Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому виду

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.

Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.

Видео:Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. ПримерСкачать

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. Пример

Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду

Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0

Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0

Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0

Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1

Видео:Поворот и параллельный перенос координатных осей. ЭллипсСкачать

Поворот и параллельный перенос координатных осей.  Эллипс

Преобразования декартовой системы координат с примерами решения

Содержание:

Видео:Видеоурок "Приведение к каноническому виду"Скачать

Видеоурок "Приведение к каноническому виду"

Преобразования декартовой системы координат

Параллельный перенос и поворот системы координат

1. Параллельный перенос системы координат. Пусть на плоскости две декартовы системы координат, причем соответствующие оси параллельны и сонаправлены (Рис.46):

Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Рис. 46. Параллельный перенос одной системы координат относительно другой системы.

Систему координат Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Пример:

Дана точка М(3;2) и начало новой системы координат Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуВычислить положение точки М в новой системе отсчета.

Решение:

Используя формулы, определяющие параллельный перенос одной системы отсчета относительно другой, получим Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуСледовательно, точка М в новой системе отсчета имеет координаты М(4; -1).

2. Поворот системы координат. Пусть даны две системы координат (старая и новая), имеющие общее начало отсчета и повернутые относительно друг друга на угол Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду(Рис. 47): Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Рис. 47. Поворот одной системы координат относительно другой системы с общим началом координат двух систем.

Получим формулы, связывающие старые и новые координаты произвольной точки М(х; у). Из рисунка видно, что в новой системе координат координаты точки равны Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуа координаты этой точки в старой системе координат равны Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуТаким образом формулы перехода от новых координат произвольной точки М к старым имеет вид Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуВ матричном виде эти равенства можно записать в виде Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видугде матрица перехода Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Найдем обратное преобразование системы координат, найдем матрицу Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуобратную к матрице А: Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Найдем алгебраические дополнения всех элементов

Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуЗапишем обратную матрицу Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Определение: Унитарными преобразованиями называются такие преобразования, для которых определитель матрицы преобразования равен 1.

Определение: Ортогональными преобразованиями называются такие преобразования, для которых обратная матрица к матрице преобразования совпадает с транспонированной матрицей преобразования.

Таким образом, имеем Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуСледовательно, формулы перехода от старой системы отсчета к новой системе отсчета имеют вид:

Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Пример:

Найти координаты точки М(1; 2) в новой системе координат, повернутой относительно старой системы отсчета на угол Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Решение:

Воспользуемся полученными формулами Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видут.е. в новой системе координат точка имеет координаты М(2; -1).

Рассмотрим применение преобразования координат:

а) Преобразовать уравнение параболы Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видук каноническому виду. Проведем параллельный перенос системы координат Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуполучим Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуВыберем начало отсчета новой системы координат так, чтобы выполнялись равенства Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видутогда уравнение принимает вид Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуВыполним поворот системы координат на угол Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видутогда Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуПодставим найденные соотношения в уравнение параболы Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видугде параметр параболы Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Пример:

Преобразовать уравнение параболы Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видук каноническому виду.

Решение:

Найдем начало отсчета новой системы координат после параллельного переноса Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видут.е. точка Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду— начало координат новой системы отсчета. В этой системе уравнение параболы имеет вид Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуПроведем поворот системы отсчета на угол Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видутогда

Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуследовательно, параметр параболы р = 1/4.

б) Выяснить, какую кривую описывает функция Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Проведем следующее преобразование Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуПроизводя параллельный перенос системы координат, вводя обозначение

Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуи новые координаты Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуполучим уравнение Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видукоторое описывает равнобочную гиперболу.

Полярные координаты. Замечательные кривые

Пусть полярная ось совпадает с осью абсцисс Ох, а начало полярной оси (полюс полярной системы координат) совпадает с началом координат декартовой системы отсчета (Рис. 48). Любая точка М(х;у) в полярной системе координат характеризуется длиной радиус-вектора, соединяющего эту точку с началом отсчета и углом Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видумежду радиус-вектором и полярной осью (угол отсчитывается против часовой стрелки). Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Рис. 48. Полярная система координат.

Главными значениями угла Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуявляются значения, лежащие в интервале Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуИз рисунка видно, что декартовы и полярные координаты связаны формулами Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Рассмотрим замечательные кривые в полярной системе координат:

1. Спираль Архимеда Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видугде число Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду(Рис. 49). Для построения кривой в полярной системе координат, разобьем декартову плоскость лучами с шагом по углу Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуи на каждом луче отложим ему соответствующее значение р. Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Рис. 49. Спираль (улитка) Архимеда.

2. Уравнение окружности: уравнение Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуописывает окружность с центром в точке A(R; 0) и радиусом R (Рис. 50). В полярной системе координат уравнение принимает вид Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуЗаписать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Рис. 50. Окружность с центром в точке A(R; 0) и радиусом R.

3. Уравнение Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуописывает окружность с центром в т. А(0; R) и радиусом R (Рис. 51). В полярной системе координат уравнение принимает видЗаписать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Рис. 51. Окружность с центром в точке А(0; R) и радиусом R.

4. Кардиоиды: Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Рис. 52. Кардиоида Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Рис. 53. Кардиоида Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Аналогично выглядят кардиоиды Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуно они вытянуты вдоль оси абсцисс Ох.

5. Петля: Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуВеличина Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому видуравна нулю при Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Для первого корня у = 0, а для второго и третьего — у = 9 . Следовательно, петля имеет вид Записать преобразование параллельного переноса приводящее уравнение к каноническому виду

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Замечательные пределы
  • Непрерывность функций и точки разрыва
  • Точки разрыва и их классификация
  • Экстремум функции
  • Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
  • Скалярное произведение и его свойства
  • Векторное и смешанное произведения векторов

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎦 Видео

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

2. Приведение уравнений второго порядка к каноническому видуСкачать

2. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду

Кривые второго порядка. Парабола. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривые второго порядка. Парабола. Приведение к каноническому виду и чертеж

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"

11 класс, 12 урок, Параллельный переносСкачать

11 класс, 12 урок, Параллельный перенос

Семинар 6. Приведение уравнения кривой II порядка к каноническому видуСкачать

Семинар 6. Приведение уравнения кривой II порядка к каноническому виду

Видеоурок "Преобразование координат"Скачать

Видеоурок "Преобразование координат"

53. Приведение общего уравнения кривой к каноническому видуСкачать

53. Приведение общего уравнения кривой к каноническому виду

Парадокс сужающейся трубыСкачать

Парадокс сужающейся трубы

Позиционный допуск. Назначение баз на примере круглого фланца. Лекция 22Скачать

Позиционный допуск. Назначение баз на примере круглого фланца. Лекция 22

9 класс, 32 урок, Параллельный переносСкачать

9 класс, 32 урок, Параллельный перенос

Хитрости в решении геометрических задач в ОГЭ по математике | Математика TutorOnlineСкачать

Хитрости в решении геометрических задач в ОГЭ по математике | Математика TutorOnline

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертеж

Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)

Приведение поверхности второго порядка к каноническому виду ортогональным преобразованием.Скачать

Приведение поверхности второго порядка к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | МатематикаСкачать

Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | Математика
Поделиться или сохранить к себе: