Решение линейных уравнений методом прямоугольников

Образовательные онлайн сервисы: теория и практика

Видео:Метод Жордана-Гаусса (метод прямоугольников). ВидеоурокСкачать

Примеры — Линейная алгебра

Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса (метод прямоугольников)

Видеоурок: Метод Жордана-Гаусса (метод прямоугольников)

Пример из видеоурока в рукописном виде:

Пример 2.

Запишем систему в виде:

4

-2

1

-2

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (1). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника: НЭ = СЭ — (А*В)/РЭ, где РЭ — разрешающий элемент (1), А и В — элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

4

-2

9

2

Разрешающий элемент равен (-1). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

8

2

9

4

Разрешающий элемент равен (1). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

8

6

4

9

Разрешающий элемент равен (-4).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

-7.75

-12

-7.25

-2.25

Теперь исходную систему можно записать как:
x1 = -7.75 — 8×5 — 10.75×6
x2 = -12 — 10×5 — 11×6
x3 = -7.25 — 6×5 — 5.25×6
x4 = -2.25 — x5 — 1.25×6
Необходимо переменные x5,x6 принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.
Приравняем переменные x5,x6 к 0
x1 = -7.75
x2 = -12
x3 = -7.25
x4 = -2.25
Среди базисных переменных есть отрицательные значения. Следовательно, данное решение не опорное.

Видео:Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса ➜ 2 метода за 7 минутСкачать

Метод Жордана-Гаусса онлайн

Данный онлайн калькулятор находит общее решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество уравнений и количество переменных. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.» Теоретическую часть нахождения решения системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Метод Жордана-Гаусса

Метод Жордана-Гаусса − это метод для решения систем линейных уравнений а также метод нахождения обратной матрицы. Данный метод является модификацией метода Гаусса.

Первый этап метода Жордана-Гаусса аналогична методу Гаусса (прямой ход Гаусса), который подробно можно посмотреть на странице «Метод Гаусса онлайн». Второй этап (обратный ход) метода Жордана-Гаусса заключается в обнулении всех элементов матрицы коэффициентов системы линейных уравнений, выше ведущих элементов. Отметим, что мы здесь рассматриваем произвольную систему линейных уравнений, где число переменных может быть не равным числу ограничений.

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

(1)

Запишем систему (1) в матричном виде:

(3)

A-называется матрица коэффициентов системы, b − правая часть ограничений, x− вектор переменных, которую нужно найти. Пусть rang(A)=p.

Построим расшренную матрицу системы:

(4)

После прямого хода Гаусса (подробнее о прямом ходе Гаусса посмотрите на странице «Метод Гаусса онлайн») получим следующую расширенную матрицу:

(5)

Если . равны нулю, то система линейных уравнений имеет решение, если же хотя бы один из этих чисел отлично от нуля, то система несовместна. Иными словами, система (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A навен рангу расширенной матрицы (A|b).

Пусть . Тогда в обратном порядке, начиная с ведущего элемента применяем обратный ход Гаусса. Суть обратного хода заключается в обнулении всех элементов расширенной матрицы, стоящих выше ведущих элементов.

Итак, обнуляем все элементы, стоящие в столбце p, выше элемента . Так как ≠0, то сложим строки 1,2. p−1 со строкой p, умноженной на соответственно.

Расширенная матрица примет следующий вид:

Аналогичным методом обнуляем элементы столбцов p−1, p−2, . 2 выше ведущих элементов .

Расширенная матрица примет следующий вид:

Делим каждую строку на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Тогда решение можно записать так:

где − произвольные вещественные числа.

Отметим, что при m=n и rangA=n система линейных уравнений (2) имеет единственное решение.

Рассмотрим численные примеры.

Видео:Метод средних прямоугольниковСкачать

Примеры решения системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса

Пример 1. Найти решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса:

Матричный вид записи: Ax=b, где

.

Для решения системы, построим расширенную матрицу:

.

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на 1/2,-3/2 соответственно:

.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2 2. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 1/5:

.

Второй этап. Обратный ход Гаусса

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a₃₃. Для этого сложим строки 1, 2 со строкой 3, умноженной на -3/2, -5/4 соответственно:

.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -2/5:

.

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

.

.

Векторный вариант решения:

.

Пример 2. Найти решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса:

Матричный вид записи: Ax=b, где

Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на 4/3, 5/3 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2 2. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -2:

Второй этап. Обратный ход Гаусса

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/10:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Выразим переменные x₁, x₂ относительно остальных переменных.

x₃− произвольное действительное число.

Векторный вариант решения:

Запишем вышеизложенное решение, представив свободные переменные в виде тождеств:

Тогда векторное решение можно представить так:

,

x₃− произвольное действительное число.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Правило прямоугольника

Алгоритм пересчета таблиц по правилу прямоугольника.
Выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор Правило прямоугольника предназначен для пересчета таблиц методом жордановских преобразований.

• Шаг №1
• Шаг №2

Примечание. Данный метод не стоит путать с формулой прямоугольников.

Пример №1 . Производится пересчет элементов новой симплекс-таблицы. Каким будет значение элемента x₂₅ в новой симплекс-таблице, если до пересчета x₂₅ = -3 , x₂₇ =5 , х₄₅ = -8 , х₄₇ =2

Пример №2 . По приведенной ниже симплекс-таблице определите, является ли соответствующее ей базисное решение оптимальным. Если решение не является оптимальным, осуществите пересчет таблицы.

Решение.
Базисное решение называется допустимым базисным решением, если значения входящих в него базисных переменных x_j≥0, что эквивалентно условию неотрицательности b_j≥0.
Поскольку X1 = 4 > 0, X2 = 3 > 0, то это допустимое базисное решение. Определим, является ли оно оптимальным. Если найдется хотя бы один коэффициент индексной строки меньше нуля, то план не оптимальный, и его необходимо улучшить. В индексной строке X4 = -1 1 /₂
Следовательно, 2-ая строка является ведущей. Вместо переменной x₄ в план войдет переменная x₂.
Таблица 1

Разрешающий элемент РЭ=2. Строка, соответствующая переменной x₂ , получена в результате деления всех элементов строки x на разрешающий элемент РЭ=2 (см. табл.2) . На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x₂ записываем нули. Все остальные элементы, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ — (А*В)/РЭ
СТЭ — элемент старого плана, РЭ — разрешающий элемент (2), А и В — элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ (см. табл.2).
Формируем таблицу.

Таблица 2

Получаем новую таблицу:

Таблица 3

Поскольку X3≥0, X2≥0, то получили оптимальный план.

Пример №3 . Решить задачу линейного программирования симплекс-методом, используя в качестве начальной угловой точки:
f(x) = -2x₁ + x₂ + 4x₃ – x₄ – x₅ → min
x₂ + 2x₄ – x₅ = 1
x₁ — x₄ – x₅ = 1
2x₂ + x₃ + 2x₅ = 4
x_j ≥ 0, j=1. 5, x 0 = (1;1;2;0;0)

Затем систему ограничений преобразуем методом Гаусса-Жордана к такой форме, чтобы базисными стали переменные x₁, x₂, x₃, а вектор b = (1, 1, 2) T

Итерация №1. Разрешающий элемент РЭ=-1.
Формируем таблицу.
Строка, соответствующая переменной x₂ , получена в результате деления всех элементов строки x₂ на разрешающий элемент РЭ=-1. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x₂ записываем нули. Все остальные элементы, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Получаем новую таблицу:

Итерация №2. Разрешающий элемент РЭ=-1.
Строка, соответствующая переменной x₄, получена в результате деления всех элементов строки x₃ на разрешающий элемент РЭ=-1. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x₄ записываем нули.
Все остальные элементы, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Получаем новую таблицу:

Итерация №3. Разрешающий элемент РЭ=-1. Строка, соответствующая переменной x₃ , получена в результате деления всех элементов строки x₁ на разрешающий элемент РЭ=-1. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x₃ записываем нули. Все остальные элементы, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Получаем новую таблицу:

Далее необходимо переназначить переменные и решать симплекс-методом.

🎥 Видео

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Метод Гаусса и метод Жордана-ГауссаСкачать

Метод прямоугольников для нахождения определенного интегралаСкачать

Метод левых, правых и средних прямоугольниковСкачать

Метод Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Метод Жордана-Гаусса (01)Скачать

Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4Скачать

Практика. Решение систем методом Жордана-ГауссаСкачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

метод прямоугольниковСкачать

Решение системы линейных уравнений методом ГауссаСкачать

Линейная алгебра, 9 урок, Метод ГауссаСкачать

12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.Скачать