Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Содержание
  1. Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения
  2. Эллипс
  3. Гипербола
  4. Кривые второго порядка на плоскости
  5. Кривые второго порядка в математике с примерами решения и образцами выполнения
  6. Окружность и ее уравнения
  7. Эллипс и его каноническое уравнение
  8. Исследование формы эллипса по его уравнению
  9. Другие сведения об эллипсе
  10. Гипербола и ее каноническое уравнение
  11. Исследование формы гиперболы по ее уравнению
  12. Другие сведения о гиперболе
  13. Асимптоты гиперболы
  14. Эксцентриситет гиперболы
  15. Равносторонняя гипербола
  16. Парабола и ее каноническое уравнение
  17. Исследование формы параболы по ее уравнению
  18. Параллельный перенос параболы
  19. Уравнения кривых второго порядка как частные случаи общего уравнения второй степени с двумя переменными
  20. Дополнение к кривым второго порядка
  21. Эллипс
  22. Гипербола
  23. Парабола
  24. Пример задачи решаемой с применением кривых второго порядка
  25. Кривая второго порядка и её определение
  26. Окружность и ее уравнение
  27. Уравнение окружности как частный вид общего уравнения второй степени
  28. Эллипс и его уравнение
  29. Исследование уравнения эллипса
  30. Эксцентриситет эллипса
  31. Связь эллипса с окружностью
  32. Гипербола и ее уравнение
  33. Исследование уравнения гиперболы
  34. Эксцентриситет гиперболы
  35. Асимптоты гиперболы
  36. Равносторонняя гипербола
  37. Уравнение равносторонней гиперболы, отнесенной к асимптотам
  38. Парабола и ее простейшее уравнение
  39. Исследование уравнения параболы
  40. Уравнение параболы со смещенной вершиной и осью, параллельной оси Оу
  41. Конические сечения
  42. Кривая второго порядка и её вычисление
  43. Уравнение линии в декартовых и полярных координатах
  44. Окружность
  45. Эллипс
  46. Гипербола
  47. Парабола
  48. Понятие о приведении общего уравнения второго порядка к каноническому виду
  49. Решение заданий на тему: Кривые второго порядка
  50. Математический портал
  51. Nav view search
  52. Navigation
  53. Search
  54. Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство эллипса и гиперболы.
  55. 📸 Видео

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

Видеоурок "Гипербола"

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

  1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами
  2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазывается уравнением фигуры, если Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

  1. дано уравнение Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии надо построить фигуру Ф, уравнением которой является Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами;
  2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

  1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
  2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Видео:Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математика

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами).

Точки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазываются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамикоординаты которой задаются формулами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамибудет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Число Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазывается эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамихарактеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамистановится более вытянутым

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Их длины Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамизадаются формулами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиПрямые Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазываются директрисами эллипса. Директриса Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазывается левой, а Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами— правой. Так как для эллипса Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е. Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиесть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами).

Точки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазываются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиобозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Тогда Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиА расстояние Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиПодставив в формулу r=d, будем иметьУравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Возведя обе части равенства в квадрат, получимУравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиили

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамитакже определяют параболы.

Легко показать, что уравнение Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиО. Для этого выделим полный квадрат:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

и сделаем параллельный перенос по формуламУравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиУравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамигде р — положительное число, определяется равенством Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстояниюУравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условиюУравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, запишем это равенство с помощью координат: Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, или после упрощения Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Видео:Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |Скачать

Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамикоторое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами— мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазывают вершинами эллипса, а Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами— его фокусами (рис. 12).

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии характеризует форму эллипса. Для окружности Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиЧем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами— каноническое уравнение эллипса с центром в точке Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамибольшей полуосью а=3 и меньшей полуосью Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Найдем эксцентриситет эллипса:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиа оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамипараллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е. Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

В новой системе координат координаты Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамивершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Переходя к старым координатам, получим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Построим график эллипса.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиЗадача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Эллипс. Гипербола. Их вырожденияСкачать

Эллипс.  Гипербола.  Их вырождения

Кривые второго порядка в математике с примерами решения и образцами выполнения

1) всякая прямая в прямоугольной системе координат Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиопределяется уравнением первой степени относительно переменных Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами;

2) всякое уравнение первой степени Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамив прямоугольной системе координат определяет прямую и притом единственную.

Мы займемся изучением линий, определяемых уравнениями второй степени относительно текущих
координат Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Коэффициенты уравнения (1) могут принимать различные действительные значения, исключая одновременное равенство Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминулю (в противном случае уравнение (1) не будет уравнением второй степени).

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Видео:Лекция 31.2. Кривые второго порядка. Гипербола.Скачать

Лекция 31.2. Кривые второго порядка. Гипербола.

Окружность и ее уравнения

Как известно, Окружностью называется множество всех точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки, называемой центром.

Пусть дана окружность радиуса Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамис центром в точке Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамитребуется составить ее уравнение.

Возьмем на данной окружности произвольную точку Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами
(рис. 38). Имеем

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

удовлетворяют координаты произвольной точки окружности. Более того, этому уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности, так как Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Следовательно, (I) есть уравнение окружности радиуса Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамис центром в точке Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Если центр окружности находится на оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, т. е. если Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, то уравнение (I) примет вид

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Если центр окружности находится на оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамит. е. если Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамито уравнение (I) примет вид

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Наконец, если центр окружности находится в начале координат, т. е. если Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, то уравнение (I) примет вид

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Пример:

Составить уравнение окружности радиуса Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамис центром в точке Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Решение:

Имеем: Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Подставив эти значения в уравнение (I), найдем Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиУравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Из изложенного выше следует, что уравнение окружности является уравнением второй степени относительно переменных Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, как бы она ни была расположена в плоскости Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Уравнение окружности (I) является частным случаем общего уравнения второй степени с
переменными Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

В самом деле, раскрыв скобки в уравнении (1), получим

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Справедливо следующее утверждение: если в уравнении (5) Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, то Уравнение (5) определяет окружность.

Действительно, разделив уравнение (5) почленно на Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, получим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Дополним группы членов, стоящие в скобках, до полного квадрата:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Положим Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиТак как, по условию, Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамито можно положить Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами
Получим

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Если в уравнении Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамито оно определяет точку Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами(говорят также, что окружность вырождается в точку). Если же Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамито уравнению (5) не удовлетворяет ни одна пара действительных чисел (говорят также, что уравнение (5) определяет «мнимую» окружность).

Пример:

Найти координаты центра и радиус окружности

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Решение:

Сравнивая данное уравнение с уравнением (1), находим: Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Следовательно, Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Пример:

Установить, какое из уравнений:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

определяет окружность. Найти координаты центра и радиус каждой из них.

Решение:

Первое уравнение не определяет окружность, потому что Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Во втором уравнении Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Однако и оно не определяет окружность, потому что Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. В третьем уравнении условия Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамивыполняются. Для окончательного вывода преобразуем его так:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Это уравнение, а следовательно, и уравнение 3), определяет окружность с центром Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии радиусом Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

В четвертом уравнении также выполняются условия Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиОднако преобразовав его к виду
Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, устанавливаем, что оно не определяет никакой линии.

Эллипс и его каноническое уравнение

Определение:

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Составим уравнение эллипса, фокусы Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамикоторого лежат на оси
Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии находятся на одинаковом расстоянии от
начала координат (рис. 39).

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Обозначив Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, получим Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиПусть Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамипроизвольная точка эллипса. Расстояния Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазываются фокальными радиусами точки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Положим

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

тогда, согласно определению эллипса, Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами— величина постоянная и Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиПо формуле расстояния между двумя точками находим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Подставив найденные значения Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамив равенство (1), получим уравнение эллипса:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Преобразуем уравнение (3) следующим образом!

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Имеем: Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиположим

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

последнее уравнение примет вид

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Так как координаты Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамилюбой точки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиэллипса удовлетворяют уравнению (3),то они удовлетворяют уравнению (5).

Покажем, что справедливо и обратное: если координаты точки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиудовлетворяют уравнению (5) то она принадлежит эллипсу.

Пусть Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами— произвольная точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (5). Так как из (5)

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

то Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиоткуда

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Подставив (6) в соотношения (2) и проведя необходимые упрощения, получим

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Но так как Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамито

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

т. е. точка Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамидействительно принадлежит эллипсу.

Уравнение (5) называется каноническим уравнением
эллипса.

Исследование формы эллипса по его уравнению

Определим форму эллипса по его каноническому
уравнению

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

1. Координаты точки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамине удовлетворяют уравнению (1), поэтому эллипс, определяемый этим уравнением не проходит через начало координат.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив в уравнении (1) Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, найдем Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиСледовательно, эллипс пересекает ось Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамив точках Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Положив в уравнении (1) Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, найдем точки пересечения эллипса с осью Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами:
Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами(рис.40).

3. Так как в уравнение (1) переменные Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамивходят только в четных степенях, то эллипс симметричен относительно координатных осей, а следовательно, и относительно начала координат.

4. Определим область изменения переменных Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. В предыдущем параграфе (см. (7)) мы уже показали, что

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Аналогично, переписав уравнение эллипса (1) в виде

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

получим Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиоткуда Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиили Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Таким образом, все точки эллипса находятся внутри прямоугольника, ограниченного прямыми Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами
(см. рис, 40).

5. Переписав уравнение (1) соответственно в вида

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

мы видим, что при возрастании Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиот 0 до Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамивеличина Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиубывает от Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамидо 0, а при возрастании Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиот 0 до Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамивеличина Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиубывает от Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамидо 0. Эллипс имеет форму, изображенную на рис. 41.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Точки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамипересечения эллипса с осями координат
называются вершинами эллипса. Отрезок Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазывается
большой осью эллипса, а отрезок Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамималой осью. Оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиявляются осями симметрии эллипса, а точка Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамицентром симметрии (или просто центром) эллипса.

Пример:

Определить длину осей и координаты фокусов эллипса Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Решение:

Разделив обе части данного уравнения на 1176, приведем его к каноническому виду

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Следовательно, Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Пример:

Составить каноническое уравнение эллипса, если фокусное расстояние равно 10, а малая ось равна 6.

Решение:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Другие сведения об эллипсе

Мы рассмотрели эллипс, у которого Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиЕсли же Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамито уравнение

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

определяет эллипс, фокусы которого лежат на оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами(рис. 42). В этом случае длина большой оси равна Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, а малой Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Кроме того, Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамисвязаны между собой равенством

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Определение:

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси и обозначается буквой Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Если Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, то, по определению,

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

При Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиимеем

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Из формул (3) и (4) следует Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. При этом с
увеличением разности между полуосями Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиувеличивается соответствующим образом и эксцентриситет

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

эллипса, приближаясь к единице; при уменьшении разности между Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиуменьшается и эксцентриситет, приближаясь к нулю. Таким образом, по величине эксцентриситета можно судить о форме эллипса: чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс; чем меньше эксцентриситет, тем круглее эллипс. В частности, если Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии уравнение эллипса примет вид Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, которое определяет окружность с центром в начале координат. Таким образом, окружность можно рассматривать как частный случай эллипса, у которого полуоси равны между собой, а следовательно, эксцентриситет равен нулю.

Из рис. 43, на котором изображены эллипсы Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии окружность Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, хорошо видна зависимость формы эллипса от его эксцентриситета. В заключение поясним, как можно построить эллипс

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Для этого на осях координат строим вершины эллипса Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Затем из вершины Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами(можно из Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами) радиусом, равным а, на большой оси делаем засечки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами(рис. 44). Это будут фокусы эллипса, потому что Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Далее, берем нерастяжимую нить, длина которой равна Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, и закрепляем ее концы в найденных фокусах. Натягиваем нить

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

острием карандаша и описываем кривую, оставляя нить все время в натянутом состоянии.

Пример:

Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, если его большая ось равна 14 и Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Решение. Так как фокусы лежат на оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, то Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиПо
формуле (2) находим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Следовательно, искомое уравнение, будет

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Видео:Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. Эллипс

Гипербола и ее каноническое уравнение

Определение:

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Составим уравнение гиперболы, фокусы которой Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамилежат на оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии находятся на одинаковом расстоянии от начала координат (рис. 45).

Обозначив Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиполучим Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, Пусть
Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами— произвольная точка гиперболы.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Расстояния Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазываются фокальными радиусами точки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Согласно определению гиперболы

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

где Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами— величина постоянная и Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиПодставив

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

в равенство (1), получим уравнение гиперболы

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнение (2) можно привести к более простому виду; для этого преобразуем его следующим образом:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Имеем: Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Положим

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

тогда последнее равенство принимает вид

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Так как координаты Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамилюбой точки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамигиперболы удовлетворяют уравнению (2), то они удовлетворяют и уравнению (4).

Как и в случае эллипса (см. конец § 2), можно показать, что справедливо и обратное: если координаты точки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиудовлетворяют уравнению (4), то она принадлежит гиперболе.

Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперболы.

Исследование формы гиперболы по ее уравнению

Определим форму гиперболы по ее каноническому уравнению

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

1. Координаты точки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами(0; 0) не удовлетворяют уравнению (1), поэтому гипербола, определяемая этим уравнением, не проходит через начало координат.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив в уравнении (1) Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, найдем Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Следовательно, гипербола пересекает ось Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамив точках Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Положив в уравнение (1) Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, получим Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, а это означает, что система

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

не имеет действительных решений. Следовательно, гипербола не пересекает ось Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

3. Так как в уравнение (1) переменные Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамивходят только в четных степенях, то гипербола симметрична относительно координатных осей, а следовательно, и относительно начала координат.

4. Определим область изменения переменных Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами; для этого из уравнения. (1) находим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Имеем: Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиили Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами; из (3) следует, что Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами— любое действительное число. Таким образом, все точки гиперболы расположены слева от прямой Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии справа от прямой Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

5. Из (2) следует также, что

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Это означает, что гипербола состоит из двух ветвей, одна из которых расположена справа от прямой Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, а другая слева от прямой Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Гипербола имеет форму, изображенную на рис. 46.

Точки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамипересечения гиперболы с осью Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазываются вершинами гиперболы. Отрезок Рис. 46.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

соединяющий вершины гиперболы, называется действительной осью. Отрезок Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, называется мнимой осью. Число Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазывается действительной полуосью, число Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамимнимой полуосью. Оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиявляются осями симметрии гиперболы. Точка Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамипересечения осей симметрии называется центром гиперболы. У гиперболы (1) фокусы Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамивсегда находятся на действительной оси.

Пример:

Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в точках Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, а расстояние между фокусами равно 14.

Решение:

Имеем: Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. По формуле Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминаходим Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Следовательно, искомое уравнение будет

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Пример:

Составить каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, если длина ее действительной оси равна 16 и гипербола проходит через точку Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Решение:

Имеем: Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Положив в уравнении (1) Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, получим

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Другие сведения о гиперболе

Асимптоты гиперболы

Определение:

Прямая Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазывается
асимптотой кривой Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамипри Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, если

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Аналогично определяется асимптота при Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Докажем, что прямые

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

являются асимптотами гиперболы

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

при Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Так как прямые (2) и гипербола (3) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти (рис. 47). Напишем уравнения прямых (2) и гиперболы (3), соответствую*
щие первой четверти:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Положив Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминайдем:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Следовательно, прямые (2) являются асимптотами гиперболы (3).

Отметим, что асимптоты (2) совпадают с диагоналям прямоугольника, стороны которого параллельны осям Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии равны соответственно Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, а его центр находится в начале координат. При этом ветви гиперболы расположены внутри вертикальных углов,
образуемых асимптотами, и приближаются сколь угодно близко к асимптотам (рис.48).

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Пример:

Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии, имеющей асимптоты Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Решение:

Из данных уравнений асимптот имеем:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Заменив в уравнении гиперболы переменные Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамикоординатами точки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиего найденным значением, получим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Следовательно, искомое уравнение будет

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Эксцентриситет гиперболы

Определение:

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

к длине действительной оси и обозначается буквой Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Из формулы Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами(§ 5) имеем Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамипоэтому

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Пример:

Найти эксцентриситет гиперболы Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Решение:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

По формуле (5) находим

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Равносторонняя гипербола

Гипербола называется равносторонней, если длины ее полуосей равны между собой, т. е. Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. В этом случае уравнение гиперболы принимает вид

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Равносторонняя гипербола определяется одним пара*
метром Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии асимптотами являются биссектрисы координатных углов:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

У всех равносторонних гипербол один и тот же эксцентриситет:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Так как асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны, их можно принять за оси новой системы координат Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиполученной в результате поворота осей старой системы вокруг начала координат на угол Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами(рис.49).

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Составим уравнение равносторонней гиперболы относительно новой системы координат Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Для этого воспользуемся формулами
(4) § 3 гл. 2:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Положив Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, получим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Учитывая равенство (6), получим

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнение (8) называется уравнением равносторонней гиперболы, отнесенной к своим асимптотам.

Из уравнения (8) следует, что переменные Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами— величины обратно пропорциональные. Таким образом, равносторонняя гипербола, отнесенная к своим асимптотам, представляет собой график обратно пропорциональной зависимости.

Пример:

Составить каноническое уравнение
равносторонней гиперболы, проходящей через точку Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Решение:

Заменив в уравнении (6) переменные Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамикоординатами точки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, получим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Следовательно, искомое уравнение будет

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Видео:Лекция 14, 2021. Вывод уравнения эллипса и гиперболыСкачать

Лекция 14,  2021. Вывод уравнения эллипса и гиперболы

Парабола и ее каноническое уравнение

Определение:

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, не проходящей через данную точку и
называемой директрисой.

Составим уравнение параболы, фокус Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамикоторой лежит на оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, а
директриса Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамипараллельна оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии удалена от нее на такое же расстояние, как и фокус от начала координат (рис.50).

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Расстояние от фокуса Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамидо директрисы Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазывается параметром параболы и обозначается через Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Из рис. 50 видно, что Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиследовательно, фокус имеет координаты Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, а уравнение директрисы имеет вид Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, или Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Пусть Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами— произвольная точка параболы. Соединим точки
Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии проведем Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Непосредственно из рис. 50 видно, что

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

а по формуле расстояния между двумя точками

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

согласно определению параболы

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнение (1) является искомым уравнением параболы. Для упрощения уравнения (1) преобразуем его следующим образом:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Последнее уравнение эквивалентно

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Координаты Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиточки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамипараболы удовлетворяют уравнению (1), а следовательно, и уравнению (3).

Покажем, что справедливо и обратное: если координаты точки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиудовлетворяют уравнению (3), то она принадлежит параболе.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Но так как из (3) Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, и в левой части последнего уравнения можно оставить знак «плюс», т. е. оно является исходным уравнением параболы (1).

Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы.

Исследование формы параболы по ее уравнению

Определим форму параболы по ее каноническому уравнению

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

1. Координаты точки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиудовлетворяют уравнению (1), следовательно, парабола, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат.

2. Так как в уравнение (1) переменная Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамивходит только в четной степени, то парабола Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамисимметрична относительно оси абсцисс.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Так как Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Следовательно, парабола Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамирасположена справа от оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

4. При возрастании абсциссы Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиордината Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиизменяется от Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, т. е. точки параболы неограниченно удаляются как от оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, так и от оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Парабола Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиимеет форму, изображенную на рис. 51.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Ось Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиявляется осью симметрии параболы. Точка Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамипересечения параболы с осью симметрии называется вершиной параболы. Отрезок Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазывается фокальным радиусом точки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

5. Если фокус параболы лежит слева от оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, а директриса справа от нее, то ветви параболы расположены слева от оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами(рис. 52, а). Уравнение такой параболы имеет вид

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Координаты ее фокуса будут Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами; директриса Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиопределяется уравнением Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

6. Если фокус параболы имеет координаты Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, а директриса Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамизадана уравнением Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, то ветви параболы направлены вверх (рис. 52,6), а ее уравнение имеет вид

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

7. Наконец, если фокус параболы имеет координаты Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиа директриса Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамизадана уравнением Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, то ветви параболы направлены вниз (рис. 52, в), а ее уравнение имеет вид

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Пример:

Дана парабола Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Найти координаты ее фокуса и составить уравнение директрисы.

Решение:

Данная парабола симметрична относительно оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, ветви направлены вверх. Сравнивая данное уравнение с уравнением (3), находим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Следовательно, фокус имеет координаты Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, а уравнение директрисы будет Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, или Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Пример:

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, директриса которой задана уравнением Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Решение:

Из условия задачи следует, что парабола симметрична относительно оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии ветви расположены слева от оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, поэтому искомое уравнение имеет вид Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Так как Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии, следовательно, Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Параллельный перенос параболы

Пусть дана парабола с вершиной в точке Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, ось симметрии которой параллельна оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, а ветви направлены вверх (рис. 53).

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Требуется составить ее уравнение. Сделаем параллельный перенос осей координат, поместив начало в точке Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Относительно новой системы координат Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамипарабола определяется уравнением

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Чтобы получить уравнение данной параболы относительно старой системы, воспользуемся формулами преобразования прямоугольных координат при параллельном переносе;

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Подставив значения Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамииз формул (2) в уравнение (1), получим

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Преобразуем это уравнение следующим образом:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

С уравнением параболы вида (5) читатель хорошо знаком по школьному курсу.

Пример 1. Составить уравнение параболы с вершиной в точке Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии с фокусом в точке Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами(у них абсциссы одинаковы), ветви параболы направлены вверх (ордината фокуса больше ординаты вершины), расстояние фокуса от вершины равно Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Заменив в уравнении (3) Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамикоординатами точки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиего найденным значением, получим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Пример:

Дано уравнение параболы

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Привести его к каноническому виду.

Решение:

Разрешив данное уравнение относительно переменной Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, получим

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Сравнивая это уравнение с уравнением (5), находим Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиИз формул (4) имеем: Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами
следовательно, Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиПодставляем найденные значения Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамив уравнение (3):

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Положив Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиполучим Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамит. е, каноническое уравнение данной параболы.

Уравнения кривых второго порядка как частные случаи общего уравнения второй степени с двумя переменными

Выше было установлено, что уравнение окружности есть частный случай общего уравнения второй степени с переменными Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Покажем, что и канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы являются частными случаями уравнения (1). В самом деле:
1) при Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиуравнение (1) примет вид

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

т. е. определяет эллипс;
2) при Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиуравнение (1) примет вид

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

т. е. определяет гиперболу;
3) при Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиуравнение (1) примет вид Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамит. е. определяет параболу.

Видео:#198. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛАСкачать

#198. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА

Дополнение к кривым второго порядка

Пусть задана кривая, определяемая уравнением второй степени

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

где Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами— действительные числа; Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиодновременно не равны нулю. Эта кривая называется кривой второго порядка.

Приведем еще одно определение кривой второго порядка.

Геометрическое место точек плоскости, для которых отношение их расстояний до заданной точки, называемой фокусом, и до заданной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная, равная Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, является кривой 2-го порядка с эксцентриситетом, равным Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Если Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, то кривая второго порядка — эллипс; Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами— парабола; Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами— гипербола.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиэтой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Каноническое уравнение эллипса: Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Если Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, то эллипс расположен вдоль оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами; если Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, то эллипс расположен вдоль оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами(рис. 9а, 9б).

Если Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, то, сделав замену Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, перейдем в «штрихованную» систему координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение эллипса имеет канонический вид, называется канонической.

Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Расстояния от начала координат до вершин Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазываются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Центр симметрии эллипса, совпадающий с началом координат, называется центром эллипса.

Если Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами— расстояние от начала координат канонической системы координат до фокусов, то Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Отношение Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазывается эксцентриситетом эллипса.

Расстояние от произвольной точки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы, т.е. Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе имеют вид Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиэтой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами(рис. 10).

Декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение гиперболы имеет канонический вид, называется канонической. Каноническое уравнение гиперболы:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Ось абсцисс канонической системы пересекает гиперболу в точках, называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазываются вещественной и мнимой полуосями гиперболы. Центр симметрии гиперболы, совпадающий с началом координат, называется центром гиперболы.

Если Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами— расстояние от начала координат канонической системы координат до фокусов гиперболы, то Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Отношение Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазывается эксцентриситетом гиперболы.

Расстояние от произвольной точки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, лежащей на гиперболе, до каждого из фокусов равно Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Гипербола с равными полуосями Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазывается равносторонней.

Прямые с уравнениями Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамив канонической системе называются асимптотами гиперболы.

Прямые Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазывают директрисами гиперболы в канонической системе координат.

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиэтой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости (рис. 11).

Указанная точка Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазывается фокусом параболы, а фиксированная прямая — директрисой параболы.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Система координат, в которой парабола имеет канонический вид, называется канонической, а ось Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами— осью параболы.

Каноническое уравнение параболы:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Фокус параболы Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиимеет координаты Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Директрисой параболы называется прямая Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамив канонической системе координат.

Расстояние от произвольной точки параболы до фокуса Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиравно Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Видео:Кривые второго порядка. Гипербола. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривые второго порядка. Гипербола. Приведение к каноническому виду и чертеж

Пример задачи решаемой с применением кривых второго порядка

Линия задана уравнением Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамив полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамидо Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии придавая значения через промежуток Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс — с полярной осью, привести его к каноническому виду; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Решение:

1) Вычисляя значения Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамис точностью до сотых при указанных значениях Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, получим таблицу:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Используя полученные табличные значения, построим кривую в полярной системе координат (рис. 17).

2) Используя формулы перехода

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамииз полярной в декартовую систему координат, получим: Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Возведем левую и правую части в квадрат: Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиВыделим полный квадрат и приведем к каноническому виду: Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, где Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

3) Это эллипс, смещенный на Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамивдоль оси Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Ответ: эллипс Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, где Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Видео:Написать каноническое уравнение гиперболы. Дан эксцентриситетСкачать

Написать каноническое уравнение гиперболы.  Дан эксцентриситет

Кривая второго порядка и её определение

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением

Окружность и ее уравнение

Окружностью называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от одной точки, называемой центром.

Пользуясь этим определением, выведем уравнение окружности. Пусть радиус ее равен r, а центр находится в точке

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

О1(а; b). Возьмем на окружности произвольную точку М(х; у) (рис. 27).

По формуле расстояния между двумя точками можем написать:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

или, после возведения обеих частей равенства в квадрат,

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Так как точка М нами взята произвольно, а радиус r — величина постоянная, то равенство (1) справедливо для всех точек окружности, т. е. координаты любой ее точки удовлетворяют этому равенству. А если так, то равенство (1) нужно рассматривать как уравнение окружности.

В уравнении (1) а и bкоординаты центра окружности, а х и утекущие координаты.

Если положить а = 0, то уравнение (1) обратится в следующее:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

и будет определять окружность с центром на оси Оу (рис. 28).

При b = 0 уравнение (1) примет вид

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

и будет определять окружность с центром на оси Ох (рис. 29).

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Наконец, при а = 0 и b = 0 уравнение (1) преобразуется в следующее:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

и будет определять окружность с центром в начале координат (рис. 30).

Можно построить окружность, имея ее уравнение. Пусть, например, требуется построить окружность

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Перепишем это уравнение в следующем виде:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

сравнивая это уравнение с(1), видим, что координаты центра окружности суть (2; — 3) и радиус ее r = 3. Построив

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

точку О1(2;—3), опишем из нее радиусом, равным 3 единицам масштаба, искомую окружность (рис. 31).

Уравнение окружности как частный вид общего уравнения второй степени

Раскрыв скобки в уравнении (1) , можем написать:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Умножив все члены последнего равенства на А, получим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

тогда уравнение (1) окружности примет вид

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнение (2) является частным случаем общего уравнения второй степени с двумя переменными. В самом деле, сравним уравнение (2) с общим уравнением второй степени с двумя переменными, имеющим, как известно, следующий вид:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Мы видим, что уравнение (2) отличается от уравнения (3) только тем, что у первого коэффициенты при х2 и у2 одинаковы и отсутствует член, содержащий произведение ху.

Таким образом, окружность определяется общим уравнением второй степени с двумя переменными, если в нем коэффициенты при х2 и у2 равны между собой и отсутствует член с произведением ху.

Обратно, уравнение вида (2), вообще говоря, определяет окружность. Убедимся в этом на примере. Пусть дано уравнение

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Перепишем его в следующем виде:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

и преобразуем двучлены, стоящие в скобках, в полные квадраты суммы и разности, прибавив к первому 4, ко второму 16. Чтобы равенство при этом не нарушилось, увеличим и правую часть его на сумму 4+16. Получим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Последнее равенство является уравнением окружности, имеющей радиус, равный 5, и центр в точке О1(-2; 4).

Бывают однако случаи, когда уравнение (2) при некоторых значениях коэффициентов не определяет окружности; например, уравнению

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

удовлетворяют координаты единственной точки (0; 0), а уравнению

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

не удовлетворяют координаты ни одной точки, так как сумма квадратов действительных чисел не может иметь отрицательного значения.

Пример:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

и хорда Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиНайти длину этой хорды.

Решение:

Так как концы хорды являются общими точками окружности и хорды, то их координаты удовлетворяют как уравнению первой, так и уравнению второй линии. Поэтому, чтобы найти эти координаты, нужно решить совместно уравнения окружности и хорды. Подставив значение

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

в уравнение окружности, получим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Находим значение у:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Итак, концами хорды служат точки с координатами (4; 3) и (6; 1).

По формуле расстояния между двумя точками можем определить искомую длину хорды

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Эллипс и его уравнение

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (и болыиая, чем расстояние между фокусами).

Пусть, например, на эллипсе взяты точки М1, M2, M3, М4 и т. д. (рис. 32). Если фокусы обозначить через F и F1, то согласно данному определению можно написать:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Геометрическое место точек, обладающих вышеуказанным свойствам (1), и есть эллипс.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

На основании определения эллипса составим его уравнение. Для этого выберем систему координат следующим образом. За ось Ох примем прямую, проходящую через фокусы F и F1, а за ось Оу — прямую перпендикулярную

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

к FF1 и проведенную через середину отрезка FF1 (рис. 33). Обозначим расстояние F1F между фокусами через 2с, тогда координаты фокусов будут:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Возьмем на эллипсе произвольную точку М(х;у). Обозначим постоянную величину суммы расстояний каждой точки от фокусов через 2а, тогда

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

По формуле расстояния между двумя точками найдем:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Теперь равенство (2) перепишется следующим образом:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

и будет представлять уравнение эллипса в принятой системе координат.

Упростим уравнение (3). Для этого перенесем один из радикалов в правую часть уравнения:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Приведем подобные члены:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Сократив на 4 и снова возведя в квадрат обе части равенства, получим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Перенесем все члены, содержащие х и у, в левую часть равенства, остальные члены — в правую:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Но согласно определению эллипса

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Из последнего неравенства следует, что Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиа потому эту разность можно обозначить через Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиПодставив это обозначение в равенство (4), найдем:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Наконец, разделим все члены последнего равенства на Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиокончательно получим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

где х и у — текущие координаты точек эллипса, а

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнение (6) и есть простейший вид уравнения эллипса *).

*) Уравнение (6) получилось в результате двукратного возведения в квадрат уравнения (3), благодаря чему, вообще говоря, возможно появление посторонних корней. Можно показать, что уравнение (6) не имеет посторонних корней, т. е. любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (6), лежит на эллипсе.

Исследование уравнения эллипса

Определим сначала у из уравнения (5) :

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Из того же уравнения (5) найдем:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Рассмотрим теперь равенства (1) и (2).

I. Пусть

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

*) | х | означает, что х берется по абсолютной величине; таким образом, запись | х | Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Тогда каждому значению у, как мы видим из равенства (2), отвечают два значения х равные по абсолютной величине, но с разными знаками. Отсюда следует, что каждому значению у соответствуют на эллипсе две точки, симметричные относительно оси Оу.

Из сказанного заключаем: эллипс Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами симметричен относительно координатных осей.

II. Найдем точки пересечения эллипса с осью Ох. Пусть

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

тогда из равенства (2) имеем:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Отсюда следует: эллипс пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (— а; 0) (точки А и А1 на рис. 34).

III. Найдем точки пересечения эллипса с осью Оу. Пусть

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

тогда из равенства (1) имеем:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Отсюда заключаем, что эллипс пересекает ось Оу в двух точках, координаты которых (0; b) и (0; —b) (точки В и В1 на рис. 35).

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

IV. Пусть х принимает такие значения, что

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

тогда выражение под корнем в равенстве (1) будет отрицательным, и, следовательно, у будет иметь мнимые значения. А это значит, что не существует точек эллипса, абсциссы которых удовлетворяют условию (3), т. е. эллипс расположен внутри полосы, заключенной между прямыми х = + а и х = — а (рис. 34, прямые КL и РQ).

Если же положить

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

то из равенства (2) получим для х мнимые значения. Это говорит о том, что точки, удовлетворяющие условию (4), на эллипсе не лежат, т. е. эллипс заключен между прямыми у = + b и у = — b (рис. 35, прямые РК и QL .

Из сказанного следует, что все точка эллипса лежат внутри прямоугольника, стороны которого параллельны координатным осям и имеют длины, равные 2а и 2b, а диагонали пересекаются в начале координат (рис. 36).

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Эллипс имеет форму, показанную на рис. 37, Точки A,, A1, В и В1 называются вершинами эллипса, а точка Оего центром. Отрезок А1А = 2а называется его большой осью, а отрезок В1В = 2bмалой осью, Отрезки и F1М носят название фокальных радиусов точки М.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Эксцентриситет эллипса

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между его фокусами к длине большой оси, т. e.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Эксцентриситет обычно обозначают буквой е. Таким образом,

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Но согласно формуле (7)

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Поэтому для определения эксцентриситета может служить

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Так как 0 а уравнение (6) представляет эллипс, фокусы которого лежат на оси Оу; в этом случае его большая ось равна 2 b , а малая 2 а . В соответствии с этим формула (7) и формулы (1) и (2) настоящей лекции примут такой вид:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Пример:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Определить длину его осей, координаты вершин и фокусов, а также величину эксцентриситета.

Решение:

Разделив обе части данного уравнения на 400, получим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Итак, большая ось эллипса Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиа малая

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Координаты вершин его будут:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Чтобы найти координаты фокусов, нужно узнать величину Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Из равенства (7) имеем:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Следовательно, координаты фокусов будут:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Наконец, по формуле (1) настоящей лекции находим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Связь эллипса с окружностью

Положим, что полуоси эллипса равны между собой, т. е. а = b, тогда уравнение эллипса примет вид

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Полученное уравнение, как известно, определяет окружность радиуса, равного а.

Посмотрим, чему будет равен эксцентриситет в этом случае; полагая в формуле (2)

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Отсюда заключаем, что окружность есть частный случай эллипса, у которого полуоси равны между собой, а следовательно, эксцентриситет равен нулю.

Гипербола и ее уравнение

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний каждой из которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (эта постоянная берется по абсолютному значению, причем она меньше расстояния между фокусами и не равна нулю).

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Пусть, например, точки М1, М2, M3, М4 лежат на гиперболе, фокусы которой находятся в точках F и F1 (рис. 39). Тогда, согласно данному выше определению, можно написать:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Пользуясь определением гиперболы, выведем ее уравнение.

Примем за ось Ох прямую, проходящую через фокусы F и F1 (рис. 40), а за ось Оу — прямую, перпендикулярную к отрезку F1F и делящую его пополам.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Положим F1F = 2c тогда координаты фокусов будут

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Возьмем на гиперболе произвольную точку М(х; у) и обозначим величину разности расстояний каждой точки от фокусов через 2а; тогда

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

По формуле расстояния между двумя точками найдем:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

и, заменив в равенстве (2) F1М и их выражениями, напишем:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Это и есть уравнение гиперболы относительно выбранной системы координат, так как оно согласно равенствам (1) справедливо для любой ее точки.
*) Знак + берется в случае, если F1М > , и знак —, если F1М Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Приведем подобные члены:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Сократив на 4, снова возведем в квадрат обе части уравнения; получим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Перенесем в левую часть члены, содержащие х и у, а остальные члены в правую:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Согласно определению гиперболы

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

При условии (5) разность Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиимеет только положительное значение, а потому ее можно обозначить через Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Сделав это в равенстве (4), получим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Разделив последнее равенство на Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминайдем окончательно:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

где х и у— текущие координаты точек гиперболы, а

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Равенство (7) представляет собой простейший вид уравнения гиперболы *).

*) Как и в случае эллипса, можно показать, что уравнение (7) равносильно уравнению (3), т. е. не имеет посторонних корней.

Исследование уравнения гиперболы

Из уравнения (6) имеем:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Из этого же уравнения (6) находим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Исследуем уравнения (1) и (2) для выяснения геометрической формы гиперболы.

I. Найдем точки пересечения гиперболы с осью Ох. Для этого полагаем, у = 0 и из уравнения (2) получаем:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Отсюда следует: гипербола пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (— а; 0) (рис. 41, точки А и А1).

II. Положим в уравнении (1)

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

тогда у получит мнимое значение, а это значит, что на гиперболе нет точек, удовлетворяющих условию (3). Следовательно, в полосе между прямыми х = + а и х = — а (прямые KL и РQ на рис. 41) нет точек гиперболы

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

III. Пусть

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

тогда из равенства (1) найдем для каждого х два действительных значения у, равных по абсолютной величине, но с противоположными знаками. А это значит, что каждому значению х, удовлетворяющему неравенству (4), соответствуют на нашей кривой две точки, симметричные относительно оси Ох.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Следовательно, гипербола Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамисимметрична относительно оси Ох.

С другой стороны, для каждого значения у из равенства (2) найдем два действительных значения х, равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку, т. е. каждому значению у на гиперболе соответствуют две точки, симметричные относительно оси Оу.

Следовательно, гипербола Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами 1 симметрична относительно оси Оу.

IV. Если в уравнении (1) давать х значения, заключенные между +a и Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамито величина у будет изменяться от 0 до : Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамит. е. в этом случае каждому значению х соответствуют на кривой две точки, симметричные относительно оси Ох и отстоящие друг от друга тем дальше, чем больше величина абсциссы. Таким образом, можно сказать, что гипербола имеет бесконечную ветвь, расположенную справа от прямой х = с.

Если же давать х значения, заключенные между — а и Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, то у будет изменяться опять от 0 до Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиа это значит, что, как в предыдущем случае, гипербола имеет бесконечную ветвь, но идущую влево от прямой х = — а. Итак, гипербола есть кривая, состоящая из двух ветвей, простирающихся в бесконечность.

Из всего изложенного следует, что гипербола Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

состоит из двух симметричных относительно оси Оу бесконечных ветвей, одна из которых расположена справа от

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

прямой х = + а, а другая слева от прямой х = — а. Каждая из этих ветвей симметрична относительно оси Ох (рис. 42).

Точки А(а; 0) и А1(- а; 0) называются вершинами гиперболы, а точка О (0; 0) — ее центром.

Отрезок АА1 = 2а носит название действительной или вещественной оси гиперболы в отличие от оси ВВ1 = 2b, называемой мнимой *).

*) Отрезок ВВ1 = 2b называется мнимой осью, так как на нем нет точек гиперболы.

Отрезки F1М и фокальные радиусы точки М.

Эксцентриситет гиперболы

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к длине вещественной оси, т. е. Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Эксцентриситет гиперболы, так же как и для эллипса, обозначается буквой е:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Но согласно равенству (8)

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

поэтому формулу (1) можно представить в следующем виде:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Так как для гиперболы с > а , то дробь

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

а потому эксцентриситет гиперболы больше единицы.

Асимптоты гиперболы

Построим на осях гиперболы

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

прямоугольник LQRS со сторонами, равными 2а и 2b и проведем его диагонали LR и QS продолжив их по обе стороны (рис. 43).

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Прямая LR проходит через начало координат, поэтому ее уравнение будет:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Но угловой коэффициент

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Заменив в уравнении (1) Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминайденным его значением, получим уравнение прямой LR в следующем виде:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Прямая QS также определяется уравнением (1), но угловой коэффициент ее будет уже другой, а именно:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Таким образом, уравнение прямой QS будет:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Обычно уравнения (2) и (3) записывают следующим образом:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Между прямыми, представленными уравнениями (4), и гиперболой существует связь; выясним ее.

Решим совместно способом подстановки уравнения (4) и

уравнение гиперболы Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

что невозможно, так как Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Таким образом, прямые (4) х2 уа

и гипербола Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамине имеют общих точек, т. е. прямые (4) не пересекают гиперболу.

Возьмем на прямой LR и на гиперболе точки М и N, расположенные в первом координатном углу и имеющие одну и ту же абсциссу. Ординатой точки М служит РМ; обозначим ее через Y в отличие от ординаты точки N которую обозначим буквой у. Из уравнения (2) можно написать:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Из уравнения гиперболы имеем:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

и посмотрим, как она будет изменяться при возрастании абсциссы. Для этого умножим и разделим правую часть последнего равенства на выражение Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Пусть величина х в равенстве (5) бесконечно возрастает, тогда знаменатель дроби также бесконечно растет, а сама дробь уменьшается, приближаясь к нулю. Таким образом, гипотенуза и, следовательно, катет NT в прямоугольном треугольнике МNТ стремится к нулю. Из сказанного делаем вывод: при неограниченном возрастании абсциссы х гипербола приближается к прямой LR как угодно близко, нигде ее не пересекая.

Так как прямые LR и QS, а также точки гиперболы симметричны относительно оси Ох, то можно сказать, что и часть гиперболы, расположенная в четвертом координатном углу, как угодно близко подходит к прямой QS , нигде ее не пересекая.

Вывод, сделанный для правой ветви гиперболы, справедлив и для ее левой ветви благодаря той же симметричности прямых (4) и гиперболы относительно координатных осей.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

называются асимптотами гиперболы.

Из сказанного в настоящей лекции можно сделать заключение, что гипербола расположена всеми своими точками внутри вертикальных углов, образуемых асимптотами, и нигде не выходит за их границы. Этим обстоятельством можно воспользоваться для построения гиперболы в случае, если не требуется точного, а достаточно только приближенного ее изображения; для этого, нарисив асимптоты, нужно провести плавную кривую линию, постепенно приближая ее к асимптотам.

Пример:

Дана гипербола Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Узнать, лежит ли точка A(2; 1,5) на какой-либо ее асимптоте.

Решение:

Из данного уравнения имеем:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Следовательно, уравнения асимптот будут:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Так как точка А лежит согласно условию в первом координатном углу, то она может принадлежать только асимптоте, определяемой уравнением

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Подставив в него вместо х и у координаты точки А, получим тождество:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Значит, точка А лежит на указанной асимптоте гиперболы.

Равносторонняя гипербола

Если в уравнении гиперболы

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

положим а = b то это уравнение примет вид

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнение (1) определяет гиперболу, у которой полуоси равны между собой. Такая гипербола называется равносторонней. Уравнения асимптот в этом случае будут:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

так как отношение

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Как видно из уравнения (2), угловые коэффициенты асимптот равны + 1 и —1 . Если обозначить углы, образуемые асимптотами с положительным направлением оси Ох, соответственно через а и а1 (рис. 44), то

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Следовательно, угол между асимптотами будет:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Отсюда заключаем: асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны.

Уравнение равносторонней гиперболы, отнесенной к асимптотам

Так как асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны, то их можно принять за оси прямоугольной системы координат и рассматривать гиперболу по отношению к этим новым осям. Выведем уравнение равносторонней гиперболы для этого случая.

Пусть дана равносторонняя гипербола. Тогда ее уравнение по отношению к координатным осям Ох и Оу (рис. 45)

выразится, как было пока-* у зано в , в виде

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Взяв на гиперболе произвольную точку М (х; у) и построив ее координаты, будем иметь:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Примем теперь за оси координат асимптоты гиперболы: ОХ— за ось абсцисс, ОY — за ось ординат. Опустив перпендикуляр МС на новую ось абсцисс, найдем:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Выразим новые координаты X н Y точки М через старые х и у. Для этого из точки А проведем Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Обратим внимание на то, что в образовавшихся прямоугольных треугольниках АМВ и АОD

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

как углы, образованные взаимно перпендикулярными прямыми. Но

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Из рисежа имеем:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Перемножив равенства (2) и (3) и приняв во внимание равенство (1), получим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Положим для краткости

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

тогда равенство (4) перепишется так:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

где m— постоянная величина.

Таково уравнение равносторонней гиперболы, если за оси координат принять ее асимптоты.

Как видно из уравнения (5), переменные X и Y — величины обратно пропорциональные, а потому можно сказать, что равносторонняя гипербола ху = m представляет собой график обратно пропорциональной зависимости между переменными величинами.

Парабола и ее простейшее уравнение

Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой <при условии, что фокус не лежит на директрисе).

Пусть точки М1 М2, М3, М4 лежат на параболе (рис. 46).

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Если точка F изображает фокус, а прямая АВ— директрису, то согласно данному выше определению можем написать:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Выведем уравнение параболы, пользуясь ее определением. Для этого выберем систему координат, приняв за ось Ох прямую, проведенную через точку F (фокус) перпендикулярно к директрисе АВ, а за

ось Оу — прямую, проходящую через середину отрезка КF перпендикулярно к последнему (рис. 47). Обозначим

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

тогда координаты фокуса F будут Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Возьмем на параболе произвольную точку М(x; у) расстояния ее от фокуса F и от директрисы АВ будут выражаться соответственно отрезками и МN. Согласно определению параболы, можем написать:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Применяя формулу расстояния между двумя точками и приняв во внимание, что точка N имеет координаты Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, найдем:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Заменив и МN в равенстве (1) их выражениями, получим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Это и есть уравнение параболы относительно выбранной системы координат, так как оно справедливо для любой ее точки.

Упростим уравнение (2). Для этого возведем обе части его в квадрат:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Приведя подобные члены, получим простейшее уравнение параболы

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

*) Можно показать, что уравнение (3) равносильно уравнению (2). Величина р называется параметром параболы.

Исследование уравнения параболы

Из уравнения (3) найдем:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Исследуем уравнение (1) для выяснения геометрической формы нашей кривой, полагая р > 0.

I. Положим

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Отсюда следует: парабола Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамипроходит через начало координат.

II. Если х 0, то у имеет два действительных значения, равных по абсолютной величине, но с разными знаками. Это значит, что каждому положительному значению х на параболе соответствуют две точки, расположенные симметрично относительно оси Ох.

Следовательно, парабола Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами симметрична относительно оси Ох.

IV. Пусть х неограниченно возрастает, тогда и Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамибудет неограниченно расти, т. е. точки параболы с перемещением вправо от оси Оу неограниченно удаляются вверх и вниз от оси Ох.

Итак, парабола Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамисостоит из бесконечных ветвей.

Вышеизложенное позволяет представить параболу, как показано на рис. 48.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Точка О называется вершиной параболы, отрезок фокальным радиусом точки М параболы, а бесконечная прямая Ох является ее осью симметрии.

Если директрису параболы поместить справа от начала координат, то фокус и ветви ее расположатся как показано на рисеже 49.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

При этом абсциссы точек параболы будут удовлетворять условию

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

а потому ее уравнение примет вид:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Парабола может быть симметрична и относительно оси Оу в этом случае фокус ее будет лежать па оси ординат, а директрисой будет прямая, параллельная оси Ох. Как видно при этом условии координатные оси поменяются ролями, и уравнение параболы примет вид

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

если ветви ее направлены вверх (рис. 50), и

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

если ветви направлены вниз (рис. 51).

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Пример:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Найти координаты ее фокуса и написать уравнение директрисы.

Решение:

Данная парабола симметрична относительно оси Ох и расположена направо от оси Оу. Из уравнения находим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Расстояние фокуса от начала координат равно Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, поэтому абсцисса фокуса будет Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиИтак, фокус находится в точке

Директрисой служит прямая, параллельная оси Оу и отстоящая от последней на расстоянии Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиСледовательно,

уравнение директрисы параболы будет х = — 3.

Пример:

Фокус параболы с вершиной в начале координат лежит в точке F(0; —4). Написать уравнение этой параболы.

Решение:

Согласно условию данная парабола симметрична относительно оси Оу, а ветви ее направлены вниз, поэтому искомое уравнение найдется из (3). Так как

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

и уравнение параболы будет:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнение параболы со смещенной вершиной и осью, параллельной оси Оу

Возьмем уравнения параболы (2) и (3) и запишем их в следующем виде:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Положив в уравнении (1)

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнение (2) определяет параболу, ветви которой направлены вверх, если А > О, вниз, если А Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Возьмем на параболе произвольную точку М(х; у). Опустив из нее перпендикуляр МР на ось Ох, будем иметь:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Проведем через О1 прямые О1Х и QY, параллельные координатным осям Ох и Оу, и положим временно, что прямые О1Х и О1Y служат осями новой системы координат. Обозначим координаты точки М в этой системе через X и Y, т. е.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнение параболы в новой системе координат напишется следующим образом:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Чтобы найти ее уравнение относительно прежних осей Ох и Оу, нужно X и Y выразить через х и y. Так как

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Подставив в уравнение (3) найденные значения X и Y, получим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Упростим уравнение (4); для этого раскроем в нем скобки.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

тогда уравнение (5) примет вид

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Это—уравнение параболы с вершиной, лежащей в любой точке плоскости, и с осью симметрии, параллельной оси Оу.

Рассмотрим частные случаи.

Пусть абсцисса вершины параболы a = 0; тогда величина В в равенстве (6) также будет нулем и уравнение (8) примет следующий вид:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Полученное уравнение определяет параболу, у которой вершина лежит на оси Оу, являющейся в то же время и ее осью симметрии (рис. 53).

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Положим, что одна из точек параболы (исключая ее вершину) лежит в начале координат; тогда координаты (0; 0) должны удовлетворять уравнению (8). Заменив в нем х и у нулями, найдем С=0. В этом случае уравнение (8) получит вид

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

и будет определять параболу, проходящую через начало координат (рис. 54).

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Заметим, что и уравнение (2) можно рассматривать как частный случай уравнения (8). Действительно, положив в равенствах (6) и (7)

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

вследствие чего уравнение (8) преобразуется в следующее:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Из сказанного следует, что парабола, у которой ось симметрии параллельна оси Оу или совпадает с ней, определяется уравнением

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

при любых значениях А, В и С, кроме А = 0.

Убедимся на примере, что справедливо и обратное утверждение: всякое уравнение вида (8) определяет параболу с осью симметрии, параллельной оси Оу.

Пусть дано уравнение

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Преобразуем его следующим образом:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

тогда уравнение (10) примет вид:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнение (11) имеет такой же вид, как и уравнение (2), поэтому оно, а следовательно, и уравнение (9) определяют параболу, у которой ось симметрии параллельна оси Оу.

Для построения параболы, определяемой уравнением вида (8), можно использовать обычный прием, применяемый для вычерчивания графиков функций, а именно: дав х ряд значений, вычислить значения у, а затем, построив точки по найденным координатам, провести через них плавную линию.

Пример:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Решение:

Прежде всего найдем абсциссы точек пересечения данной параболы с осью Ох; положив у = 0, получим:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Так как найденные точки симметричны относительно оси параболы, то вершина последней, находясь на этой оси, имеет 0 + 4 0

абсциссу, равную Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиордината же ее

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Этих трех точек достаточно для приближенного изображения параболы.

Для более точного ее представления нужны дополнительные точки. Составим следующую таблицу:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Построив эти точки и прозедя через них плавную линию, получим искомую параболу (рис. 55).

Пример:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Решение:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

мнимые, а потому ось Ох не пересекает данную параболу. В этом случае следует найти абсциссы точек пересечения параболы с прямой

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

(-1 — свободный член данного уравнения параболы)

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Решая для этой цели систему уравнений

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Полученные точки симметричны относительно оси параболы, поэтому абсцисса ее вершины равна Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиордината же ее

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Присоединим к этим точкам несколько дополнительных точек. Составим таблицу:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Конические сечения

Окружность, эллипс, гипербола и парабола определяются, как мы установили в предыдущих лекциях уравнениями второй степени относительно текущих координат; поэтому их называют кривыми второго порядка. Они были известны еще древним грекам, которые изучали эти кривые, рассматривая их как результат сечения прямого кругового конуса плоскостью в следующих четырех случаях.

I. Секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса; в сечении получается окружность (рис. 57).

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

II. Секущая плоскость образует с осью конуса угол, не равный 90°, и пересекает все его образующие по одну сторону от вершины S; в сечении получается эллипс (рис. 58).

III. Секущая плоскость параллельна какой-либо образующей конуса; при этом получается кривая, называемая параболой (рис. 59).

IV. Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; при этом получаются две бесконечные ветви, образующие гиперболу (рис. 60).

Окружность, эллипс, гипербола и парабола называются коническими сечениями.

Конические сечения изучались в древности исключительно геометрическим путем, что представляло большие трудности, и только со времени Декарта, давшего метод координат, изучение их значительно упростилось.

Видео:Овчинников А. В. - Аналитическая геометрия - Эллипс, гипербола, параболаСкачать

Овчинников А. В. - Аналитическая геометрия - Эллипс, гипербола, парабола

Кривая второго порядка и её вычисление

Уравнение линии. Кривые второго порядка. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. Приведение к каноническому виду.

Уравнение линии в декартовых и полярных координатах

В лекции 3 было введено понятие неявной функции, задаваемой уравнением вида F(x,y) = 0.

Определение 6.1. Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению
(6.1) F(x;y) = 0
называется линией (плоской кривой).

Не всякое уравнение определяет линию. Например, уравнение x² + y² = -1 не определяет никакой линии. Кроме того, линия может состоять из отдельных точек. Так, например, уравнению x² + y² = 0 удовлетворяет только начало координат.

Линия не обязательно является графиком функции. Так, например, уравнение x² + y² = 1 определяет окружность с центром в начале координат и радиуса 1 (т.к. d = Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами= 1, расстояние от начала координат равно 1). Однако это не будет графиком функции у от х, т.к. каждому х, |x| ≤ 1, соответствует два значения у: у = ±Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, т.е. линия задается двумя функциями у = Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами(верхняя полуокружность) и у = — Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами(нижняя полуокружность).

Уравнение произвольной окружности с центром в точке M(a;b) и радиусом R будет иметь вид:
(6.2) (х — а)² + (у- b)² = R²,
т.к. окружность радиусом R есть геометрическое место точек плоскости, находящихся на расстоянии R от центра, т.е. в соответствии с формулой ( 6.2) d = Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами= R.

В частности, окружность с центром в начале координат, радиусом R, описывается уравнением
x² + y² = R².

Пример 6.1. Какую линию описывает уравнение x² + y² = Rx?

Решение: Перенося Rx в левую часть и выделяя полный квадрат, получаем:
x² + y² = Rx ⇔ X2 — Rx + у² = 0 ⇔ x² — Rx + Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами
(х — Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами) + y² = Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Ответ: данное уравнение описывает окружность с центром в точке M(Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами;0) и радиусом Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Линия может определяться на плоскости уравнением как в декартовых, так и в полярных координатах: F(Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами; r) = 0. Если при этом зависимость r от Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиобладает тем свойством, что каждому значению Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамииз области определения соответствует единственное значение r, то данная линия будет графиком функции r от Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами: r = f(Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами).

Пример 6.2. Построить график функции, заданной в полярных координатах уравнением r = 2 sin3Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами∈ (—∞; ∞).

Решение: Составим таблицу некоторых значений этой функции:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами0Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиУравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиУравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиУравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиУравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиУравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиУравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами
r01Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами2Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами10-2

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиРис. 70. График функции r = 2 sin 3 Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамив декартовых координатах

Далее, пользуясь тем, что из вида графика функции r = 2 sin 3Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, приведенного в декартовых координатах на рис. 70, следует, что неотрицательные значения г повторяются на промежутках Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами∈ [0; Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами], Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами∈ [Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами;π], Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами∈ [-Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами;Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами] и т. д.. Отсюда заключаем, что если в полярных координатах построить график в секторе Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами∈ [0; Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами], то в секторах Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами∈ [Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами; π], Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами∈ [— Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами; Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами] и т. д. вид графика будет аналогичный, а в секторах Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами∈ (Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами; Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами), Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиУравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами;0) и т.д. графика не будет, т.к. там r Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиРис. 71. График функции r = 2 sin 3 Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамив полярных координатах

Такой график называют называют “трехлепестковая роза”.

Кривые второго порядка:

Определение 6.2. Кривой второго порядка называется линия, определяемая в декартовых координатах уравнением:
(6.3) Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = O.

Здесь коэффициенты — действительные числа и, по крайней мере, одно из чисел A₁B или C не равно нулю. Удобство таких обозначений для коэффициентов (2В, 2D, 2Е) станет ясно позже.

Всего существует три ’’реальных” кривых второго порядка: эллипс, (окружность — частный случай эллипса) гипербола и парабола, не считая такие линии, как ’’пара пересекающихся прямых” (ху = 0), «пара параллельных прямых” ((x — у)² — 4), ’’точка” ((x — 5)² + (у — 1)² = 0), ’’прямая” (х — 1)² = 0) и ’’мнимые кривые” (x² + y² + 5 = 0), которым не соответствует ни одна точка.

Окружность

Ранее было получено уравнение ( 6.2) окружности с центром в точке M(а; b), радиусом R. Это уравнение вида ( 6.3), т.е. окружность есть кривая второго порядка — можно показать, что уравнение (6.3), в котором A = C и B = O c помощью дополнения до полного квадрата каждой группы членов Ax² + 2Dx и By² + 2Еу приводится к виду (6.2), определяющему окружность радиуса R, или к виду: (х — а)² + (у — b)² = -R², не определяющему линию при R ≠ 0. Покажем это на примере.

Пример:

Показать, что уравнение 2x² + 2y² — 4x + 8y — 13 = 0 определяет окружность.

Решение: Поделив обе части на 2, получим уравнение в виде: x² + y² — 2x + 4y — 6,5 = 0 или, выделяя полный квадрат: (x² — 2х + 1) + (у² + 4y + 4) = 11,5 ⇔ (х — 1)² + (у + 2)² =11,5. Мы получим уравнение окружности с центром M(1; —2) и радиусом R = √11,5.

Пример:

Показать, что уравнение х² + у² + 6х — 6у + 22 = 0 не определяет никакой линии.

Решение:

Аналогично предыдущему, выделяя полный квадрат, получаем: х² + у² + 6х — 6у + 22 = 0 ⇔ (х² + 6х + 9) + (у² — 6у + 9) = — 4 ⇔ (x + 3)² + (y — 3)² =-4.

Эллипс

Определение:

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, равна постоянной величине.

Обозначим фокусы F₁ и F₁, расстояние между ними 2с, а сумму расстояний до них от точек эллипса через 2а (2а > 2с). Выберем декартову систему координат как показано на рис. 72. По определению эллипса: MF₁ + MF₂ = 2а. Пользуясь формулой (2.6) получаем:
Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами
Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами
Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами
Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиРис. 72. Фокусы эллипса и гиперболы

Обозначив b² = a² — с² > 0, получаем: b²x² + a²y² — a²b² или:
(6.4) Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнение ( 6.4) называется каноническим уравнением эллипса, а и b — полуосями, а — большая полуось, b — малая, т.к. b = Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиРис. 73. Эллипс

Так как 2а > 2с, то ε т.е. тем меньше эллипс вытянут вдоль фокальной оси Ох. В пределе, при ε → 0,a = b и получается окружность x² + у² = а² радиусом а При этом с = Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами= 0, т.е. F₁ — F₂ = 0. Если эллипс расположен так, что центр его симметрии находится в точке P(x₀; y₀), а полуоси параллельны осям координат, то, перейдя к новым координатам X = х — х₀, У = у — у₀, начало которых совпадает с точкой Р, а оси параллельны исходным (см. п. 2.8), получим, что в новых координатах эллипс описывается каноническим уравнением Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиУравнение такого эллипса в старых координатах будет:
(6.5) Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Гипербола

Определение 6.4. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, равен постоянной величине.

Обозначим фокусы F₁ и F₂, расстояние между ними 2с, а модуль разности расстояний до них от точек гиперболы через 2a (2c > 2a > 0). Выберем декартову систему координат, как показано на рис. 72. По определению гиперболы: MF₁ — MF₂ = ±2а. Пользуясь формулой (2.6), аналогично тому, как это было сделано для эллипса, получаем:
Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами= ±2a ⇒ (а² — c²)x² + a²y² = a²(a² — с²). Обозначив b² = с² — a² > 0 (сравните с выводом формулы ( 6.4) для эллипса), получаем: -b²x² + a²y² = -b²a², или:
Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнение (6.6) называется каноническим уравнением гиперболы, а и b — полуосями, а — действительной полуосью, b — мнимой. Так как х и у входят в уравнение только в четных степенях, гипербола симметрична относительно осей Ox и Оу. Выразив у из уравнения ( 6.6), получаем: Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, |x| ≥ а, что означает, что гипербола состоит из двух симметричных половин, верхней у = Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии нижней у = — Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. При х = а у = 0, при возрастании х от 0 до +∞, у для верхней части возрастает от 0 до +∞. C учетом симметрии, получаем линию, изображенную на рис. 74.

Точки пересечения гиперболы с осью Ox (фокальной осью) называются ее вершинами A₂(а;0), A₁(-a;0). C осью ординат гипербола не пересекается, поэтому фокальная ось называется действительной осью (а — действительная полуось), а перпендикулярная ей ось — мнимой осью (b — мнимая полуось). Можно показать, что при неограниченном возрастании абсциссы точка гиперболы неограниченно приближается к прямой у = Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами(изображена на рис. 74 пунктиром). Такая прямая, к которой неограниченно приближается некоторая линия, называется асимптотой. Из соображений симметрии вытекает, что у гиперболы две асимптоты: у = Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамии у =-Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, изображенные на рис. 74 пунктиром. Прямоугольник, с центром в начале координат, со сторонами 2а и 2b, параллельными осям, называется основным. Асимптоты являются его диагоналями.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиРис. 74. Гипербола

Отношение Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центраминазывается эксцентриситетом гиперболы. Т.к. 2α 1. Эксцентриситет определяет форму гиперболы: чем меньше е, тем более вытянут в направлении фокальной оси ее основной прямоугольник (Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами= Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами= Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами— 1 = ε² — 1). Если а = b, гипербола называется равносторонней (равнобочной). Для нее х² — у² = а², асимптоты: у = х, у = —х, ε = Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами= √2. Если центр гиперболы (центр ее симметрии) находится в точке P(x₀; y₀), a оси параллельны осям координат, то, применяя параллельный перенос координат (п. 2.8), аналогично тому, как это было сделано для эллипса, получим уравнение гиперболы:
(6.7) Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнение асимптот такой гиперболы будет: у — y₀ =Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Парабола

Определение:

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой d, называемой директрисой (F ∉ d).

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы р. Эта величина называется параметром параболы. Выберем декартову систему координат как показано на рис. 75.

По определению параболы MF=MN. Из рис. 75. ясно, что:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиРис. 75. Фокус и директриса параболы

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Приравнивая, получаем:
Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами
(6.8) у² = 2рх

Уравнение ( 6.8) называется каноническим уравнением параболы. Т.к. у входит в уравнение в четной степени, парабола симметрична относительно оси Ох. Выразив у из уравнения, получаем: у = Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами, х ≥ 0. При х =0 у = 0, при возрастании х от 0 до +∞ у для верхней части возрастает от 0 до +∞. C учетом симметрии получаем линию, изображенную на рис. 76.

Ось симметрии параболы называется фокальной осью (ось Ox на рис. 76), точка пересечения пораболы с ней называется вершиной пораболы (точка О на рис. 76). Если вершина параболы находится в точке P(x₀; у₀), фокальная ось параллельна и одинаково направлена с осью Ox и расстояние от директрисы до фокуса равно Р, то с помощью параллельного переноса осей координат нетрудно получить уравнение такой параболы:
(6.9) (y — y₀)² = 2p(x -х₀)

Пример:

Найти фокус, директрису, фокальную ось для параболы у= 4x².

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиРис. 76. Парабола

Решение:

Как известно, осью симметрии параболы у = х² является ось Оу, а вершиной — точка О, поэтому фокальной осью будет ось Оу, вершиной — начало координат.

Для определения фокуса и директрисы запишем уравнение данной параболы в виде: x² = Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиy, откуда 2р =Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами; р =Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами. Поэтому фокус имеет координаты F(0; Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами), а директриса — уравнение у = — Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами(см. рис. 77).

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиРис. 77. График параболы у = 4х²

Понятие о приведении общего уравнения второго порядка к каноническому виду

Если в общем уравнении кривой второго порядка ( 6.3)
Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey +F = 0
коэффициент 2B ≠ 0, то методами, которые будут изложены позже (лекция 34) это уравнение преобразуется к виду, в котором отсутствует член с произведением координат (т.е. 2В — 0).

Для приведения к каноническому виду уравнения ( 6.3), в котором 2В = 0, необходимо дополнить члены, содержащие х и у, до полных квадратов.

Если при этом (В = 0) А = С, то получится окружность (пример 6.3), точка или мнимая окружность (пример 6.4).

Если при этом (В = 0) A ≠ C и A ∙ C > 0, то получится эллипс (пример 6.8) или мнимый эллипс.

Если при этом (В = 0) A ≠ C и A ∙ C Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиРис. 78. Гипербола Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение и определите вид кривой: x² — 6x — 4y + 29 = 0.

Решение:

Выделим полный квадрат: x² — 6x — 4y + 29 = 0 ⇔ x² — 6x + 9 = 4y — 20 ⇔ (x — 3)² = 4(у — 5). Сделав замену координат X =х — 3, Y = у — 5 мы получим каноническое уравнение параболы X² = 4Y с осью OY и параметром р = 2. Таким образом исходная парабола имела вершину A(3; 5) и ось х = 3 параллельную оси Oy (рис. 79).

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение и определите вид кривой: x² + 4y² + 2x — 24y + 21 =0.

Решение:

Выделив полный квадрат, получим уравнение: (x + 1)² + 4(у — 3)² = 16. Сделав замену координат: X = х + 1, Y = y — 3, получим каноническое уравнение эллипса: X² + AY² ⇔ Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами= 1 с параметрами а = 4, b = 2. Таким образом, исходный эллипс имел центр A( —1;3) и полуоси а = 4, b = 2 (рис. 80).

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиРис. 79. Решение примера 6.7 Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиРис. 80. Решение примера 6.8

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Решение заданий на тему: Кривые второго порядка

Пример:

Составьте уравнение окружности, имеющей центр 0(2; —5) и радиус R = 4.

Решение:

В соответствии с формулой (6.2) искомое уравнение имеет вид: (х — 2)² + (у + 5)² = 16.

Ответ: (х — 2)² + (у + 5)² = 16.

Пример:

Составьте уравнение эллипса, зная, что сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами равно 8.

Решение:

Из условия имеем: a + b = 8, 2c = 8. C учетом того, что b² = а² — с², находим с = 4, а = 5, b = 3. Искомое уравнение эллипса будет: Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Ответ: Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Пример:

Составьте уравнение гиперболы, зная, что фокусы F₁(10;0) и F₂(-10; 0) и что гипербола проходит через точку M(12; 3√5)

Решение:

Из условия имеем: с = 10, |MF₁ — MF₂|= 2а ⇔ 2а = Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиа = 8. C учетом того, что b² = с² — а², находим а = 8, с = 10, b = 6. Искомое уравнение гиперболы будет: Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.
Ответ: Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами.

Пример:

Составьте уравнение параболы, зная, что фокус имеет координаты (5;0), а ось ординат является директрисой.

Решение:

Поскольку расстояние от директрисы параболы до ее полюса равно параметру р, а вершина находится на середине, из условия следует, что р = 5 и вершина расположена в точке A(2,5;0). Таким образом, в новых координатах X = х — 2,5; У = у каноническое уравнение параболы будет: Y² = 10Х, а в старых координатах: у² = 10(х — 2,5).
Ответ: y² = 10x — 25.

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение x² + y² — 2х + 6у — 5 = 0, определите вид кривой и ее параметры.

Решение:

Выделим полный квадрат: х² — 2х + у² + 6у — 5 = 0 ⇔ x² — 2x + 1 + у² + 6у + 9 — 1 — 9 — 5 = 0 ⇔ (х — 1)² + (у + 3)² = 15

В соответствии с формулой (6.2) это есть уравнение окружности с центром в точке A(1; -3), радиусом √5.
Ответ: (х — 1)² + (у + 3)² = 15.

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение x² + 4у² + 4х — 16у — 8 = 0, определите вид кривой и ее параметры:

Решение:

Выделим полный квадрат: x² + 4х + 4у² — 16y -8 = 0 ⇔ x²+4x + 4 + 4y²- 16y + 16-4-16-8 = 0 ⇔ (x + 2)² + 4(y²-4у+ 4) -28 ⇔ (х + 2)² + 4(y — 2)² = 28 ⇔ Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами= 1. Сделав замену координат: X = x +2, Y = у — 2, в новых координатах получим уравнение эллипса Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамис полуосями а = √28 и b = √7. Таким образом, в старых координатах эллипс имеет центр A(—2; 2) и полуоси а = 2√7 и b = √7.
Ответ: Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами= 1.

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение x² + 2y² + 8x — 4 = 0, определите вид кривой и ее параметры.

Решение:

Выделим полный квадрат:
x²+2y²+8x-4 = 0 ⇔ x²+8x+16+2y²-16-4 =0 ⇔ (x+4)²+2y2-20 = 0 ⇔ Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами=1

Сделав замену координат X = х + 4, Y — у, убеждаемся, что эта кривая — эллипс, с полуосями a = 2√5 и b = √10 и центром A(-4;0).
Ответ: Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами=1

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Неполное уравнение второго порядка. Эллипс, гипербола. ЗадачиСкачать

Неполное уравнение второго порядка. Эллипс, гипербола. Задачи

Математический портал

Видео:Аналитическая геометрия, 7 урок, Линии второго порядкаСкачать

Аналитическая геометрия, 7 урок, Линии второго порядка
  • Вы здесь:
  • Home

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиУравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиУравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиУравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрамиУравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Видео:§22 Исследование канонического уравнения гиперболыСкачать

§22 Исследование канонического уравнения гиперболы

Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство эллипса и гиперболы.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Эллипс.

Эллипс с каноническим уравнением $frac+frac=1, ageq b>0,$ и меет форму изображенную на рисунке.

Параметры $a$ и $b$ называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно). Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0), $ $B_1(0, -b), $ и $B_2(0, b), $ его вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ — главными осями а центр симметрии $O -$ центром эллипса.

Точки $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=sqrtgeq 0,$ называются фокусами эллипса векторы $overline$ и $overline -$ фокальными радиус-векторами, а числа $r_1=|overline|$ и $r_2=|overline| -$ фокальными радиусами точки $M,$ принадлежащей эллипсу. В частном случае $a=b$ фокусы $F_1$ и $F_2$ совпадают с центром, а каноническое уравнение имеет вид $frac+frac=1,$ или $x^2+y^2=a^2,$ т.е. описывает окружность радиуса $a$ с центром в начале координат.

Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами эллипса.

Теорема. ( Директориальное свойство эллипса)

Эллипс является множеством точек, отноше ние расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно и равно $e.$

Примеры.

2.246. Построить эллипс $9x^2+25y^2=225.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис.

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:

а) Находим полуоси $a=5,$ $b=3.$

б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=sqrt:$

$c=sqrt=sqrt=4Rightarrow F_1(-4, 0),qquad F_2(4, 0).$

г) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Ответ: а) $a=5,$ $b=3;$ б) $ F_1(-4, 0),qquad F_2(4, 0);$ в) $e=frac;$ г) $D_1: x=-frac$ и $D_2: x=frac.$

2.249 (a). Установить, что уравнение $5x^2+9y^2-30x+18y+9=0$ определяет эллипс, найти его центр $C,$ полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты:

Это уравнение эллипса. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$ полуоси $a=3,$ $b=sqrt 5.$

Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

$D_1: x=-frac=-frac $ и $D_2: x=frac=frac.$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$

Ответ: $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$ $a=3,$ $b=sqrt 5;$ $ e=frac.$ $D_1:2x+3=0, $ $D_2: 2x-15=0.$

2.252. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осми, проходят через точки $M_1(2, sqrt 3)$ и $M_2(0, 2).$ Написать его уравнение, найти фокальные радиусы точки $M_1$ и расстояния этой точки до директрис.

Решение.

Поскольку оси эллипса совпадают с координатными осями, то центр эллипса совпадает с началом координат. Следовательно, из того, что точка $(0, 2)$ принадлежит эллипсу, можно сделать вывод, что $b=2.$

Далее, чтобы найти $a,$ подставим найденное значение $b$ и координаты точки $M_1(2, sqrt 3)$ в каноническое уравнение эллипса $frac+frac=1:$

Таким образом, уравнение эллипса $frac+frac=1.$

Далее найдем координаты фокусов:

$c=sqrt=sqrt=2sqrt 3Rightarrow F_1(-2sqrt 3, 0),,,, F_2(2sqrt 3, 0).$

Отсюда находим $overline =(2+2sqrt 3, sqrt 3),$ $overline=(2-2sqrt 3, sqrt 3).$

Чтобы найти расстояния от точки $M_1$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=left|frac<sqrt>right|.$$

Таким образом, расстояние от точки $M_1(2, sqrt 3)$ до прямой $D_1: sqrt 3 x+8=0$

расстояние от точки $M_1(2, sqrt 3)$ до прямой $D_2: sqrt 3 x-8=0$

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Параметры $a$ и $b$ называются полуосями гиперболы. Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0) — $ ее вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ — действительной и мнимой осями а центр симметрии $O -$ центром гиперболы.

Точки $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=sqrtgeq 0,$ называются фокусами гиперболы, векторы $overline$ и $overline -$ фокальными радиус-векторами, а числа $r_1=|overline|$ и $r_2=|overline| -$ фокальными радиусами точки $M,$ принадлежащей гиперболе.

Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2:x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами гиперболы.

Теорема. (Директориальное свойство гиперболы).

Гипербола является геометрическим местом точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей дирек трисы постоянно и равно $e.$

Примеры.

2.265. Построить гиперболу $16x^2-9y^2=144.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.

Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:

а) Находим полуоси $a=3,$ $b=4.$

б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=sqrt:$

$c=sqrt=sqrt=5Rightarrow F_1(-5, 0),qquad F_2(5, 0).$

г) Асимптоты гиперболы находим по формулам $y=pmfracx:$

д) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Ответ: а) $a=3,$ $b=4;$ б) $ F_1(-5, 0),qquad F_2(5, 0);$ в) $e=frac;$ г) $y=pmfracx;$ д ) $D_1: x=-frac$ и $D_2: x=frac.$

2.269 (a). Установить, что уравнение $16x^2-9y^2-64x-54y-161=0$ определяет гиперболу, найти ее центр $C,$ полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис.

Приведем заданное уравнение к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты:

Это уравнение гиперболы. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(2,-3);$ полуоси $a=3,$ $b=4.$

Асимптоты гиперболы c центром в начале координат, находим по формулам $y=pmfracx,$ а с центром в точке $C=(x_0, y_0) -$ по формуле $y-y_0=pmfrac(x-x_0),$

$$y+3=frac(x-2)Rightarrow 3y+9=4x-8Rightarrow 4x-3y-17=0.$$

$$y+3=-frac(x-2)Rightarrow 3y+9=-4x+8Rightarrow 4x+3y+1=0.$$

Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

$D_1: x=-frac=-frac $ и $D_2: x=frac=frac.$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$

Ответ: $C=(2, -3);$ $a=3,$ $b=4;$ $ e=frac,$ $4x-3y-17=0,$ $4x+3y+1=0,$ $D_1:5x-1=0, $ $D_2: 5x-19=0.$

2.272. Убедившись, что точка $M(-5, 9/4)$ лежит на гиперболе $frac-frac=1,$ найти фокальные радиусы этой точки и расстояния этой точки до директрис.

Решение.

Проверим, что заданная точка лежит на гиперболе:

Следовательно, точка $M(-5, 9/4)$ лежит на гиперболе $frac-frac=1.$

Для того, чтобы найти фокальные радиусы, найдем фокусы гиперболы:

$c=sqrtRightarrow c=sqrt=sqrt =5$ Следовательно, фокусы имеют координаты $F_1(-5, 0), F_2(5, 0).$

Фокальные радиусы точки, можно найти по формулам $r_1=|overline|$ и $r_2=|overline|.$

Чтобы найти расстояния от точки $M$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

$D_1: x=-fracRightarrow x=-fracRightarrow 5x+16=0;$

$D_2: x=fracRightarrow x=fracRightarrow 5x-16=0;$

Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=left|frac<sqrt>right|.$$

Таким образом, расстояние от точки $M(5, 9/4)$ до прямой $D_1: sqrt 5x+16=0$

расстояние от точки $M(5, 9/4)$ до прямой $D_2: sqrt 5x-16=0$

Ответ: $r_1=9/4,$ $r_2=frac;$ $d_1=frac;$ $d_2=frac.$

2.273. Найти точки гиперболы $frac-frac=1,$ находящиеся на расстоянии $7$ от фокуса $F_1.$

Решение.

Из уравнения гиперболы находим полуоси: $a=3, , b=4.$ Следовательно, $c=sqrtRightarrow c=sqrt=sqrt =5.$

Отсюда находим $F_1=(-5, 0).$

Геометрическое место точек, расположенных на расстоянии $7$ от фокуса $F_1,$ это окружность с центром в точке $F_1=(-5, 0)$ и радиусом $r=7:$

Чтобы н айти точки гиперболы $frac-frac=1,$ находящиеся на расстоянии $7$ от фокуса $F_1,$ решим систему уравнений

Решим уравнение $5x^2+18x-72=0:$

Находим соответствующие координаты $y:$ $y_1=pmsqrt=sqrt$ — нет корней .

Ответ: $(-6, pm4sqrt 3).$

Парабола.

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Парабола с каноническим уравнением $y^2=2px, p>0,$ и меет форму изображенную на рисунке.

Число $p$ называется параметром параболы. Точка $O -$ ее вершиной, а ось $Ox$ — осью параболы.

Точка $Fleft(frac

, 0right)$ называется фокусом параболы, вектор $overline -$ фокальным радиус-векторам, а число $r=|overline| -$ фокальным радиусом точки $M,$ принадлежащей параболе.

Прямая $D: x=-p/2$ перпендикулярная оси и проходящая на расстоянии $p/2$ от вершины параболы, называется ее директрисой.

Примеры.

2.285 (а). Построить параболу $y^2=6x$ и найти ее параметры.

Решение.

Параметр $p$ параболы можно найти из канонического уравнения $y^2=2px: $

$$y^2=6xRightarrow y^2=2cdot 3xRightarrow p=2.$$

Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Ответ: $p=3.$

2.286 (а). Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси $Ox$ и $p=1/2.$

Решение.

Поскольку парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси $Ox,$ то уравнение параболы будет иметь вид $y^2=-2px.$ Подставляя заданное значение параметра, находим уравнение параболы:

Ответ: $y^2=-x.$

2.288 (а). Установить, что уравнение $y^2=4x-8$ определяет параболу, найти координаты ее вершины $A$ и величину параметра $p.$

Решение.

Уравнение параболы, центр которой сдвинут в точку $(x_0, y_0),$ имеет вид $(y-y_0)^2=2p(x-x_0)^2.$

Приведем заданное уравнние к такому виду:

Таким образом, $y^2=4(x^2-2)$ — парабола с центром в точке $(0, 2).$ Параметр $p=2.$

Ответ: $C(0, 2),$ $p=2.$

2.290. Вычислить фокальный параметр точки $M$ параболы $y^2=12x,$ если $y(M)=6.$

Решение.

Чтобы найти фокальный параметр точки $M,$ найдем ее координаты. Для этого подставим в уравнение параболы координату $y:$ $$6^2=12xRightarrow 36=12xRightarrow x=3.$$

Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(3, 6).$

Из уравнения параболы $y^2=12x$ находим параметр параболы: $y^2=2cdot 6xRightarrow p=6.$ Следовательно фокус параболы имеет координаты $F(3, 0).$

Далее находим фокальный параметр точки:

Ответ: $6.$

2.298. Из фокуса параболы $y^2=12x$ под острым углом $alpha$ к оси $Ox$ направлен луч света, причем $tgalpha=frac.$ Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы.

Решение.

Найдем координаты фокуса. Из канонического уравнения параболы $y^2=2px$ находим параметр: $y^2=12x=2cdot 6xRightarrow p=6.$

Координаты фокуса $F(p/2, 0)Rightarrow F(3,0).$

Далее находим уравнение прямой, которая проходит через точку $(3, 0)$ под углом $alpha: tgalpha=frac$ к оси $OX.$ Уравнение ищем в виде $y=kx+b,$ где $k=tgalpha=frac.$

Чтобы найти $b,$ в уравнение прямой подставим координаты точки $(3, 0):$

$0=fraccdot 3+bRightarrow b=-frac.$ Таким образом, уравнение луча, направленного из фокуса $y=fracx-frac.$

Далее, найдем точку пересечения найденной прямой с параболой:

Поскольку по условию луч падает под острым углом, то мы рассматриваем только положительную координату $y=18.$ Соответствующее значение $x=frac=frac=27.$

Таким образом, луч пересекает параболу в точке $(27, 18).$

Далее найдем уравнение касательной к параболе в найденной точке $(27, 18)$ по формуле $(y-y_0)=y'(x_0)(x-x_0):$

Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:

$y-18=frac(x-27)Rightarrow 3y-54=x-27Rightarrow x-3y+27=0.$

Далее, найдем угол $beta$ между лучем $y=fracx-frac$ и касательной $x-3y+27=0.$ Для этого оба уравнения запишем в виде $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2+b_2$ угол вычислим по формуле $tg(L_1, L_2)=frac$

$$L_2: x-3y+27=0Rightarrow y=fracx+9Rightarrow k_2=frac.$$

Легко увидеть, что угол между лучем $L_1,$ направленным из фокуса и его отражением равен $pi-2beta,$ а угол между отраженным лучем и осью $Ox$ $pi-(pi-2beta)-alpha=2beta-alpha.$ Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными центрами

Зная $tgbeta=frac$ и $tgalpha=k_1=frac$ и вспоминая формулы для двойного угла тангенса и тангенс разности, находим $tg(2beta-alpha):$

$$tg(2beta-alpha)=frac=frac<frac-frac><1+fracfrac>=0.$$ Следовательно, прямая, содержащая отраженный луч параллельна оси $Ox.$ Так как она проходит через точку $(27, 18),$ то можно записать ее уравнение $y=18.$

📸 Видео

11 класс, 52 урок, ЭллипсСкачать

11 класс, 52 урок, Эллипс

§18 Каноническое уравнение эллипсаСкачать

§18 Каноническое уравнение эллипса

Оптическое свойство эллипса и его применение в медицинеСкачать

Оптическое свойство эллипса и его применение в медицине
Поделиться или сохранить к себе: