Решение систем уравнений с нейронная сеть (4 видео)

Содержание

Digiratory
Лаборатория автоматизации и цифровой обработки сигналов
TensorFlow. Решение систем линейных уравнений
Пример решения
Можно ли обучить нейронную сеть для решения математических уравнений?
Формирование начальных условий для ускорения настройки коэффициентов нейронных сетей в задачах оптимизации
📺 Видео

Видео:Нейронные сети за 10 минутСкачать

Digiratory

Видео:Нейросеть которая решает любую задачу за несколько секундСкачать

Лаборатория автоматизации и цифровой обработки сигналов

Видео:Лекция. Обучение рекуррентной нейронной сетиСкачать

TensorFlow. Решение систем линейных уравнений

Библиотека TensorFlow широко известна, в основном, в контексте машинного обучения и нейронных сетей. Однако, TensorFlow изначально не является библиотекой машинного обучения в чистом виде, а позиционируется разработчиками, как библиотека для высокопроизводительных вычислений (high perfomance computing), а это значит, что область ее применения значительно шире. Итак, выступая на конференции с докладом о том, как мы применяли TensorFlow для задачи оценки показателей надежности, я получил вполне закономерный вопрос: «А можно ли использовать TF для решения систем уравнений?». Ответ, естественно, положительный, и в этой статье рассмотрим, как решать системы линейных алгебраических уравнений.

Для систем линейных алгебраических уравнений TensorFLow содержит уже готовые методы в пакете tf.linalg. Непосредственно для решения систем линейных уравнений используется метод tf.linalg.solve.

Метод имеет следующую сигнатуру:

Где matrix — матрица коэффициентов левой части системы в формате тензора [. M, M] (квадратная матрица), rhs — правая часть системы уравнений в формате тензора [. M, K] , adjoint — указывает на то, что матрица левой части является блочным сопряжением, Name — имя оператора в графе.

Видео:Строим Нейронную Сеть для Распознавания Изображений за 20 минутСкачать

Пример решения

В качестве примера возьмем следующую систему линейных уравнений

[
begin
2x + 3y + z = 2 \
3x + y + 2z = 7 \
x + 2y + 3z = 3
end
]

Тогда матрица левой части системы уравнений ((A)) принимает вид:

Правой части, соответственно:

Первым делом импортируем TensorFlow:

Далее создадим тензоры исходных данных. В нашем случае достаточно константных значений, однако, в общем случае это могут быть и переменные, и значения результатов других вычислений.

После создания тензоров с исходными данными применим функцию, предварительно создав сессию tensorflow.

получим следующий вывод:

Как видим, результаты соответствуют аналитическому решению.

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Можно ли обучить нейронную сеть для решения математических уравнений?

Я знаю, что нейронные сети, вероятно, не предназначены для этого, хотя и гипотетически спрашивают, возможно ли обучить глубокую нейронную сеть (или подобную) для решения математических уравнений?

Итак, учитывая 3 входа: 1-й номер, знак оператора, представленный номером (1 — + , 2 — — , 3 — / , 4 — * и т. Д.), И 2-й номер, то после обучения сеть должна дать мне действительные результаты.

Вход 1 2 :; Вход 2: 1 ( + ); Вход 3 2 :; Ожидаемый результат: 4
Вход 1 10 :; Вход 2: 2 ( — ); Вход 3 10 :; Ожидаемый результат: 0
Вход 1 5 :; Вход 2: 4 ( * ); Вход 3 5 :; Ожидаемый результат: 25
и другие

Вышеизложенное можно распространить на более сложные примеры.

Это возможно? Если да, то какая сеть может научиться / достичь этого?

Да, это было сделано!

Тем не менее, приложения не должны заменить калькуляторы или что-то в этом роде. Лаборатория, с которой я связан, разрабатывает нейронные модели эквационального мышления, чтобы лучше понять, как люди могут решить эти проблемы. Это часть области, известной как математическое познание . К сожалению, наш сайт не очень информативен, но вот ссылка на пример такой работы.

Кроме того, недавняя работа по расширению нейронных сетей для включения внешних хранилищ памяти (например, машин нейронного Тьюринга), как правило, использует решение математических задач в качестве хорошего доказательства концепции. Это связано с тем, что многие арифметические задачи включают в себя длинные процедуры с сохраненными промежуточными результатами. Смотрите разделы этой статьи о длинном двоичном сложении и умножении.

Видео:Автоматическое решение дифференциальных уравнений с помощью методов оптимизации и нейронных сетейСкачать

Формирование начальных условий для ускорения настройки коэффициентов нейронных сетей в задачах оптимизации

НИИ автоматической аппаратуры им. , Москва

Формирование начальных условий

для ускорения настройки коэффициентов

нейронных сетей в задачах оптимизации

Рассмотрено формирование начальных условий для ускорения настройки весовых коэффициентов нейронных сетей путем оптимизации области глобального экстремума функционала.

Введение. Многослойные нейронные сети при решении математических задач, как правило, формируют многоэкстремальный функционал оптимизации, причем наилучшее, а зачастую единственное, решение достигается в процессе настройки системой глобального экстремума данного функционала. В подавляющем большинстве работ выбор начальных условий предлагается осуществлять следующими способами:

• выбирать нулевые начальные условия;

• выбирать начальные условия настройки случайно. В данной работе предлагается выбирать начальные условия настройки весовых коэффициентов многослойных нейронных сетей специфическим образом при решении каждой математической задачи. В первую очередь это делается для случаев решения систем алгебраических уравнений, неравенств, аппроксимации и экстраполяции функций, распознавания образов как частной задачи аппроксимации функций, кластеризации или самообучения, оптимизации, моделирования динамических объектов.

Множество задач, решаемых в нейросетевом логическом базисе, будет расширяться [4, 5] и соответственно для них необходимо разрабатывать методы формирования начальных условий для настройки многослойных нейронных сетей.

Задача выбора (формирования) начальных условий в свою очередь делится на формирование основной идеи (алгоритма) выбора начальных условий и расчет весовых коэффициентов нейронной сети выбранной структуры как начальных для настройки в адаптивном режиме.

Некоторые задачи выбора начальных условий в данной работе только формулируются без представления окончательного решения, что с нашей точки зрения, также является важным для правильной ориентации исследователей в этой области знаний.

Главной целью работы является постановка задачи формирования начальных условий настройки коэффициентов в многослойных нейронных сетях специфическим для каждой решаемой задачи образом.

Системы линейных уравнений. Основная идея выбора начальных условий для двух вариантов исследуемых нейросетевых алгоритмов решения систем алгебраических уравнений представлена на рис. 1, а и б.

Рис. 1. Схема нейросетевого алгоритма решения системы

алгебраических уравнений: а – вариант 1; б – вариант 2

В первом варианте нейросетевого алгоритма решения систем алгебраических уравнений в случае однослойной нейронной сети начальные значения вектора X предложено вычислять, решая N уравнений одной переменной, формируя их коэффициенты выделением (главной) диагонали матрицы А, либо N уравнений двух переменных, формируя их коэффициенты выделением двух диагоналей матрицы А (главной и соседней с ней сверху или снизу). Можно рассматривать вариант выделения трех диагоналей матрицы А (главной и двух соседних). Выбор числа диагоналей в матрице определяется допустимым временем решения диагональных систем уравнений обычными методами для вычисления Х(0) последующего решения системы линейных уравнений нейросетевым алгоритмом. Как отмечалось многократно ранее, эта процедура эффективна для систем большой размерности. В данном случае проблемой остается выбор начальных значений весовых коэффициентов во втором, третьем и т. д. слоях многослойной нейронной сети, решающей систему алгебраических уравнений в структуре, представленной на рис. 1, а.

В работе [5] предложен модифицированный подход к нейросетевым алгоритмам решения систем алгебраических уравнений, представленный на рис. 1, б. Здесь входом нейронной сети являются матрица А и вектор b, а выходом — искомое решение X. Основная задача заключается в том, чтобы, формируя выходной сигнал нейронной сети, найденный по первому методу решения систем алгебраических уравнений, вычислить коэффициенты нейронной сети, которые удовлетворяли бы соотношению X(0)=F<W(0),A, b>, где F – преобразование, осуществляемое нейронной сетью, a W(0) – набор начальных значений весовых коэффициентов нейронной сети определенной структуры.

Системы линейных неравенств. При решении систем линейных неравенств выбор начальных условий настройки коэффициентов многослойных нейронных сетей возможно проводить так же как и при решении систем линейных уравнений с соответствующей заменой знаков неравенств в системе неравенств на знаки равенств.

Аппроксимация и экстраполяция функций. Достаточно распространенным является мнение о том, что нейронные сети являются наиболее эффективными аппроксиматорами и экстраполяторами функций. Это напрямую связано с естественным развитием теории фильтрации и экстраполяции сигналов от линейной теории, где количество априорной информации о полезных сигналах и помехах достаточно велико, к нелинейной теории. Причем аппарат нейронных сетей применительно к задаче фильтрации и экстраполяции сигналов охватывает и обобщает достаточно большое количество попыток решить проблему нелинейной обработки другими средствами. Нейронные сети решают задачи фильтрации и экстраполяции сигналов для сложных и неизвестных характеристик полезного сигнала, зачастую переменных во времени, сложных и переменных во времени характеристик помех. В рамках нейронных сетей были начаты попытки построения многомерных фильтров и экстраполяторов.

С нашей точки зрения, естественным при построении адаптивных аппроксиматоров и экстраполяторов функций, адаптивных фильтров является выбор в качестве начальных условий настройки многослойных нейронных сетей эквивалентного линейного фильтра. Линейный дискретный фильтр Заде и Рагаззини представляет собой z-фильтр порядка, равного памяти системы фильтрации или экстраполяции с коэффициентами, рассчитываемыми как функции памяти N и времени экстраполяции а. Так как линейный фильтр синтезируется, исходя из априорной информации о сигнале известной функциональной формы и аддитивной к полезному сигналу помехе, в частности в виде белого шума, то может существовать несколько наборов весовых коэффициентов фильтров для полезных сигналов различной сложности и соответственно рассчитываемых с различной вычислительной сложностью. Основная задача здесь состоит в том, чтобы пересчитать коэффициенты z-фильтра в соответствующие начальные коэффициенты нейронной сети определенной структуры.

Распознавание образов. Впервые задача выбора начальных условий для адаптивной настройки нейронных сетей, решающих задачу распознавания образов была поставлена в работе [1]. В данной работе рассматриваются два метода выбора указанных начальных условий: выбор случайных начальных условий и выбор детерминированных начальных условий. Случайный выбор начальных условий производится ввиду многоэкстремальности функционала вторичной оптимизации, связанной с многомодальностью распределений ƒ(X) входного сигнала и ограниченностью структуры разомкнутой нейронной сети. Случайные элементы в процедуру поиска экстремума функционала вторичной оптимизации вводятся в связи с необходимостью поиска локальных и глобального экстремумов указанного функционала. Необходимость поиска локальных экстремумов обусловлена необходимостью решения задачи минимизации структуры многослойной нейронной сети при анализе результатов настройки. На первом этапе использования случайных начальных условий (и следующего за ним этапа усреднения результатов настройки по множеству этапов выброса случайных начальных условий) создается впечатление о большом числе локальных экстремумов функционала вторичной оптимизации в пространстве настраиваемых коэффициентов. Однако в связи с этим необходимо отметить, что при усложнении структуры разомкнутой нейронной сети увеличивается множественность состояний многослойной нейронной сети, оцениваемая по величине функционала вторичной оптимизации. Иначе говоря, большинство локальных экстремумов функционала в пространстве настраиваемых коэффициентов обеспечивают одно и то же качество распознавания. Это замечание необходимо связывать с описываемыми ниже методами оценки качества многослойных нейронных сетей по значению функционала вторичной оптимизации по текущим сигналам в нейронной сети. С учетом вышесказанного, можно отметить правомерность подхода к настройке с использованием случайных начальных условий, хотя этот подход, очевидно, вводит избыточность во времени настройки нейронной сети с целью полного изучения входного сигнала (в частности, нахождения глобального экстремума функционала).

Целью введения детерминированных начальных условий является априорное введение нейронной сети в область одного из локальных экстремумов функционала вторичной оптимизации в пространстве настраиваемых коэффициентов. На уровне геометрии первого, второго слоя и последующих слоев многослойная нейронная сеть должна быть максимально аморфна, рассредоточена, т. е. подготовлена к решению наиболее сложной (с точки зрения модальности ƒ(X) задачи распознавания). Мыслимая конфигурация разделяющей поверхности в этом случае при обучении распознаванию двух классов образов представлена на рис. 2 (предварительный вариант). Окончательный вариант может быть определен только при введении критерия аморфности, рассредоточенности. Очевидно, что минимально аморфной и рассредоточенной является многослойная нейронная сеть, в которой все коэффициенты нейронов первого слоя одинаковы и соответствующие разделяющие поверхности смещены к «краю» пространства признаков. На рис. 2 пунктиром обозначена физически реализуемая в нейронной сети область пространства признаков. Это распространяется и на режим самообучения, если не указывалась заранее принадлежность клеток рис. 2 к тому или иному классу. Начальные условия на настраиваемые коэффициенты второго и последующих слоев рассчитываются по геометрии разделяющей поверхности, реализуемой нейронами первого слоя с указанием принадлежности областей исходного пространства признаков к тому или иному классу. Один из методов выбора детерминированных начальных условий был предложен в работе[1].

Рис. 2. Разделяющая поверхность при выборе начальных условий:

1 – первый класс; 2 – второй класс

В заключение данного пункта необходимо отметить, что методы, используемые при выборе начальных условий, можно упорядочить по виду используемой информации:

выбор случайных начальных условий без использования обучающей выборки;

выбор детерминированных начальных условий без использования обучающей выборки;

выбор начальных условий с использованием выборки, этот способ связан с возможностью использования для выбора начальных коэффициентов нейронной сети с фиксированной структурой результатов обучения нейронной сети с переменной структурой [1, 3].

Кластеризация. Впервые задача выбора начальных условий для адаптивной настройки нейронных сетей, решающих задачу кластеризации, была поставлена в работе [1]. Естественным вариантом выбора начальных условий процесса адаптации в многослойных нейронных сетях, решающих задачу кластеризации, является построение начальной разделяющей поверхности в многомерном пространстве признаков так, как это показано на рис. 2 без указания принадлежности областей к тому или иному классу. Весовые коэффициенты нейронов первого и последующих слоев формируются исходя из геометрии предполагаемой разделяющей поверхности с равномерным разбиением многомерного пространства признаков на области, соответствующие предполагаемым кластерам.

Задача коммивояжера. Задача коммивояжера является частной задачей линейного программирования, в то время как задача линейного программирования является частной задачей оптимизации наряду с задачами квадратичного и нелинейного программирования. Задача коммивояжера заключается в нахождении маршрута минимальной длины между N городами при выходе из определенного города и возвращении в него.

Возможным вариантом выбора начальных условий, начального маршрута при решении задачи коммивояжера является выбор маршрута, выбираемого последовательно, начиная с исходного города поиском ближайшего к нему, затем ближайшего к выбранному и т. д.

Моделирование динамических систем. Идентификация динамических систем с помощью нейронных сетей наиболее эффективна в случае существенно нелинейных систем, систем с переменными параметрами и структурой, а также многомерных и распределенных систем. В простейшем случае линейной системы идентификация осуществляется подачей на вход системы ступенчатого сигнала любой амплитуды и нахождением z-преобразования переходного процесса. Моделью системы в данном случае является z-фильтр с коэффициентами z-передаточной функции. В случае более сложных систем, указанных выше, начальную информацию об объекте моделирования можно получить, подавая на вход последовательность ступенчатых сигналов различной амплитуды в диапазоне изменения входных сигналов от нуля до ХВХmах (рис. 3). При этом вследствие существенной нелинейности объекта, реакции на различные ступенчатые сигналы не будут линейно-зависимыми, т. е. z-преобразование реакций системы на ступенчатые входные сигналы различной амплитуды можно использовать для формирования начальных значений коэффициентов нейронов первого слоя многослойной нейронной сети, идентифицирующей исследуемый объект. Предметом исследований здесь остается вопрос формирования начальных значений коэффициентов последующих слоев многослойной нейронной сети с полными последовательными связями, а также коэффициентов обратных связей в случае использования для идентификации нейронных сетей с настраиваемыми обратными связями.

Рис. 3. К выбору начальных условий адаптации в многослойных нейронных сетях

при решении задачи идентификации динамических систем

Заключение. Выбор начальных условий для настройки многослойных нейронных сетей является важным средством для увеличения скорости сходимости адаптивных алгоритмов и обеспечения сходимости к глобальному экстремуму функционала оптимизации. К сожалению, этому вопросу практически не уделяется внимание в классической вычислительной математике при разработке итерационных алгоритмов решения сложных задач. Каждая задача, решаемая в нейросетевом логическом базисе, требует своего способа формирования начальных условий для адаптивного алгоритма настройки многослойной нейронной сети. Это будет предметом развития данной работы в дальнейшем, при решении класса задач, решаемых в нейросетевом логическом базисе.

1. Галушкин многослойных систем распознавания образов. — М.: «Энергия», 1974.

2. , , Шабанов : методы решения задач на нейрокомпьютерах. — Математическое моделирование, АНСССР, 1991. т. 3, № 8.

3. Галушкин A. И. Теория нейронных сетей, (серия «Нейрокомпьютеры и их применение», книга 1). — М.: ИПРЖР, 2000.

4. Нейроматематика (серия »Нейрокомпьютеры и их применение», книга 6). — М.: ИПРЖР, 2002.

5. Галушкин A. И. Нейроматематика (проблемы развития).- Нейрокомпьютеры: разработка и применение, №

6. Галушкин A. И. Расчет и проектирование оптимальных дискретных фильтров // В сб. «Автоматическое управление и вычислительная техника». — Машгиз, 1968, вып. 9.

7. Galushkin A. I. Neurocomputers and neuromathematics.- Washington, 1968.

8. , , Пантюхин методы решения систем линейных алгебраических уравнений. VIII Всероссийская конференция «Нейрокомпьютеры и их применение», НКП-2002. — М., 21-22 марта 2002 г.

9. Пантюхин методы решения систем линейных алгебраических уравнений. XLV Научная конференция Московского физико-технического института «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». — Москва — Долгопрудный. 29-30 Ноября 2002 г.. 4.1, с. 79.

10. Пантюхин нейросетевого алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений. Международная конференция «Цифровая обработка сигналов и ее применение» DSPA-2003, 12-14 Марта 2003г., — Москва, Россия, т.2, с. 607.