Видео:Метод половинного деления решение нелинейного уравненияСкачать
Метод Ньютона
Инструкция . Введите выражение F(x) , нажмите Далее . Полученное решение сохраняется в файле Word . Также создается шаблон решения в Excel .
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Оформление Word
Правила ввода функции, заданной в явном виде
- Примеры правильного написания F(x) :
- 10•x•e 2x = 10*x*exp(2*x)
- x•e -x +cos(3x) = x*exp(-x)+cos(3*x)
- x 3 -x 2 +3 = x^3-x^2+3
- Выражение 0.9*x=sin(x)+1 необходимо преобразовать к виду: sin(x)+1-0.9*x . Аналогично, x^2-7=5-3x к виду x^2+3x-12 .
Пусть дано уравнение f(x)=0 , где f(x) определено и непрерывно в некотором конечном или бесконечном интервале a ≤ x ≤ b . Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, то есть такое, что f(ξ)=0 называется корнем уравнения или нулем функции f(x) . Число ξ называется корнем k -ой кратности, если при x = ξ вместе с функцией f(x) обращаются в нуль ее производные до (k-1) порядка включительно: f(ξ)=f’(ξ)= … =f k-1 (ξ) = 0 . Однократный корень называется простым.
Приближенное нахождение корней уравнения складывается из двух этапов:- Отделение корней, то есть установление интервалов [αi,βi] , в которых содержится один корень уравнения.
- f(a)•f(b) , т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки.
- f’(x) сохраняет постоянный знак, т.е. функция монотонна (эти два условия достаточны, но НЕ необходимы) для единственности корня на искомом отрезке).
- f”(x) сохраняет постоянный знак, т.е. функция выпукла вверх, либо – вниз.
- Уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной точности.
Видео:Метод простых итераций пример решения нелинейных уравненийСкачать
Геометрическая интерпретация метода Ньютона (метод касательных)
Критерий завершения итерационного процесса имеет вид
Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать
Численные методы решения нелинейных уравнений
В этом разделе приведены примеры решенных задач по теме нахождения корней нелинейных уравнений численными методами. На первом этапе обычно происходит локализация (отделение) корней (графически или аналитически), на втором — уточнение (поиск) корней разными методами: Ньютона, Стеффенсена, секущих, хорд, касательных, простой итерации.
Видео:10 Численные методы решения нелинейных уравненийСкачать
Примеры приближенных решений нелинейных уравнений онлайн
Задача 1. Методом бисекции найти решение нелинейного уравнения на отрезке $[a;b]$ с точностью $varepsilon = 10^$. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью $varepsilon=10^$. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности число итераций.
Задача 2. Отделить корни нелинейного уравнения аналитически $2 arcctg x -x+3=0$.
Задача 3. Отделить корни нелинейного уравнения аналитически и уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. $$3x^4-8x^3-18x^2+2=0.$$
Задача 4. Отделить корни нелинейного уравнения графически (например, в среде EXCEL) уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. $$x^2-20 sin x =0.$$
Задача 5. Отделите корни уравнения графически и уточните один из них методом хорд с точностью до 0,001. Уточните один из корней этого уравнения методом касательных с точностью до 0,001. $$ sqrt — cos 0.387 x =0.$$
Задача 6.Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001. $$sqrt=frac.$$
Задача 7. На отрезке $[0;2]$ методом Ньютона найти корень уравнения $-x^3-2x^2-4x+10=0$ с точностью 0,01.
Задача 8. Методом хорд найти отрицательный корень уравнения $x^3-2x^2-4x+7=0$ с точностью 0,0001. Требуется предварительное построение графика функции и отделение корней.
Задача 9. Решить нелинейные уравнения с точностью до 0.001. $$1), x^3-12x-5=0, (x gt 0), , 2), tan x -1/x=0. $$
Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать
Метод Ньютона онлайн
Данный онлайн калькулятор находит корень уравнения приближённо. В основе алгоритма его работы лежит метод Ньютона. Чтобы начать работу, необходимо ввести исходные данные своей задачи.
Методом Ньютона, найти корень (
максимальное кол-во итераций:
критерий останова вычислений:
Метод Ньютона является численным, т.е. корень уравнения находится приближенно. При этом можно заранее задать точность его нахождения.
Пусть нам дано уравнение
Формула для поиска корня уравнения выглядит следующим образом:
и — приближённые значения корня уравнения на -ой и ( )-ой итерациях соответственно, — значение функции в точке , — значение производной функции в точке .
Как видно, для того чтобы начать работу необходимо задать точку — начальное приближение для корня уравнения . От выбора точки зависит сойдётся ли алгоритм к решению или нет. Сходимость метода квадратичная, но она резко ухудшается если мы ищем кратный корень уравнения, т.е. если и одновременно , где — кратный корень уравнения .
Вычисления по приведённой выше формуле можно продолжать до бесконечности, соответственно на практике необходим некоторый критерий, который будет определять нужно ли нам продолжать вычисления или нет. Как правило, используется критерий останова вычислений на основе приращения или же на основе близости функции к нулю в некоторой точке .
Критерий останова вычислений на основе приращения задаётся следующей формулой:
т.е. различие (по модулю) между двумя последовательными приближениями к корню уравнения ( и ) должны быть меньше, некоторой наперёд заданной величины .
Критерий останова вычислений на основе близости функции к нулю определяется следующей формулой:
т.е. отличие (по модулю) между функцией в некоторой точке и нулём меньше .
В тоже время, если последовательность к корню не сходится, то критерии останова не сработают и процесс поиска корня будет продолжаться бесконечно. Чтобы предотвратить такую ситуацию, на практике вычисления прекращают после некоторого, заданного количества итераций.
На рисунке ниже приведена геометрическая интерпретация процесса поиска корня уравнения методом Ньютона.
В точке мы строим касательную к графику функции . Уравнение касательной в этой точке имеет вид:
Находим точку пересечения полученной касательной с осью абсцисс, т.е. рассматриваем точку с координатами . Подставляя координаты указанной точки в уравнение касательной, получаем следующее соотношение:
Из данного уравнения находим :
Продолжая данный процесс, получим формулу метода Ньютона, приведенную выше. Из-за того, что на каждой итерации фактически происходит построение касательной, метод Ньютона также иногда называют методом касательных.
Видео:Алгоритмы. Нахождение корней уравнения методом хордСкачать
Другие полезные разделы:
Видео:Отделение корней уравнений аналитическим методом. Уточнение корней методом половинного деленияСкачать
Оставить свой комментарий:
Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме🔍 Видео
1.1 Решение нелинейных уравнений метод деления отрезка пополам (бисекций) Мathcad15Скачать
Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Численные методы (1 урок)(Решение нелинейных уравнений. Метод дихотомии. Python)Скачать
После этого видео, ТЫ РЕШИШЬ ЛЮБУЮ Систему Нелинейных УравненийСкачать
1 3 Решение нелинейных уравнений методом простых итерацийСкачать
Как найти корни уравнения в Excel с помощью Подбора параметраСкачать
14 Метод половинного деления Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать
Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать
Решение системы нелинейных уравнений графическим способом средствами ExcelСкачать
Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
Алгоритмы. Нахождение корней уравнений методом деления отрезка пополам.Скачать
Решение нелинейного уравнения методом простых итераций (программа)Скачать
