Решение систем трех уравнений методом подстановки (8 видео)

Система линейных уравнений с тремя переменными

Содержание

Линейное уравнение с тремя переменными и его решение
Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом подстановки
Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом Крамера
Примеры
Системы линейных уравнений с тремя переменными
Как решать систему уравнений
Основные понятия
Линейное уравнение с двумя переменными
Система двух линейных уравнений с двумя переменными
Метод подстановки
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Метод сложения
Система линейных уравнений с тремя переменными
Решение задач
Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?
Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки
Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения
Задание 4. Решить систему уравнений
Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными
🔥 Видео

Линейное уравнение с тремя переменными и его решение

Уравнение вида ax+by+cz = d , где a, b, c, d — данные числа, называется линейным уравнением с тремя переменными x, y и z.

Например: $2x+5y+z = 8; -x+1, 5y+2z = 0; frac x-8y-5z = 7$

Уравнение с тремя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x,y и z.

Например: $2x^2+xz+y^2+yz^2 = 3,x-5y^2+z^3 = 1, 7x^3+y+xyz = 7$

Решением уравнения с тремя переменными называется упорядоченная тройка значений переменных (x,y,z), обращающая это уравнение в тождество.

О тождествах – см. §3 данного справочника

Например: для уравнения 2x+5y+z=8 решениями являются тройки x = -2, y = 1, z = 7; x = -1, y = 1, 6 , z = 2; x = -3, y = 2, 4, z = 2 и т.д. Уравнение имеет бесконечное множество решений.

Геометрическим представлением линейного уравнения с тремя переменными является плоскость в трёхмерном координатном пространстве .

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом подстановки

Алгоритм метода подстановки для системы уравнений с тремя переменными аналогичен алгоритму для двух переменных (см.§45 данного справочника)

Например: решить систему

$$ <left< begin 3x+2y-z = 8 \ x-y+z = -2 \ 2x-3y-5z = 1 end right.> Rightarrow <left< begin 3(y-z-2)+2y-z = 8 \ x = y-z-2 \ 2(y-z-2)-3y-5z = 1 end right.> Rightarrow $$

$$ Rightarrow <left< begin x = y-z-2 \ 5y-4z = 14 \ -y-7z = 5 end right.> Rightarrow <left< begin x = y-z-2 \ y = -7z-5 \ 5(-7z-5)-4z = 14 end right.> Rightarrow <left< begin x = y-z-2 \ y = -7z-5 \ -39z = 39 end right.> Rightarrow $$

$$ Rightarrow <left< begin x = 2-(-1)-2 = 1 \ y = -7cdot(-1)-5 = 2 \ z = -1 end right.> Rightarrow <left< begin x = 1 \ y = 2 \ z = -1 end right.> $$

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом Крамера

Для системы с 3-мя переменными действуем по аналогии.

Дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными:

$$ <left< begin a_1 x+b_1 y+c_1 z = d_1 \ a_2 x+b_2 y+c_2 z = d_2 \ a_3 x+b_3 y+c_3 z = d_3 end right.> $$

Определим главный определитель системы:

$$ Delta = begin a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 end $$

и вспомогательные определители :

$$ Delta_x = begin d_1 & b_1 & c_1 \ d_2 & b_2 & c_2 \ d_3 & b_3 & c_3 end, Delta_y = begin a_1 & d_1 & c_1 \ a_2 & d_2 & c_2 \ a_3 & d_3 & c_3 end, Delta_z = begin a_1 & b_1 & d_1 \ a_2 & b_2 & d_2 \ a_3 & b_3 & d_3 end $$

Тогда решение системы:

Соотношение значений определителей, расположения плоскостей и количества решений:

Три плоскости пересекаются в одной точке

Три плоскости параллельны

Две или три плоскости совпадают или пересекаются по прямой

Бесконечное множество решений

Осталось определить правило вычисления определителя 3-го порядка.

Таких правил несколько, приведём одно из них (так называемое «раскрытие определителя по первой строке»):

$$ Delta = begin a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 end = a_1 = begin b_2 & c_2 \ b_3 & c_3 end — b_1 = begin a_2 & c_2 \ a_3 & c_3 end + c_1 = begin a_2 & b_2 \ a_3 & b_3 end = $$

$$ = a_1 (b_2 c_3-b_3 c_2 )-b_1 (a_2 c_3-a_3 c_2 )+c_1 (a_2 b_3-a_3 b_2 )$$

Примеры

Пример 1. Найдите решение системы уравнений методом подстановки:

$$<left< begin z = 3x+2y-13 \ 2x-y+3(3x+2y-13) = -2 \ x+2y-(3x+2y-13) = 9 end right.> Rightarrow <left< begin z = 3x+2y-13 \ 11x+5y = 37 \ -2x = -4 end right.> Rightarrow $$

$$Rightarrow <left< begin z = 3cdot2+2cdot3-13 = -1 \ y = frac = 3 \ x = 2 end right.> Rightarrow <left< begin x = 2 \ y = 3 \ z = -1 end right.> $$

$$ <left< begin x = -y-3z+6 \ 2(-y-3z+6)-5y-z = 5\ (-y-3z+6)+2y-5z = -11 end right.> Rightarrow <left< begin x = -y-3z+6 \ -7y-7z = -7 |:(-7) \ y-8z = -17 end right.> Rightarrow $$

$$ Rightarrow <left< begin x = -y-3z+6 \ y+z = 1 \ y-8z = -17 end right.> Rightarrow <left< begin x = -y-3z+6 \ 9z = 18 \ y = 1-z end right.> Rightarrow <left< begin x = 1-6+6 = 1 \ z = 2 \ y = 1-2 = -1 end right.> Rightarrow$$

Пример 2. Найдите решение системы уравнений методом Крамера:

$$ Delta = begin 3 & 2 & -1 \ 2 & -1 & 3\ 1 & 2 & -1 end = 3 = begin -1 & 3 \ 2 & -1 \ end — 2 = begin 2 & 3 \ 1 & -1 \ end — 1 = begin 2 & -1 \ 1 & 2 \ end = $$

$$ Delta_x = begin 13 & 2 & -1 \ -2 & -1 & 3 \ 9 & 2 & -1 \ end = 13 = begin -1 & 3 \ 2 & -1 \ end — 2 = begin -2 & 3 \ 9 & -1 \ end — 1 = begin -2 & -1 \ 9 & 2 \ end = $$

$$ Delta_y = begin 3 & 13 & -1 \ 2 & -2 & 3 \ 1 & 9 & -1 \ end = 3 = begin -2 & 3 \ 9 & -1 \ end — 13 = begin 2 & 3 \ 1 & -1 \ end — 1 = begin 2 & -2 \ 1 & 9 \ end = $$

$$ Delta_z = begin 3 & 2 & 13 \ 2 & -1 & -2 \ 1 & 2 & 9 \ end = 3 = begin -1 & -2 \ 2 & 9 \ end — 2 = begin 2 & -2 \ 1 & 9 \ end + 13 = begin 2 & -1 \ 1 & 2 \ end = $$

$$ Delta = begin 1 & 1 & 3 \ 2 & -5 & -1\ 1 & 2 & -5 end = 1 = begin -5 & -1 \ 2 & -5 \ end — 1 = begin 2 & -1 \ 1 & -5 \ end + 3 = begin 2 & -5 \ 1 & 2 \ end = $$

$$ Delta_x = begin 6 & 1 & 3 \ 5 & -5 & -1 \ -11 & 2 & -5 \ end = 6 = begin -5 & -1 \ 2 & -5 \ end — 1 = begin 5 & -1 \ -11 & -5 \ end + 3 = begin 5 & -5 \ -11 & 2 \ end = $$

$$ = 6(25+2)—(-25-11)+3(10-55) = 162+36-135 = 63 $$

$$ Delta_y = begin 1 & 16 & 3 \ 2 & 5 & -1 \ 1 & -11 & -5 \ end = 1 = begin 5 & -1 \ -11 & -5 \ end — 6 = begin 2 & -1 \ 1 & -5 \ end + 3 = begin 2 & 5 \ 1 & -11 \ end = $$

$$ Delta_z = begin 1 & 1 & 6 \ 2 & -5 & 5 \ 1 & 2 & -11 \ end = 1 = begin -5 & 5 \ 2 & -11 \ end — 1 = begin 2 & 5 \ 1 & -11 \ end + 6 = begin 2 & -5 \ 1 & 2 \ end = $$

Пример 3*. Решите систему уравнений относительно x,y,и z:

$$ a neq b, b neq c, a neq c $$

Решаем методом замены:

$$ <left< begin z = -(a^3+a^2 x+ay)\ b^3+b^2 x+by-(a^3+a^2 x+ay) = 0 \ c^3+c^2 x+cy-(a^3+a^2 x+ay) = 0 end right.> Rightarrow <left< beginz = -(a^3+a^2 x+ay)\ (b^2-a^2 )x+(b-a)y = a^3-b^3 \ (c^2-a^2 )x+(c-a)y = a^3-c^3 end right.> $$

Т.к. $ a neq b$ второе уравнение можно сократить на $(a-b) neq 0$

Т.к.$ a neq c$ третье уравнение можно сократить на $(a-с) neq 0 $. В третьем уравнении после сокращения поменяем знаки:

Из второго уравнения получаем:

Т.к. $b neq c$ можно сократить на $(b-c) neq 0$:

$$ z = -(a^3+a^2 x+ay) = -a^3+a^2 (a+b+c)-a(ab+ac+bc) = $$

$$ = -a^3+a^3+a^2 b+a^2 c-a^2 b-a^2 c-abc = -abc $$

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Системы линейных уравнений с тремя переменными

Решение систем трех уравнений методом подстановки

Линейным уравнением называется уравнение вида:

В этом уравнении — неизвестные, а — действительные (или комплексные) числа. При этом называются коэффициентами уравнения, а — свободным членом.

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Из трех способов решения этих систем: графического, способа подстановки и способа сложения остается два последних способа. Графический способ уже не проходит, так как пришлось бы находить точку пересечения трех плоскостей. А это трудно изобразить.

Способ подстановки для трех уравнений похож на способ подстановки для двух уравнений с двумя неизвестными, только у этого способа на один шаг больше. Первое: выражаем одно из неизвестных из одного уравнения через два остальных неизвестных и подставляем это выражение в оставшиеся два уравнения. Эти оставшиеся два уравнения составляют систему из двух уравнений с двумя неизвестными. А дальше решаем эту полученную систему и находим два неизвестных, а затем, зная их, и третье неизвестное.

Пример 1 Решить систему уравнений: способом подстановки.

Выразим из первого уравнения через остальные неизвестные и свободный член. Найденное выражение подставим в остальные уравнения.

Далее, оставляя первое уравнение в покое, решаем систему из двух получившихся уравнений с неизвестными и (предварительно разделив обе части второго уравнения на ).

Получили единственное решение системы

Рассмотрим теперь способ сложения. Так же как и для двух уравнений с двумя неизвестными, нужно при помощи сложения уравнений добиться, чтобы одно из неизвестных пропало.Приведем пример.

Пример 2 Решить систему уравнений: способом сложения.

Постараемся получить два уравнения с двумя неизвестными. Избавимся от неизвестной . Для этого удвоенное первое уравнение сложим почленно с удвоенным вторым уравнением, а удвоенное второе уравнение прибавим к третьему уравнению:

Далее производим почленное сложение двух уравнений с двумя неизвестными, исключая неизвестную :

Из последнего уравнения системы находим . Подставляя найденное значение во второе уравнение, находим . Наконец из первого уравнения находим . Итак — единственное решение системы.

В заключении решим задачу, которая приводится к системе с тремя неизвестными.

Задача В трех урнах — шариков. В первой урне шариков больше чем во второй на столько, сколько шариков в третьей урне. Число шариков во второй урне относится к числу шариков в третьей урне как . Сколько шариков в каждой урне?

Обозначим число шариков в 1-й, 2-й и 3-й урнах через соответственно. Тогда первое условие задачи дает уравнение , второе условие — , а третье условие — . Запишем три полученные уравнения в систему, сделав предварительно третье уравнение линейным:

Складывая почленно первые два уравнения находим .Решаем систему из двух оставшихся уравнений:

Итак, в урнах соответственно и шариков.

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?

Видео:ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать

Как решать систему уравнений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Видео:Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Видео:Система с тремя переменнымиСкачать

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Видео:Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Видео:Решение систем уравнений. Методом подстановки. Выразить YСкачать

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Видео:Решение систем уравнений методом сложенияСкачать

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Видео:Урок по теме СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ 7 классСкачать

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Видео:9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым: