a = 0, то x О R. b) Заметим, что |x — 2| ≥ 0 для любого действительного x и -(a-1) 2 ≤ 0 для любого значения параметра a. Следовательно, если a = 1, то любое x действительное число, отличное от 2, является решением неравенства, а если a ≠ 1, то любое действительное число является решением неравенства. Ответ: если a = 1, то x О R, а если a О R, то x О R. c) После элементарных преобразований получим 3(4a — x) Ы 12a — 3x Ы 12a — 3 Ы x(2a + 3) > 3(4a — 1). Далее рассмотрим три случая: если 2a + 3 > 0, то есть a > — 3 /2, то если 2a + 3 3 /2, то если 2a + 3 = 0, то есть a = — 3 /2, то неравенство примет вид 0·x > -21 и, так как 0 > -21 — истинное числовое неравенство, следует, что любое действительное число является решением исходного неравенства. если то если то Далее рассмотрим следующие случаи: если a(b — 1) > 0, то есть a > 0 и b > 1, или a если a(b — 1) 0 и b 1, то если a = 0, b ≠ 1 то неравенство примет вид 0·x > 3 — b и для b > 3 любое число является решением, а если b О (- Ґ ;1) И (1;3], то множество решений неравенства пусто. если a ≠ 0, b = 1, то неравенство примет вид 0·x > 2 и, очевидно, что оно решений не имеет. если a > 0 и b > 1, или a 0 и b 1, то если a = 0 и b О (3;+ Ґ ), то x О R; если a = 0 и b О (- Ґ ;1) И (1;3) или a ≠ 0 и b = 1, то неравенство не имеет решений. e) Заметим, что a ≠ ± 1, (в противном случае неравенство не имеет смысла). Неравенство переписывается следующим образом Далее рассмотрим следующие случаи: 1. пусть a О (- Ґ ;-1) И (1;+ Ґ ), тогда (a — 1)(a + 1) > 0 и, следовательно, исходное неравенство равносильно следующему x(2 — 3a) + 3 — a ≤ 0, или x(2 — 3a) ≤ a — 3, откуда для a > 1 Последнее неравенство решается следующим образом: если a О (-1; 2 /3), то если a О ( 2 /3,1), то . Таким образом, исходное неравенство при a О (- Ґ ;-1) И ( 2 /3;1) имеет решения при a О (-1; 2 /3) И (1;+ Ґ ) имеет решения при a = 2 /3, любое действительное число является решением исходного неравенства. f) Исходное неравенство равносильно следующему (a — c)x > d — b откуда следует, что если a >c, то a — c > 0 и, следовательно, если a О R. g) Заметим, что a ≠ 0 и b ≠ 0. Приведя к общему знаменателю, получим 2(b 2 — a 2 ) — x(b — a) 2 > 0, ab > 0, 2(b 2 — a 2 ) — x(b — a) 2 Ы x(b — a) 2 2 — a 2 ), ab 2 > 2(b 2 — a 2 ), ab Ы ab > 0, a ≠ b, x О Ж , a = b, ab Таким образом, если a и b одиннакогого знака (ab > 0) и a ≠ b, то множество решений неравенства есть если a и b — противоположных знаков (ab a) |x + a| + |x — 2a| 2; b) |x + a| Решение. a) Заметим, что при a ≤ 0 неравенство решений не имеет. Пусть a > 0. Рассмотрим три случая: пусть x О (- Ґ ;-a], тогда |x + a| = —x — a и |x — 2a| = 2a — x и неравенство примет вид —x — a + 2a — x — 3 /2a, поскольку a > 0, пересечением множеств (- Ґ ;-a] и (а, следовательно, и множеством решений неравенства) явяется множество пусть x О (-a;2a], тогда |x + a| = x + a, и |x — 2a| = 2a — x, и неравенство примет вид x + a + 2a — x и, поскольку a > 0, любое число из интервала (-a;2a] есть решение неравенства; пусть x О (2a;+ Ґ ), тогда |x + a| = x + a и |x — 2a| = x — 2a, и неравенство примет вид x + a + x — 2a 5 /2a. Учитывая условие x > 2a, получим x О (2a; 5 /2a). Таким образом, если a ≤ 0, то неравенство не имеет решений, а если a > 0, то множество решений неравенства есть (- 3 /2a;-a] И (-a;2a] И (2a; 5 /2a) или (- 3 /2a; 5 /2a). b) Заметим, что неравенство может иметь лишь положительные решения. Для x > 0 неравенство переписывается |x + a| |x + a| Ы |x + a| Ы (x + a + ax)(x + a — ax) Ы Ы [(a + 1)x + a][(1 — a)x + a] Ы (a + 1)x + a > 0, (1 — a)x + a Ы (a + 1)x > —a, (1 — a)x —a. Если a > 1, тогда a — 1 > 0 и a + 1 > 0, и первая система совокупности примет вид откуда (учитывая, что x > 0) получим а вторая система совокупности примет вид и, так как a > 1 влечет а x > 0, система не имеет решений. Если a = 1, то первая система совокупности не имеет решений, а из второй получим x 1 /2, и, так как x > 0, то и в этом случае исходное неравенство не имеет решений. Если -1 0 и 1 — a > 0, и первая система совокупности примет вид или откуда, заметив, что получим, что первая система совокупности несовместна. Из второй системы получим и, учитывая, что x > 0, получим откуда a О [0;1), то неравенство не имеет решений, а если a О (-1;0), то множество решений неравенства есть Если a = -1, то первая система совокупности несовместна, а из второй получим x > 1 /2. Если a 0, и из первой системы следует Так как a 0, то в этом случае исходное неравенство не имеет решений. Вторая система совокупности примет вид и, поскольку x > 0, получим если a О (- Ґ ;-1) И (1;+ Ґ ), то если a О [0;1], то неравенство не имеет решений; Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать Различные методы решения уравнений Разделы: Математика I. Линейные уравнения II. Квадратные уравнения ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0, иначе уравнение становится линейным Корни квадратного уравнения можно вычислять различными способами, например: Мы хорошо умеем решать квадратные уравнения. Многие уравнения более высоких степеней можно привести к квадратным. III . Уравнения, приводимые к квадратным. замена переменной: а) биквадратное уравнение ax 2n + bx n + c = 0, a ≠ 0, n ≥ 2 2) симметрическое уравнение 3 степени – уравнение вида 3) симметрическое уравнение 4 степени – уравнение вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c b a или ax 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c (–b) a Т.к. x = 0 не является корнем уравнения, то возможно деление обеих частей уравнения на x 2 , тогда получаем: . Произведя замену решаем квадратное уравнение a(t 2 – 2) + bt + c = 0 Например, решим уравнение x 4 – 2x 3 – x 2 – 2x + 1 = 0, делим обе части на x 2 , , после замены получаем уравнение t 2 – 2t – 3 = 0 – уравнение не имеет корней. Ответ: 4) Уравнение вида (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = Ax 2 , коэффициенты ab = cd Например, (x + 2)(x +3)(x + 8)(x + 12) = 4x 2 . Перемножив 1–4 и 2–3 скобки, получим (x 2 + 14x + 24)(x 2 +11x + 24) = 4x 2 , разделим обе части уравнения на x 2 , получим: имеем (t + 14)(t + 11 ) = 4. 5) Однородное уравнение 2 степени – уравнение вида Р(х,у) = 0, где Р(х,у) – многочлен, каждое слагаемое которого имеет степень 2. IV. Все приведенные уравнения узнаваемы и типичны, а как быть с уравнениями произвольного вида? Рассмотрим метод понижения степени уравнения. Известно, что, если коэффициенты a являются целыми числами и an = 1 , то целые корни уравнения Pn(x) = 0 находятся среди делителей свободного члена a0. Например, x 4 + 2x 3 – 2x 2 – 6x + 5 = 0, делителями числа 5 являются числа 5; –5; 1; –1. Тогда P4(1) = 0, т.е. x = 1 является корнем уравнения. Понизим степень уравнения P4(x) = 0 с помощью деления “уголком” многочлена на множитель х –1, получаем Аналогично, P3(1) = 0, тогда P4(x) = (x – 1)(x – 1)(x 2 + 4x +5), т.е. уравнение P4(x) = 0 имеет корни x1 = x2 = 1. Покажем более короткое решение этого уравнения (с помощью схемы Горнера). 1 2 –2 –6 5 1 1 3 1 –5 0 1 1 4 5 0 Итак, (x – 1) 2 (x 2 + 4x + 5) = 0 Что мы делали? Понижали степень уравнения. V. Рассмотрим симметрические уравнения 3 и 5 степени. а) ax 3 + bx 2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух. б) ax 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух. Например, покажем решение уравнения 2x 5 + 3x 4 – 5x 3 – 5x 2 + 3x + = 0 2 3 –5 –5 3 2 –1 2 1 –6 1 2 0 1 2 3 –3 –2 0 1 2 5 2 0 Получаем (x – 1) 2 (x + 1)(2x 2 + 5x + 2) = 0. Значит, корни уравнения: 1; 1; –1; –2; –0,5. VI. Приведем список различных уравнений для решения в классе и дома. Предлагаю читателю самому решить уравнения 1–7 и получить ответы… 🎥 Видео Решение матричных уравненийСкачать Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать Метод неопределенных коэффициентовСкачать Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать Graph a Function of the form (ax + b) / (cx + d)Скачать Математика| Разложение квадратного трехчлена на множители.Скачать Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать УДИВИТЕЛЬНЫЙ способ решения уравнения ★ Вы такого не видели! ★ Уравнение четвертой степениСкачать КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ дискриминантСкачать Решение уравнений, 6 классСкачать Лекция 8. Решение матричных уравненийСкачать Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать Поделиться или сохранить к себе: Смотрите также Сера — химические свойства, получение, соединения. Нитрат кальция: способы получения и химические свойства Кальций: способы получения и химические свойства Гидроксид натрия: способы получения и химические свойства Гидроксид кальция: способы получения и химические свойства Получение бензола Разница между глюкозой и сахарозой Гидроксид калия: способы получения и химические свойства