Примеры решения линейных уравнений графически

Примеры решения линейных уравнений графически

Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться , такую группу уравнений мы называем системой.

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

Примеры решения линейных уравнений графически

Графический метод

Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки.

Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Например, построим графики уравнений из предыдущего примера.

Пример 1

Для этого сперва выразим y y y в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно x x x ):

Примеры решения линейных уравнений графически

Для того чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными нужно:

1) построить графики уравнений в одной системе координат;
2) найти координаты точек пересечения этих графиков (координаты точек пересечения графиков и есть решения системы);

Разберем это задание на примере.

Решить графически систему линейных уравнений.

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.

Пример 2

Примеры решения линейных уравнений графически

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может:

а) иметь единственное решение;

б) не иметь решений;

в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Пример 3

Графическое решение системы Примеры решения линейных уравнений графически

Примеры решения линейных уравнений графически

Пример 4

Решить графическим способом систему уравнений.

Примеры решения линейных уравнений графическиГрафиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Пример 5

Примеры решения линейных уравнений графическиВыражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).

ОБЯЗАТЕЛЬНО: Познакомимся с видео, где нам объяснят как решаются системы линейных уравнений графическим способом. РАССКАЖУТ, КАК РЕШАТЬ СИСТЕМЫ ГРАФИЧЕСКИ.

Видео YouTube

Видео:7 класс, 35 урок, Графическое решение уравненийСкачать

7 класс, 35 урок, Графическое решение уравнений

Графический метод решения системы линейных уравнений

Расположение графиков и количество решений системы линейных уравнений

Рассмотрим систему двух уравнений: $ <left< begin 3x-y = 5 \ 3x+2y = 8end right.>$

Построим график каждого из уравнений и найдём точку пересечения.

Точка пересечения (2;1)

Примеры решения линейных уравнений графически

Подставим координаты точки пересечения в уравнение:

$ <left< begin3 cdot 2-1 ≡ 5\ 3cdot2+2cdot1 ≡ 8end right.> Rightarrow$ (2;1) — решение системы

Таким образом, точка пересечения графиков уравнений является решением системы.

Графики двух уравнений системы могут пересекаться, быть параллельными и совпадать. Получаем разное количество решений системы в зависимости от соотношения коэффициентов уравнений:

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим способом. 7 классСкачать

Решение системы линейных уравнений графическим способом. 7 класс

Решение систем уравнений

Содержание:

Графический метод решения систем уравнений

Вспоминаем то, что знаем

Что такое график уравнения с двумя неизвестными?

Что представляет собой график линейного уравнения с двумя неизвестными?

Решите графическим методом систему линейных уравнений:

Примеры решения линейных уравнений графическиОткрываем новые знания

Решите графическим методом систему уравнений:

Примеры решения линейных уравнений графически

Как можно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными с помощью графиков уравнений этой системы? Отвечаем, проверяем себя по тексту

В курсе алгебры 7-го класса вы изучали системы линейных уравнений.

Для их решения вы применяли три метода: графический, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Эти же методы служат и для решения других систем двух уравнений с двумя неизвестными, в которых могут содержаться уравнения второй степени или другие рациональные уравнения — как целые, так и дробные.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Начнём с графического метода

Этот метод основан на том, что каждому уравнению с двумя неизвестными соответствует некоторое множество точек координатной плоскости (график этого уравнения). Построив графики уравнений, мы найдём точки пересечения этих графиков (если они есть), и пары чисел — координаты точек пересечения — будут представлять собой решения системы уравнений.

Найденные решения будут, вообще говоря, приближёнными, в зависимости от точности построений соответствующих графиков.

Таким образом, решить графически систему уравнений — значит найти общие точки графиков уравнений, входящих в систему.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Примеры с решением

Пример 1:

Решим систему уравнений:

Примеры решения линейных уравнений графически

Построим графики уравнений Примеры решения линейных уравнений графически

Графиком первого уравнения является парабола, с вершиной в точке (0; 1) и ветвями, направленными вверх, графиком второго — прямая, проходящая через точки (0; 3) и (-3; 0).

Примеры решения линейных уравнений графическиПарабола и прямая пересекаются в точках А(2; 5) и В(— 1; 2).

Проверкой убеждаемся, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы.

Ответ: (2; 5) и (-1; 2).

Пример 2:

Выясним количество решений системы уравнений:

Примеры решения линейных уравнений графически

Построим графики уравнений Примеры решения линейных уравнений графически

Графики этих уравнений — окружности. Центр первой окружности — начало координат, а её радиус равен 2; центр второй окружности — точка Р(1; — 1), её радиус равен 3.

Примеры решения линейных уравнений графическиОкружности пересекаются в двух точках М и N, координаты которых можно найти приближённо. Поскольку нам нужно определить только количество решений, мы делать этого не будем.

Ответ: Два решения.

Решение систем уравнений методом подстановки

Вспоминаем то, что знаем

Расскажите, как решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки.

Решите систему линейных уравнений методом подстановки:

Примеры решения линейных уравнений графически

Открываем новые знания

Как вы думаете, можно ли применять метод подстановки при решении систем, где не все уравнения являются линейными? При каком условии это удастся сделать?

Решите систему уравнений методом подстановки:

Примеры решения линейных уравнений графически

Как решить систему двух уравнений с двумя неизвестными методом подстановки?

Всякую ли систему двух уравнений с двумя неизвестными можно решить методом подстановки?

Ранее вы решали системы уравнений первой степени.

Теперь познакомимся с системами, в которых хотя бы одно уравнение не является линейным. Как и прежде, распространённым методом решения систем является метод подстановки.

Пример 3:

Примеры решения линейных уравнений графически

Пусть (х; у) — решение системы.

Выразим х из уравнения Примеры решения линейных уравнений графически

Примеры решения линейных уравнений графически

Подставим найденное выражение в первое уравнение:

Примеры решения линейных уравнений графически

Решим полученное уравнение:

Примеры решения линейных уравнений графически

Примеры решения линейных уравнений графически

Убедиться, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы, можно подстановкой.

Чуть сложнее дело обстоит в следующем примере.

Пример 4:

Решим систему уравнений:

Примеры решения линейных уравнений графически

Пусть (х; у) — решение системы.

Выразим у из линейного уравнения:

Примеры решения линейных уравнений графически

Подставим найденное выражение в первое уравнение системы:

Примеры решения линейных уравнений графически

После преобразований получим:

Примеры решения линейных уравнений графически

Примеры решения линейных уравнений графически

Ответ: (-0,5; 0,5), (4; 5).

Если это целесообразно, то можно осуществлять подстановку некоторого выражения «в целом».

Пример 5:

Примеры решения линейных уравнений графически

Подставим во второе уравнение Примеры решения линейных уравнений графическитогда его можно переписать в виде:

Примеры решения линейных уравнений графически

Теперь выразим х через у из первого уравнения системы:

Примеры решения линейных уравнений графически

Подставим в полученное ранее уравнение ху = 2:

Примеры решения линейных уравнений графически

Корни этого уравнения: Примеры решения линейных уравнений графически

Примеры решения линейных уравнений графически.

Иногда решить систему можно, используя метод алгебраического сложения.

Пример 6:

Примеры решения линейных уравнений графически

Сложим уравнения, предварительно умножив первое уравнение на —1. В результате получим:

Примеры решения линейных уравнений графически.

Корни этого уравнения: Примеры решения линейных уравнений графически

Подставим найденные значения в первое уравнение. Рассмотрим два случая:

1) Примеры решения линейных уравнений графически

2) Примеры решения линейных уравнений графически, получим уравнение Примеры решения линейных уравнений графическикорней нет.

Иногда упростить решение удаётся, используя различные варианты замены неизвестных.

Пример 7:

Решим систему уравнений:

Примеры решения линейных уравнений графически

Обозначим Примеры решения линейных уравнений графически

Второе уравнение системы примет вид:

Примеры решения линейных уравнений графически

Решим полученное уравнение. Получим, умножая обе части на 2а:

Примеры решения линейных уравнений графически

Примеры решения линейных уравнений графически

Осталось решить методом подстановки линейные системы:

Примеры решения линейных уравнений графически

Ответ: (2; 1), (1; 2). Решение задач с помощью систем уравнений Знакомимся с новыми знаниями

Напомним, что при решении задач обычно действуют следующим образом:

1) обозначают буквами какие-нибудь неизвестные величины, выражают через них другие величины, составляют систему уравнений;

2) решают полученную систему;

3) отвечают на вопрос задачи.

Пример 8:

Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ 13 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть х см — длина, у см — ширина (х у), тогда периметр прямоугольника — Примеры решения линейных уравнений графическисм.

Воспользуемся теоремой Пифагора: Примеры решения линейных уравнений графически

Примеры решения линейных уравнений графически

Решим систему. Выразим из первого уравнения у:

Примеры решения линейных уравнений графически

Подставим во второе уравнение:

Примеры решения линейных уравнений графически

Корни уравнения: Примеры решения линейных уравнений графически

Найдём Примеры решения линейных уравнений графически

С учётом условия Примеры решения линейных уравнений графическиполучим ответ: длина — 12 см, ширина — 5 см.

Пример 9:

Если произведение двух положительных чисел увеличить на первое из них, то получится 128. Если это же произведение увеличить на второе из них то получится 135. Найдите эти числа.

Пусть х — первое число, у — второе число.

Тогда: Примеры решения линейных уравнений графически— произведение, увеличенное на первое число, ху 4-у — произведение, увеличенное на второе число.

Примеры решения линейных уравнений графически

Вычтем из второго уравнения первое. Получим:

Примеры решения линейных уравнений графически

Дальше будем решать методом подстановки:

Примеры решения линейных уравнений графически

Подставим в первое уравнение выражение для у:

Примеры решения линейных уравнений графически

Корни уравнения: Примеры решения линейных уравнений графически(не подходит по смыслу задачи).

Найдём у из уравнения:

Примеры решения линейных уравнений графически

Получим ответ: 16 и 7.

Симметричные системы уравнений с двумя неизвестными

Уравнение с двумя неизвестными называется симметричным, если при перестановке этих неизвестных местами уравнение не меняется. Например, уравнение Примеры решения линейных уравнений графическисимметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид Примеры решения линейных уравнений графически, то есть не меняется. А вот уравнение Примеры решения линейных уравнений графическине симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид Примеры решения линейных уравнений графически, то есть меняется.

Система двух уравнений с двумя неизвестными называется симметричной, если каждое уравнение этой системы симметричное.

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ. В определении симметричной системы уравнений требуется, чтобы каждое уравнение в отдельности не менялось.

Например, если в системе уравнений

Примеры решения линейных уравнений графически

переставить местами неизвестные х и у, то получим систему:

Примеры решения линейных уравнений графически

Видно, что система в целом не изменилась (уравнения поменялись местами по сравнению с первоначальной системой). Но такая система не является симметричной, так как каждое из уравнений в отдельности изменилось.

Убедитесь, что симметричные системы с двумя неизвестными х и у можно решать с помощью замены неизвестных:

Примеры решения линейных уравнений графически

Сначала научитесь выражать через неизвестные Примеры решения линейных уравнений графическивыражения:

Примеры решения линейных уравнений графически

Примеры решения линейных уравнений графически

Примеры решения линейных уравнений графически

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Примеры решения линейных уравнений графическиПримеры решения линейных уравнений графически

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

📸 Видео

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.

Урок по теме ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 7 КЛАСССкачать

Урок по теме ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 7 КЛАСС

Графический метод решения систем линейных уравнений 7 классСкачать

Графический метод решения систем линейных уравнений 7 класс

Графический метод решения уравнений 8 классСкачать

Графический метод решения уравнений   8 класс

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Алгебра 8 класс (Урок№6 - Решение уравнений графическим способом.)Скачать

Алгебра 8 класс (Урок№6 - Решение уравнений графическим способом.)

Графический метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП)Скачать

Графический метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП)

Алгебра 9 класс. Графическое решение систем уравненийСкачать

Алгебра 9 класс. Графическое решение систем уравнений

Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать

Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 класс

Решение системы линейных уравнений графическим методом. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. Практическая часть. 7 класс.

Решение системы уравнений графическим методомСкачать

Решение системы уравнений графическим методом

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.

Алгебра 7. Урок 8 - Системы линейных уравненийСкачать

Алгебра 7. Урок 8 - Системы линейных уравнений

Графический метод решения задач линейного программирования | Высшая математика TutorOnlineСкачать

Графический метод решения задач линейного программирования | Высшая математика TutorOnline

Решение систем линейных уравнений графическим способом ( 7 класс)Скачать

Решение систем линейных уравнений графическим способом ( 7 класс)

8 класс, 21 урок, Графическое решение уравненийСкачать

8 класс, 21 урок, Графическое решение уравнений

Как решать систему уравнений графическим методом? | Математика | TutorOnlineСкачать

Как решать систему уравнений графическим методом? | Математика | TutorOnline

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnline
Поделиться или сохранить к себе: