Решение логарифмических уравнений с минусом

Видео:✓ Как решать логарифмические уравнения и неравенства, не помня свойства логарифмов | Борис ТрушинСкачать

Сложение и вычитание логарифмов.

Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: log_a x и log_a y. Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:

Как видим, сумма логарифмов равняется логарифму произведения, а разность логарифмов – логарифму частного. Причем это верно если числа а, х и у положительны и а ≠ 1.

Важно обращать внимание, что основным аспектом в данных формулах выступают одни и те же основания. Если основания отличаются друг от друга, эти правила не применимы!

Правила сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями читаются не только с лева на право, но и на оборот. В результате мы имеем теоремы логарифма произведения и логарифма частного.

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов; перефразируя данную теорему получим следующее, если числа а, x и у положительны и а ≠ 1, то:

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя. Говоря по другому, если числа а, х и у положительны и а ≠ 1, то:

Применим вышеизложенные теоремы для решения примеров:

Если числа x и у отрицательны, то формула логарифма произведения становится бессмысленной. Так, запрещено писать:

так как выражения log₂(-8) и log₂(-4) вообще не определены (логарифмическая функция у = log₂х определена лишь для положительных значений аргументах).

Теорема произведения применима не только для двух, но и для неограниченного числа сомножителей. Это означает, что для всякого натурального k и любых положительных чисел x₁, x₂, . . . ,x_n существует тождество :

Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что log_a1= 0, следовательно,

А значит имеет место равенство:

Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:

Видео:Решение логарифмических уравнений. Вебинар | МатематикаСкачать

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

где a – это основание логарифма,

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X. и преобразовываем в и преобразовываем в Запомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.

Видео:Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.Скачать

Два очевидных следствия определения логарифма

log a 1 = 0 ( a > 0, a ≠ 1 )

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень – единицу.

Видео:Умножаем логарифмы В УМЕ🧠Скачать

Свойства логарифмов

Перечисленные ниже свойства логарифмов вытекают из основного логарифмического тождества:

( основное свойство логарифмов ),

( основное свойство логарифмов ),

Проверь удачу, набери 60+

Математика – это систематицация и результат, а общественные науки и история – процесс осмысления результата.

Видео:84 людей этого не знают! Секретный способ решения Логарифмических УравненийСкачать

Пример Найдите корень уравнения.

Используя определение логарифма, получим:

Проверим:

Ответ: .

Таким образом, теперь вы можете составить четкую инструкцию, как решать логарифмические уравнения. Она заключается в следующих шагах:

1. Сделать справа и слева от знака равенства (=) логарифмы по одному основанию, избавившись от коэффициентов перед логарифмами, используя свойства логарифмов.
2. Избавляемся от логарифмов, используя правило потенцирования. Остаются только числа, которые были под знаком логарифма.
3. Решаем получившееся обычное уравнение — как найти корень уравнения смотрите здесь .
4. Делаем проверку
5. Записываем ответ.

Видео:Интересная задача на логарифмы в ЕГЭСкачать

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.

Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.

Например, вычислим lg100

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть

Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…

Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что

И вычислить его можно таким образом:

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями

Выше мы решали логарифмические уравнения, в которых участвовали логарифмы с одинаковыми основаниями. А что же делать, если основания у логарифмов разные? Например,

Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!

Итак, разберем наш пример:Преобразуем правую часть нашего уравнения:

Мы знаем, что 1/3 = 3 -1 . Еще мы знаем свойство логарифма, а именно вынесение показателя степени из логарифма: Применяем эти знания и получаем: Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма: Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:

Тогда получим: Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть: Делаем проверку: Делаем проверку: Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.

Видео:Логарифмические уравнения. Видеоурок 18. Алгебра 10 классСкачать

Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями

Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т.е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, log_x+1(х 2 +5х-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием. Преобразуем правую часть уравнения: Преобразуем правую часть уравнения: Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части: Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы: Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы: Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:

1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:

2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:

Сведем все требования в систему:

Данную систему требований мы можем упростить. Смотрите х 2 +5х-5 больше ноля, при этом оно приравнивается к (х + 1) 2 , которую в свою очередь так же больше ноля. Следовательно, требование х 2 +5х-5 > 0 выполняется автоматически и мы можем его не решать. Тогда наша система будет сведена к следующему: Перепишем нашу систему: Перепишем нашу систему: Следовательно, наша система примет следующий вид: Теперь решаем наше уравнение: Теперь решаем наше уравнение: Справа у нас квадрат суммы:Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.

Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:

Т.к. 3 2 =9, то последнее выражение верно.

Видео:Логарифм с нуля до уровня про. Уравнения, неравенства и параметр. Профильный ЕГЭСкачать

Использование свойств логарифмов при решении логарифмических уравнений и неравенств

Для того, чтобы не ошибаться при решении логарифмических уравнений и неравенств, свойства логарифмов, перечисленные в предыдущем разделе, следует применять внимательно и аккуратно.

Например, если при решении уравнения или неравенства требуется преобразовать выражение

Видео:Логарифмическое уравнение / Как решить?Скачать

Логарифмическое уравнение: решение на примерах

Как решить логарифмическое уравнение? Этим вопросом задаются многие школьники, особенно в преддверии сдачи ЕГЭ по математике. Ведь в задании С1 профильного ЕГЭ могут встретиться именно логарифмические уравнения.

Уравнение, в котором неизвестное находится внутри логарифмов, называется логарифмическим. Причем неизвестное может находится как в аргументе логарифма, так и в его основании.

Способов решения таких уравнений существует несколько. В этой статье мы разберем способ, который легко понять и запомнить.

Видео:ЕГЭ 2022: Логарифмическое уравнение с разным основанием | Задание №1Скачать

Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами

Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида:Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее:Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.

При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку!

Давайте посмотрим, как это работает на примере:

Воспользуемся определением логарифма и получим:

Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда:

Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение:Так как 3 2 = 9, то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.

Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании log_af(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ.

Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений.

Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:

Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере.

Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом:В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.

Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его:То есть в нашем случае:Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:

Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим:Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:

Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений.

Разберем другой пример:Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом:После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид:Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим:Вспоминаем свойства степеней:

Теперь делаем проверку:то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.

Еще один пример решения логарифмического уравнения:Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим:Теперь преобразуем правую часть уравнения:Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:

Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:

Сделаем проверку, подставим х₁ = 1 в исходное уравнение:Верно, следовательно, х₁ = 1 является корнем уравнения.

Теперь подставим х₂ = -5 в исходное уравнение:Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х₂ = -5 – посторонний корень.

Видео:Показательные и логарифмические уравнения. Вебинар | МатематикаСкачать

Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями

Выше мы решали логарифмические уравнения, в которых участвовали логарифмы с одинаковыми основаниями. А что же делать, если основания у логарифмов разные? Например,

Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!

Итак, разберем наш пример:Преобразуем правую часть нашего уравнения:

Мы знаем, что 1/3 = 3 -1 . Еще мы знаем свойство логарифма, а именно вынесение показателя степени из логарифма:Применяем эти знания и получаем:Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:

Тогда получим:Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть:Делаем проверку:Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.

Видео:Логарифмы 3. Уравнения. ЕГЭ №5, №13Скачать

Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями

Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т.е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, log_x+1(х 2 +5х-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием.Преобразуем правую часть уравнения:Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:

1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:

2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:

Сведем все требования в систему:

Данную систему требований мы можем упростить. Смотрите х 2 +5х-5 больше ноля, при этом оно приравнивается к (х + 1) 2 , которую в свою очередь так же больше ноля. Следовательно, требование х 2 +5х-5 > 0 выполняется автоматически и мы можем его не решать. Тогда наша система будет сведена к следующему:Перепишем нашу систему:Следовательно, наша система примет следующий вид:Теперь решаем наше уравнение:Справа у нас квадрат суммы:Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.

Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:

Т.к. 3 2 =9, то последнее выражение верно.

Как сделать проверку

Еще раз обращаем ваше внимание, что при решении логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений. Так, основание логарифма должно быть больше ноля и не должно равняться единице. А его аргумент должен быть положительным, т.е. больше ноля.

Если наше уравнение имеет вид log_a (f(x)) = log_a (g(x)), то должны выполняться следующие ограничения:

После решения логарифмического уравнения нужно обязательно сделать проверку. Для этого вам необходимо подставить получившееся значения в исходное уравнение и посчитать его. Времени это займет немного, зато позволит не записать в ответ посторонние корни. Ведь так обидно правильно решить уравнение и при этом неправильно записать ответ!

Итак, теперь вы знаете, как решить логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма и с помощью преобразования уравнения, когда в обеих его частях стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, которые мы можем «зачеркнуть». Отличное знание свойств логарифма, учет области определения, выполнение проверки – залог успеха при решении логарифмических уравнений.

Методика решения логарифмических уравнений

Разделы: Математика

Введение

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у студентов интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль студентов, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Возникновение интереса к математике у значительного числа студентов зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание студентов на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.

Участвуя в фестивале педагогических идей «Открытый урок» 2004-2005 учебного года, я представила урок-лекцию по теме «Логарифмическая функция» (диплом № 204044). Считаю этот метод наиболее удачным в данном конкретном случае. В результате изучения у студентов имеется подробный конспект и краткая схема по теме, что облегчит им подготовку к следующим урокам. В частности, по теме «Решение логарифмических уравнений», которая полностью опирается на изучение логарифмической функции и ее свойств.

При формировании основополагающих математических понятий важно создать у студентов представление о целесообразности введения каждого из них и возможности их применения. Для этого необходимо, чтобы при формулировке определения некоторого понятия, работе над его логической структурой, рассматривались вопросы об истории возникновения данного понятия. Такой подход поможет студентам осознать, что новое понятие служит обобщением фактов реальной действительности.

История возникновения логарифмов подробно представлена в работе прошлого года.

Учитывая важность преемственности при обучении математике в среднем специальном учебном заведении и в вузе и необходимость соблюдения единых требований к студентам считаю целесообразным следующую методику ознакомления студентов с решением логарифмических уравнений.

Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма), называются логарифмическими. Рассмотрим логарифмические уравнения вида:

(1)

Решение этих уравнений основано на следующей теореме.

Теорема 1. Уравнение равносильно системе

(2)

Для решения уравнения (1) достаточно решить уравнение

(3)

и его решения подставить в систему неравенств

(4),

задающую область определения уравнения (1).

Корнями уравнения (1) будут только те решения уравнения (3), которые удовлетворяют системе (4), т.е. принадлежат области определения уравнения (1).

При решения логарифмических уравнений может произойти расширение области определения (приобретение посторонних корней) или сужение (потеря корней). Поэтому подстановка корней уравнения (3) в систему (4), т.е. проверка решения, обязательна.

Пример 1: Решить уравнение

Оба значения х удовлетворяют условиям системы.

Ответ:

Рассмотрим уравнения вида:

(5)

Их решение основано на следующей теореме

Теорема 2: Уравнение (5) равносильно системе

(6)

Корнями уравнения (5) будут только те корни уравнения , которые

принадлежат области определения, задаваемой условиями .

Логарифмическое уравнение вида (5) можно решить различными способами. Рассмотрим основные из них.

1. ПОТЕНЦИНИРОВАНИЕ (применение свойств логарифма).

Пример 2: Решить уравнение

Решение: В силу теоремы 2 данное уравнение равносильно системе:

Всем условиям системы удовлетворяет лишь один корень. Ответ:

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА .

Пример 3: Найти х, если

Значение х = 3 принадлежит области определения уравнения. Ответ х = 3

3. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ.

Пример 4: Решить уравнение

Оба значения х являются корнями уравнения.

Ответ:

Пример 5: Решить уравнение

Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 и применим свойство «логарифм степени».

Оба корня принадлежат области допустимых значений логарифмической функции.

Ответ: х = 0,1; х = 100

5. ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.

Пример 6: Решить уравнение

Воспользуемся формулой и перейдем во всех слагаемых к логарифму по основанию 2:

Тогда данное уравнение примет вид:

Так как , то это корень уравнения.

Ответ: х = 16

6. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Решим способом введения вспомогательной переменной уравнение, заданное в примере 6.

Пусть ; тогда

Учитывая, что

После проверки, проведенной устно, легко убеждаемся в правильности найденного ответа.

Многие уравнения, содержащие переменную не только под знаком логарифма или в показателе степени, удобно решать графически.

Графически решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций, заданных в уравнении.

Пример 7: Решить уравнение

Решение: Построим графики функций и y = x

Графики функций не пересекаются, и, значит, уравнение не имеет корней (см. рисунок).

Ответ: корней нет

Пример 8: Найти х, если

Решение: С помощью рассмотренных выше способов корни уравнения найти не удается. Найдем какой-нибудь корень методом подбора.

Пусть, например, х = 10. Проверкой убедимся в том, что 10 — корень уравнения. Действительно,

истинно

Докажем, что других корней данное уравнение не имеет.

Эти корни следует искать во множестве значений х.

Допустимые значения х находятся в промежутке

На этом промежутке функция убывает, а функция возрастает. И, значит, если уравнение имеет решение, то оно единственное.

	( формула перехода к новому основанию логарифмов ),
	( основное свойство логарифмов ), ( основное свойство логарифмов ), ( формула перехода к новому основанию логарифмов ), Видео:Логарифмические уравнения 🥷🏿Скачать Степень можно выносить за знак логарифма И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример: log a ( f ( x ) 2 = 2 log a f ( x ) Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть – только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени. Видео:Логарифмические уравнения. 11 класс.Скачать Логарифм произведения и логарифм частного log a b c = log a b − log a c ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 ) Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании “слева направо” происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного – расширение ОДЗ. log a ( f ( x ) g ( x ) ) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля. Преобразуя данное выражение в сумму log a f ( x ) + log a g ( x ) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6). Видео:Проще простого! Как решить Логарифмическое Уравнение?Скачать Формула перехода к новому основанию Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной. Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8): log a b = 1 log b a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 ) Видео:11 класс, 17 урок, Логарифмические уравненияСкачать Сумма логарифмов. Разница логарифмов Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать: Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать: Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно! Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя! Видео:ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯСкачать Логарифмический ноль и логарифмическая единица Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор. Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице: loga a = 1 – это логарифмическая единица. Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a 0 = 1: loga 1 = 0 – логарифмический ноль. Видео:ЕГЭ база #7 / Логарифмические уравнения / Свойства, определение логарифма / решу егэСкачать Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида: Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее: Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее: Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить. При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку! Давайте посмотрим, как это работает на примере: Воспользуемся определением логарифма и получим: Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда: Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение:Так как 3 2 = 9, то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения. Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании logaf(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ. Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений. Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так: Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере. Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом: В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2. Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его: То есть в нашем случае: То есть в нашем случае: Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма: Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим: Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение: Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений. Разберем другой пример: Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом: Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом: После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид: Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим: Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим: Вспоминаем свойства степеней: Теперь делаем проверку:то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения. Еще один пример решения логарифмического уравнения: Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим: Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим: Теперь преобразуем правую часть уравнения: Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили: Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили: Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы: Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант: Сделаем проверку, подставим х1 = 1 в исходное уравнение: Сделаем проверку, подставим х1 = 1 в исходное уравнение: Верно, следовательно, х1 = 1 является корнем уравнения. Теперь подставим х2 = -5 в исходное уравнение:Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х2 = -5 – посторонний корень. Видео:Логарифмы в ЕГЭ🫢 Решишь второй?!Скачать Сравнение логарифмов Если 0 1 2 , то
log a x 1 > log a x 2 – знак неравенства меняется
Если a > 1 и 0 1 2 , то
log a x 1 a x 2 – знак неравенства не меняется
Если 1 1, то log a x > log b x
Если 0 1, то log a x > log b x
Если 1 a x b x
Если 0 a x b x